高考数学模拟复习试卷试题模拟卷17314

高考模拟复习试卷试题模拟卷
【考情解读】
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质．
2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．
3.理解数形结合的思想． 【重点知识梳理】 1．双曲线的定义
平面内动点与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c ＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|大于零)，则点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合P ＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a>0，c>0：
(1)若a<c 时，则集合P 为双曲线； (2)若a ＝c 时，则集合P 为两条射线； (3)若a>c 时，则集合P 为空集． 2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)
y2a2－x2b2＝1 (a>0，b>0)
图 形
性 质
范围 x≥a 或x≤－a ，y ∈R
x ∈R ，y≤－a 或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a ，0)，A2(a ，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y ＝±b a x
y ＝±a b x 离心率
e ＝c
a ，e ∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a ；线段B1B2叫
做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b ；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长
a ，
b ，
c 的关系
c2＝a2＋b2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)
【高频考点突破】
考点一双曲线的定义及应用
【例1】 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
(2)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
【变式探究】
(1)设P是双曲线x2
16－y2
20＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝()
A ．1
B ．17
C ．1或17
D ．以上答案均不对
(2)已知F 是双曲线x24－y2
12＝1的左焦点，A(1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为( )
A ．5
B ．5＋4 3
C ．7
D ．9
考点二 双曲线的标准方程
【例2】 (1)(·天津卷)已知双曲线x2a2－y2
b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )
A.x25－y220＝1
B.x220－y25＝1
C.3x225－3y2100＝1
D.3x2100－3y225＝1
(2)设双曲线与椭圆x227＋y2
36＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．
【变式探究】 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为5
4； (2)焦距为26，且经过点M(0，12)； (3)经过两点P(－3，27)和Q(－62，－7)．
考点三双曲线的几何性质
【例3】 (1)设F1，F2分别为双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点
P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为() A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0 D．5x＋4y＝0
(2)(·浙江卷)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
【变式探究】 已知双曲线x2a2－y2
b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F1(－c ，0)，F2(c ，0)，若双曲线存在一点P 使sin ∠PF1F2sin ∠PF2F1＝a
c ，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
解析在△PF1F2中，由正弦定理知
|PF2|sin ∠PF1F2＝|PF1|sin ∠PF2F1，又sin ∠PF1F2sin ∠PF2F1＝a
c ， ∴|PF2||PF1|＝a
c ，
考点四直线与双曲线的位置关系
【例4】已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为2 3.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围．
一般与双曲线的几何性质结合考查．
【变式探究】 (·湖北卷)设a ，b 是关于t 的方程t2cos θ＋tsin θ＝0的两个不等实根，则过A(a ，a2)，B(b ，b2)两点的直线与双曲线x2cos2θ－y2
sin2θ＝1的公共点的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【真题感悟】
1.【高考重庆，文9】设双曲线2
22
2
1(a 0,b 0)x y a b 的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过
F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（）
(A)
1
2 (B) 2
2
(C) 1 (D) 2
2.【高考四川，文7】过双曲线2
2
13
y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB|＝( )
(A)43
3
(B)23 (C)6 (D)43
3.【高考新课标1，文16】已知F是双曲线
2
2
:1
8
y
C x-=的右焦点，P是C左支上一点，
()
0,66
A，当APF
∆周长最小时，该三角形的面积为．
4.【高考天津，文5】已知双曲线2
22
2
1(0,0)x y a b a
b 的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与
圆2
2
2
y 3x 相切,则双曲线的方程为（）
(A)
221913x y (B) 2
2
1139x y (C)
2
2
13
x y
(D) 22
13
y x
5.【高考湖南，文6】若双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近线经过点（3，4），则此双曲线的离心率为( )
A 、
73 B 、54 C 、43 D 、5
3
6.【高考安徽，文6】下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）
（A ）22
14y x -= （B ）2
214
x y -= （C ）22
12y x -= （D ）2
212
x y -= 【答案】A
【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为x y 2±=，故选A.
7.【高考湖北，文9】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）
A ．对任意的,a b ，12e e >
B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <
C ．对任意的,a b ，12e e <
D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >
8.【高考北京，文12】已知()2,0是双曲线2
2
21y x b
-=（0b >）的一个焦点，则b =．
9.【高考上海，文12】已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为14
22
=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为.
【答案】14
42
2=-y x 【解析】因为1C 的方程为1422=-y x ，所以1C 的一条渐近线的斜率2
1
1=k ，所以2C 的一条渐近线的斜率12=k ，因为双曲线1C 、2C 的顶点重合，即焦点都在x 轴上，
设2C 的方程为)0,0(122
22>>=-b a b y a x ，
所以2==b a ，所以2C 的方程为14
42
2=-y x . 10.【高考山东，文15】过双曲线C ：22
221x y a a
-=0,0a b >>（）
的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 .
1．（·湖北卷）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π
3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
A.433
B.23
3 C ．3 D ．2
2．（·北京卷）设双曲线C 经过点(2，2)，且与y2
4－x2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．
【答案】x23－y212＝1 y ＝±2x 【解析】设双曲线C 的方程为y24－x2＝λ，将(2，2)代入得22
4－22＝－3
＝λ，∴双曲线C 的方程为x23－y212＝1.令y2
4－x2＝0得渐近线方程为y ＝±2x.
3．（·全国卷）已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F1，F2，点A 在C 上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos ∠AF2F1＝( )
A.14
B.13
C.24
D.23
4．（·福建卷）已知双曲线E ：x2a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y ＝2x ，l2：y ＝－2x. (1)求双曲线E 的离心率．
(2)如图1-6，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l1，l2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．
图1-6
设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k>2或k<－2，则C ⎝⎛⎭
⎫－m k ，0.记A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x 得y1＝2m 2－k ，同理得y2＝2m
2＋k .
由S △OAB ＝1
2|OC|·|y1－y2|，得 12⎪⎪⎪⎪－m k ·
⎪⎪⎪⎪2m
2－k －2m 2＋k ＝8， 即m2＝4||4－k2＝4(k2－4)．
由⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝kx ＋m ，x24－y216＝1得(4－k2)x2－2kmx －m2－16＝0.
因为4－k2<0，
所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．
方法三：(1)同方法一．
(2)当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A(x1，y1)，B(x2，y2)．依题意得k>2或k<－2.
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x2－y2＝0得(4－k2)x2－2kmx －m2＝0， 因为4－k2<0，Δ>0，所以x1x2＝－m24－k2，
又因为△OAB 的面积为8，
所以12 |OA|·|OB|· sin ∠AOB ＝8，又易知sin ∠AOB ＝45， 所以25x21＋y21·x22＋y22＝8，化简得x1x2＝4.
5．（·广东卷）若实数k 满足0<k<9，则曲线x225－y29－k ＝1与曲线x225－k －y2
9＝1的( )
A ．焦距相等
B ．实半轴长相等
C ．虚半轴长相等
D ．离心率相等
6．（·湖南卷）如图1-7，O 为坐标原点，椭圆C1：x2a2＋y2
b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：x2a2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝3
2，且|F2F4|＝3－1.
(1)求C1，C2的方程；
(2)过F1作C1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．
图1-7
7．（·江西卷）如图1-7所示，已知双曲线C ：x2
a2－y2＝1(a>0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA(O 为坐标原点)．
图1-7
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过C 上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l ：x0x a2－y0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝3
2相交于点N.证明：当点P 在C 上移动时，|MF|
|NF|恒为定值，并求此定值．
8．（·新课标全国卷Ⅰ] 已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()
A. 3 B．3
C.3m D．3m
9．（·山东卷）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为x2
a2＋y2
b2＝1，双曲线C2的方程为
x2
a2－
y2
b2＝1，C1
与C2的离心率之积为
3
2，则C2的渐近线方程为()
A. x±2y＝0
B. 2x±y＝0
C. x±2y＝0
D. 2x±y＝0
10．（·天津卷）已知双曲线x2a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )
A.x25－y220＝1
B.x220－y2
5＝1 C.3x225－3y2100＝1 D.3x2100－3y225＝1
11．（·浙江卷）设直线x －3y ＋m ＝0(m≠0)与双曲线x2a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A ，B.若点P(m ，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
12．（·重庆卷）设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF1|＋|PF2|＝3b ，|PF1|·|PF2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )
A.43
B.53
C.9
4 D ．3
【答案】B 【解析】不妨设P 为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a ，联立|PF1|＋|PF2|＝3b ，平方相减得|PF1|·|PF2|＝9b2－4a24，则由题设条件，得9b2－4a24＝94ab ，整理得b
a ＝43，∴e ＝c a ＝
1＋⎝⎛⎭
⎫b a 2
＝
1＋⎝⎛⎭
⎫432
＝53.
【押题专练】
1．设双曲线x2a2－y2
b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±12x B ．y ＝±2
2x C ．y ＝±2x D ．y ＝±2x
2．设F1，F2是双曲线x2－y2
24＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A ．4 2
B ．8 3
C ．24
D ．48
3．过双曲线C ：x2a2－y2
b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A.若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )
A.x24－y2
12＝1 B.x27－y29＝1 C.x28－y2
8＝1
D.x212－y24＝1
4．已知点F 是双曲线x2a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( )
A ．(1，＋∞)
B ．(1，2)
C ．(1，1＋2)
D ．(2，1＋2)
5．已知F1，F2分别是双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线
平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是________．
6．已知双曲线x2m －y23m ＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆y2n －x2
m ＝1的焦距等于4，则n ＝________．
7．已知F 为双曲线C ：x29－y2
16＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．
8．已知椭圆D ：x250＋y2
25＝1与圆M ：x2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．
9．已知双曲线y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为25
5. (1)求此双曲线的方程；
(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →
，求
△AOB 的面积．
10.如图，O 为坐标原点，双曲线C1：x2a21－y2b21＝1(a1＞0，b1＞0)和椭圆C2：y2a22＋x2
b22＝1(a2＞b2＞0)均过点P ⎝
⎛⎭
⎪⎫
233，1，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．
(1)求C1，C2的方程；
(2)是否存在直线l ，使得l 与C1交于A ，B 两点，与C2只有一个公共点，且|OA →＋OB →|＝|AB →
|？证明你的结论．
解 (1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c2＝2，2a1＝2，从而a1＝1，c2＝1.因为点P ⎝
⎛⎭
⎪⎫
233，1在双
曲线
高考模拟复习试卷试题模拟卷
高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆
一．基础题组
1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )
A ．1
B ．13-
C ．2
3
-
D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．
3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线
)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.
4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线
0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．
二．能力题组
1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线2
1y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22
430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）
A.
4515- B.25
15
- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2
2
14x y +-=。

若过点11,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。

3.（武汉市部分学校 新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.
三．拔高题组
1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆
0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．3-<a 或1>a
B ．2
3<
a C ．13<<-a 或2
3
>
a D ．3-<a 或231<<a
2.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、7）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆
22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A ．53-
或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或3
4
- 3.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9）若),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，
PB PA ,是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，B A ,是切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则=
k （ ）
A. 3
B.
2
21
C. 22
D. 2 4.（云南师范大学附属中学月考、文、12）设直线l 与抛物线x2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：
222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是
（ ）
A.（1，3)
B. (1,4)
C. (2, 3)
D. (2, 4)
5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线
30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【高频考点解读】
1.了解指数函数模型的实际背景．
2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
5．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
6.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．
7.知道对数函数是一类重要的函数模型．
8.了解指数函数y ＝ax 与对数函数y ＝logax 互为反函数(a>0，且a≠1)． 【热点题型】
题型一指数式与根式的计算( 例1、计算
(1)733－3324－6319＋433
3＝________. (2)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭
⎫21027－2
3－3π0＋3748＝________.
【提分秘籍】
化简指数幂的一般步骤是：有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算(即先乘方、开方)，再乘除，最后加减，负指数幂化为正指数幂的倒数；底数是负数，先确定符号；底数是小数，先要化成分数；
底数是带分数的，先要化成假分数；若是根式，应化为分数指数幂，然后再尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质．
【举一反三】
若x>0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 1
2)＝________.
解析：原式＝(2x 14)2－(332)2－4x1－12＋4x －12＋12＝4x 12－33－4x 1
2＋4＝－23. 答案：－23
题型二指数函数的图象问题(
例2、若方程|ax －1|＝2a(a>0，且a≠1)有两解，则a 的取值范围是________．
解析 令f(x)＝|ax －1|，g(x)＝2a ，画出它们的图象，如图，由图可知0<2a<1，则0<a<1
2.
答案 ⎝⎛⎭
⎫0，12 【提分秘籍】
y ＝ax ，y ＝|ax|，y ＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系： y ＝ax 与y ＝|ax|是同一函数的不同表现形式．
函数y ＝a|x|与y ＝ax 不同，前者是一个偶函数，其图象关于y 轴对称，当x≥0时两函数图象相同．
【举一反三】
已知c<0，下列不等式中成立的一个是() A ．c>2c B ．c>⎝⎛⎭⎫12c C ．2c<⎝⎛⎭
⎫12c D ．2c>⎝⎛⎭
⎫12c 解析：在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝x ，y ＝⎝⎛⎭
⎫12x ，y ＝2x 的图象(如图)，显然x<0时，
x<2x<⎝⎛⎭
⎫12x.
即c<0时，c<2c<⎝⎛⎭
⎫12c.故选C. 答案：C
题型三指数函数性质的应用
例3、设a ＝40.8，b ＝80.46，c ＝⎝⎛⎭
⎫12－1.2，则a ，b ，c 的大小关系为() A ．a>b>c
B ．b>a>c
C ．c>a>b
D ．c>b>a
解析 ∵a ＝40.8＝21.6，b ＝80.46＝21.38，c ＝⎝⎛⎭
⎫12－1.2＝21.2，又∵1.6>1.38>1.2，∴21.6>21.38>21.2.即a>b>c.
答案 A 【提分秘籍】
(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．
(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(3)指数型函数中参数的取值范围问题．在解决涉及指数函数的单调性或最值问题时，应注意对底数a 的分类讨论．
【举一反三】
若函数f(x)＝⎩⎨
⎧
1
x ，x<0，
⎝⎛⎭
⎫13x ，x≥0，则不等式－13≤f(x)≤1
3的解集为()
A ．[－1,2)∪[3，＋∞)
B ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
C.⎣⎡⎭
⎫32，＋∞ D ．(1， 3 ]∪[3，＋∞)
答案：B 题型四对数运算
例4、(1)(3＋2)2log(3－2)5＝( ) A ．1B.12 C.14D.15
(2)
＝________.
(3)若log147＝a,14b ＝5，则a ，b 表示log3528＝________. 解析 (1)原式＝(3＋2)log(3－2)5 ＝(3＋2)log(3＋2)1
5 ＝15.
(2)原式＝
＝
＝－32
(3)∵14b ＝5，∴log145＝b ， 又log147＝a ， ∴log3528＝log1428
log1435 ＝log141427log145＋log147 ＝2－a
a ＋b
. 答案 (1)D (2)－3
2 (3)2－a a ＋b
【提分秘籍】对数式的化简与求值的常用思路：
(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数的运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底数真数的积、商、幂再运算．
【举一反三】
lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2＝() A ．1B ．2 C ．3
D ．4
解析：原式＝2lg 5＋lg 2·(1＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5＋lg 2) ＝2lg 5＋2lg 2＝2. 答案：B
题型五对数函数的图象及应用
例5、(1)函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是()
(2)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则()
A．x1x2<0 B．x1x2＝0
C．x1x2>1 D．0<x1x2<1
(2)作出y＝10x，与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．
显然x1<0，x2<0.
不妨设x1<x2，
则x1<－1，－1<x2<0，
所以10x1＝lg(－x1)，
10x2＝－lg(－x2)，
此时10x1<10x2，
即lg(－x1)<－lg(－x2)，
由此得lg(x1x2)<0，
所以0<x1x2<1， 故选D. 答案 (1)B(2)D 【提分秘籍】
在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．在研究方程的根时，可把方程的根看作两个函数图象交点的横坐标，通过研究两个函数图象得出方程根的关系．
【举一反三】
若函数y ＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()
题型六对数函数的性质及应用
例6、对于函数f(x)＝log 1
2(x2－2ax ＋3)，解答下列问题：
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；
(3)若函数f(x)在(－∞，1]内为增函数，求实数a的取值范围．
【提分秘籍】
对数函数性质的考查多与复合函数联系在一起．要注意两点：
(1)要认清复合函数的构成，判断出单调性．
(2)不要忽略定义域．
【举一反三】
已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间．
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解析：(1)∵f(1)＝1，
∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，函数f(x)的定义域为(－1,3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3，
则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．
又y ＝log4x 在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a 使f(x)的最小值为0， 则h(x)＝ax2＋2x ＋3应有最小值1， 因此应有⎩⎪⎨⎪⎧
a>0，3a －1a ＝1，解得a ＝1
2.
故存在实数a ＝1
2
使f(x)的最小值为0. 【高考风向标】
1.【高考新课标1，文10】已知函数12
22,1
()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩，且()3f a =-，则(6)f a -=
（ ）
（A ）74-
（B ）54-（C ）34-（D ）1
4
- 【答案】A
【解析】∵()3f a =-，∴当1a ≤时，1
()2
23a f a -=-=-，则121a -=-，此等式显然不成立，
当1a >时，2log (1)3a -+=-，解得7a =，∴(6)f a -=(1)f -=117
224
---=-
，故选A. 2.【高考山东，文8】若函数21
()2x x f x a
+=-是奇函数，则使3f x >（）成立的x 的取值范围为( )
（A ）( ) (B)(
) （C ）0,1（）（D ）1,+∞（）
【答案】C
3.【高考山东，文2】设0.6 1.50.6
0.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是( )
（A ）a b c ＜＜（B ） a c b ＜＜（C ）b a c ＜＜（D ）b c a ＜＜ 【答案】C
【解析】由0.6x
y =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C . 4.【高考新课标1，文12】设函数()y f x =的图像与2
x a
y +=的图像关于直线y x =-对称，且
(2)(4)1f f -+-=，则a =( )
（A ）1-（B ）1（C ）2（D ）4 【答案】C
【解析】设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为（,y x --），由已知知（,y x --）在函数2
x a
y +=的图像上，∴2y a x -+-=，解得2log ()y x a =--+，即
2()log ()f x x a =--+，∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C.
5.【高考浙江，文9】计算：22
log 2
=，24log 3log 32+=． 【答案】1
,332
-
【解析】122
221
log log 22
-==-；2424log 3log 3log 3log 32223333+=⨯==. 6.【高考四川，文12】lg0.01＋log216＝_____________. 【答案】2
【解析】lg0.01＋log216＝－2＋4＝2
7.【高考湖北，文17】a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a . 当
a =_________时，()g a 的值最小.
【答案】222.
【解析】因为函数2()||f x x ax =-，所以分以下几种情况对其进行讨论：①当0a ≤时，函数
22()||f x x ax x ax =-=-在区间[0,1]上单调递增，所以max ()(a)1f x g a ==-；②当0222a <<时，
此时22()|()|2224a a a a f a =-⨯=，(1)1f a =-，而22
(2)(1)2044a a a +--=-<，所以max ()(a)1f x g a ==-；
③当2221a ≤<时，22()||f x x ax x ax =-=-+在区间(0,)2a 上递增，在(,1)2a 上递减.当2
a
x =时，()
f x 取得最大值2
()24a a f =；④当2a ≥时，22()||f x x ax x ax =-=-+在区间[0,1]上递增，当1x =时，()f x 取
得最
大值(1)1
f a
=-，则
2
1,222 (),2
222
4
1,2
a a
a
g a a
a a
⎧-<-
⎪
⎪
=-≤<
⎨
⎪
-≥
⎪
⎩
在(,222)
-∞-上递减，(222,)
-+∞上递增，即当222
a=-时，()
g a的值最小.故应填222
-.
8.【高考上海，文8】方程2
)2
3(
log
)5
9(
log1
2
1
2
+
-
=
--
-x
x的解为.
【答案】2
9．（·天津卷）设a＝log2π，b＝log
1
2π，c＝π－2，则()
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．c＞b＞a
【答案】C
【解析】∵a＝log2π>1，b＝log
1
2π<0，c＝
1
π2<1，
∴b<c<a.
10．（·四川卷）已知b＞0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是()
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
【答案】B
【解析】因为5d＝10，所以d＝log510，所以cd＝lg b·log510＝log5b＝a，故选B.
11．（·安徽卷）设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则()
A．b<a<c B．c<a<b
C．c<b<a D．a<c<b
【答案】B
【解析】因为2>a ＝log37>1，b ＝21.1>2，c ＝0.83.1<1，所以c<a<b.
12．（·福建卷）若函数y ＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是()
AB
CD 【答案】B
13．（·辽宁卷）已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则() A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b 【答案】D
【解析】因为0<a ＝2－13<1，b ＝log21
3<0， c ＝log 1213>log 121
2＝1，所以c>a>b.
14．（·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧ex －1，x ＜1，x 13，x≥1，则使得f(x)≤2成立的x 的取值范围是
________．
【答案】(－∞，8]
【解析】当x<1时，由ex －1≤2，得x<1；当x≥1时，由x 1
3≤2，解得1≤x≤8，综合可知x 的取值范围为x≤8.
15．（·山东卷）已知实数x ，y 满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是() A ．x3>y3 B ．sin x>sin y
C ．ln(x2＋1)>ln(y2＋1) D.1x2＋1>1y2＋1 【答案】A
【解析】因为ax ＜ay(0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以x3>y3恒成立．故选A. 16．（·陕西卷）下列函数中，满足“f(x ＋y)＝ f(x)f(y)”的单调递增函数是() A ．f(x)＝x3 B ．f(x)＝3x C ．f(x)＝x 12 D ．f(x)＝⎝⎛⎭⎫12x
【答案】B
【解析】由于f(x ＋y)＝f(x)f(y)，故排除选项A ，C.又f(x)＝⎝⎛⎭
⎫12x
为单调递减函数，所以排除选项D. 18．（·陕西卷）已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________． 【答案】10
【解析】4a ＝2，即22a ＝2，可得a ＝12，所以lg x ＝12，所以x ＝101
2＝10.
19．（·四川卷）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P(x ，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是()
A ．[5，2 5 ]
B ．[10，2 5 ]
C ．[10，4 5 ]
D ．[25，4 5 ] 【答案】B
20．（·天津卷） 函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________． 【答案】(－∞，0)
【解析】函数f(x)＝lg x2的单调递减区间需满足x2>0且y ＝x2单调递减，故x ∈(－∞，0)． 21．（·安徽卷） ⎝⎛⎭
⎫1681－
3
4＋log354＋log345
＝________.
【答案】278
【解析】原式＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝⎛⎭⎫234－34＋log3⎝⎛⎭⎫54×45＝⎝⎛⎭⎫23－3＝278. 22．（·浙江卷） 在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x ＞0)，g(x)＝logax 的图像可能是( )
A B
C D 【答案】D
【解析】只有选项D 符合，此时0<a<1，幂函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f(x)的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g(x)在(0，＋∞)上为减函数．故选D.
23．（·福建卷） 若函数y ＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )
A B
C D 【答案】B
【解析】由函数y ＝logax 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭
⎫13x
，其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x3，其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x)3，其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log3(－x)，其函数图像不正确，故选B.
24．（·广东卷） 等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．
【答案】5
【解析】在等比数列中，a1a5＝a2a4＝a23＝4.因为an>0，所以a3＝2，所以a1a2a3a4a5＝
(a1a5)(a2a4)a3＝a53＝25，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5.
25．（·辽宁卷） 已知a ＝2－13，b ＝log213，c ＝log 1213，则() A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b 【答案】D
【解析】因为0<a ＝2－13<1，b ＝log213<0，c ＝log 1213>log 121
2＝1，所以c>a>b.
26．（·山东卷） 已知函数y ＝loga(x ＋c)(a ，c 为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是( )
图1-1
A ．a>1，x>1
B ．a>1，0<c<1
C ．0<a<1，c>1
D ．0<a<1，0<c<1 【答案】D
【解析】由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，∴0＜a ＜1.∵图像与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图像是由函数y ＝logax 的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0＜c ＜1.
27．（·四川卷） 已知b ＞0，log5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝acB ．a ＝cd C ．c ＝adD ．d ＝a ＋c 【答案】B
【解析】因为5d ＝10，所以d ＝log510，所以cd ＝lg b·log510＝log5b ＝a ，故选B. 28．（·重庆卷） 若log4(3a ＋4b)＝log2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4
3
【答案】D
【高考押题】
1．函数y ＝a|x|(a>1)的图像是()
解析y ＝a|x|＝⎩
⎪⎨⎪⎧
ax x≥0，a －x x ＜0.当x≥0时，与指数函数y ＝ax(a>1)的图像相同；当x<0时，y ＝a －x 与
y ＝ax 的图像关于y 轴对称，由此判断B 正确．
答案B
2．已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
log3x ，x>0
2x x≤0，则f(9)＋f(0)＝()
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析f(9)＝log39＝2，f(0)＝20＝1， ∴f(9)＋f(0)＝3. 答案D
3．不论a 为何值时，函数y ＝(a －1)2x －a
2恒过定点，则这个定点的坐标是 ()． A.⎝⎛⎭
⎫1，－12
B.⎝⎛⎭⎫1，12
C.⎝⎛⎭
⎫－1，－12
D.⎝⎛⎭
⎫－1，12
解析 y ＝(a －1)2x －a 2＝a ⎝⎛⎭
⎫2x －12－2x ，令2x －12＝0，得x ＝－1，则函数y ＝(a －1)2x －a 2恒过定点
⎝
⎛⎭⎫－1，－12.
答案 C
4．定义运算：a*b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a ，a≤
b ，b ，a>b ，如1*2=1,则函数f(x)
=2x*2x 的值域为()．
A ．R
B ．(0，＋∞)
C ．(0,1]
D ．[1，＋∞)
解析 f(x)＝2x*2－x ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ，x≤0，
2－x ，x>0，∴f(x)在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，
∴0<f(x)≤1.
答案 C
5．若a>1，b>0，且ab ＋a －b ＝22，则ab －a －b 的值为() A. 6 B ．2或－2
C ．－2
D ．2
解析(ab ＋a －b)2＝8⇒a2b ＋a －2b ＝6，
∴(ab －a －b)2＝a2b ＋a －2b －2＝4. 又ab>a －b(a>1，b>0)，∴ab －a －b ＝2. 答案D
6．若函数f(x)＝(k －1)ax －a －x(a>0且a≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x ＋k)的图象是下图中的
()．
解析 函数f(x)＝(k －1)ax －a －x 为奇函数，则f(0)＝0，即(k －1)a0－a0＝0，解得k ＝2，所以f(x)＝ax －a －x ，又f(x)＝ax －a －x 为减函数，故0<a<1，所以g(x)＝loga(x ＋2)为减函数且过点(－1,0)．
答案 A
7．已知实数a ＝log45，b ＝⎝⎛⎭
⎫120，c ＝log30.4，则a ，b ，c 的大小关系为() A ．b<c<a B ．b<a<c C ．c<a<b
D ．c<b<a
解析由题知，a ＝log45>1，b ＝⎝⎛⎭
⎫120＝1，c ＝log30.4<0，故c<b<a. 答案D
8．设f(x)＝lg(2
1－x ＋a)是奇函数，则使f(x)＜0的x 的取值范围是()．
A ．(－1,0)
B ．(0,1)
C ．(－∞，0)
D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∴a ＝－1. ∴f(x)＝lg x ＋11－x ，由f(x)＜0得，0＜x ＋1
1－x ＜1，
∴－1＜x ＜0. 答案 A
9．若函数y ＝loga(x2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是()． A ．0<a<1 B ．0<a<2，a≠1 C ．1<a<2
D ．a≥2
解析 因为y ＝x2－ax ＋1是开口向上的二次函数，从而有最小值4－a2
4，故要使函数y ＝loga(x2－ax ＋1)有最小值，则a>1，且4－a2
4>0，得1<a<2，故选C.
答案 C
10．若函数f(x)＝loga(x2－ax ＋3)(a>0且a≠1)满足对任意的x1，x2，当x1<x2≤a
2时，f(x1)－f(x2)>0，则实数a 的取值范围为
()．
A ．(0,1)∪(1,3)
B ．(1,3)
C ．(0,1)∪(1,23)
D ．(1,23)
解析 “对任意的x1，x2，当x1<x2≤a
2时，f(x1)－f(x2)>0”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f(x)有意义”．事实上由于g(x)＝x2－ax ＋3在x≤a
2时递减，从而⎩⎪⎨⎪⎧
a>1，g ⎝⎛⎭⎫a 2>0.由此得a 的取值范围为
(1,23)．故选D.
答案 D
11．已知函数f(x)＝2x －1
2x ＋1.
(1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)求证f(x )在R 上为增函数．
12．已知函数f(x)＝b·ax(其中a ，b 为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)． (1)求f(x)；
(2)若不等式(1a )x ＋(1
b )x －m≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．
解析(1)把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax ，得
⎩
⎪⎨⎪⎧
6＝ab ，24＝b·a3. 结合a>0且a≠1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝3.
∴f(x)＝3·2x.
(2)要使(12)x ＋(1
3)x≥m 在(－∞，1]上恒成立，
只需保证函数y ＝(12)x ＋(1
3)x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可． ∵函数y ＝(12)x ＋(1
3)x 在(－∞，1]上为减函数， ∴当x ＝1时，y ＝(12)x ＋(13)x 有最小值5
6. ∴只需m≤5
6即可． ∴m 的取值范围(－∞，5
6]
13．已知函数f(x)＝⎝⎛⎭
⎫13ax2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a 的值．
解析(1)当a ＝－1时，f(x)＝⎝⎛⎭
⎫13－x2－4x ＋3， 令t ＝－x2－4x ＋3，
由于t(x)在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，
而y ＝⎝⎛⎭
⎫13t 在R 上单调递减， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增， 即函数f(x)的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)． (2)令h(x)＝ax2－4x ＋3，f(x)＝⎝⎛⎭⎫13h(x)， 由于f(x)有最大值3， 所以h(x)应有最小值－1，
因此必有⎩⎪⎨⎪
⎧
a>0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1.
即当f(x)有最大值3时，a 的值等于1. 14．已知定义在R 上的函数f(x)＝2x －1
2|x|. (1)若f(x)＝3
2，求x 的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)当x<0时，f(x)＝0，无解； 当x≥0时，f(x)＝2x －1
2x ，
由2x －12x ＝3
2，得2·22x －3·2x －2＝0，
看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或－12， ∵2x>0，∴x ＝1.
(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0，
即m(22t －1)≥－(24t －1)， ∵22t －1>0，∴m≥－(22t ＋1)，
∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．
15．若函数y ＝lg(3－4x ＋x2)的定义域为M.当x ∈M 时，求f(x)＝2x ＋2－3×4x 的最值及相应的x 的值．
16．已知函数f(x)＝loga x ＋b
x －b (a ＞0，b ＞0，a≠1)．
(1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的奇偶性； (3)讨论f(x)的单调性； 解 (1)令x ＋b
x －b
＞0，
解得f(x)的定义域为(－∞，－b)∪(b ，＋∞)． (2)因f(－x)＝loga －x ＋b －x －b ＝loga ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋b x －b －1
＝－loga x ＋b
x －b ＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(3)令u(x)＝x ＋b x －b ，则函数u(x)＝1＋2b
x －b 在(－∞，－b)和(b ，＋∞)上是减函数，所以当0＜a ＜1时，f(x)
在(－∞，－b)和(b ，＋∞)上是增函数；当a ＞1时，f(x)在(－∞，－b)和(b ，＋∞)上是减函数．
17．已知函数f(x)＝loga x ＋1
x －1
，(a>0，且a≠1)．
(1)求函数的定义域，并证明：f(x)＝loga x ＋1
x －1在定义域上是奇函数；
(2)对于x ∈[2,4]，f(x)＝loga
x ＋1x －1>loga m
x －127－x
恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)由x ＋1
x －1
>0，解得x<－1或x>1，
∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝loga －x ＋1－x －1＝loga x －1x ＋1＝loga ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋1x －1－1＝－loga x ＋1x －1＝－f(x)，
∴f(x)＝loga x ＋1
x －1
在定义域上是奇函数．
(2)由x ∈[2,4]时，f(x)＝loga x ＋1x －1>loga m
x －127－x 恒成立，
①当a>1时， ∴
x ＋1x －1>m
x －127－x
>0对x ∈[2,4]恒成立． ∴0<m<(x ＋1)(x －1)(7－x)在x ∈[2,4]恒成立． 设g(x)＝(x ＋1)(x －1)(7－x)，x ∈[2,4] 则g(x)＝－x3＋7x2＋x －7，
g′(x)＝－3x2＋14x ＋1＝－3⎝⎛⎭
⎫x －732＋52
3，
∴当x ∈[2,4]时，g′(x)>0.
∴y ＝g(x)在区间[2,4]上是增函数，g(x)min ＝g(2)＝15. ∴0<m<15.
②当0<a<1时，由x ∈[2,4]时，
f(x)＝loga x ＋1x －1>loga m
x －127－x 恒成立，
∴
x ＋1x －1<m x －127－x
对x ∈[2,4]恒成立． ∴m>(x ＋1)(x －1)(7－x)在x ∈[2,4]恒成立． 设g(x)＝(x ＋1)(x －1)(7－x)，x ∈[2,4]， 由①可知y ＝g(x)在区间[2,4]上是增函数， g(x)max ＝g(4)＝45，∴m>45.
∴m 的取值范围是(0,15)∪(45，＋∞). 高考模拟复习试卷试题模拟卷。