整体观视角下数学境脉教学模式实践与探索——以“用二分法求方程的近似解”为例

乘积的符号,得f(
2)
2.
5)>0,
2.
5)
3)<
f(
f(
f(
0.由零点存在定理知,零点位于(
2.
5,
3)之间.
师:但(
2.
5,
3)这个区间还是相对较长,该如
何做才能让区间更加接近零点呢?
生:重复操作,不断地取中点,将区间不断地
缩小.
师:用数学软件给学生演示区间不断缩小的
过程.如图5、
6、
7.
学生思考并得出最终结论:
体设计
这节课采用复合型课堂结构,基于整体观设
计教学境脉:借助史料,引入二分法思想.通过生
活情境,解释求近似解的必要性并引出如何求近
似解的问题.设计查找电路故障的情境,设计问
题串,建立二分法思维.而后拆解二分法过程,总
结定义与操作步骤,进行变式练习,接着回归生
活情境,反馈所学成果.课上还会介绍相关数学
脉是指,
浸式的体验感,促使学生从“获得知识”转向“参
家庭背景、认知特点、心理素质和班级的精神面
修订)》(以下简称《课标》)指出“高中数学教学以
包括课堂的物理环境(软硬件基础设施)、学生的
貌等诸多因素结合在一起的协同作用” .境脉
包含学生生理、心理、思 维、认 知、知 识,以 及 文
[
1]
化、社会等多个方面.境脉教学的本质就是在教
解析并把握教学现实和教学内容,立足于对教学
现实和教材内容的全局掌控之上,展望数学核心
素养的要求.教学境脉旨在推动有意义学习,帮
助学生从四条境脉中获取所需,经历知识再创造
的过程,促进新知融入已有的认知结构中.
图2
16
2024年第1期
中学数学教学
首先,若以第四节为整体,二分法是零点存
在定理的深入和升华;若以必修一为整体,其核
平、
数学学习经验等;了解学生的心理境脉,即学
生心理发展阶段特征以及学生对本节课学习的
兴趣、态度、情绪等;解析课程的知识境脉,即知
2.
1 整体观视角下“用二分法求方程的近
似解”境脉教学案例设计
以“用二分法求方程的近似解”为例,展示整
体观视角下境脉教学设计和实践.
(
1)整体导向,构建四条境脉
“用二分法求方程的近似解”是人教 A 版必
学目标的指引下,教师以学生为主体,以素养为
导向,设计出一脉相承且交互性强的教学情境.
境脉教学的设计带给学生全身心的参与感和沉
与知识”.
《普通高中数学课程标准(
2017年版 2020 年
发展学生数学学科核心素养为导向,创设合适的
教学情境,启发学生思考,引导学生把握数学内
”[2]可见,创设好情境是数学教学的关
生了故障.
问题1 请问你会如何检测故障点呢?
问题 2
采用什么方法才是最省时省力
的呢?
问题 3
17
中学数学教学
最多检测几次就可以确定故障
点呢?
问题4 你能否用数学语言表达检测过程?
问题5 这一方法是否可以被用来求方程近
似解呢?
学生思考、计算后回答,教师点评并讲解.
设计意图
通 过 创 设 生 活 情 境,通 过 问 题
修一第四章第四节《函数的应用(二)》的第二节
课.基于本节内容,设计四条境脉,分析如下(如
图2):
识本身、知识的发展历史、知识的实际应用、知识
间的结构脉络、知识背后的思想方法、与其他学
科知识间的融合等;熟悉教学的环境境脉,即班
风班纪、教室环境、配备的数字化设备、虚拟 空
间、线上交流平台等.
构建教学境脉,教师需以整体观视角,审视、
形结合中的“由数到形”.
图6
环节5 脉脉相承,探索二分法步骤
(
2017年版2020年修订)[
S].北京:人民教育出
版社,2020.
[
]
2 吴莉娜,陈玉娟.例谈“平面向量”中“结构模式”的
建构和应用———一道 2019 年高考题引发 的 思 考
[
J].数学通报,2020,59 (
6):32
36.
[
3] 马洪博.注重“四基”凸显“四能”,彰显数学核心素
养———以几道2022年平面向量高考题为例[
J].中
(
)
:
学数学研究,202210 5
8.
[
17] 张宇,王勇.蕴含数学文化的平面向量多选题赏
析[
J].高中数学教与学,2023(
9):17
20.
(收稿日期:
2023
12
08)
2024年第1期
15
中学数学教学
”[2]境脉教学符合课标要求,“脉”字体现主体
的.
整体观视角下数学教学境脉的设计,可分为
14
2024年第1期
中学数学教学
整体观视角下数学境脉教学模式实践与探索
———以“用二分法求方程的近似解”为例
曲阜师范大学数学科学学院
摘
要
张召生
王瑞菲
(邮编:
273165)
将学生经验、
心理、
知识、
文化、
社会等各种因素纳入教学,
根据情境线索、
活动线索、
知识线
索和素养线索,
搭建教学境脉,
形成基于整体观的境脉教学,获得整体观视角下数学境脉教学模式.模式
的数学思想方法[3],更涵盖学生在境脉中所构建
境脉教学符合教学和学生发展的规律,应多加探
《课标》要求教师“在教学实践中,要不
索和实践.
创新,包括教学方式的创新,也包括从教学实践
中总结经验……实现对自身数学教学经验的不
断反思和超越” .教师应在实践中不断反思与
提升,最终超越原经验教学.所以教师应积极探
分之前再给病人补充药物呢?
学生演算后回答,教师点评.
师:人类求解方程的历史源远流长.我们学
习过一元一次方程、一元二次方程的解法,数学
家不满于此,探索高次代数方程,最终发现五次
及更高次的代数 方 程 没 有 一 般 的 求 根 公 式.自
然,包含ax 、
l
n
x 等的超越方程也没有求根公式.
只需求方程的近似解.究竟该如何求方程的近似
思想.
设计意图
引入体现二分法思想的古籍,激
发学生兴趣.
环节2 为什么需要求方程的近似解
师:小王在12点30分时为病人注射了 2500
毫克的新型药物.药 物 的 使 用 说 明 上 标 注 了 两
点:第一,只有在血液中药物含量大于等于 1500
毫克时,药物才能保持疗效;第二,药物在血液中
图3
以每小时20%的比例衰减.小王最晚需在几时几
解零点近似值了.
师:非常好! 类比寻找故障点的过程,第一
步将区间一分为二取中点,中点为 x=2.
5.第二
步,该如何判断零点究竟是在(
2,
2.
5)之间,还是
在(
2.
5,
3)之间呢?
生:这和判断零点在(
2,
3)之间道理相同.首
先计 算 中 点 函 数 的 近 似 值,得 f (
2.5)≈
-0.
084.然后判断区间中点和区间端点函数值
史、应用实例、思想方法、前后知识等,让学生真
正地学深悟透.如图3.
2.
2 整体观视角下“用二分法求方程的近
似解”境脉教学实践
环节1 文化带动,引入二分法思想
《道德经》中有“道生一,一生二,二生三,
师:
《庄子》中有“一尺之棰,日取其半,万
三生万物”,
世不竭”.这都体现了怎样的思想呢?
学生回 答,教 师 点 评 并 解 释,引 入 二 分 法
整体观是指从全局考虑问题的观念,在整体
意义上体察事物,所有因素都被纳入系统中,相
互连接、结合,从而得到更优的结论.在整体观视
角下,设计四条境脉,利用四种线索形成教学境
脉,从而得到整体观视角下数学境脉教学模式.
图1
求方程的近似解”一课,学生反馈良好,取得不错
2 整体观视角下“用二分法求方程的近似
解”境脉教学案例设计和实践
再次,高中生意志力增强,面对困难迎难而上,目
标坚定努力上进,兴趣广泛而稳定,对新奇事物
充满探索欲.最后,教师应了解授课班级的精神
风貌、班级学风,了解教室的空间布局、设备设施
等.本节课涉及到特殊函数图象、二分法迭代过
程的体现,可借助 Ge
oGeBr
a、几何画板等数学软
件予以直观的呈现.
(
2)“用二分法求方程的近似解”教学境脉具
x)=l
n
x+2x
f(
-6只有一个零点,且零点在区间(
2,
3)内.可列
表,如表1,或画函数图象,如图 4(此函数图象局
部与直线相似).
表1
x
y
1
-4
2
-1.
3069
4
3.
3863
3
5
图5
1.
0986
5.
6094
设计意图
图4
接下来将对上节例题进行深入
探究,体现教学的脉络性.引导学生将新知与已
有的认知结构产生联系,同时这一步也体现了数
串,凸显数学源于生活、寓于生活、用于生活.将
检测电路故障的二 分 法 过 程 数 学 化,建 立 其 与
“用函数的思想求解方程”的数学联系.
环节4 温故知新,回顾上节课所学
师:
上节课对方程l
n
x+2x-6=0 进行了初
步探究,请同学们回忆一下.
生:将区间(
2,
3)类比为电路网,零点类比故
障点.这样一来,就可以像寻找故障点一样来求
在教学比赛中,作者根据该模式设计“用二分法
的教学效果.在此展示教学模式和教学实践,一
起研讨交流.
1 整体观视角下数学境脉教学模式的构建
如何构建境脉教学呢? 首先要搭建四条境
脉:经验境脉、心理境脉、知识境脉与环境境脉.
教师要关注学生的经验境脉,即学生整体已有的
认知结构与认知特点、数学学科核心素养发展水
性、系统性、整体性,不仅指内容的整体结构(概
念及其相互联系),以及前后一致的由内容反映
四种线索:情境线索、活动线索、知识线索和素养
的认知体系、学生心理和班级风貌特点等.因此,
此达到素养线索的目标.同时,四种线索灵活组
断探索和创新教学方式”“在教学活动中,应勇于
由此保障教师可根据教学要求设计出整体最优
容的本质.
键问题之一.情境是多样的、多层次的,《课标》提
出“教学情境包括:现实情境、数学情境、科学情
境,每 种 情 境 可 以 分 为 熟 悉 的、关 联 的、综 合

参考文献
[
1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准
[
13] 吕变庭.增补《详解九章算法》释注[M].北京:
科学出版社,2014.
[
14] 汪晓勤.基于数学史料的高中数学问题编制策略
[
J].数学通报,
2020,59(
5):9
15.
[
15] 王永军.从象棋跳马到平面向量[
J].中学生数学
2021 (
1):3
4.
[
16] 范娜,王勇.依托数学文化 玩转平面向量[
具有如下特点:
丰富教学内容,
激发课堂活力;重塑课堂生态,重视学习体验;指向完整的人,指向连续发
展的社会.
以“
用二分法求方程的近似解”
一节课为例,
展示整体观视角下数学境脉教学设计和过程.
关键词 整体观;境脉教学;教学模式;二分法;近似解
按照 Ma
r
i
oAn
t
on
i
oKe
l
l
y 博士的定义,境
“学生和教师组成的一个具体班级中,由
J].中
学数学研究,2023(
3):7
9.பைடு நூலகம்
[
]
石同民,徐慧霞
高考中平面向量问题的命题分析
4
.
与变式研究[
J].教学考试,2022(
29):60
62.
[
5] 杜晓霞,王勇.品味高考试题中平面向量的“交汇
性”[
J].中学数学研究,2023(
6):56
59.
[
6] 贾 洪 涛.平 面 向 量 问 题 的 考 向 分 析 及 解 题 要 点
[
10] 毛月妮.基于平面向量的核心素养考查方式[
J].
数理天地(高中版),2022(
18):65
67.
[
11] 汪晓勤,邹佳晨.基于中华优秀传统数学文化的
高中数学留白创造式教学初探[
J].中小学课堂
教学研究,2023 (
9):1
6.
[
]
12 李继闵.东方数学典籍《九章算术》及其刘徽注研
究[M].陕西:人民教育出版社,1990.
解呢?
设计意图
设置在学生最近发展区内的生
活情境,引入不等式和方程,激发求知欲,借助方
程求解的数学史,引出求近似解的必要性.
环节3 采用什么方法求方程近似解
2023年7月末,超强台风“杜苏芮”强势登陆
2024年第1期
广东,某县城的电力系统因台风而出现故障.如
果在由100段线路组成电路网中,有一处线路发
[
J].高中数理化,2023(
Z1):9
10.
[
7] 孙愉.高三数学问题解决教学中辅助问题设计的
实践研究[
D].华东师范大学,2022.
[
8] 邓城.平面向量的复习策略及其案例设计[
J].中
)
:
国数学教育,2018(
6 21
26+29.
[
9] 吴忠.向量知识与核心素养的相关性分析[
D].湖
北师范大学,2019.
心内容是高中数学四大主线之一的函数,本节课
作为函数的应用而 展 现,以 函 数 的 观 点 认 识 方
程,
突出函数思想;若再以整个高中数学为整体,
二分法的操作程序中蕴含算法思想,这将为必修
三的学习做好铺垫.其次,在学习本节课之前,学
生对近似计算有所掌握,接触过函数思想、数形
结合思想,数学核心素养也有一定的发展水平.
[
2]
线索[4].由情境线索引导活动线索,借助活动成
果抽象知识线索,这本质上是数学化的过程,以
合且要确保内容不偏离脉络.再者,境脉设计有
三种结构,分别为:串联型、并联型和复合型[4],
化的境脉教学.基于此,得到整体观视角下数学
境脉教学模式,如图1.
索,
将学生经验、心理、知识与环境等因素整体纳
入教学,搭建教学境脉,形成境脉教学.