2023年北京市初三二模数学试题汇编：直线和圆

2023北京初三二模数学汇编
直线和圆
(1)若1
r=，
①在点1
11 (,) 22
P−，
2(0,1)
P，3(1,1)
P−−这三个点中，点②点P为线段AB的直点，点(1,1)
C−，求
(2)点D在直线1
y x
=−上，若点D的横坐标
出r的取值范围．
5．（2023·北京朝阳·统考二模）如图，AB
相交于点H，AC平分EAH
∠．
(1)求证：EH是O
的切线；
(2)AE与O
的交点为F，连接FO并延长与
D H
∠=∠．
6．（2023·北京大兴·统考二模）如图，AB
D，过点D作DE AC
⊥交AC的延长线于点
(1)如图1所示，已知，点()02A ，
，点()32B ，． ①在点()()()123011141P P P −，，
，，，中，是线段AB 的“对称平衡点”的是___________； ②线段AB 上是否存在线段AB 的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的 “对称平衡点”的横坐标的范围，若不存在，请说明理由；
(2)如图2，以点()02A ，
为圆心，1为半径作A ．坐标系内的点C 满足2AC =，再以点C 为圆心，1为半径作C ，若C 上存在A 的“对称平衡点”，直接写出C 点纵坐标C y 的取值范围．
13．（2023·北京房山·统考二模）如图，A ，B ，C 三点在O 上，直径BD 平分ABC ∠，过点D 作DE AB ∥交弦BC 于点E ，在BC 的延长线上取一点F ，使得BFD ADB ∠=∠．
(1)求证：DF 是O 的切线； (2)若4=AD ，5DE =，求DF 的长．
14．（2023·北京西城·统考二模）如图，以菱形ABCD 的边AD 为直径作O 交AB 于点E ，连接DB 交O 于点M F ，是BC 上的一点，且BF BE =，连接DF ．
∵1r =，
∴点()()1010A B −，
，，． ∵点P 为线段AB 的直点，
∴点P 在O 上．
∴点111(,)22
P −，2(0,1)P ，3(1,1)P −−这三个点中，故答案为：2P ；
②情况1：连接CO 交O 于点P ，此时CP 最短，连接∵()()11
1,0C A −−，，， ∴1AC
OA CA AO ==⊥，， ∴22=+OC AO AC ，
∴2OC =．
∵CP
CO OP =−， ∴21CP =−．
情况2：延长CO 交O 于点P ′，此时CP ′最长．∵CP ′O CO P +′，
∴ =2+1CP ．
当2x =时，211y =−=，
∴11,D E =
在1Rt D OE 中，221125D O =
+=，
∵111D P =, ∴151OP =−；
过点2P 作2P G x ⊥轴于点G ，过点2D 作2D ∴四边形2D FGH 是矩形，22D HP 为等腰直角三角形，∴22,,HG D F D H
FG == ∵221,D P =
∴22,2
D H FG == 当4x =时，413y =−=，即23D F HG ==∴2223,4,22
P H OG =+=+ 在2OP G Rt 中，2224322OP =+++
的辅助线，灵活运用相关性质定理是解题的关键．
6．(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接OD ，证OD AE ∥，由已知DE AE ⊥，得出DE OD ^，即可得出结论；
（2）连接BC 交OD 于点H ，证明四边形CEDH 为矩形，得出,HC FE ∥HC
DE BH ==，再证明ABC F ∠=∠，求出BC 的长即可得出结论．
【详解】（1）连接OD ．
∵AD 平分CAB ∠，
∴BAD CAD ∠=∠．
∵OD OA =，
∴ODA OAD ∠=∠，
∴ODA CAD ∠=∠，
∴OD AE ∥，
∴180E ODE ∠+∠=°．
∵DE AC ⊥．
∴90E ∠=°，
∴90ODE ∠=°，
∴OD EF ⊥．
又∵点D 在O 上，
∴直线DE 是O 的切线．
（2）连接BC 交OD 于点H ，如图．
∵AB 为直径，
∴90ACB ∠=°，
∴90BCE ∠=°．
C ，
∴四边形ABCP ′为矩形，
∵90QP K AP C ′′∠=
∠=° ∴QP A KP C ′′=∠∠
又∵,90P Q P K QAP KCP ′′′′=∠
=∠=° ∴QP A KP C ′′ ≌
∴,P A P
C QA KC ′′== ∴四边形ABCP ′为正方形，
设3,()P m m ′−+
∴(03)(23,,,)A m C m m −+−+
∵5(3)2QA KC m m ==−−+=+
∴(223)K m −−+，
将点(223)K m −−+，
代入直线3y x =+中， 解得：1m =
∴(12)P ′，
∴(12)P −，
（3）解：由（1）可得，K 点的轨迹为垂直于直线l 垂直的一条直线，
当0t >时，如图所示，
在 M ′上找到一点P ′，得K 点落在2y x =+上，则当K 的轨迹所在直线k 与M 相切时，t 取得最大值，
∴线段AB的“对称平衡点”的是1P，
∵()()0,2,0,0A O
∴02c y ≤≤
【点睛】本题考查了对称平衡点．两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题．
13．(1)见解析
(2)25
【分析】（1）如图，由BD 是O 的直径，得12∠=∠，所以290F ∠∠+=
°，即FDB ∠（2）连接DC ，则90DCB ∠=o ，由BD 平分223CE DE DC − ，根据平行线的性质与解平分线定义得出358CB =+=．
由勾股定理可得2DB DC =4548
DF =，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，
∵BD 平分ABC ∠，
∴12∠=∠，
∵BD 是O 的直径，
∴90A ∠= ，
∴190ADB ∠∠+= ，
∵F ADB ∠∠=，12∠=∠，
∴290F ∠∠+=°，
∴90FDB ∠= ，
∴OD DF ⊥，
∵OD 是O 的半径，
∴DF 是O 的切线．
∵BD 是O 的直径，
∴90DCB ∠=o ，
∵BD 平分ABC ∠，4=AD ，
∴4DC DA == ，
∵5DE =，
∴223CE DE DC − ，
∵DE AB ∥
∴13∠=∠
∵12∠=∠，
∴32∠=∠，。