人教版数学九上九年级上册第21章一元二次方程单元试题及答案

人教版数学九上九年级上册第21章一元二次方程单元试题及答案
一、单选题
1、下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ） A. ax 2+bx+c ＝0(a ，b ，c 为常数) B. x 2-x-2＝0 C.
211
x x
+-2＝0
D. x 2+2x ＝x 2-1
2、一元二次方程x 2-2x ＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1，2，-1 B. 1，-2，1
C. -1，-2，1
D. 1，-2，-1
3、如果关于x 的一元二次方程(m-3)x 2+3x+m 2-9＝0有一个解是0，那么m 的值是（ ）
A. 3
B. -3
C. ±3
D. 0或-3
4、关于x 的方程a(x+m)2+b ＝0的解是x 1＝-2，x 2＝1(a 、m 、b 均为常数，a≠0)，则方程a(x+m+1)2
+b
＝0的解是（ ） A. x 1＝-3，x 2＝0 B. x 1＝0，x 2＝3
C. x 1＝-4，x 2＝-1
D. x 1＝1，x 2＝4
5、一元二次方程y 2-4y-3＝0配方后可化为（ ） A. (y-2)2＝7 B. (y+2)2＝7
C. (y-2)2＝3
D. (y+2)2＝3
6、一元二次方程x 2+x-1＝0的根是（ ）
A. x ＝1-
B. x ＝
C. x ＝-1+
D. x ＝
7、方程x 2＝4x 的根是（ ） A. x ＝4 B. x ＝0
C. x 1＝0，x 2＝4
D. x 1＝0，x 2＝-4
8、已知实数x 满足()()2
224120x x x x ----=，则代数式21x x -+的值是（ ）
A. 7
B. -1
C. 7或-1
D. -5或3
9、已知x、y都是实数，且(x2+y2)(x2+y2+2)-3＝0，那么x2+y2的值是（）
A. -3
B. 1
C. -3或1
D. -1或3
10、一元二次方程x2+ax+a-1＝0的根的情况是（）
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 有实数根
D. 没有实数根
11、已知关于x的方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）
A. k＞4
3
且k≠2 B. k≥
4
3
且k≠2
C. k＞3
4
D. k≥
3
4
12、已知一元二次方程x2-4x-5＝0的两根x1、x2，则x12-4x1+x1x2＝（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. -1
13、已知多项式x2+2y2-4x+4y+10，其中x，y为任意实数，那么当x，y分别取何值时，多项式的值达到最小值，最小值为（）
A. 2
B.
C. 4
D. 10
14、某厂今年3月的产值为40万元，5月上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少？若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程是（）
A. 40(1+x)＝72
B. 40(1+x)+40(1+x)2＝72
C. 40(1+x)×2＝72
D. 40(1+x)2＝72
15、一个长80cm，宽70cm的矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形后，剩余部分刚好围成一个底面积为3000cm2的无盖长方体盒子，求小正方形边长xcm时，可根据下列方程（）
A. (80-x)(70-x)＝3000
B. (80-2x)(70-2x)＝3000
C. 80×70-4x2＝3000
D. 80×70-4x2-(80+70)x＝3000
16、微信红包是沟通人们之间感情的一种方式，已知小明在2016年“元旦节”收到微信红包为300元，2018年为675元，若这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（）
A. 300(1+2x)＝675
B. 300(1+x2)＝675
C. 300(1+x)2＝675
D. 300+x2＝675
二、填空题
17、已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=______．
18、已知m、n是方程x2+2x﹣2019=0的两个根，则代数式m2+3m+n的值为______．
19、三角形的一边是10，另两边是一元二次方程的x2-14x＋48=0的两个根，
则这个三角形是______三角形.
20、一件工艺品进价100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得的利润为3596，每件工艺品需降价______元．
21、若方程x2-4|x|+5＝m有4个互不相等的实数根，则m应满足______．
三、解答题
22、我们知道：x2-6x＝(x2-6x+9)-9＝(x-3)2-9；-x2+10＝-(x2-10x+25)+25＝-(x-5)2+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
(1)按上面材料提示的方法填空：a2-4a＝_____＝_____．-a2+12a＝_____＝_____．
(2)探究：当a取不同的实数时在得到的代数式a2-4a的值中是否存在最小值？请说明理由．
(3)应用：如图．已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．
23、因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．
(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；
(2)为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？
24、阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2=_____，x3=_____；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点
C. 求AP的长．
25、已知关于x的一元二次方程x2+mx+m-2＝0．
(1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)设x2+mx+m-2＝0的两个实数根为x1，x2，若y＝x12+x22+4x1x2，求出y与m的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，若-1≤m≤2时，求y的取值范围．
答案：
1、答案：B
分析：根据一元二次方程的定义逐一进行分析即可求得答案.
解答：A.若a＝0，则该方程不是一元二次方程，故A选项错误，B.符合一元二次方程的定义，故B选项正确， C.属于分式方程，不符合一元二次方程的定义，故C选项错误， D.
整理后方程为：2x+1＝0，不符合一元二次方程的定义，故D选项错误，
选B.
2、答案：D
分析：根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项可得答案．
解答：一元二次方程整理成一般形式为：x2-2x-1=0，二次项系数、一次项系数、常数项分别是1、-2、-1．
选D.
3、答案：B
分析：将x=0代入关于x的一元二次方程(m-3)x2+3x+m2-9＝0，列出关于m的方程，再根据二次项系数m-3≠0，继而求得m的值即可．
解答：把x＝0代入方程(m-3)x2+3x+m2-9＝0中，得
m2-9＝0，
解得m＝-3或3，
当m＝3时，原方程二次项系数m-3＝0，舍去，
选B.
4、答案：A
分析：把后面一个方程中的x+1看作整体，相当于前面一个方程中的x进行求解即可．
解答：∵关于x的方程a(x+m)2+b＝0的解是x1＝-2，x2＝1(a，m，b均为常数，a≠0)，
∴方程a(x+m+1)2+b＝0变形为a[(x+1)+m]2+b=0，即此方程中x+1=-2或x+1=1，
所以x1＝-3，x2＝0，
选A.
5、答案：A
分析：先表示得到，再把方程两边加上4 ，然后把方程左边配成完全平方形式即可．
解答：解：，
，
．
选A.
6、D
分析：先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况．
解答：解：△，
方程有两个不相等的两个实数根，
即．
选D.
7、答案：C
分析：根据一元二次方程的解法进行求解即可.
解答：x²＝4x
∴x²-4x=0
x(x-4)=0,
解得x1=0,x2=4。

故答案选C.
8、答案：A
分析：将x2-x看作一个整体，然后利用因式分解法解方程求出x2-x的值，再整体代入进行求解即可.
解答：∵(x2-x)2-4(x2-x)-12＝0，
∴(x2-x+2)(x2-x-6)＝0，
∴x2-x+2＝0或x2-x-6＝0，
∴x2-x＝-2或x2-x＝6；
当x2-x＝-2时，x2-x+2＝0，
∵b2-4ac＝1-4×1×2＝-7＜0，
∴此方程无实数解；
当x2-x＝6时，x2-x+1＝7，
选A.
9、答案：B
分析：本题考查了代数式求值。

解答：∵（x2＋y2）(x2＋y2＋2)－3=0，
∴（x2＋y2）2+2(x2＋y2)－3=0，
解得：x2＋y2=-3或x2＋y2=1
∵x2＋y2>0
∴x2＋y2=1
选B.
10、答案：C
分析：先求出其判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
解答：∵△＝a2-4×1×(a-1)＝a2-4a+4＝(a-2)2≥0，
∴一元二次方程x2+ax+a-1＝0有实数根，
选C.
11、答案：D
分析：分类讨论：当k-2=0，解k=2，原方程为一元一次方程，有一个实数根；当k-2≠0，即k≠2，当△=(2k+1)2-4(k-2)2≥0方程有实数根，然后综合两种情况得到k的取值范围．
解答：当k-2＝0，即k＝2时，原方程为5x+1＝0，
解得：x＝-1
5
，
∴k＝2符合题意；
当k-2≠0，即k≠2时，△＝(2k+1)2-4×1×(k-2)2＝20k-15≥0，
解得：k≥3
4
且k≠2，
综上所述：k≥3
4
，
选D.
12、答案：A
分析：根据根与系数的关系得到x1x2＝-5，根据方程根的定义可得x12-4x1＝5，然后利用整体代入的方法计算即可．
解答：∵x1，x2是一元二次方程x2-4x-5＝0的根，
∴x12-4x1＝5，x1x2＝-5，
∴x12-4x1+x1x2＝5-5＝0，
选A.
13、答案：C
分析：此题主要考查了完全平方公式的因式分解，解题关键是先对式子拆分后分组分解因式，构成完全平方公式，然后再根据非负数的性质可求最小值.
解答：根据完全平方公式进行因式分解为：x2+2y2-4x+4y+10=
x2-4x+4+2y2+4y+2+4= x2-4x+4+2（y2+2y+1）+4=（x-2）2+2（y+1）2+4；然后根据非负数的性质可知（x-2）2+2（y+1）2+4≥4，因此最小值为4.
选C.
14、答案：D
分析：可先表示出4月份的产值，那么4月份的产量×（1+增长率）=5月份的产值，把相应数值代入即可．
解答：4月份的产量为40×（1+x），5月份的产量在4月份产量的基础上增长x，为40×（1+x）×（1+x），则列出的方程是40（1+x）2=72．
选D.
15、答案：B
分析：根据题意可知裁剪后的底面的长为(80-2x)cm，宽为(70-2x)cm，根据底面积为3000cm2，即可得到相应的方程.
解答：由题意可得，
(80-2x)(70-2x)＝3000，
选B.
16、答案：C
分析：根据题意得2017年收到的微信红包为300(1+x)元，2018年收到的微信红包为
300(1+x)(1+x)元，进而可列出方程.
解答：这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x，由题意得：
300(1+x)2＝675，
选C.
二、填空题
17、答案：-1
分析：本题考查了一元二次方程的定义。

解答：∵方程(m−1)x|m|+1−3x+1=0是关于x的一元二次方程，
∴|m|=1，m−1≠0，
解得：m=−1.
故答案为：−1.
18、答案：2017
分析：本题考查了根与系数的关系．
解答：∵m，n是方程x2+2x﹣2019=0的两个根，
∴m2+2m=2019，m+n=﹣2，
∴m2+3m+n
=m2+2m+（m+n）
=2019﹣2
=2017．
19、答案：直角
分析：本题考查了一元二次方程的根。

解答：设三角形的另外两边分别为a、b，∵另两边是一元二次方程的x2﹣14x+48=0的两个根，
∴解方程得到a=6，b=8，∵62+82=102，∴此三角形是直角三角形．
20、答案：6
分析：设每件工艺品需降价的钱数为x元，那么就多卖出4x件，根据每天获得利润为3596元=每件的利润×件数，列方程进行求解即可得.
解答：设每件工艺品需降价的钱数为x元，由题意得
（135-100-x）(100+4x)=3596，
x2-10x+24=0，
x=4或x=6，
因为要使顾客尽量得到优惠，
所以x=4（舍去），所以x=6，
故答案为：6.
21、答案：1＜m＜5
分析：方程含有绝对值，先化简原方程为两个方程，再利用一元二次方程有两个不等实数根时，根的判别式△＞0，建立关于m的不等式，结合根与系数的关系，即可求得m的取值范围．
解答：设y＝|x|，则原方程为：y2-4y+5＝m，
∵方程x2-4|x|+5＝m有4个互不相等的实数根，
∴方程y2-4y+5＝m有2个互不相等的正实数根，
设y1与y2是方程y2-4y+5＝m的两个根，
∴△＝b2-4ac＝16-4(5-m)＝4m-4＞0，y1•y2＝5-m＞0，
∴m＞1且m＜5，
故答案为：1＜m＜5．
三、解答题
22、答案：（1），；（2）当时，代数式存在最小值为；（3）时，最大值为
分析：（1）原式配方即可得到结果；
（2）利用非负数的性质确定出结果即可；
（3）根据题意列出S与x的关系式，配方后利用非负数的性质即可得到结果．
解答：（1）根据题意得：a2-4a=a2-4a+4-4=（a-2）2-4；-a2+12a=-（a2-12a+36）+36=-（a-6）2+36；故答案为：a2-4a+4-4；（a-2）2-4；-（a2-12a+36）+36；-（a-6）2+36；
（2）∵a2-4a=a2-4a+4-4=（a-2）2-4≥-4，-a2+12a=-（a2-12a+36）+36=-（a-6）2+36≤36，
∴当a=2时，代数式a2-4a存在最小值为-4；
（3）根据题意得：S=x（6-x）=-x2+6x=-（x-3）2+9≤9，
则x=3时，S最大值为9．
23、答案：(1)年平均增长率为20%；(2)每碗售价定为20元时，每天利润为6300元.
分析：（1）根据题意设平均增长率为未知数x，再根据题意建立方程式求解.（2）根据题意设每碗售价为未知数y，再根据题意建立方程式求解.
解答：(1)设平均增长率为，则
解得：(舍)·
答：年平均增长率为20%
(2)设每碗售价定为元时，每天利润为6300元
[300+30(25-y)]=6300·
解得：·
∵每碗售价不超过20元，所以.
24、答案：(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.
分析：（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，
解答：解：（1），
，
所以或或
，，；
故答案为：，1；
（2），
方程的两边平方，得
即
或
，，
当时，，所以不是原方程的解．
所以方程的解是；（3）因为四边形是矩形，
所以，
设，则
因为，
，
两边平方，得
整理，得
两边平方并整理，得
即
所以．
经检验，是方程的解．
答：的长为．
25、答案：(1)证明见解答；(2)y＝m2+2m-4；(3)-5≤y≤4．
分析：(1)证明一元二次方程的根的判别式△＞0即可；
(2)根据根与系数的关系得到x1+x2＝-m，x1x2＝m-2，然后利用整体代入即可求得函数关系式；
(3)先求出(2)中抛物线的顶点，然后结合二次函数的性质即可求得答案.
解答：(1)∵△＝m2-4(m-2)＝(m-2)2+4＞0，
∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)∵x2+mx+m-2＝0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝-m，x1x2＝m-2，
∴y＝x12+x22+4x1x2＝(x1+x2)2+2x1x2＝(-m)2+2(m-2)＝m2+2m-4；
(3)∵y＝m2+2m-4＝(m+1)2-5，
∴顶点(-1，-5)，
又∵-1≤m≤2，∴当x＝-1时，y最小值＝-5，
当x＝2时，y最大值＝4，
∴-5≤y≤4．
人教新版九年级数学上第21章一元二次方程单元练习试题含答案
一．选择题（共10小题）
1．下列哪个方程是一元二次方程（）
A．2x+y＝1 B．x2+1＝2xy C．x2+＝3 D．x2＝2x﹣3
2．一元二次方程3x2﹣3x＝x+2化为一般形式ax2+bx+c＝0后，a、b、c的值分别是（）A．3、﹣4、﹣2 B．3、﹣3、2 C．3、﹣2、2 D．3、﹣4、2
3．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1＝0的一根为0，则m的值是（）A．±1 B．±2 C．﹣1 D．﹣2
4．一元二次方程（x﹣2018）2+2017＝0的根的情况是（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．无实数根
5．若把方程x2﹣6x﹣4＝0的左边配成完全平方的形式，则正确的变形是（）A．（x﹣3）2＝5 B．（x﹣3）2＝13 C．（x﹣3）2＝9 D．（x+3）2＝5 6．若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2﹣10x+21＝0的一根，则这个三角形的周长为（）
A．7 B．3或7 C．15 D．11或15
7．一元二次方程mx2+mx﹣＝0有两个相等实数根，则m的值为（）A．0 B．0或﹣2 C．﹣2 D．2
8．用22cm的铁丝围成一个面积为30cm2的矩形，则这个矩形的两边长是（）A．5cm和6cm B．6cm和7cm C．4cm和7cm D．4cm和5cm
9．已知A＝a2﹣a+4，B＝3a﹣1，则A、B的大小关系为（）
A．A＞B B．A＝B C．A＜B D．不能确定
10．已知某公司一月份的收益为10万元，后引进先进设备，收益连续增长，到三月份统计共收益50万元，求二月、三月的平均增长率，设平均增长率为x，可得方程为（）A．10（1+x）2＝50 B．10（1+x）2＝40
C．10（1+x）+10（1+x）2＝50 D．10（1+x）+10（1+x）2＝40
二．填空题（共7小题）
11．已知（m﹣1）x2﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则实数m的取值范围是．12．给出一种运算：对于函数y＝x n，规定y′＝nx n﹣1．例如：若函数y＝x4，则有y′＝4x3．已
知函数y＝x3，则方程y′＝12的解是．
13．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣3x）放入其中，得到一个新数为5，则x＝．
14．股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是．
15．对任意的两实数a，b，用min（a，b）表示其中较小的数，如min（2，﹣4）＝﹣4，则方程x•min（2，2x﹣1）＝x+1的解是．
16．若实数a，b满足（a2+b2）（a2+b2﹣8）+16＝0，则a2+b2＝．
17．设α，β是方程x2﹣x﹣2019＝0的两个实数根，则α3﹣2021α﹣β的值为；三．解答题（共3小题）
18．（1）用配方法解方程：3x2﹣12x+9＝0．
（2）用公式法解方程：3x2﹣9x+4＝0．
19．求证：关于x的一元二次方程mx2+（3﹣2m）x+（m﹣3）＝0（m≠0）总有两个不相等的实数根．
20．某公司销售一种产品，进价为20元/件，售价为80元/件，公司为了促销，规定凡一次性购买10万件以上的产品，每多买1万件，每件产品的售价就减少2元，但售价最低不能低于40元/件，设一次性购买x万件（x＞10）
（1）若x＝15，则售价应是元/件；
（2）若以最低价购买此产品，求x的值；
（3）当x＞10时，求此产品的利润y（万元）与购买数量x（万件）的关系式；
（4）经营中公司发现售出19万件的利润反而比售出24万件的利润还多，在促销条件不变的情况下，为了使每次销售的越多总利润也越多，最低售价应调整到多少元/件？并说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；
B、不是一元二次方程，故此选项错误；
C、不是一元二次方程，故此选项错误；
D、是一元二次方程，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
2．解：一元二次方程3x2﹣3x＝x+2化为一般形式ax2+bx+c＝0后，
3x2﹣4x﹣2＝0，
则a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键．3．解：把x＝0代入方程得：0+0+m2﹣1＝0，
解得：m＝±1，
∵m﹣1≠0，
∴m＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查对一元二次方程的解，一元二次方程的定义等知识点的理解和掌握，能理解一元二次方程的解的含义是解此题的关键．
4．解：由原方程得到：（x﹣2018）2＝﹣2017．
∵（x﹣2018）2≥0，
﹣2017＜0，
∴该方程无解．
故选：D．
【点评】考查了直接开平方法解一元二次方程．形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
5．解：x2﹣6x﹣4＝0
x2﹣6x＝4
x2﹣6x+9＝13
（x﹣3）2＝13，
故选：B．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解答本题的关键是会用配方法解方程的方法．
6．解：x2﹣10x+21＝0，
（x﹣3）（x﹣7）＝0，
则x﹣3＝0，x﹣7＝0，
解得：x＝3或7，
当x＝3时，2+3＝5＜6，不能组成三角形，故x＝3不合题意舍去，
当x＝7时，2+6＝8＞7，可以组成三角形，
则三角形的周长为2+6+7＝15，
故选：C．
【点评】此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的边角关系，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化两个一次方程来求解．
7．解：∵一元二次方程mx2+mx﹣＝0有两个相等实数根，
∴△＝m2﹣4m×（﹣）＝m2+2m＝0，
解得：m＝0或m＝﹣2，
经检验m＝0不合题意，
则m＝﹣2．
故选：C．
【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；
根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
8．解：设这个矩形的长为xcm，
根据题意x（﹣x）＝30，整理得x2﹣11x+30＝0，
解这个方程，得x1＝5，x2＝6，由x1＝5得﹣x＝6（与题设不符，舍去）．
由x2＝6得﹣x＝5．
则这个矩形的长是6cm，宽是5cm．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用及矩形的面积公式，表示出矩形的长与宽得出等式方程是解题关键．
9．解：∵A＝a2﹣a+4，B＝3a﹣1，
∴A﹣B＝a2﹣a+4﹣3a+1＝a2﹣4a+4+1＝（a﹣2）2+1≥1＞0，
则A＞B，
故选：A．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．解：设平均增长率为x，则二月份的收益为10（1+x）万元，三月份的收益为10（1+x）2万元，
根据题意得：10+10（1+x）+10（1+x）2＝50，即10（1+x）+10（1+x）2＝40．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
11．解：由题意可知：m﹣1≠0，
∴m≠1，
故答案为：m≠1，
【点评】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
12．解：∵y＝x3，
∴y′＝3x2，
∵y′＝12，
∴3x2＝12，
解得，x＝±2，
故答案为：±2．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣直接开平方法、新定义，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用解方程的方法解答．
13．解：根据题意，得：x2+6x+3＝5，
即x2+6x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝6，c＝﹣2，
∴△＝36﹣4×1×（﹣2）＝44＞0，
则x＝＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
14．解：设这两天此股票股价的平均增长率为x，由题意得
（1﹣10%）（1+x）2＝1．
故答案为：（1﹣10%）（1+x）2＝1．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
15．解：①若2＜2x﹣1，即x＞1.5时，
x+1＝2x，
解得x＝1（舍）；
②若2x﹣1≤2，即x≤1.5时，
x（2x﹣1）＝x+1，
解得x＝或x＝，
故答案为：x＝或x＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是根据定义列出关于x的方程，并准确求解．
16．解：令a2+b2＝x，则原方程可化为：
x（x﹣8）+16＝0，
∴x2﹣8x+16＝0，
即（x﹣4）2＝0，
∴x﹣4＝0，
解得x＝4，
即a2+b2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化，变得容易处理．
17．解：根据题意得：α+β＝1，
α3﹣2021α﹣β
＝α（α2﹣2020）﹣（α+β）
＝α（α2﹣2020）﹣1，
∵α2﹣α﹣2019＝0，
∴α2﹣2020＝α﹣1，
把α2﹣2020＝α﹣1代入原式得：
原式＝α（α﹣1）﹣1
＝α2﹣α﹣1
＝2019﹣1
＝2018．
【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
18．解：（1）两边同除以3，得x2﹣4x+3＝0，
移项，得x2﹣4x＝﹣3，
配方，得x2﹣4x+4＝﹣3+4，
（x﹣2）2＝1，
x﹣2＝±1，
x1＝3，x2＝1；
（2）∵a＝3，b＝﹣9，c＝4，
∴△＝b2﹣4a c＝（﹣9）2﹣4×3×4＝33＞0，
∴方程有两个不相等的实数根为x＝，
x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记解一元二次方程的各个方法是解此题的关键．
19．证明：
∵mx2+（3﹣2m）x+（m﹣3）＝0（m≠0），
∴△＝（3﹣2m）2﹣4m（m﹣3）＝9﹣12m+4m2﹣4m2+12m＝9＞0，
∴该方程总有两个不相等的实数根．
【点评】本题主要考查根的判别式，计算出判别式并判断其符号是解题的关键．20．解：（1）由题意知，一次性购买x万件时，售价为80﹣2（x﹣10）＝100﹣2x（元/件），当x＝15时，100﹣2x＝70（元/件），
故答案为：70；
（2）由题意知100﹣2x＝40，
解得：x＝30；
（3）根据题意知，y＝（100﹣2x﹣20）x＝﹣2x2+80x（10＜x＜30）；
（4）为了使每次销售的越多总利润也越多，最低售价应调整到60元/件，∵y＝﹣2x2+80x
＝﹣2（x﹣20）2+800，
∴当x≤20时，y随x的增大而增大，
当x＝20时，最低售价为60元/件．
【点评】本题主要考查一元一次方程、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程和函数解析式．
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元检测题（有答案）(2)
一、选择题：
1.下列关于x 的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A.x 3
-3x+2=0 B.ax 2
+bx+c=0 C.(k 2
+1)x 2
-x-1=0 D.x 2
+
x
1
=-2 2.若x=a 是方程2x 2
-x+3=0的一个解，则4a 2
-2a 的值为（ ） A.6 B.-6 C.3 D.-3
3.用直接开平方法解一元二次方程（x-3)2
=4时，可先把方程转化为（ ） A.x-3=2 B.x-3=-2 C.x-3=4或x-3=-4 D.x-3=2或x-3=-2
4.用配方法解方程x 2
-3x=5时，应配方的项是（ ） A.
23 B.-23 C.49 D.-4
9 5.一元二次方程2x 2
=3x+5的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
6.若a,b 是一元二次方程x 2-2x-1=0的两根，则a 2+b 2
的值为（ ） A.-6 B.6 C.-2 D.2
7.若012=++-b a ，则以a,b 为根的一元二次方程是（ ）
A.x 2
+x+2=0 B.x 2
+x-2=0 C.x 2
-x+2=0 D.x 2
-x-2=0
8.若关于x 的方程x 2
+mx-1=0的两个实数根互为相反数，则m 的值为（ ） A.0 B.1 C.-1 D.±1
9.若方程x 2-4x+3m=0与x 2
-x-6m=0有一个根相同，则m 的值为（ ） A.0 B.3 C.0或3 D.0或1
10. 某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x ，那么可列出的方程是（ ）
A ．1000（1+x ）2
＝3990
B ．1000+1000（1+x ）+1000（1+x ）2
＝3990 C ．1000（1+2x ）＝3990
D ．1000+1000（1+x ）+1000（1+2x ）＝3990 二、填空题：
11.若方程（m-2)m
x -5x+4=0是关于x 的一元二次方程，则m=
12.已知关于x 的一元二次方程的一个根是-1，请写出符合条件的方程是
13.若∆ABC 的两边是一元二次方程x 2
-7x+10=0的两根，第三边是a ，则a 的取值范围是
14.下列方程：①x 2+1=0;②x 2+x=0;③x 2-x+1=0;④x 2
-x=0.其中无实数根的方程是 （只填序号）
15.已知关于x 的方程x 2
-x+2m=0有实数根，则m 的取值范围是
16.若a,b 是一元二次方程x 2+2x-5=0的两个实数根，则a 2
+ab+2a 的值为
17.若a 2-2a-5=0,b 2
-2b-5=0（a ≠b),则ab+a+b=
18.解一元二次方程x 2
-kx-12=0时，得到的两根均为整数，则k 的值可以是 （写出一个即可）
19.我们定义一种新运算“※”，其规则为a ※b=
b
a 1
1 .根据这一规则，方程x ※(x-1)=21的
解是
20.“大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”周瑜去世的年龄为 岁. 三、解答题：
21.小马虎在写作业时，一不小心，方程3x 2
█x-5=0的一次项x 前的系数被墨水盖住了，但通过查阅答案知道方程的解是x=5,请你帮助小马虎求出被墨水盖住的系数.
22.用配方法解方程：2x 2
-5x-3=0
23.已知关于x 的方程x 2
-(k+2)x+2k=0.
（1）求证：不论k 为何值，方程总有实数根；
（2）k 为何值时，方程有两个相等的实数根，并求出方程的根.
24.请选取一个你喜爱的m 的值，使关于x 的方程x 2
-4x+m=0有两个不相等的非零实数根x 1、x 2,
（1）你选取的m 的值是 ；（2）在（1）的条件下，求x 12-x 1x 2+x 22
的值
25.下面是小明解一元二次方程（x-5)2
=3(x-5)的过程： 解：方程两边都除以（x-5),得x-5=3, 解得x=8.
小明的解题过程是否正确，如果正确请说明理由；如果不正确，请写出正确的解题过程.
26.“合肥家乐福超市”在销售中发现：“家乐”牌饮水机平均每天可售出20台，每台盈利40元.为迎接“十一”国庆节，超市决定采取适当降价措施，扩大销售量.经市场调查发现：如果每台饮水机降价4元，那么平均每天就可以多卖8台，该超市在保证每台饮水机的利润不低于25元，又想平均每天销售这种饮水机盈利1200元，那么每台饮水机应降价多少元？
参考答案： 一、选择题：
1.解析：本题考查一元二次方程的概念，选项A 是三次方程；选项B 缺少了a ≠0的条件；选项D 不是整式方程；故只有选项C 符合条件，选C.
2.解析：把x=a 代入2x 2-x+3=0，得2a 2-a=-3,而4a 2-2a=2（2a 2
-a ）=2×（-3）=-6，故选B. 3.解析：根据平方根的概念，x-3=±2，故选D. 4.解析：根据完全平方公式，应配方的项是（
23）2=4
9。

故选C. 5.解析：先把方程化一般形式2x 2
-3x-5=0，由于Δ=9+40=49>0，方程有两个不相等的实数根，
故选A.
6.解析：由一元二次方程根与系数的关系，a+b=2,ab=-1,所以a 2+b 2=（a+b)2-2ab=22
-2×(-1)=6.故选B.
7.解析：由012=++-b a ，有a=2,b=-1,所以以a,b 为根的一元二次方程是x 2
-x-2=0，
故选D.
8.解析：由两个实数根互为相反数，结合一元二次方程根与系数的关系知-m=0,m=0,故选A.
9.解析：令方程相同的根为x=a,有⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-0
60
3422m a a m a a ，相减得-3a+9m=0,a=3m,代入任一方
程，9m 2
-12m+3m=0,解得m=0或m=1.故选D.
10.解析：根据题意得1000+1000（1+x ）+1000（1+x ）2
＝3990，故选B. 二、填空题：
11.解析：根据一元二次方程的概念有m =2，m=±2,但m-2≠0,故填m=-2. 12.解析：本题答案不唯一，如：x 2
+x=0等；
13.解析：先解一元二次方程x 2
-7x+10=0得两根为2和5，再根据三角形的三边关系有3<a<7.故填3<a<7.
14.解析：本题考查一元二次方程根的判别式与方程根的情况关系，方程①③无实数根。

故填①③.
15.解析：由于方程有实数根，所以Δ=（-1）2
-4×1×2m=1-8m ≥0,m 81≤
.故填m 8
1≤ 16.解析：由于a+b=-2,ab=-5,所以a 2
+ab+2a=a(a+b)+2a=-2a+2a=0,故填0.
17.解析：由a 2-2a-5=0,b 2-2b-5=0（a ≠b),知a,b 是方程x 2
-2x-5=0的两根，a+b=2,ab=-5,所以ab+a+b=-5+2=-3，故填-3.
18.解析：本题答案不唯一，如k=4等 19.解答：根据新运算的规定，方程x ※(x-1)=
21可化为2
1
111=-+x x ，解得x=
2175±. 20.解答：设个位上数为x,则十位上数为（x-3),根据题意有10（x-3)+x=x 2
,解得x=5或x=6,
这个两位数是25或36，由于周瑜是而立之年，所以周瑜的年龄是36岁，填36. 三、解答题：
21.解答：∵方程的解是x=5,∴3×52
+█×5-5=0，∴█=14. 故该方程被墨水盖住的一次项的系数是14. 22.解答：把二次项系数化为1，得x 2
-2
3
25-x =0, 移项，得x 2
-x 2
5
=23, 配方，得x 2-x 25+2)45(=23+2)45(，（x-45)2=1649,
直接开平方，得x-45=±47，∴x 1=3,x 2=-2
1
.
23.解答：（1）∵∆=[-（k+2)]2-4×1×2k=k 2+4k+4-8k=k 2-4k+4=(k-2)2
,
不论k 为何值，（k-2)2
总大于或等于0，即∆≥0，
∴不论k 为何值，方程x 2
-(k+2)x+2k=0总有实数根；
（2）由（1）得∆=(k-2)2,方程有两个相等的实数根，∆=0，即(k-2)2
=0，k=2,
此时方程是x 2
-4x+4=0,解得x 1=x 2=2. 24.解答：（1）本题答案不唯一，如m=-1;
25.（2）∵x 1+x 2=4，x 1x 2=-1，∴x 12-x 1x 2+x 22=（x 1+x 2）2-3x 1x 2=42
-3×（-1）=19.解答：小明的解题过程不正确.
正确的解答：移项，得（x-5)2
-3(x-5)=0， 提公因式（x-5),得（x-5)(x-5-3)=0, x-5=0或x-5-3=0， ∴x 1=5,x 2=8.
26.解答：设每台饮水机应降价x 元，根据题意，得(40-x)(20+
84
⨯x
)=1200, 整理为：x 2
-30x+200=0,解得x 1=10,x 2=20.
由于超市要保证每台饮水机的利润不低于25元，所以x=20不合题意应舍去，只取x=10. 答：每台饮水机应降价10元.。