2003浅水潮波模式变分同化共轭码技术研究

第21卷第4期2003年10月海　洋　科　学　进　展
ADVANCES IN MARIN E SCIENCE
Vol.21　No.4
October,2003
浅水潮波模式变分同化共轭码技术研究Ξ
尹训强1,2,杨永增1,2,乔方利1,2
(1.国家海洋局第一海洋研究所,山东青岛266061;
2.海洋环境科学与数值模拟国家海洋局重点实验室,山东青岛266061)
摘　要:以浅水潮波模式为例,详细讨论了共轭码技术的使用方法以及代码检验,并建立了海洋浅水模式的共轭模
式。

利用浅水潮波模式及其共轭模式进行了流速和水位的初始场优化试验。

试验结果表明,初始场优化对于潮波
系统数值模拟具有重要的作用,同时也说明利用共轭码技术可以有效地设计共轭模式,进行各种同化试验研究,显
示了共轭码技术的诸多优点。

关键词:四维变分同化;共轭码技术;浅水潮波模式;共轭模式
中图分类号:P73112 文献标识码:A 文章编号:167126647(2003)0420413211
近年来,变分同化方法在大气和海洋科学的应用发展迅速,解决了数值计算中的很多疑难问题。

这些问题主要表现在以下几点:第一,完善了观测资料在模式中的应用,观测资料在模式中的使用方法更加合理化;第二,有助于分析模式的稳定性、敏感性等问题;第三,有效控制模式的误差来源,提高数值模式计算或预报的可靠性;第四,有助于我们更深入地认识真实的物理过程和揭示大气海洋现象的本质[1～8]。

变分同化包括三维变分和四维变分[9]。

三维变分中的动力学限制包含在目标泛函中,但是由于三维变分处理方案中的误差协方差矩阵不随时间变化,该方法实质上为改进的O I方法[10～13]。

四维变分同化方法则是利用模式的控制方程作为强约束条件,求解目标泛函的极值问题[14～16]。

四维变分同化的思想最早由Sasaki在20世纪60-70年代提出并作了一些简单应用[17]。

在实际运用过程中,由于Eule2Lagrange方程极其复杂,直接求解会遇到极大的困难,Le Dimet等结合最优控制理论,详尽阐述了变分同化方法[18]。

Tala2 grand等提出的共轭变分方法在资料同化中得以广泛应用[18～20]。

四维变分同化的核心是利用共轭模式求得目标泛函的梯度,用来对控制变量进行优化。

建立共轭模式的方法可以分为以下几种,第一种是直接利用共轭方程理论,或者使用推导技巧(分部积分方法等)导出连续情况下的共轭方程,然后选择差分方法离散共轭方程得到共轭模式(Finite Difference of Ad joint,简称FDA)[14～16,18～23]。

第二种方法是利用共轭码技术直接在离散情况下的数值模式基础上导出共轭模式(Ad2 joint of Finite Difference,简称ADF)[24～28]。

从模式的控制方程组出发,导出其切线性方程组,然后再利用共轭理论导出其共轭方程组,离散后建立共轭模式。

各种实验表明,这样的做法与理论推导相一致,是切实有效的做法。

但是,一般用来描述海洋、大气中运动变化的方程(组)都比较复杂,对于其中很多项的处理是非常复杂的。

另外,实际模式中还会有一些特殊的处理过程,如平滑过程、插值近似等,而这些过程是无法在模式的控制方程(组)中显示出来的。

这样,利用推导共轭方程(组)的方法就不能很好的对应向前积分的原模式。

共轭模式的运算过程实质上就是在追溯正向模式的扰动变化情况[28]。

共轭码技术直接从正向积分的离散模式入手,无须去推导共轭方程(组),直接写出相应的共轭模式。

共轭码技术不但避免了复杂的理论推导,而且还能够很好的和原模式保持一致。

本文以浅水潮波模式为例,详细讨论了共轭码技术的使用方法,并导出相应的共轭浅水潮波模式。

利用共轭浅水潮波模式进行初始场调整的同化试验取得了较好的结果,同时也显示了共轭码技术用于变分同化
Ξ收稿日期:2003209203
资助项目:国家重点基础研究发展规划项目———渤黄东海环流及其变异预测数值模式和海洋大气灾害应用(G1999043809)
作者简介:尹训强(19782),男,山东夏津人,硕士,主要从事物理海洋学研究。

(责任编辑　武建平)
的诸多优点。

1　共轭浅水潮波模式的建立
1.1　浅水潮波模式简介
浅水模式采用笛卡尔坐标系下的垂直平均二维海水运动方程组:
5ζ5t+5(Hu)
5x+
5(Hv)
5y=0
5u
5t+u 5u
5x+v
5u
5y-f v+
γu u2+v2
H
-A
52u
5x2+
52u
5y2+g
5ζ
5x= X
5v
5t+u 5v
5x+v
5v
5y+f u+
γv u2+v2
H
-A
52v
5x2+
52v
5y2+g
5ζ
5x= Y
(1)
式中,u和v分别为x方向和y方向的垂直平均速度分量;ζ为水位;f为科氏参数;g为重力加速度; X和 Y分别为风应力、压强梯度力或引潮力在x和y方向的分量;H=h+ζ,h为静态水深;γ为底摩擦系数;A 为水平涡动粘性系数。

1.1.1　边界条件
海区的边界条件分2类,一类是海岸边界条件,即闭边界。

为使问题简化,这里取作固定不动的岸界,在闭边界上法向流速为零,即 n・ u=0, n为闭边界法向。

另一类是开边界,即与其它海区沟通的水界,在这里输入潮波振荡:
ζ=∑N
i=1
f i H i cos[σi t+(V oi+V i)-G i](2)
式中,N为分潮数;f i、σi和(V oi+V i)分别为第i个分潮的交点因子、角频率和初位相;H i和G i分别为第i 个分潮的振幅和迟角调和常数,或者在开边界上输入法向流速。

1.1.2　差分格式
在本文的试验中差分格式采用ADI(Alternating Direction Implicit)方法。

在(x,y)平面上,网格设置采用Arakawa C网格,u,v和ζ交错分布,即u点和ζ点在x方向相间排列,v点和ζ点在y方向相间排列。

2个相同类型的点在x方向的间距为Δx,在y方向的间距为Δy。

在t方向上每隔Δt/2布设所有的ζ,u和v,每个时间步分为2个半步。

第一个半步对ζ和u采用隐式计算,对v采用显式计算;第二个半步对ζ和v 采用隐式计算,对u采用显式计算。

这种格式的优点是时间步长Δt基本上不受CFL条件的限制,能使模式较快地达到稳定,节省计算机时。

1.2　利用共轭码技术建立共轭浅水潮波模式
首先,将离散化的浅水模式在Hilbert空间中用数学符号表示为:
F∶X
Y(3)
定义目标泛函为:
J(X)=1
2<Y-D,W
(Y-D)>(4)
离散化切线性模式表示为:
L∶δX
δY(5)
离散化共轭模式表示为:
L3∶δ3Y
δ3X(6)
414海　洋　科　学　进　展 21卷
式中,向量X 为控制变量,可以是待优化的初始场或参数向量;Y 为模式变量;矩阵D 为与Y 相对应时刻的观测数据;W 为权重矩阵;δX 和δY 为相应的变分量;δ3X 和δ3Y 为相应的共轭变量;F 为非线性算子;L 为原模式中算子F 的切线性算子;L 3为切线性模式中算子L 的切线性算子。

切线性模式可以通过原模式直接得到,其算子为线性算子,是通过原模式算子的微分得到的算子。

因此,可将离散化的切线性模式写为矩阵形式:
δY =A (X )δX
(7) 引入共轭算子A 3(X ),使满足下面关系式:
<δ3Y ,A (X )δX >=<A 3(X )δ3Y ,δX >(8)
因此,离散化的共轭模式可以用矩阵形式表示为:δ3X =A 3(X )δ3Y
(9)通过内积的性质,利用切线性模式和共轭模式,推导可以得到J 的变分为:
δJ =12<δY ,W (Y -D )>+12
<Y -D ,W δY >=12<δY ,W (Y -D )>+12
<W (Y -D ),δY >=<W (Y -D ),δY >=<W (Y -D ),A (X )δX >
=<A 3(X )W (Y -D ),δX >
(10)根据梯度定义有:
J (X 0)=A 3(X )W (Y -D )(11)
直接写出A 3(X )的具体形式比较麻烦,而且实际上只要能写出A 3(X )的程序代码就能计算出目标泛函的梯度。

由于A (X )和A 3(X )都是线性算子,可以在数值模式中按变量变化过程将其分解。

把原模式分解为K 步,对应的变量值分别记为:
Z l (l =0,1,2,…,K )(12)
其中,当l =0时表示初始值;l =K 时表示原模式最后时刻的计算结果。

相应地将A (X )分解为:A (X )=A K (Z K-1)A κ-1(Z K-2)…A 1(Z 0)(13)
相应有:δZ l =A l (Z l -1)δZ l -1
(14) 设v 和w 为Hilbert 空间中的任意向量,由内积性质和共轭算子的性质有:
<v ,A (X )w >=<v ,A K (Z κ-1)A κ-1(Z κ-2)…A 1(Z 0)w >
=<A 3κ(Z κ-1)v ,A κ-1(Z κ-2)A κ-2(Z κ-3)…A 1(Z 0)w >
…
=<A 31(Z 0)A 32(Z 1)…A 3K (Z κ-1)v ,w >
(15)由此可将共轭算子相应地分解为:A 3(X )=A 31(Z 0)A 32(Z 1)…A 3K (Z K-1)(16)
递推关系式为:δ3Z l -1=A 3l (Z l -1)δ3Z l
(17)其中A 3l (Z l -1)为A (Z l -1)的共轭算子,代入式(16)得到:
X J (X )=A 31(Z 0)A 32(Z 1)…A 3K (Z
κ-1)W (Y -D )(18)对于切线性算子A (X )的分解可以分解到对应程序的每个程序块,甚至是每条可执行语句。

只要分解得足够细就可以方便地写出其相应的共轭语句,从而得到共轭模式。

5144期 尹训强,等:浅水潮波模式变分同化共轭码技术研究
1.3　代码检验
在共轭码设计的过程中要注意以下2点:第一,要注意原模式变量在分解过程中的一致性。

这些变量需要重新计算或者是到输出文件中去读取相应数据。

第二,对于每一条语句的处理都要经过严格检验。

少数几条语句处理出错,往往会导致最终计算出的梯度毫无意义。

因此,在编码过程中为保证编码过程的正确性,需要对生成的代码进行检验[25～27]。

在本文的试验中检验过程分为2部分。

第一部分是切线性模式检验,保证切线性模式代码的正确性。

将原模式泰勒展开为:
F(X)=F(X0+aδX)
=F(X0)+5F
5X aδX+o(a2‖δX‖2)
=F(X0)+L aδX+o(a2‖δX‖2)
(19)从而可以得到切线性模式检验的判别式为:
φTLM(a)=‖F(X0+aδX)-F(X0)‖2
‖L aδX‖2
=1+o(a2)(20)
第二部分是梯度检验,一方面保证共轭码设计的正确性,另一方面保证进行优化时所用的确实是目标泛函关于控制变量的梯度。

将目标泛函泰勒展开为:
J(X)=J(X0+aδX)
=J(X0)+< X J(X0),aδX>+o(α2δX2)
(21)据此可以得出梯度检验的判别式为:
φ
grad (a)=
J(X0+aδX)-J(X0)
< X J(X0),aδΧ>
=1+o(a)(22)
式中,a为任意小量;δX可为任意方向,切线性模式检验中一般简单情况取各分量均为单位1的向量,梯度
检验中取为负梯度方向δΧ=-
X J(X0)
‖ X J(X0)‖;L为算子F的切线性算子。

随着a的减小,判别式逐渐趋近
于1,而且当a很小时受到计算机截断误差的限制。

因此进行检验时,并不要求判别式的值严格趋于1,只要a在一定范围内判别式的值非常接近1就能说明其正确性。

检验结果见表1和表2,其数据表明切线性模式和共轭模式的代码设计是正确的,利用共轭模式计算的梯度可以用来对控制变量进行优化。

表1　切线性模式检验结果
Table1　Examination results of tangent linear model
aφT LM(-a)φT LM(a)
1.000000014901160 1.051411524769140.950074754288858
0.100000002980232 1.005074617027960.994956113082896
1.000000044703484×10-2 1.000461848699890.999533758345624
1.000000059604646×10-30.999648204063734 1.00049653943770
1.000000074505808×10-40.996109925674074 1.00369669176771
1.000000089406971×10-50.939533384163196 1.04233445756490
1.000000104308133×10-60.151124415206471 1.59239711306489
1.000000119209296×10-6-4.098782551795802×10-20.418979084219619
614海　洋　科　学　进　展 21卷
表2　梯度检验结果
Table 2　Examination results of gradient
a φgrad (-a )
φgrad (a )1.0000000149011643.4652071508674
-0.2532169222827260.100000002980232 1.34968172616659
0.7286758690740231.000000044703484×10-2 1.03215828381360
0.9708214825066071.000000059604646×10-3 1.00379415126067
0.9985140787240891.000000074505808×10-40.998860825969848
1.003138786271781.00000008940697×10-5 1.01429631127515
1.025136726809501.000000104308133×10-60.599998507388618
1.168476086997651.000000119209296×10-7-0.422252508741530
1.586901545152491.000000134110459×10-8
0.000000000000000×1000.914520720310458图1　变分同化过程流程图Fig.1　Block diagram of variational assimilation process 2　数值试验
在该试验中,利用浅水模式来模拟潮波运动,
对于边界条件只输入了水位的潮波振荡,控制方程
中表示风应力、压强梯度力或引潮力在x 和y 方向
的项( X 和 Y )都没有考虑,取为0。

利用冷启动
(初始条件为0)开始运行浅水模式,
浅水模式很快达到稳定。

把浅水模式稳定后的计算结果作为同
化试验的“真实”初始场。

在真实初始场的基础上
加上人为扰动得到初猜初始场,进行下面的同化试
验。

图1给出了同化试验流程图。

本文选取浅水模式在2个不同时刻的计算结
果作为“真实”初始场,分别加入人为扰动得到相应
的初猜初始场。

2个不同的试验分别记作EXE 2A 和EXE 2B 。

建立目标泛函所用的观测资料是利用
真实初始场计算到相应时刻的结果作为观测资料。

同化时段均为12min 。

优化算法采用有限存储量准牛顿下降算法[29]。

图2　水位真实初始场(EXE 2A )
Fig.2　The real initial field of water level (EXE 2A )
7
144期 尹训强,等:浅水潮波模式变分同化共轭码技术研究
图2～图4分别给出了试验EXE 2A 中水位的真实场、猜测初始场和同化后的初始场。

图5～图7分别给出了试验EXE 2A 中流速的真实场、猜测初始场、同化后的初始场。

图8～图10分别给出了试验EXE 2B 中流速的真实场、猜测初始场和同化后的初始场。

图11～图13分别给出了试验EXE 2B 中流速的真实场、猜测初始场和同化后的初始场。

可以看出,同化后的初始场很接近于真实场。

真实初始场和优化后的初始场之间的误差非常小,2个同化实验均取得了较好的效果。

图3　初猜的水位初始场(EXE 2A )
Fig.3　The guessed initial field of water level (EXE 2A
)
图4　同化后的水位场(EXE 2A )
Fig.4　The assimilated water level field (EXE 2A )
814海　洋　科　学　进　展 21卷
图5　流速真实初始场(EXE 2A )
Fig.5　The real initial field of current
velocity (EXE 2A )图6
　初猜的流速初始场(EXE 2A )Fig.6　The guessed initial field of current velocity (EXE 2A )
图7　同化后的流速初始场(EXE 2A )Fig.7　The initial field of assimilated current velocity (EXE 2A )
图14a ～图14d 分别给出了试验EXE 2A 和
EXE 2B 在同化过程中的梯度模和目标泛函的变化
曲线,图中下面两条曲线为目标泛函,上面两条曲
线为梯度模。

目标泛函在迭代过程中很快下降,在
100步左右便已经下降了6～8个量级,同时目标
泛函的梯度也下降了5～6个量级,这说明利用共
轭浅水模式计算出的梯度可以使得目标泛函下降
到极小值,同时也说明了该模式具有较强的同化
能力。

图8　水位真实初始场(EXE 2B )
Fig.8　The real initial field of water level (EXE 2B )
9
144期 尹训强,等:浅水潮波模式变分同化共轭码技术研究
图9　初猜的水位初始场(EXE2B)
Fig.9　The guessed initial field of water level(EXE2B)
图10　同化后的水位场(EXE2B)
Fig.10The assimilated water level field
图11　流速真实初始场(EXE2B)
Fig.11　The real initial field of current velocity
(EXE2B)
图12　初猜的流速初始场(EXE2B)
Fig.12　The guessed initial field of current velocity
(EXE2B)
024海　洋　科　学　进　展 21卷
图13　
同化后的流速初始场(EXE 2B )Fig.13　The initial field of assimilated current velocity (EXE 2B )
3　结论和讨论
本文详细讨论了共轭码技术的理论基础及其应用设计,建立了浅水潮波系统共轭模式,并进行
了代码检验。

2个简单的理想试验取得了较好的同化效果,得到以下几个结论:
(1)共轭码技术为变分同化提供了一种处理
过程简洁、便于实现和甚至可以达到自动化的实用
方法。

图14　迭代过程中的目标泛函和梯度模的变化
Fig.14　The variations of cost function and gradient norm in the iteration process
(2)共轭码技术虽然简单,易于操作,但是每一步都需要进行严格的检验。

否则,一步出错将会导致所计算出的梯度毫无意义。

(3)2个理想试验表明,利用共轭码技术设计出的共轭浅水模式具有较强的同化能力,对于提高实际计算的准确性具有很大的潜力,该共轭模式为下一步的边值优化、地形反演等研究奠定了基础。

利用共轭码技术设计共轭模式需要花很多时间来检验代码,如何利用共轭码技术快速有效地设计共轭模式,还需要进一步尝试各种检验方法。

我们将应用该技术建立三维海流数值模式的变分同化模式,提高后报及预报的精度。

1244期 尹训强,等:浅水潮波模式变分同化共轭码技术研究
224海　洋　科　学　进　展 21卷参考文献(Reference s):
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Study on V ariational Data Assimilation Adjoint Code T echnique
for Shallow W ater Tide W ave Model
YIN Xun 2qiang 1,2,YAN G Y ong 2zeng 1,2,Q IAO Fang 2li 1,2
(1.First Institute of Oceanography ,S OA ,Qingdao 266061,China ;
2.Key L ab of M arine Science and N umerical Modeling ,S OA ,Qingdao 266061,China )
Abstract :Taking the shallow water tide wave model as an example ,the usage of adjoint code technique and its code check are discussed in detail ,and the adjoint model of marine shallow water model is established.The shal 2low water tide wave model and its adjoint model are used to make the optimization test for the initial fields of current velocity and water level.It is shown from the test results that the optimization of initial field plays an important role in the numerical simulation of tidal wave system ,and the adjoint code technique can be used to ef 2fectively design the adjoint model to make different assimilation tests and studies.
K ey w ords :42D variational data assimilation ;adjoint code technique ;shallow water tide wave model ;adjoint model.
R eceived :September 3,20033
244期 尹训强,等:
浅水潮波模式变分同化共轭码技术研究。