【沪科版】初二数学上期中模拟试卷附答案

一、选择题
1．如图，ABC 是等边三角形，D 是线段BC 上一点（不与点,B C 重合），连接AD ，
点,E F 分别在线段,AB AC 的延长线上，且DE DF AD ==，点D 从B 运动到C 的过程中，BED 周长的变化规律是（ ）
A ．不变
B ．一直变小
C ．先变大后变小
D ．先变小后变大
2．如图，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且62EBD ∠=，则AEB ∠的度数是（ ）
A ．124
B ．122
C ．120
D ．118 3．已知点(),3M a ，点()2,N b 关于x 轴对称，则2020
()a b +的值（ ）
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
4．如图，ABC 中，AC AD BD ==，80CAD ︒∠=，则B 等于（ ）
A ．25︒
B ．30︒
C ．35︒
D ．40︒
5．如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等．若110BOC ∠=°，则A ∠的度数为( )
A ．40︒
B ．45︒
C ．50︒
D ．55︒
6．下列命题中，真命题是（ ）
A ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
B ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
C ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
7．如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），当△ACP 与△BPQ 全等时，则点Q 的运动速度为（ ）cm/s ．
A ．0.5
B ．1
C ．0.5或1.5
D ．1或1.5
8．如图，已知，CAB DAE ∠=∠，AC AD =．下列五个选项：①AB AE =，②BC ED =，③C D ∠=∠，④B E ∠=∠，⑤12∠=∠，从中任选一个作为已知条
件，其中能使ABC AED ≌
△△的条件有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 9．若一个正多边形的内角和等于其外角和的3倍，则这个正多边形是（ ）
A ．5边形
B ．6边形
C ．7边形
D ．8边形
10．在多边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，可以将多边形分割成8个三角形，则该多边形的边数为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 11．一个多边形的内角和外角和之比为4：1，则这个多边形的边数是（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
12．具备下列条件的三角形中，不是．．直角三角形的是（ ） A ．A B C ∠+∠=∠ B ．1
2
A B C ∠=∠=∠ C ．3A B C ∠=∠=∠
D ．11
23
A B C ∠=
∠=∠ 二、填空题
13．在平面直角坐标系中，将点(3,2)P -向右平移4个单位得到点P '，则点P '关于x 轴的对称点的坐标为________．
14．如图，∠AOB ＝45°，OC 平分∠AOB ，点M 为OB 上一定点，P 为OC 上的一动点，N 为OB 上一动点，当PM ＋PN 最小时，则∠PMO 的度数为___________．
15．如图，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD=AE ，请添加一个条件，使得ABE ≌
ACD ．这个条件可以为_____（只填一个条件即可）．
16．ABC 中，4AB =，6AC =， 则第三边BC 边上的中线m 的取值范围是______． 17．如图，ABC ∆中，90,6,8ACB AC cm BC cm ∠=︒==，点P 从点A 出发沿A C -路径向终点C 运动.点Q 从B 点出发沿B C A --路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以每秒
1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时
刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于,E QF l ⊥于F ．则点P 运动时间为_______________时，
PEC ∆与QFC ∆全等．
18．若,,a b c 是△ABC 的三边长,试化简a b c a c b +-+--= __________． 19．对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是______．
20．如图中，36B ∠=︒，76C ∠=︒，AD 、AF 分别是ABC 的角平分线和高，
DAF ∠=________．
三、解答题
21．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将ABC ∆经过一次轴对称变换后得到'''A B C ∆，图中标出了点C 的对应点'C
()1在给定方格纸中画出变换后的'''A B C ∆；
()2画出AC 边上的中线BD 和BC 边上的高线AE ； ()3求'''A B C ∆的面积．
22．小明遇到这样一个问题：如图①，在ABC 中，12AB =，8AC =，AD 是中线，求AD 的取值范围．她的做法是：过点B 作//BE AC 交AD 的延长线于点E ，证明
BED CAD △≌△，经过推理和计算就可以使问题得到解决． 按照上面的思路，请回答： （1）小红证明BED CAD △≌△的判定定理是：______； （2）AD 的取值范围是______； 方法运用：
（3）如图②，AD 是ABC 的中线，在AD 上取一点F ，连接BF 并延长交AC 于点
E ，使AE E
F =，求证：BF AC =．
23．如图所示，A ，C ，E 三点在同一直线上，且ABC DAE △△≌．
（1）求证：BC DE CE =+；
（2）当ABC 满足什么条件时，//BC DE ？
24．如图，在△ABD 中，∠ABC=45°，AC ，BF 为△ABD 的两条高，CM//AB ，交AD 于点M ；求证：BE=AM+EM ．
25．图①、图②、图③都是5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中边AB 上找到格点D ，并连接CD ，使CD 将△ABC 面积两等分； （2）在图②中△ABC 的内部找到格点E ，并连接BE 、CE ，使△BCE 是△ABC 面积的
1
4
． （3）在图③中△外部画一条直线l ，使直线l 上任意一点与B 、C 构成的三角形的面积是△ABC 的
18
．
26．如图，//AE DF ，BE DF ⊥于点G ，190B ∠+∠=︒．
（1）判断CD 与AB 的位置关系，并说明理由． （2）若50A ∠=︒，求出DEG ∠的度数．
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
先根据等边三角形的性质可得60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒，从而可得
120EBD DCF ∠=∠=︒，再根据等腰三角形的性质、角的和差可得
BAD E CDF ∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得BE CD =，从而可得BED 周长为BE BD DE BC AD ++=+，最后根据点到直线的距离即可得出答案． 【详解】
ABC 是等边三角形，
60ABC ACB BAC ∴∠=∠=∠=︒， 120EBD DCF ∴∠=∠=︒， DF AD =， CAD F ∴∠=∠，
又
6060BAD CAD BAC CDF F ACB ∠+∠=∠=︒
⎧⎨
∠+∠=∠=︒
⎩， BAD CDF ∴∠=∠， DE AD =， BAD E ∴∠=∠， E CDF ∴∠=∠，
在BDE 和CFD △中，EBD DCF E CDF DE FD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
()BDE CFD AAS ∴≅，
BE CD ∴=，
则BED 周长为BE BD DE CD BD AD BC AD ++=++=+，
在点D 从B 运动到C 的过程中，BC 长不变，AD 长先变小后变大，其中当点D 运动到BC 的中点位置时，AD 最小，
∴在点D 从B 运动到C 的过程中，BED 周长的变化规律是先变小后变大， 故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．
2．B
解析：B 【分析】
由等边三角形的性质，得到AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=60°，然后证明△ACE ≌△BCD ，则∠CAE=∠CBD ，由角的关系，求出∠ABE+∠BAE=58°，即可得到答案． 【详解】 解：如图：
∵ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形， ∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=60°， ∴∠ACE+∠BCE=∠BCD+∠BCE=60°， ∴∠ACE=∠BCD ， ∴△ACE ≌△BCD ， ∴∠CAE=∠CBD ，
即6062BAE EBC ︒-∠=︒-∠， ∵60EBC ABE ∠=︒-∠，
∴6062(60)BAE ABE ︒-∠=︒-︒-∠， ∴58ABE BAE ∠+∠=︒， ∴18058122AEB ∠=︒-︒=︒； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，以及角的和差关系，解题的关键是掌握所学的知识，正确求出58ABE BAE ∠+∠=︒．
3．C
解析：C
【分析】
根据关于坐标轴对称的规律，关于谁对称谁不变，另一个坐标变为相反数即可获得a 和b 的值，然后即可得解． 【详解】
∵点(),3M a ，点()2,N b 关于x 轴对称 ∴2a =，3b =- ∴()()
2018
2018
231a b +=-=
故选：C ．
【点睛】
本题考查了在坐标平面直角坐标系中关于x 轴对称的点的坐标的变化规律，点(),x y 关于
x 轴对称的点的坐标为()x y -，，熟记规律即可得到正确答案．
4．A
解析：A 【分析】
利用AD=AC ，求出∠ADC=∠C=50︒，利用AD=AB ，即可求得∠B=∠BAD 1
252
ADC ==∠︒． 【详解】 ∵AD=AC ， ∴∠ADC=∠C ， ∵80CAD ︒∠=， ∴∠ADC=∠C=50︒， ∵AD=AB ， ∴∠B=∠BAD 1
252
ADC ==∠︒， 故选：A ． 【点睛】
此题考查等边对等角的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5．A
解析：A 【分析】
由条件可知BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠A ． 【详解】
解：∵点O 到ABC 三边的距离相等， ∴BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，
∴ ()180A ABC ACB ∠=︒-∠+∠
()1802OBC OCB =︒-∠+∠ ()1802180BOC =︒-⨯︒-∠ ()1802180110︒=︒-⨯-︒
40=︒． 故选A ． 【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．
6．D
解析：D 【分析】
根据三角形全等的判定方法对A 、D 进行判断；利用三角形高的位置不同可对B 、C 进行判断． 【详解】
A 、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A 选项错误；
B 、有两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以B 选项错误；
C 、有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以C 选错误；
D 、有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以D 选项正确； 故选：D ． 【点睛】
本题考査了判断命题真假，以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，仔细分类讨论是解题关键．
7．D
解析：D 【分析】
设点Q 的运动速度是x cm/s ，有两种情况：①AP=BP ，AC=BQ ，②AP=BQ ，AC=BP ，列出方程，求出方程的解即可． 【详解】
解：设点Q 的运动速度是x cm/s ， ∵∠CAB=∠DBA ，
∴△ACP 与△BPQ 全等，有两种情况： ①AP=BP ，AC=BQ ， 则1×t=4-1×t ，则3=2x ， 解得：t=2，x=1.5； ②AP=BQ ，AC=BP ， 则1×t=tx ，4-1×t=3，
解得：t=1，x=1， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定的应用，以及一元一次方程的应用，掌握方程的思想和分类讨论思想是解此题的关键．
8．B
解析：B 【分析】
添加条件①可以用“SAS”证明，添加条件③可以用“ASA”证明，添加条件④可以用“AAS”证明． 【详解】
解：①在ABC 和AED 中，
AC AD CAB DAE AB AE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴
()ABC AED SAS ≅△△；
②不可以；
③在ABC 和AED 中，
C D AC AD
CAB DAE ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴
()ABC AED ASA ≅；
④在ABC 和AED 中，
B E CAB DAE A
C A
D ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴
()ABC AED AAS ≅；
⑤不可以； 故选：B ． 【点睛】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的所有判定定理．
9．D
解析：D 【分析】
设多边形的边数是n ，根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和公式列出方程即可求解．
【详解】
解：设多边形的边数是n ，
则180（n ﹣2）=3×360，
解得：n =8．
故选:D ．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式以及外角和定理，根据多边形的内角和公式以及外角和定理列出方程是解题关键．
10．B
解析：B
【分析】
逐一探究在三角形，四边形，五边形一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，得到分割成的三角形的数量，再总结规律，运用规律列方程即可得到答案．
【详解】
解：如图，
探究规律：
在三角形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与三角形的各顶点连接起来，可以将三角形分割成2个三角形，
在四边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与四边形的各顶点连接起来，可以将四边形分割成3个三角形，
在五边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与五边形的各顶点连接起来，可以将五边形分割成4个三角形，
总结规律：
在n 边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与n 边形的各顶点连接起来，可以将n 边形分割成()1n -个三角形，
应用规律：
由题意得：18,n -=
9.n ∴=
故选：.B
【点睛】
本题考查的是规律探究及规律运用，探究“在n 边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与n 边形的各顶点连接起来，把n 边形分割成的三角形的数量”是解题的关键．
11．D
解析：D
【分析】
设多边形有n 条边，则内角和为180°（n ﹣2），再根据内角和等于外角和4倍可得方程180（n ﹣2）＝360×4，再解方程即可．
【详解】
解：设多边形有n 条边，由题意得：
180（n ﹣2）＝360×4，
解得：n ＝10，
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n ﹣2）． 12．C
解析：C
【分析】
利用三角形的内角和，代入已知条件求出角的度数，逐一判断是否有直角即可．
【详解】
A ：A
B
C ∠+∠=∠，代入+=180A B C ∠+∠∠︒得：2=180C ︒∠⇒=90C ∠︒，故此选项不符合题意；
B ：12
A B C ∠=∠=∠，代入+=180A B C ∠+∠∠︒得：11++=2=18022
C C C C ︒∠∠∠∠⇒=90C ∠︒，故此选项不符合题意； C ：3A B C ∠=∠=∠，代入+=180A B C ∠+∠∠︒得：
3+3+=180C C C ︒∠∠∠⇒26C ≈︒∠，故此选项符合题意；
D ：1123
A B C ∠=∠=∠代入+=180A B C ∠+∠∠︒得：12++=18033
C C C ︒∠∠∠⇒=90C ∠︒，故此选项符合题意； 故答案选：C
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和，熟悉掌握三角形的内角和运算方式是解题的关键．
二、填空题
13．【分析】先根据向右平移4个单位横坐标加4纵坐标不变求出点的坐标再根据关于x 轴对称横坐标不变纵坐标相反解答【详解】解：∵将点P （3-2）向右平移4个单位得到点∴点的坐标是（7-2）∴点关于x 轴的对称点
解析：(7,2)
【分析】
先根据向右平移4个单位，横坐标加4，纵坐标不变，求出点P'的坐标，再根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反解答．
【详解】
解：∵将点P（3，-2）向右平移4个单位得到点P'，
∴点P'的坐标是（7，-2），
∴点P'关于x轴的对称点的坐标是（7， 2）．
故答案为：（7， 2）
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化−平移，以及关于x轴、y轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
14．45°【分析】找到点M关于OC对称点M′过点M′作M′N⊥OB于点N交OC 于点P则此时PM+PN的值最小再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案【详解】解：如图找到点M关于OC对称点M′过点M
解析：45°
【分析】
找到点M关于OC对称点M′，过点M′作M′N⊥OB于点N，交OC于点P，则此时PM+PN 的值最小，再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案．
【详解】
解：如图，
找到点M关于OC对称点M′，过点M′作M′N⊥OB于点N，交OC于点P，则此时PM+PN 的值最小．
∵PM=PM′，
∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′，
∵点M与点M′关于OC对称，OC平分∠AOB，
∴OM=OM′，
∵∠AOB=45°，
∴∠PM'O=∠AOB=45°，
∴∠PMO=∠PM'O=45°，
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了利用轴对称的知识寻找最短路径的知识，涉及到两点之间线段最短、垂线段最短的知识，有一定难度，正确确定点P及点N的位置是关键．
15．∠B=∠C （或∠ADC=∠AEB 或AB=AC ）【分析】根据已知条件知两个三角形已经具有∠A=∠AAD=AE 两个条件对应相等故再添加一组对应角相等或是AB=AC 即可得到ABE ≌ACD 【详解】∵∠A=∠
解析：∠B=∠C （或∠ADC=∠AEB 或AB=AC ）
【分析】
根据已知条件知两个三角形已经具有∠A=∠A ，AD=AE 两个条件对应相等，故再添加一组对应角相等或是AB=AC 即可得到ABE ≌
ACD ． 【详解】
∵∠A=∠A ，AD=AE ，
∴当∠B=∠C 时，可利用AAS 证明ABE ≌
ACD ； 当∠ADC=∠AEB 时，可利用ASA 证明ABE ≌
ACD ； 当AB=AC 时，可利用SAS 证明ABE ≌
ACD ； 故答案为：∠B=∠C （或∠ADC=∠AEB 或AB=AC ）． 【点睛】
此题考查添加一个条件证明三角形全等，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． 16．【分析】如图延长AD 至点E 使得DE=AD 可证△ABD ≌△CDE 可得AB=CEAD=DE 在△ACE 中根据三角形三边关系即可求得AE 的取值范围即可解题
【详解】解：延长AD 至点E 使得DE=AD ∵点D 是BC
解析：15a <<
【分析】
如图延长AD 至点E ，使得DE=AD ，可证△ABD ≌△CDE ，可得AB=CE ，AD=DE ，在△ACE 中，根据三角形三边关系即可求得AE 的取值范围，即可解题．
【详解】
解：延长AD 至点E ，使得DE=AD ，
∵点D 是BC 的中点，
∴BD=CD
在△ABD 和△CDE 中，
AD DE ADB CDE BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABD ≌△CDE （SAS ），
∴AB=CE，
∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，即：AC-AB＜AE＜AC+AB，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5．
故答案为：1＜AD＜5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证
△ABD≌△CDE是解题的关键．
17．或【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论通过证明全等即可得到结果；【详解】如图1所示：与全等解得:；如图2所示：点与点重合与全等解得:；故答案为:或【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质准确
解析：1或7 2
【分析】
对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；【详解】
如图1所示：
PEC
∆与QFC
∆全等，
PC QC，
683
∴-=-
t t，
解得:1
t=；
如图2所示：
点P与点Q重合，
PEC与QFC
∆全等，
638
∴-=-
t t，
解得:72
t =； 故答案为:1或
72
． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．
18．2b 【分析】先根据三角形三边关系确定>0<0再去绝对值化简即可【详解】∵是△ABC 的三边长∴>0<0=+=2b 故答案填：2b 【点睛】本题主要考查三角形三边关系绝对值的性质和化简问题根据三角形三边关系
解析：2b
【分析】
先根据三角形三边关系，确定a b c +->0，()a b c -+<0，再去绝对值化简即可．
【详解】
∵,,a b c 是△ABC 的三边长
∴a b c +->0，()a b c -+<0，
a b c a c b +-+--
=a b c +-+b c a +-
=2b ，
故答案填：2b ．
【点睛】
本题主要考查三角形三边关系、绝对值的性质和化简问题，根据三角形三边关系定理正确去绝对值是解决本题的关键．
19．④【分析】四边形的内角和是根据四边形内角的性质选出正确选项【详解】解：①错误如果四个角都是锐角那么内角和就会小于；②错误可以是四个直角；③错误可以是四个直角；④正确故选：④【点睛】本题考查四边形内角
解析：④
【分析】
四边形的内角和是360︒，根据四边形内角的性质选出正确选项．
【详解】
解：①错误，如果四个角都是锐角，那么内角和就会小于360︒；
②错误，可以是四个直角；
③错误，可以是四个直角；
④正确．
故选：④．
【点睛】
本题考查四边形内角的性质，解题的关键是掌握四边形内角的性质．
20．【分析】根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠BAD 度数再由三角形内角与外角的性质可求出∠ADF 的度数由AF ⊥BC 可求出∠AFD=90°再由三角形的内角和定理即可解答【详解】∵AF 是的高∴在中∴
解析：20︒
【分析】
根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠BAD 度数，再由三角形内角与外角的性质可求出∠ADF 的度数，由AF ⊥BC 可求出∠AFD=90°，再由三角形的内角和定理即可解答．
【详解】
∵AF 是ABC 的高，∴90AFB ∠=︒，
在Rt ABF 中，36B ∠=︒，
∴90BAF B ∠=︒-∠9036=︒-︒54=︒．
又∵在ABC 中，36B ∠=︒，76C ∠=︒，
∴18068BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒，
又∵AD 平分BAC ∠， ∴11683422
BAD CAD BAC ∠=∠=
∠=⨯=︒， ∴DAF BAF BAD ∠=∠-∠
5434=︒-︒ 20=︒．
故答案为：20︒．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、三角形的高线、及三角形的角平分线等知识，难度中等．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）
152
【分析】
（1）连接CC′，作CC′的垂直平分线l ，然后分别找A 、B 关于直线l 的对称点A′、B′，连接A′、B′、C′，即可得到A B C '''；
（2）作AC 的垂直平分线找到中点D ，连接BD ，BD 就是所求的中线；从A 点向BC 的延长线作垂线，垂足为点E ，AE 即为BC 边上的高；
（3）根据三角形面积公式即可求出A B C '''的面积．
【详解】
解：（1）如图，A B C '''即为所求；
（2）如图，线段BD 和线段AE 即为所求；
（3）111553222
A B C ABC S S BC AE '''∆∆==
⋅⋅=⨯⨯=． 【点睛】 本题主要考查几何变换作图，作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤：（1）找：在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点等）；（2）作：作各个特殊点关于已知直线的对称点；（3）连：按原图对应连接各对称点．熟练掌握作图步骤是解题的关键． 22．（1）角角边或者角边角（AAS 或ASA ）；（2）210AD <<；（3）见解析
【分析】
（1）由“ASA”或“AAS”可证△BED ≌△CAD ；
（2）由全等三角形的性质可得AC=BE=8，由三角形的三边关系可求解；
（3）延长AD 至H ，使AD=DH ，连接BH ，由“SAS”可证△BHD ≌△CAD ，可得AC=BH ，∠CAD=∠H ，由等腰三角形的性质可得∠H=∠BFH ，可得BF=BH=AC ；
【详解】
解：（1）∵AD 是中线，
∴BD=CD ，
又∵∠ADC=∠BDE ，
∵//BE AC ，
∴EBD C ∠=∠，E CAD ∠=∠，
∴△BED ≌△CAD （ASA ），或△BED ≌△CAD （AAS ），
故答案为：SAS 或AAS ；
（2）∵△BED ≌△CAD ，
∴AC=BE=8，
在△ABE 中，AB-BE ＜AE ＜AB+BE ，
∴4＜2AD ＜20，
∴2＜AD ＜10，
故答案为：2＜AD ＜10；
（3）过点B 作//BG AC 交AD 的延长线于点G ，则CAD BGD ∠=∠
∵AD 是中线，
∴BD CD =
在ADC 和GDB △中
∵CAD BGD ∠=∠，ADC GDB ∠=∠，BD CD =，
∴ADC GDB ≌△△
∴BG CA =
∵AE EF =
∴EAF AFE ∠=∠
又∵CAD BGD ∠=∠，AFE BFG ∠=∠
∴BGD BFG ∠=∠
∴BG BF =，
又∵BG CA =，
∴BF AC =；
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）ACB ∠为直角时，//BC DE
【分析】
（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE ，AD=CE ，代入求出即可；
2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA= 90︒，推出∠BDE=90︒ ，根据平行线的判定求出即可．
【详解】
（1）证明：∵ABC DAE △△≌，
∴AE=BC ，AC=DE ，
又∵AE AC CE =+，
∴BC DE CE =+．
（2）若//BC DE ，则BCE E ∠=∠，
又∵ABC DAE △△≌，
∴ACB E ∠=∠，
∴ACB BCE ∠=∠，
又∵180ACB BCE ∠+∠=︒，
∴90ACB ∠=︒，
即当ABC 满足ACB ∠为直角时，//BC DE ．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和平行线的判定的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论．
24．见解析
【分析】
求出∠CAD ＝∠EBC ，∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝BC ，证出△BCE ≌△ACD ，求出CE ＝CD ，∠ECM ＝∠DCM ，证△ECM ≌△DCM ，推出DM ＝ME ，即可得出答案．
【详解】
∵AC 、BF 是高，
∴∠BCE ＝∠ACD ＝∠AFE ＝90°，
∵∠AEF ＝∠BEC ，∠CAD ＋∠AFE ＋∠AEF ＝180°，∠EBC ＋∠BCE ＋∠BEC ＝180°， ∴∠DAC ＝∠EBC ，
∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝45°，
∴∠BAC ＝45°＝∠ABC ，
∴BC ＝AC ，
在△BCE 和△ACD 中
BCE ACD BC AC
EBC DAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△BCE ≌△ACD （ASA ），
∴BE ＝AD ．
∵CM ∥AB ，
∴∠MCE ＝∠BAC ＝45°，
∵∠ACD ＝90°，
∴∠MCD ＝45°＝∠MCE ，
∵△BCE ≌△ACD ，
∴CE ＝CD ，
在△CEM 和△CDM 中
CE CD ECM DCM CM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△CEM ≌△CDM （SAS ），
∴ME ＝MD ，
∴BE ＝AD ＝AM ＋DM ＝AM ＋ME ，
即BE ＝AM ＋EM ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线性质，三角形的内角和定理，垂直定义，等
腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．
25．（1）见解析图；（2）见解析图；（3）见解析图
【分析】
（1）根据三角形中线的性质可知，当CD 为△ABC 在AB 边上的中线时，可将其面积平分，即找到AB 的中点，连接AE 即可；
（2）可按照△BCE 与△ABC 都以BC 为底边进行分析，当都以BC 为底边时，△ABC 的高为4，从而使得△BCE 的高为1即可；
（3）延续（2）的解题思路，都以BC 为底边，要使得构成的三角形的面积是△ABC 的18，则让构成的三角形的高为12即可，则在BC 下方12个单位处作平行于BC 的直线即为所求．
【详解】
如图所示：
（1）D 在格点上，也为AB 的中点，故CD 即为所求；
（2）当点E 在直线m 上，且三角形内部时，均满足题意，如图△BCE ，此时答案不唯一，符合要求即可； （3）如图，直线l 即为所求．
【点睛】
本题主要考查作图－应用与设计作图，充分理解三角形中线的性质，以及灵活运用底相等时，面积之比等于高之比进行图形构造是解题关键．
26．（1）//CD AB ，证明见解析；（2）40°
【分析】
（1）先求证D DFB ∠=∠，再根据平行线判定得到//CD AB ；
（2）先求出B 的度数，再根据平行线的性质得到DEG ∠的度数．
【详解】
（1）//CD AB ；理由如下：
∵BE DF ⊥，
∴90FGB ∠=︒，
∴18090DFB B FGB ∠+∠=︒-∠=︒，
∵190B ∠+∠=︒，
∴1DFB ∠=∠，
∵//AE DF ，
∴1D ∠=∠，
∴D DFB ∠=∠，
∴//CD AB ．
（2）∵//AE DF ，50A ∠=︒，
∴50DFB A ∠=∠=︒，
∵90DFB B ∠+∠=︒，
∴40B ∠=︒，
∵//CD AB ，
∴40DEG B ∠=∠=︒．
【点睛】
考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c ．。