法拉第电磁感应定律

第二、三、四讲法拉第电磁感应定律
预备知识
1.感应电流产生的原因
2.模仿法拉第的实验中滑动变阻器移动速度对电流的影响要点透析
1.定律内容：电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比．
2.表达式：t
n E ∆∆Φ
⋅=，n 是线圈匝数3.几点说明：
（1）该定律适用于所有的电磁感应现象
（2）电路断开的情况下，依然存在感应电动势，尽管不存在感应电流（3）局限于数学水平，该公式只用于计算一段时间内的平均感应电动势（4）该公式只用于计算感应电动势的大小，∆Φ用绝对值（5）对于切割模型，电势高低的判断用右手定则（后面讲）例：下列说法正确的是（
）
A .线圈中磁通量变化越大，线圈中产生的感应电动势一定越大B.线圈中的磁通量越大，线圈中产生的感应电动势一定越大C.线圈处在磁场越强的位置，线圈中产生的感应电动势一定越大D .线圈中磁通量变化得越快，线圈中产生的感应电动势越大练：关于感应电动势，下列说法正确的是（
）
A ．穿过回路的磁通量越大，回路中的感应电动势就越大
B ．穿过回路的磁通量变化量越大，回路中的感应电动势就越大
C ．穿过回路的磁通量变化率越大，回路中的感应电动势就越大
D ．单位时间内穿过回路的磁通量变化量越大，回路中的感应电动势就越大
练:将闭合多匝线圈置于仅随时间变化的磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，关于线圈中产生的感应电动势和感
应电流，下列表述正确的是(
)
A.感应电动势的大小与线圈的匝数无关
B.穿过线圈的磁通量越大，感应电动势越大
C.穿过线圈的磁通量变化越快，感应电动势越大
D.感应电流产生的磁场方向与原磁场方向始终相同
例：穿过一个单匝线圈的磁通量始终保持每秒钟减少2Wb ，则（）
A ．线圈中感应电动势每秒增加2V
B ．线圈中感应电动势每秒减少2V
C ．线圈中无感应电动势
D ．线圈中感应电动势保持不变
例：一个面积S=4×10-2m 2，匝数N=100的线圈，放在匀强磁场中，磁场方向垂直线圈平面，磁场的磁感应强
度B 随时间变化规律为t B ∆∆=2T/s ，则穿过线圈的磁通量变化率t
∆∆φ为Wb/s ，线圈中产生的感应电动势
E=
V。

练：如图所示，A、B 两闭合线圈为同样导线绕成，A 为100匝，B 为200匝，半径为r A =2r B ，匀强磁场只分布在B 线圈内，若磁感应强度的变化率t
B
∆∆均匀变化时，则A、B 中感应电动势之比为
例：穿过某线圈的磁通量随时间的变化关系如图所示，在线圈内产生感应电动势最大值的时间是（）A ．0s~2s
B.2s~4s
C.4s~6s
D.6s~8s
练：单匝矩形线圈在匀强磁场中匀速运动，转轴垂直于磁场，若线圈所围面积里磁通量对时间变化的规律如图所示，则在O →D 过程中（）
A ．线圈O 时刻感应电动势最大
B ．线圈D 时刻感应电动势为零
C ．线圈
D 时刻感应电动势最大D 线圈中O →D 时间内平均感应电动势为0.4V
4.切割模型特例：
（1）当B 、L 、v 两两相互垂直时：E=BL E=BLv
v 推导过程：①匀速运动：
②推广：对一般的运动也适用，给一个瞬时速度对应一个瞬时感应电动势三点注意：
①即使不是闭合回路，也有感应电动势
例：一根0.2m 长的直导线，在磁感应强度B=0.8T 的匀强磁场中以V=3m/S 的速度做切割磁感线运动，直导线垂直于磁感线，运动方向跟磁感线、直导线垂直．那么，直导线中感应电动势的大小是（）
A．0.48v B．4.8v C．0.24v D．0.96v
②L 是实际的切割长度；
例：如图所示，有导线ab 长0.2m，在磁感应强度为0.8T 的匀强磁场中，以3m/S 的速度做切割磁感线运动，导线垂直磁感线，运动方向跟磁感线及直导线均垂直.磁场的有界宽度L=0.15m，则导线中的感应电动势大小为（）A．0.48V B．0.36V C．0.16V D．0.6V
例：如图所示，平行金属导轨间距为d ，一端跨接电阻为R ，匀强磁场的磁感应强度为
B ，方向垂直平行导轨平面，一根长金属棒与导轨成θ角放置，棒与导轨的电阻不计，当棒沿垂直棒的方向以恒定速度v 在导轨上滑行时，通过电阻的电流是（）
A ．Bdv /(R sin θ)
B ．Bdv/R
C ．Bdv sin θ/R
D ．Bdv cos θ/R
③v 是瞬时速度的时候求的是瞬时感应电动势，v 是一段时间的平均速度的时候求的是该段时间内的平均感应电
动势，一般只用来计算瞬时感应电动势。

例：如图所示，有一夹角为θ的金属角架，角架所围区域内存在匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B ，方向与角架所在平面垂直，一段直导线ab 垂直ce ，从顶角c 贴着角架以速度v 向右匀速运动，求：(1)t 时刻角架的瞬时感应电动势；(2)t 时间内角架的平均感应电动势？
电势高低的判断：切割磁感线的那部分导体相当于电源，在电源内部电流方向由负极（低电势）流向正极（高电势），故可由右手定则判断电势高低。

例：如图所示，一个连有电容器的U 形金属框架放置在匀强磁场中，磁感应强度为B，磁感线方向如图，框架宽L，一根导体棒MN 放置在框架上，棒与框架接触良好且相互垂直，若棒向左以速度V 匀速运动，则电容器两极板间的电势差U ab =
；电容器
板带正电荷．
练：在北半球地磁场的竖直分量向下.一架飞机在我国上空匀速巡航,机翼保持水平,飞行高度不变.由于地磁场的作用,金属机翼上有电势差,设飞行员左方机翼末端处的电势为1ϕ.右方机翼末端处电势为2ϕ,则
(
)
A ．若飞机从西往东飞,1ϕ比2ϕ高
B ．若飞机从东往西飞,2ϕ比1ϕ高
C ．若飞机从南往北飞,1ϕ比2ϕ高
D ．若飞机从北往南飞,2ϕ比1ϕ高
练：一直升飞机停在南半球的地磁极上空。

该处地磁场的方向竖直向上，磁感应强度
为B 。

顺着地磁场的方向看螺旋桨，螺旋桨按顺时针方向转动。

螺旋桨叶片的近轴端为a ，远轴端为b ，如图3所示，则（）
A ．a 点电势低于b 点电势
B ．a 点电势高于b 点电势
（2）【选讲】当B 与v 有夹角θ时：速度可分解成图所示：其中V 2不切割磁感线，不产生感应电动势，故切割导体产生的感应电动势为E=BLv sin θ
推导过程：
矢量叉积：
综合应用
有关电磁感应问题的综合题归根到底是力电综合问题，其中涉及到动力学、电学以及能量等各个模块的知识；函数方程思想、数形结合思想等各种数学思想在解题中也有着广泛的应用。

各知识模块之间的联系可用下
图表示：（无敌三角形）
1.电磁感应中的动力学问题
例：如图所示，竖直放置的U 形导轨宽为L，上端串有电阻R（其余导体部分的电阻都忽略不计）。

磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直于纸面向外。

金属棒ab 的质量为m，与导轨接触良好，不计摩擦。

从静止释放后ab 保持水平而下滑。

试求ab 下滑的最大速度v m
答案：2
2L B mgR v m =
解题思路总结：在传统动力学解题思路的基础上补充安培力的判断（电源→电流→安培力）
练：如图所示，MN 、PQ 是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为L ，导轨平面与水平面的夹角为α，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方向的匀强磁场，磁感强度为B ，在导轨的M 、P 端连接一个阻值为R 的电阻，一根垂直于导轨放置的金属棒ab ，质量为m ，从静止释放开始沿导轨下滑．求ab 棒的最大速度．（要求画出ab 棒的受力图，已知ab 与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻不计）
强化：如图所示，竖直平行导轨间距l =20cm ，导轨顶端接有一电键K 。

导体棒ab 与导轨接触良好且无摩擦，ab 的电阻R=0.4Ω，质量m=10g ，导轨的电阻不计，整个装置处在与轨道平面垂直的匀强磁场中，磁感强度B=1T 。

当ab 棒由静止释放0.8s 后，突然接通电键，不计空气阻力，设导轨足够长。

求ab 棒的最大速度和最终速度的大小。

（g 取10m/s2
）
b
a
答案：8m/s ，1m/s
例：如图所示，两光滑平行导轨MN 、PQ 水平放置在匀强磁场中，间距为L ，磁感应强度为B 的匀强磁场与导轨所在平面垂直。

质量为m 的金属棒ab 垂直导轨且可沿导轨自由移动，。

导轨左端M 、P 接一定值电阻，阻值为R ，金属棒ab 和导轨电阻均不计。

现将金属棒ab 沿导轨由静止向右拉使之平动，保持拉力的功率恒定，金属棒ab 最终以速度3v 作匀速运动。

求：
（1）金属棒匀速运动时，拉力的大小。

（2）在此过程中，当ab 的速度为v 时的加速度为多大?
答案：F =R
L B υ
223a =Rm
L B υ2282.电磁感应中的电学问题（1）等效电路的判断
包括电源的等效，确定等效电源的正负极，感应电流的方向，电势高低，电容器极板带电性质等问题．
例：如图所示，在磁感应强度为0.2T 的匀强磁场中，有一长为0.5m 的导体AB 在金属框架上以10m/s 的速度向右滑动，R 1=R 2=20Ω，其它电阻不计，则流过AB 的电流是，
流过R 1的电流是。

例：如图所示，长为L 电阻为r 的导体棒ab 以速度v 匀速向右运动，图中两电阻的阻值均为R ，求流过电阻R 的电流。

（2）常见电学量的求解
以等效电路图为基础，根据闭合电路的规律求解电路中的电流，电阻，电压，电功率，某用电器或电路生成的热等问题。

例：两个互连的金属圆环，粗金属环的电阻是细金属环电阻的二分之一．磁场垂直穿过粗金属环所在区域．当磁感应强度随时间均匀变化时，在粗环内产生的感应电动势为E ，则a 、b 两点间的电势差为
例：如图所示,螺线管匝数n ＝1500匝，横截面积S ＝20cm 2，导线的电阻r ＝1.5Ω，R 1＝3.5Ω，R 2＝25Ω。

穿过螺线管的磁感应强度B 按右图所示规律变化。

则R 2的电功率为____1_W ；A 点的电势为___-5V 。

（3）电路中通过的电荷量的计算
设在时间△t 内通过导线截面的电量为q ，结合电流定义式t
q
I ∆=和法拉第电磁感应定律，可得出q 的表达式。

推导过程：
（n 为线圈匝数；∆Φ为磁通量的变化量；R 为闭合电路的总电阻。

）
例：有一面积为S ＝1002
cm 的金属环，电阻为R ＝0.1Ω，环中磁场变化规律如图所示，磁场方向垂直环面向里，则在21~t t 时间内通过金属环某一截面的电荷量为________C ．
练：如图所示，两条平行且足够长的金属导轨置于磁感应强度为B 的匀强
磁场中，B 的方向垂直导轨平面。

两导轨间距为L ，左端接一电阻R ，其余电阻不计。

长为2L 的导体棒ab 如图所示放置，开始时ab 棒与导轨垂直，在ab 棒绕a 点紧贴导轨滑倒的过程中，通过电阻R 的电荷量是。

练：如图所示，导线全部为裸导线，半径为r 的圆内有垂直于圆平面的匀强磁场，磁感强度为B ，一根长度大于2r 的导线MN 以速率v 在圆环上无摩擦地自左端匀速滑动到右端，电路的固定电阻为R ，其余电阻不计，求MN 从圆环的左端滑到右端的过程中电阻R 上的电流强度的平均值和通过R 的电荷量．
练：物理实验中常用一种叫做"冲击电流计"的仪器测定通过电路的电量．如图所示，探测线圈与冲击电流计串联后可用来测定磁场的磁感应强度．已知线圈的匝数为n，面积为S，线圈与冲击电流计组成的回路电阻为R．若将线圈放在被测匀强磁场中，开始线圈平面与磁场垂直，现把探测线圈翻转180°，冲击电流计测出通过线圈的电量为q，由上述数据可测出磁场的磁感应强度为(
)
A.S qR
B.nS qR
C.nS qR 2
D.S
qR 23.电磁感应中的能量问题
在电磁感应现象中，能量守恒。

外力移动导体所做的功F W ，一部分消耗于克服安培力做功安W ，转化为产生感应电流的电能电W 最后再转化为焦耳热Q ，另一部分用于增加导体的动能k E ∆，针对这一过程，可以从两个角度列方程
：
N
M
R
×××
×
（1）F W =Q +k E ∆；
依据是能量守恒或功能关系
（2）k E ∆=F W +安W ；︱安W ︱=Q ；
依据是动能定理、安培力做功与能量转化的关系
例：如图所示，矩形线圈abcd 质量为m ，宽为d ，在竖直平面内由静止自由下落。

其下方有如图方向的匀强磁场，磁场上、下边界水平，宽度也为d ，线圈ab 边刚进入磁场就开始做匀速运动，那么在线圈穿越磁场的全过程，产生了多少电热？
练：如图所示，相距为d 的两水平线L 1和L 2分别是水平向里的匀强磁场的边界，磁场的磁感应强度为B ，正方形线框abcd 边长为L(L<d)、质量为m 。

将线框在磁场上方高h 处由静止开始释放，当ab 边进入磁场时速度为V 0，cd 边刚穿出磁场时速度也为V 0。

从ab 边刚进入磁场到cd 边刚穿出磁场的整个过程中()
A ．线框一直都有感应电流
B ．线框有一阶段的加速度为g
C ．线框产生的热量为mg(d+h+L)
D ．线框做过减速运动
例：图中回路竖直放在匀强磁场中，磁场的方向垂直于回路平面向内。

导线AC 可以贴着光滑竖直长导轨下滑。

设回路的总电阻恒定为R ，当导线AC 从静止开始下落后，下面有关回路能量转化的叙述中正确的是（）A.导线下落过程中机械能守恒；
B.导线加速下落过程中，导线减少的重力势能全部转化为回路产生的热量；
C.导线加速下落过程中，导线减少的重力势能全部转化为导线增加的动能；
D.导线加速下落过程中，导线减少的重力势能转化为导线增加的动能和回路增加的内能
例：如图所示，长为L 的正方形线圈电阻为R，处于磁感应强度为B 的匀强磁场边缘，线圈与磁感线垂直．求：将线圈以向右的速度v 匀速拉出磁场的过程中，⑴拉力F 大小⑵拉力做的功W
⑶线圈中产生的电热Q
⑷通过线圈某一截面的电荷量q ．
例：竖直放置的光滑U 形导轨宽0.5m，电阻不计，置于很大的磁感应强度是1T 的匀强磁场中，磁场垂直于导轨平面，如图所示，质量为10g，电阻为1Ω的金属杆PQ 无初速度释放后，紧贴导轨下滑（始终能处于水平位置）。

问：
（1）到通过PQ的电量达到0.2c时，PQ下落了多大高度？（2）若此时PQ正好到达最大速度，此速度多大？
（3）以上过程产生了多少热量？
例：如图所示，abcd 为静止于水平面上宽度为L 而长度甚长的U 形金属滑轨，bc 连接有电阻R ，其它部分电阻不计，ef 为一可在滑轨平面上滑动、质量为m 的均匀金属棒．一均匀磁场B 垂直滑轨面．金属棒以一水平细绳跨过定滑轮，连接一质量为M 的重物．若重物从静止开始下落，假定滑轮无质量，且金属棒在运动中均保持与bc 边平行，忽略所有摩擦力．则：①当金属棒做匀速运动时，其速率是多少？（忽略bc 边对金属棒的作用力）．②若重物从静止开始至匀速运动之后的某一时刻下落的总高度为h ，求这一过程中电阻R 上产生的热量．
高考真题
例：如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 间距为l =0.5m ，
其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成3030º
º角。

完全相同的两金属棒ab 、cd 分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，
已知两棒质量均为m =0.02kg ，电阻均为R=0.10.1Ω
Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B =0.2T ，棒ab 在平行于导轨向上的力F 作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd 恰好能够保持静止。

取g =10m/s 2，问
⑴通过棒cd 的电流I 是多少，方向如何？⑵棒ab 受到的力F 多大？
⑶棒cd 每产生Q =0.1J 的热量，力F 做的功W 是多少？
答案：
I =1A ，由d 到c F =0.2N W =0.4J
例：两根光滑的长直金属导轨M N 、M′N′平行置于同一水平面内，导轨间距为l ，电阻不计，M 、M ′处接有如图所示的电路，电路中各电阻的阻值均为R ，电容器的电容为C 。

长度也为l 、阻值同为R 的金属棒a b 垂直于导轨放置，导轨处于磁感应强度为B 、方向竖直向下的匀强磁场中。

a b 在外力作用下向右匀速运动且与导轨保持良好接触，在总运动距离为s 的过程中，整个回路中产生的焦耳热为Q。

求N
c
M
⑴.a b 运动速度v 的大小；⑵.电容器所带的电荷量q 。

答案：
224QR v B l s =
CQR q Bls
=
例:图中MN 和PQ 为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距l 为0.40m ，电阻不计。

导轨所在平面与磁感应强度B 为0.50T 的匀强磁场垂直。

质量m 为6.0×10-3kg 、电阻为1.0Ω的金属杆ab 始终垂直于导轨，并与其保持光滑接触。

导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为3.0Ω的电阻R 1。

当杆ab 达到稳定状态时以速率v 匀速下滑，整个电路消耗的电功率P 为0.27W ，重力加速度取10m/s 2，试求速率v 和滑动变阻器接入电路部分的阻值R 2。

答案：4.5m/s ，6.0Ω
例：如图所示，质量m 1=0.1kg ，电阻R 1=0.3Ω，长度l=0.4m 的导体棒ab 横放在U 型金属框架上。

框架质量
m 2=0.2kg ，放在绝缘水平面上，与水平面间的动摩擦因数μ=0.2，相距0.4m 的MM MM’’、NN NN’
’相互平行，电阻不计且足够长。

电阻R 2=0.1Ω的MN 垂直于MM MM’
’。

整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.5T 。

垂直于ab 施加F=2N 的水平恒力，ab 从静止开始无摩擦地运动，始终与MM MM’’、NN NN’
’保持良好接触，当ab 运动到某处时，框架开始运动。

设框架与水平面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10m/s 2.(1)求框架开始运动时ab 速度v 的大小；
（2）从ab 开始运动到框架开始运动的过程中，MN 上产生的热量Q=0.1J ，求该过程ab 位移x 的大小。

答案：6/v m s =； 1.1x m
=例：如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角30θ=°的斜面上，导轨电阻不计，间距0.4m L =
．导轨a
所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN ，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为0.5T B =．在区域Ⅰ中，将质量10.1kg m =，电阻
10.1R =Ω的金属条ab 放在导轨上，ab 刚好不下滑．然后，在区域Ⅱ中将质量20.4kg m =，电阻20.1R =Ω的光滑导体棒cd 置于导轨上，由静止开始下滑．cd 在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab 、cd 始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取210m/s g =．问（1）cd 下滑的过程中，ab 中的电流方向；（2）ab 刚要向上滑动时，cd 的速度v 多大；
（3）从cd 开始下滑到ab 刚要向上滑动的过程中，cd 滑动的距离 3.8m x =，此过程中ab 上产生的热量Q 是多少．
答案：⑴由a 流向b （2）5m/s v =（3） 1.3J
Q =。