2019届高二数学人教版选修2-1：阶段水平测试(一)

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故假设不成立，即 a、b、c 不可能都是奇数．
20．(12 分)指出下列命题中，p 是 q 的什么条件： (1)p：{x|x>－2 或 x<3}；q：{x|x2－x－6<0}． (2)p：－2<m<0,0<n<1；q：关于 x 的方程 x2＋mx＋n＝0 有两个 小于 1 的正根． 解：(1)∵{x|x>－2 或 x<3}＝R，
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阶段水平测试(一)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
1. 下面所给三个命题中真命题个数有( )
(1)若 ac2>bc2，则 a>b；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(3)若在二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，b2－4ac<0，则该二次函数
图象与 x 轴有公共点；
1
2π
得 2＋2cosθ>1，∴cosθ>－2，∴0≤θ< 3 .
由|a－b|＝ a2－2a·b＋b2＝ 2－2cosθ>1，
1π 得 2－2cosθ>1，∴cosθ<2，∴3<θ≤π.
∴p1，p4 正确． 答案：p1，p4 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤． 17．(10 分)把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并写出它 的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)四条边相等的四边形是正方形；
D 项中，“圆 x2＋y2＝r2 与直线 ax＋by＋c＝0 相切” |c|
⇔圆心到直线的距离等于半径，即 d＝ a2＋b2＝r， 即 c2＝(a2＋b2)r2，所以充分性成立；反之也成立，即必要性也 成立，故 D 是真命题． 答案：D 9．设集合 A＝{x|－2－a<x<a，a>0)，命题 p：1∈A，命题 q：2∈A.若 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，则 a 的取值范围是( ) A. 0<a<1 或 a>2 B. 0<a<1 或 a≥2 C. 1<a≤2 D. 1≤a≤2 解析：若 p 为真命题，则－2－a<1<a， 解得 a>1. 若 q 为真命题，则－2－a<2<a，解得 a>2. 依题意，得 p 假 q 真，或 p 真 q 假， 即Error!或Error!∴1<a≤2. 答案：C
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答案：B
7. [2013·湖北高考]在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一
次．设命题 p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，
则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A. (綈 p)∨(綈 q)
B. p∨(綈 q)
C. (綈 p)∧(綈 q)
D. p∨q
解析：綈 p 表示甲没有降落在指定范围，綈 q 表示乙没有降落
逆否命题是________． 答案：如果一条直线是圆的切线，则它到圆心的距离等于圆的
半径 x－1
14. 设集合 A＝{x|x＋1<0}，B＝{x||x－b|<1}，则“A∩B≠∅”的 充要条件是________．
解析：A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|b－1<x<b＋1}，则“A∩B≠∅”
的充要条件是－1≤b－1<1 或－1<b＋1≤1，所以－2<b<2.
2 10．已知命题 p：存在 x∈R，使 tanx＝ 2 ，命题
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q：x2－3x＋2<0 的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p 且 q” 是真命题；②命题“p 且綈 q”是假命题；③命题“綈 p 或 q”是真
命题；④命题“綈 p 或綈 q”是假命题，其中正确的是( )
A. ②③
B. ①②④
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：∵p：－5≤x≤3，则綈 p：x<－5 或 x>3；
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∵q：2<x<3，则綈 q：x≤2 或 x≥3，∴綈 p 是綈 q 的充分不必要 条件．
答案：A 5. 命题“对任意的 x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( ) A. 不存在 x0∈R，x30－x20＋1≤0 B. 存在 x0∈R，x30－x20＋1≤0 C. 存在 x0∈R，x30－x20＋1>0 D. 对任意的 x∈R，x3－x2＋1>0 解析：题目中命题的意思是“对任意的 x∈R，x3－x2＋1≤0 都 成立”，要否定它，只要能找到至少一个 x0，使得 x30－x20＋1>0 即可， 故命题“对任意的 x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在 x0∈R，x30－x20＋1>0”． 答案：C 6．[2014·安徽高考]“x<0”是“ln(x＋1)<0”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：本题主要考查充分、必要条件的判断及简单对数形式不 等式的求解．ln(x＋1)<0⇔0<x＋1<1⇔－1<x<0，而(－1,0)是 (－∞，0)的真子集，所以“x<0”是“ln(x＋1)学员没有降落在指定范围”，也就是
“甲没有降落在指定范围”或“乙没有降落在指定范围”．故选 A.
答案：A 8．下列命题中是真命题的为( ) A．“x>2 且 y>3”是“x＋y>5”的充要条件 B．“A∩B≠∅”是“AB”的充分条件 C．“b2－4ac<0”是“一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为 R”的充要条件 D．“圆 x2＋y2＝r2 与直线 ax＋by＋c＝0 相切”是“c2＝(a2＋b2) r2”的充要条件 解析：A 项中，“x>2 且 y>3”⇒“x＋y>5”，但“x＋y>5”不能
解析：本题主要考查指数函数的性质、含逻辑联结词的命题的
真假判断及充分、必要条件，意在考查考生分析问题、解决问题的
能力．依题意，命题 p 是真命题．由 x>2⇒x>1，而 x>1D⇒/x>2，因
此“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故命题 q 是假命题，则綈 q 是
真命题，p∧綈 q 是真命题，选 D.
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逆否命题：若 x≠－8 且 x≠1，则 x2＋7x－8≠0.逆否命题为 真．
18．(12 分)写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p：正数的对数都是正数． (2)p：存在 x∈R，x2－x＋1≤0. (3)p：所有的矩形都是平行四边形． (4)p：有的三角形是等边三角形． (5)p：任意 x∈Z，x2 的个位数字不等于 3. (6)p：有一个素数含三个正因数． 解：(1)綈 p：存在一个正数，它的对数不是正数．真命题． (2)綈 p：任意 x∈R，x2－x＋1>0.真命题． (3)綈 p：存在一个矩形，它不是平行四边形．假命题． (4)綈 p：所有的三角形都不是等边三角形．假命题． (5)綈 p：存在 x0∈Z，使 x 20的个位数字等于 3.假命题． (6)綈 p：所有的素数都不含三个正因数．真命题． 19．(12 分)用反证法证明：若 a2＋b2＝c2，则 a、b、c 不可能都 是奇数． 证明：假设 a、b、c 都是奇数， 那么 a2、b2、c2 一定也都是奇数． ∴a2＋b2 为偶数． ∴a2＋b2≠c2，这与已知 a2＋b2＝c2 矛盾．
点．如点(2,2)，此时 2x＝x2，∴B 错；∵当 a＝b＝0 时，a＋b＝0，而
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0 作分母无意义，∴C 错；a>1，b>1，由不等式可乘性知 ab>1，∴D 正确．
答案：D 3. [2014·浙江高考]设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC，BD， 则“四边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：此题主要考查四边形与充要关系的判断，考生需要结合 四边形的知识和充要关系的判断进行突破．若“四边形 ABCD 为菱 形”，则对角线“AC⊥BD”成立；而若对角线“AC⊥BD”成立， 则“四边形 ABCD 有可能为空间正四面体”，所以“四边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件． 答案：A 4. 若命题 p：|x＋1|≤4，q：x2<5x－6，则“綈 p”是“綈 q”的 ( )
答案：(－2,2)
15.
已知命题 p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题
q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数
a 的取值范围是________．
解析：∵p∧q 是真命题，∴p 与 q 均为真命题．p 为真命题：
a≥e，q 为真命题：Δ＝42－4a≥0，a≤4.综上，a∈[e,4]．
C. ①③④
D．①②③④
解析：∵p、q 都是真命题，∴①②③④均正确．
答案：D
11．[2014·重庆高考]已知命题 p：对任意 x∈R，总有
2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．
则下列命题为真命题的是( )
A. p∧q
B. (綈 p)∧(綈 q)
C. (綈 p)∧q
D. p∧(綈 q)
A. 0 B. 1
C. 2
D. 3
解析：(1)该命题为真命题，因为当 c＝0 时，ac2＝bc2.
(2)该命题为真命题，根据圆内接四边形的定义可进行判定．
(3)该命题为假命题，因为当 b2－4ac<0 时，二次方程
ax2＋bx＋c＝0 没有实数根，因此二次函数的图象为 x 轴无公共
推出“x>2 且 y>3”，如：x＝0 且 y＝6，满足 x＋y>5，但不满足
x>2，故 A 是假命题；
B 项中，“A∩B≠∅”不能推出“AB”，如 A＝{1,2}，
B＝{2,3,4}，A∩B＝{2}，但 A 不是 B 的真子集．故 B 是假命题；
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C 项中，如：一元二次不等式－2x2＋x－1>0 的解集为∅，但 b2－4ac＝1－8＝－7<0，故 C 是假命题；
点．综上所述，故选 B. 答案：C 2. [2012·福建高考]下列命题中，真命题是( ) A. ∃x0∈R，ex0≤0 B. ∀x∈R,2x>x2 a C. a＋b＝0 的充要条件是b＝－1 D. a>1，b>1 是 ab>1 的充分条件 解析：∵∀x∈R，ex>0，∴A 错；∵函数 y＝2x 与 y＝x2 有交
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答案：[e,4]
16. 已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为 θ，有下列四个命题： 2π
p1：|a＋b|>1⇔θ∈[0， 3 )； 2π
p2：|a＋b|>1⇔θ∈( 3 ，π]； π
p3：|a－b|>1⇔θ∈[0，3]； π
p4：|a－b|>1⇔θ∈(3，π]； 其中真命题为________． 解析：由|a＋b|＝ a2＋2a·b＋b2＝ 2＋2cosθ>1，
答案：D 12．[2014·天津高考]设 a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
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D. 既不充分又不必要条件 解析：本题以不等式为背景考查函数的单调性定义的正用、逆
用，充要条件的判断等知识点，意在考查考生的推理论证能力和转
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(3)若 x2＋7x－8＝0，则 x＝－8 或 x＝1. 解：(1)“若 p，则 q”的形式：若两个三角形全等，则这两个 三角形的对应边相等；是真命题． 逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等； 是真命题． 否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应边不全 相等；是真命题． 逆否命题：若两个三角形的对应边不全相等，则这两个三角形 不全等；是真命题． (2)“若 p，则 q”的形式：若一个四边形的四条边相等，则它 是正方形；是假命题． 逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；是真命 题． 否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是正方形； 是真命题． 逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不全相等； 是假命题． (3)逆命题：若 x＝－8 或 x＝1，则 x2＋7x－8＝0.逆命题为真． 否命题：若 x2＋7x－8≠0，则 x≠－8 且 x≠1.否命题为真．
化化归能力．构造函数 f(x)＝x|x|，则 f(x)在定义域 R 上为奇函
数．因为 f(x)＝Error!所以函数 f(x)在 R 上单调递增，所以 a>b⇔f(a)>
f(b)⇔a|a|>b|b|.选 C. 答案：C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的