数学选修2-2人教A课件：第1章 导数及其应用 1.3.3
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随着人类对宏观世界认识的不断扩大，对微观 世界认识的不断深入，大单位的值越来越大，小单 位的值越来越小，那么函数是否也有最大值与最小 值呢？下面我们谈谈——函数的最大值与最小值．
• 1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值
的条件
一条连续不断
• 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是 _________________的曲线，那么它必有最 大值和最小(值a，b．)
B．－e
C．e2
D．－130
[解析] (1)函数 f(x)＝x3－3x2－9x＋6 的导数为 f ′(x)＝3x2－6x－9， 令 f ′(x)＝0 得 x＝－1 或 x＝3， 由 f(－4)＝－70；f(－1)＝11； f(3)＝－21；f(4)＝－14； 所以函数 y＝x3－3x2－9x＋6 在区间[－4,4]上的最大值为 11. (2)因为 y＝xlnx，定义域是(0，＋∞)， 所以 y′＝1＋lnx，令 y′>0，解得：x>1e， 令 y′<0，解得：0<x<1e， 所以函数在(0，1e)上递减，在(1e，＋∞)上递增， 故 x＝1e时，函数取最小值是－1e.
极大值 24
极小值－8 －1
可知 M＝24，m＝－8，∴M－m＝32. 故答案为 32.
• 4．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－ 1]上的最大值(－4就，－是2) 函数f(x)的极大值，则m 的取值范围是_________________.
[解析] f′(x)＝m－2x，令 f′(x)＝0，得 x＝m2.
• 2．求函数y＝各极f(值x)在[a，b]上函数的值f(最a)，大f(b)值与最 小最大值的步骤 最小
• (1)求函数y＝f(x)在________内的极值．
• (2)将函数y＝f(x)的________与端点处的
• 1．若函数f(x)＝－x4＋2Bx2＋3，则f(x)( ) • A．最大值为4，最小值为－4 • B．最大值为4，无最小值 • C．最小值为－4，无最大值 • D．既无最大值，也无最小值 • [解析] f′(x)＝－4x3＋4x， • 由f′(x)＝0得x＝±1或x＝0. • 易知f(－1)＝f(1)＝4为极大值也是最大值，
故应选B．
2．(2019·鄂伦春自治旗二模)若函数 f(x)＝x＋ex2在(－2，a)上有最小值，则 a 的
取值范围为( A )
A．(－1，＋∞)
B．[－1，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．[0，＋∞)
[解析] f ′(x)＝exx＋x＋212， 令 f ′(x)＞0，解得：x＞－1， 令 f ′(x)＜0，解得：x＜－1， 故 f(x)在(－2，－1)递减，在(－1，＋∞)递增， 若 f(x)在(－2，a)有最小值， 则 a＞－1，故选 A．
• 特别警示：不要忽视将所求极值与区间端 点的函数值比较.
〔跟踪练习 1〕
(1)(2019·海口高二检测)函数 f(x)＝x3－3x2－9x＋6 在区间[－4,4]上的最大值为
(A) A．11
B．－70
C．－14
D．21
(2)(2019·白山高二检测)函数 y＝xlnx 的最小值为( A )
A．－e－1
• 3．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3] 上的最大32 值与最小值分别为M，m，则M－ [m解析＝] _令_f_′_(x_)＝_3_x2_－.12＝0，得 x＝－2 或 x＝2，
列表得：
x －3 (－3，－2) －2 (－2,2) 2 (2,3) 3
f′(x)
＋
0
－
0＋
f(x) 17
• [思路分析] (1)求f(x)的单调区间，可解不 等式f′(x)≥0，f′(x)≤0，由于f(x)表达式中含 参数，故需注意是否需要分类讨论；(2)f(x)
命题方向2 ⇨含参数的函数最值问题
• 典例 2 设函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋ m(a>0)．
• (1)求函数f(x)的单调区间；
• (2)若函数f(x)在x∈[－1,1]内没有极值点， 求a的取值范围；
• (3)若对任意的a∈[3,6]，不等式f(x)≤1在 x∈[－2，2]上恒成立，求m的取值范围．
②由①知 x∈[－ 3，3]时，f(x)的极大值为 f(－1)＝2，f(x)的极小值为 f(1)＝－2， 又 f(－ 3)＝0，f(3)＝18.
所以 f(x)的最大值为 18，f(x)的最小值为－2.
• 『规律总结』 求函数最值的四个步骤： 第一步求函数的定义域；第二步求f ′(x)， 解方程f ′(x)＝0；第三步列出关于x，f(x)，f ′(x)的变化表；第四步求极值、端点值，确 定最值．
新课标导 学
数学
选修2-2 ·人教 A版
第一章 导数及其应用
1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.3 函数的最大(小)值与导数 自主预习学案
2 互动探究
学
案
3 课时作业
学
案
自主预习学案
中国有句俗语“差之毫厘，谬以千里”，因此，很多人就以为“毫、厘”就是 长度单位的最小值，在天文学中常用的长度单位是光年(Light year)，是光(速度为 每秒 299792.458 公里)在一年(365 天)里走的距离， 因此，很多人就认为长度单位的最大值就是光年．
由题设得－2<m2<－1，故 m∈(－4，－2)．
互动探究学案
命题方向1 ⇨求函数的最值
典例 1 (1)(2019·临沂高二检测)y＝x3＋x2－x＋1 在区间[－2,1]上的最小 值为( C )
A．2227
B．2
C．－1
D．4
(2)(2019·安庆高二检测)已知函数 f(x)＝x3－3x，x∈R. ①求 f(x)的单调区间； ②当 x∈[－ 3，3]时，求 f(x)的最大值与最小值． [解析] (1)y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)，令 y′＝0 解得 x＝13或 x＝－1. 当 x＝－2 时，y＝－1；当 x＝－1 时，y＝2； 当 x＝13时，y＝2227；当 x＝1 时，y＝2，所以函数的最小值为－1，选 C． (2)①f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 当 x<－1 或 x>1 时，f ′(x)>0，当－1<x<1 时，f ′(x)<0. 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，递减区间为(－1,1)．
• 1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值
的条件
一条连续不断
• 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是 _________________的曲线，那么它必有最 大值和最小(值a，b．)
B．－e
C．e2
D．－130
[解析] (1)函数 f(x)＝x3－3x2－9x＋6 的导数为 f ′(x)＝3x2－6x－9， 令 f ′(x)＝0 得 x＝－1 或 x＝3， 由 f(－4)＝－70；f(－1)＝11； f(3)＝－21；f(4)＝－14； 所以函数 y＝x3－3x2－9x＋6 在区间[－4,4]上的最大值为 11. (2)因为 y＝xlnx，定义域是(0，＋∞)， 所以 y′＝1＋lnx，令 y′>0，解得：x>1e， 令 y′<0，解得：0<x<1e， 所以函数在(0，1e)上递减，在(1e，＋∞)上递增， 故 x＝1e时，函数取最小值是－1e.
极大值 24
极小值－8 －1
可知 M＝24，m＝－8，∴M－m＝32. 故答案为 32.
• 4．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－ 1]上的最大值(－4就，－是2) 函数f(x)的极大值，则m 的取值范围是_________________.
[解析] f′(x)＝m－2x，令 f′(x)＝0，得 x＝m2.
• 2．求函数y＝各极f(值x)在[a，b]上函数的值f(最a)，大f(b)值与最 小最大值的步骤 最小
• (1)求函数y＝f(x)在________内的极值．
• (2)将函数y＝f(x)的________与端点处的
• 1．若函数f(x)＝－x4＋2Bx2＋3，则f(x)( ) • A．最大值为4，最小值为－4 • B．最大值为4，无最小值 • C．最小值为－4，无最大值 • D．既无最大值，也无最小值 • [解析] f′(x)＝－4x3＋4x， • 由f′(x)＝0得x＝±1或x＝0. • 易知f(－1)＝f(1)＝4为极大值也是最大值，
故应选B．
2．(2019·鄂伦春自治旗二模)若函数 f(x)＝x＋ex2在(－2，a)上有最小值，则 a 的
取值范围为( A )
A．(－1，＋∞)
B．[－1，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．[0，＋∞)
[解析] f ′(x)＝exx＋x＋212， 令 f ′(x)＞0，解得：x＞－1， 令 f ′(x)＜0，解得：x＜－1， 故 f(x)在(－2，－1)递减，在(－1，＋∞)递增， 若 f(x)在(－2，a)有最小值， 则 a＞－1，故选 A．
• 特别警示：不要忽视将所求极值与区间端 点的函数值比较.
〔跟踪练习 1〕
(1)(2019·海口高二检测)函数 f(x)＝x3－3x2－9x＋6 在区间[－4,4]上的最大值为
(A) A．11
B．－70
C．－14
D．21
(2)(2019·白山高二检测)函数 y＝xlnx 的最小值为( A )
A．－e－1
• 3．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3] 上的最大32 值与最小值分别为M，m，则M－ [m解析＝] _令_f_′_(x_)＝_3_x2_－.12＝0，得 x＝－2 或 x＝2，
列表得：
x －3 (－3，－2) －2 (－2,2) 2 (2,3) 3
f′(x)
＋
0
－
0＋
f(x) 17
• [思路分析] (1)求f(x)的单调区间，可解不 等式f′(x)≥0，f′(x)≤0，由于f(x)表达式中含 参数，故需注意是否需要分类讨论；(2)f(x)
命题方向2 ⇨含参数的函数最值问题
• 典例 2 设函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋ m(a>0)．
• (1)求函数f(x)的单调区间；
• (2)若函数f(x)在x∈[－1,1]内没有极值点， 求a的取值范围；
• (3)若对任意的a∈[3,6]，不等式f(x)≤1在 x∈[－2，2]上恒成立，求m的取值范围．
②由①知 x∈[－ 3，3]时，f(x)的极大值为 f(－1)＝2，f(x)的极小值为 f(1)＝－2， 又 f(－ 3)＝0，f(3)＝18.
所以 f(x)的最大值为 18，f(x)的最小值为－2.
• 『规律总结』 求函数最值的四个步骤： 第一步求函数的定义域；第二步求f ′(x)， 解方程f ′(x)＝0；第三步列出关于x，f(x)，f ′(x)的变化表；第四步求极值、端点值，确 定最值．
新课标导 学
数学
选修2-2 ·人教 A版
第一章 导数及其应用
1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.3 函数的最大(小)值与导数 自主预习学案
2 互动探究
学
案
3 课时作业
学
案
自主预习学案
中国有句俗语“差之毫厘，谬以千里”，因此，很多人就以为“毫、厘”就是 长度单位的最小值，在天文学中常用的长度单位是光年(Light year)，是光(速度为 每秒 299792.458 公里)在一年(365 天)里走的距离， 因此，很多人就认为长度单位的最大值就是光年．
由题设得－2<m2<－1，故 m∈(－4，－2)．
互动探究学案
命题方向1 ⇨求函数的最值
典例 1 (1)(2019·临沂高二检测)y＝x3＋x2－x＋1 在区间[－2,1]上的最小 值为( C )
A．2227
B．2
C．－1
D．4
(2)(2019·安庆高二检测)已知函数 f(x)＝x3－3x，x∈R. ①求 f(x)的单调区间； ②当 x∈[－ 3，3]时，求 f(x)的最大值与最小值． [解析] (1)y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)，令 y′＝0 解得 x＝13或 x＝－1. 当 x＝－2 时，y＝－1；当 x＝－1 时，y＝2； 当 x＝13时，y＝2227；当 x＝1 时，y＝2，所以函数的最小值为－1，选 C． (2)①f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 当 x<－1 或 x>1 时，f ′(x)>0，当－1<x<1 时，f ′(x)<0. 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，递减区间为(－1,1)．