高中数学第1章习题课正弦定理与余弦定理配套课件苏教版必修

试一试·扫描要点、基础更牢固
3．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 1 sin C 15 2 cos B＝ ， ＝2，且 S△ABC＝ ，则 b＝________. 4 sin A 4
依题意得，c＝2a，b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋(2a)2－ 1 2×a×2a× ＝4a2， 4 15 2 所以 b＝c＝2a.sin B＝ 1－cos B＝ 4 ， 1 1 b 15 又 S△ABC＝2acsin B＝2×2×b× 4 ， 解析
(ha 表示 a 边上的高)；
1 (2)S＝ absin C＝ 2acsin B ＝ 2bcsin A ； 2 1 (3)S＝ r(a＋＋c)(r 为三角形内切圆半径)． 2
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1．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2
30° －b2＝ 3bc，sin C＝2 3sin B，则 A＝________.
化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系．
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跟踪训练 3 在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、 3 c，已知 b2＝ac 且 cos B＝ . 4 1 1 (1)求 ＋ 的值； tan A tan C 3 → → (2)设BA· BC＝ ，求 a＋c 的值． 2 3 3 7 解 (1)由 cos B＝4，得 sin B＝ 1－42＝ 4 .
由 b2＝ac 及正弦定理得 sin2B＝sin Asin C. 1 1 cos A cos C 于是 ＋ ＝ ＋ tan A tan C sin A sin C sin Ccos A＋cos Csin A sinA＋C sin B 1 4 7 ＝ ＝ sin2B ＝sin2B＝sin B＝ 7 . sin Asin C
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3 3 → → (2)由BA· BC＝ 得 ca· cos B＝ ， 2 2 3 由 cos B＝ ，可得 ca＝2，即 b2＝2. 4 由余弦定理 b2＝a2＋c2－2ac· cos B，
得 a2＋c2＝b2＋2ac· cos B＝5， ∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3.
b2＋c2－a2 解析 ∵sin C＝2 3sin B，∴c＝2 3b，∴cos A＝ ＝ 2bc － 3bc＋c2 － 3bc＋2 3bc 3 ＝ ＝ 2 ，∵A 为△ABC 的内角，∴A 2bc 2bc ＝30° .
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2．在△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，若 30 2 6 c· cos B＝b· cos C，且 cos A＝ ，则 sin B＝________. 3
∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC 为等边三角形．
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题型三 例3 利用正、余弦定理解关于三角形的综合问题
在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，cos B 3 → → ＝ ，且AB· BC＝－21. 5
(1)求△ABC 的面积； (2)若 a＝7，求角 C. →· → ＝－21，∴BA →· → ＝21. 解 (1)∵AB BC BC
→· → ＝|BA → |· → |· ∴BA BC |BC cos B＝accos B＝21. 3 4 ∴ac＝35，∵cos B＝ ，∴sin B＝ . 5 5 1 1 4 ∴S△ABC＝ acsin B＝ ×35× ＝14. 2 2 5 (2)ac＝35，a＝7，∴c＝5.
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∴等式成立． 方法二 2Rsin C－2Rsin B· cos A 右边＝ 2Rsin B－2Rsin C· cos A
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sinA＋B－sin Bcos A ＝ sinA＋C－sin Ccos A
sin Acos B cos B ＝ ＝ ＝左边． sin Acos C cos C
①△ABC 中，a＝7，b＝14，A＝30° ，有两解； ②△ABC 中，a＝30，b＝25，A＝150° ，有一解； ③△ABC 中，a＝6，b＝9，A＝45° ，有两解； ④△ABC 中，b＝9，c＝10，B＝60° ，有两解．
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3．余弦定理及其推论
2 2 (1)a2＝ b ＋c －2bccos A .
b2＋c2－a2 (2)cos A＝ . 2bc
(3)在△ABC 中，c2＝a2＋b2⇔C 为 直角 ；c2>a2＋b2⇔C 为
钝角 ；c2<a2＋b2⇔C 为 锐角 ．
4．三角形常用面积公式
1 (1)S＝ 2aha
2 2 2 tan A a ＋c －b 所以 ＝ . tan B b2＋c2－a2 小结 证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差
异．形式上一般有左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．
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跟踪训练 1 在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边， cos B c－bcos A 求证： ＝ . cos C b－ccos A a2＋c2－b2 ba2＋c2－b2 2ac 证明 方法一 左边＝ 2 ＝ ， a ＋b2－c2 ca2＋b2－c2 2ab 2 2 2 b ＋c －a c－b· 2bc ba2＋c2－b2 右边＝ ＝ ， b2＋c2－a2 ca2＋b2－c2 b－c· 2bc
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1．在△ABC 中，边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C，则有
π C A＋ B － (1)A＋B＋C＝ π ， ＝ 2 2 . 2
(2)sin(A＋B)＝ sin C ，cos(A＋B)＝ －cos C ， tan(A＋B)＝ －tan C . C A＋ B A＋B sin C cos 2 2 (3)sin ＝ ，cos ＝ 2 2
解 由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
得 b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即 a2＝b2＋c2－bc，
b2＋c2－a2 bc 1 ∴cos A＝ 2bc ＝2bc＝2， π ∴A＝ .又 sin A＝2sin Bcos C. 3 a2＋b2－c2 a2＋b2－c2 ∴a＝2b· 2ab ＝ ， a
所以 b＝2.
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4．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，a＝ 3，
1 解析 由题意知， 1＋2cos(B＋C)＝0⇒1－2cos A＝0⇒cos A＝ 2 π ⇒A＝3. 2＋ 6 π 2 设 AB＝x，则 3＝x ＋2－2· x· 2cos 3⇒x＝ 2 . 1 1 1 3 1 设 BC 边上的高为 h， 则 AB· ACsin A＝ · BC· h， 即 x· 2· ＝ · 3 2 2 2 2 2 3＋1 h⇒h＝ . 2
.
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2．正弦定理及其变形 a b c (1) ＝ ＝ ＝ 2R . sin A sin B sin C (2)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C .
a (3)sin A＝ 2R
b c ，sin B＝ 2R ，sin C＝ 2R (4)sin A∶sin B∶sin C＝ a∶b∶c .
∴△ABC 是等边三角形．
小结 本题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来 确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系， 也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断．
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跟踪训练 2 在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且 sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC 的形状．
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．在△ABC 中，若 2cos Bsin A＝sin C，则△ABC 的形状一定
等腰 三角形． 是________
解析 ∵2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，
即 sin(A－B)＝0，∴A＝B.
练一练·当堂检测、目标达成落实处 ②④ ．(填相应命题的序号即可) 2.下列判断中正确的是________
∴等式成立．
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题型二 例2
解
利用正、余弦定理判断三角形的形状
在△ABC 中，若 B＝60° ，2b＝a＋c，试判断△ABC 的
方法一 根据余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B.
形状．
∵B＝60° ，2b＝a＋c，
a＋c 2 2 2 ∴ 2 ＝a ＋c －2accos
解析 由 c· cos B＝b· cos C，结合正弦定理得，sin Ccos B＝ sin Bcos C，故 sin(B－C)＝0，易知 B＝C，故 b＝c.因为 cos A 2 6 2 2 ＝ ， 所以由余弦定理得 3a ＝2b ， 再由余弦定理得 cos B＝ ， 3 6 30 故 sin B＝ . 6
60° ，
整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.
∴△ABC 是等边三角形．
方法二 根据正弦定理，得
2b＝a＋c 可转化为 2sin B＝sin A＋sin C.
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又∵B＝60° ，∴A＋C＝120° .∴C＝120° －A，
∴2sin 60° ＝sin A＋sin(120° －A)， 整理得 sin(A＋30° )＝1，∴A＝60° ，C＝60° .
(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形． 此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定 理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定 理求第三边．若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和 定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边． (3)已知两边和它们的夹角，解三角形． 此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或 余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角． (4)已知三角形的三边，解三角形． 此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理 或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三 个角． 要解三角形，必须已知三角形的一边的长．若已知条件中一条边 的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解.
【学习要求】 1．进一步熟练掌握正、余弦定理在解决各类三角形中的应用． 2．提高对正、余弦定理应用范围的认识． 3． 初步应用正、 余弦定理解决一些和三角、 向量有关的综合问题． 【学法指导】 解三角形的问题可以分为以下四类： (1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形． 此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角， 用 三角形的内角和定理求出第三个角， 再用正弦定理求出第三边， 注意判断解的个数．
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a2＋c2－b2 · 2ac 2ac 方法二 右边＝ 2 2 b ＋c －a2 · 2bc 2 bc a2＋c2－b2 · a 2ac cos B sin A ＝ 2 2 ＝cos A· sin B b ＋c －a2 · b 2bc sin A cos B tan A ＝cos A· sin B ＝tan B＝左边，
3＋1 2 b＝ 2， 且 1＋2cos(B＋C)＝0， 则 BC 边上的高为________ ．
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题型一
利用正、余弦定理证明三角恒等式 2 2 2 tan A a ＋c －b 例 1 在△ABC 中，求证： ＝ . tan B b2＋c2－a2 sin A cos A sin Acos B 证明 方法一 因为左边＝ sin B ＝sin Bcos A cos B a2＋c2－b2 a2＋c2－b2 2ac a ＝ ·2 2 ＝ ＝右边， b b ＋c －a2 b2＋c2－a2 2bc 2 2 2 tan A a ＋c －b 所以tan B＝ 2 2 . b ＋c －a2
由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B＝32，
c b ∴b＝4 2.由正弦定理 ＝ . sin C sin B c 5 4 2 ∴sin C＝bsin B＝ × ＝ . 4 2 5 2
∵c<b 且 B 为锐角，∴C 一定是锐角．∴C＝45° .
小结 这是一道向量与正、余弦定理的综合题，解题的关键是