2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第三章 第四节 y=Asin(ωx+φ)的图像及应用

课时作业 A 组——基础对点练
1．将函数y ＝cos 2x 的图像向左平移π
4个单位长度，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图像，则f (x )的表达式可以是( ) A ．f (x )＝－2sin x B ．f (x )＝2sin x
C ．f (x )＝2
2sin 2x
D ．f (x )＝2
2(sin 2x ＋cos 2x )
解析：将y ＝cos 2x 的图像向左平移π4个单位长度后得y ＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ＝
－2sin x cos x 的图像，所以f (x )＝－2sin x ，故选A. 答案：A
2．(2018·福州市质检)要得到函数f (x )＝sin 2x 的图像，只需将函数g (x )＝cos 2x 的图像( )
A ．向左平移1
2个周期 B ．向右平移1
2个周期 C ．向左平移1
4个周期
D ．向右平移1
4个周期
解析：因为f (x )＝sin 2x ＝cos(2x －π2)＝cos[2(x －π4)]，且函数g (x )的周期为2π
2＝π，所以将函数g (x )＝cos 2x 的图像向右平移π4个单位长度，即向右平移1
4个周期，得到函数f (x )＝sin 2x 的图像，故选D. 答案：D
3．下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos(2x ＋π
2) B ．y ＝sin(2x ＋π
2) C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x
D ．y ＝sin x ＋cos x
解析：采用验证法．由y ＝cos(2x ＋π
2)＝－sin 2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A. 答案：A
4．函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)的图像向左平移π3个单位长度，所得图像经过点(2π
3，0)，则ω的最小值是( ) A.32 B ．2 C ．1
D.12
解析：依题意得，函数f (x ＋π3)＝sin ω(x ＋π3)(ω＞0)的图像过点(2π3，0)，于是有f (2π
3＋π3)＝sin ω(2π3＋π
3)＝sin ωπ＝0(ω＞0)，ωπ＝k π，k ∈Z ，即ω＝k ∈Z ，因此正数ω的最小值是1，选C. 答案：C
5．三角函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6－2x ＋cos 2x 的振幅和最小正周期分别是( )
A.3，π
2 B.3，π C.2，π
2
D.2，π
解析：f (x )＝sin π6cos 2x －cos π6sin 2x ＋cos 2x ＝32cos 2x －3
2sin 2x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x ＝3cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6，故选B.
答案：B
6．(2018·石家庄市质检)已知函数f (x )＝sin(2x ＋π
6)＋cos 2x ，则f (x )的一个单调递减区间是( ) A ．[π12，7π12] B ．[－5π12，π12] C ．[－π3，2π3]
D ．[－π6，5π
6]
解析：f (x )＝sin(2x ＋π6)＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋cos 2x ＝3
2sin 2x ＋ 32cos 2x ＝3sin(2x ＋π3)．由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋π12≤x ≤k π
＋7π12(k ∈Z)，所以f (x )的一个单调递减区间为[π12，7π
12]，故选A. 答案：A
7．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3
D.5π6
解析：将函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π6的图像向左平移m (m >0)个单位长度
后，所得图像的函数解析式为y ＝2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋m －π6.因为所得的函数图像关于y 轴
对称，所以m －π6＝k π(k ∈N)，即m ＝k π＋π6(k ∈N)，所以m 的最小值为π
6，故选B. 答案：B
8．若函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx ，ω>0，x ∈R ，又f (x 1)＝2，f (x 2)＝0， 且|x 1－x 2|的最小值为3π
2，则ω的值为( ) A.13 B.23 C.43
D ．2
解析：由题意知f (x )＝2sin(ωx －π
3)，设函数f (x )的最小正周期为T ，因为f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，所以|x 1－x 2|的最小值为T 4＝3π2，所以T ＝6π，所以ω＝1
3，故选A. 答案：A
9．已知f (x )＝2sin(2x ＋π6)，若将它的图像向右平移π
6个单位长度，得到函数g (x )的图像，则函数g (x )的图像的一条对称轴的方程为( ) A ．x ＝π
12
B ．x ＝π
4
C ．x ＝π
3 D ．x ＝π
2
解析：由题意知g (x )＝2sin[2(x －π6)＋π6]＝2sin(2x －π6)，令2x －π6＝π
2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π3＋k 2π，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π
3，即函数g (x )的图像的一条对称轴的方程为x ＝π
3，故选C. 答案：C
10．函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为 ．
解析：因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x ·cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)， －1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1. 答案：1
11．(2018·昆明市检测)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω＞0)，A ，B 是函数y ＝f (x )图像上相邻的最高点和最低点，若|AB |＝22，则f (1)＝ . 解析：设f (x )的最小正周期为T ，则由题意，得
22＋(T
2)2＝22，解得T ＝4，
所以ω＝2πT ＝2π4＝π2，所以f (x )＝sin(π2x ＋π3)，所以f (1)＝sin(π2＋π3)＝sin 5π6＝1
2. 答案：12
12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图像如图所示，则f (0)的值为 ．
解析：由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图像可知，
其最小正周期T ＝2π，则ω＝1.又f (－3π4)＝sin(－3π4＋φ)＝0,0＜φ＜π，∴φ＝3π4，∴f (0)＝sin 3π4＝sin(π2＋π4)＝cos π4＝2
2. 答案：2
2
13．已知函数y ＝g (x )的图像由f (x )＝sin 2x 的图像向右平移
φ(0<φ<π)个单位长度得到，这两个函数的部分图像如图所示，则φ的值为 ．
解析：函数f (x )＝sin 2x 的图像在y 轴右侧的第一条对称轴为x ＝π4，直线x ＝π
8关于x ＝π4对称的直线为x ＝3π8.由图像可知，图像向右平移之后，横坐标为3π
8的点平移到横坐标为17π24的点，所以φ＝17π24－3π8＝π
3. 答案：π3
B 组——能力提升练
1．(2018·广州市检测)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )
A ．f (x )在(0，π
4)上单调递减 B ．f (x )在(π8，3π
8)上单调递减 C ．f (x )在(0，π
4)上单调递增 D ．f (x )在(π8，3π
8)上单调递增
解析：f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π
4)，因为0＜φ＜π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π
4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2π
ω＝
π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π
8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在(π8，3π
8)上单调递增，故选D. 答案：D
2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)(φ>0)的图像沿x 轴向左平移π
8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的最小值为( ) A.3π4 B.3π8 C.π4
D.π8
解析：将函数y ＝sin(2x ＋φ)(φ>0)的图像沿x 轴向左平移π
8个单位后，得到一个偶函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋π4＋φ的图像，则由π4＋φ＝k π＋π2，得φ＝k π＋π4
(k ∈Z)，所以φ的最小值为π
4，故选C. 答案：C
3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)－1(ω>0)的图像向右平移2π
3个单位长度后与原图像重合，则ω的最小值是( ) A ．3 B.32 C.43
D.23
解析：将f (x )的图像向右平移2π
3个单位长度后得到图像的函数解析式为y ＝2sin[ω(x －2π3)＋π6]－1＝2sin(ωx －2ωπ3＋π6)－1，所以2ωπ
3＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ，k ∈Z ，因为ω>0，k ∈Z ，所以ω的最小值为3，故选A. 答案：A
4．若关于x 的方程2sin(2x ＋π6)＝m 在[0，π
2]上有两个不等实根，则m 的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．[0,2] C ．[1,2)
D ．[1，3]
解析：2sin(2x ＋π
6)＝m 在[0，π
2]上有两个不等实根等价
于函数f (x )＝2sin(2x ＋π
6)的图像与直线y ＝m 有两个交点．如图，在同一坐标系中作出y ＝f (x )与y ＝m 的图像，由图可知m 的取值范围是[1,2)． 答案：C
5．函数f (x )＝cos(2x －2π3)＋4cos 2
x －2－33x －π
(x ∈[－11π12，19π12])所有零点之和为
( )
A.2π3
B.4π3 C ．2π
D.8π3
解析：函数f (x )＝cos(2x －2π3)＋4cos 2x －2－33x －π(x ∈[－11π12，19π
12])的零点可转化
为函数g (x )＝cos(2x －2π3)＋4cos 2x －2与h (x )＝3
3x －π的交点的横坐标g (x )＝cos(2x
－2π3)＋4cos 2x －2＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3sin(2x ＋π3)，h (x )＝33x －π＝1x －
π3，可得
函数g (x )，h (x )的图像关于点(π
3，0)对称．函数g (x )，h (
x )的图像如图所示．
结合图像可得在区间[－11π12，19π
12]上，函数g (x )，h (x )的图像有4个交点，且关于点(π3，0)对称．所有零点之和为2×π3＋2×π3＝4π
3，故选B. 答案：B
6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且对任意x ∈R ，
都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3成立，则f (x )图像的一个对称中心的坐标是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π3，0 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3，0 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π3，0 解析：由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3恒成立，
所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z)，由|φ|<π2，
得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x ＋π3，将各选项代入验证，可知选A.
答案：A
7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|≤π2)，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π
4为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在(π18，5π
36)上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7
D ．5
解析：因为x ＝－π4为函数f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，所以π2＝kT
2＋T 4(k ∈Z ，T 为周期)，得T ＝2π2k ＋1(k ∈Z)．又f (x )在(π18，5π36)上单调，所以T ≥π6，k ≤112，又当k ＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f (x )在(π18，5π
36)上不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f (x )在(π18，5π
36)上单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9. 答案：B
8．(2018·衡水中学调研)已知点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝1上，则函数f (x )＝a cos 2x ＋b sin x cos x －a
2－1的最小正周期和最小值分别为( ) A ．2π，－3
2 B ．π，－3
2 C ．π，－5
2
D ．2π，－5
2
解析：因为点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝1上，所以a 2＋b 2＝1，可设a ＝cos φ，
b ＝sin φ，代入原函数f (x )＝a cos 2
x ＋b sin x cos x －a
2－1，得f (x )＝cos φcos 2x ＋
sin φsin x cos x －12cos φ－1＝12cos φ(2cos 2x －1)＋12sin φsin 2x －1＝1
2cos φcos 2x ＋ 12sin φsin 2x －1＝12cos(2x －φ)－1，故函数－的最小正周期为T ＝2π2＝π，函数f (x )的最小值f (x )min ＝－12－1＝－3
2，故选B. 答案：B
9．(2018·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若
将f (x )的图像向右平移π
3个单位后得到的图像关于原点对称，则函数f (x )的图像
( )
A ．关于直线x ＝π
12对称 B ．关于直线x ＝5π
12对称 C ．关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π12，0对称
D ．关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5π12，0对称
解析：∵f (x )的最小正周期为π，∴2π
ω＝π，
ω＝2，∴f (x )的图像向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x －2π3＋φ的图像，又g (x )的图像关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ， ∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝
－π
6，
∴A ，C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π
2，∴B 正确，D 错误． 答案：B
10．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6，π3上有最小值，
无最大值，则ω＝ .
解析：依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4ω＋π3＝－1，则π4ω＋π3＝2k π
＋3π2(k ∈Z)．所以ω＝8k ＋143(k ∈Z)．因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6，π3上有最小值，无最大
值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝14
3. 答案：143
11．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ⎝ ⎛
⎭⎪⎫m ∈R 且m >π6，若f (x )的值域是
⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
－1，－32，则m 的最大值是 ．
解析：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2π9＝
cos π＝－1，∴要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－1，－32，需要π≤3m ＋π3≤7π6，解得2π9
≤m ≤5π18，即m 的最大值是5π
18. 答案：5π18
12．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为 ． 解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π
4)，因为函数f (x )的图像关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin(ω2＋π4)＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π
4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2， 即ω2≤π
4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π
2. 答案：π
2
13．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭
⎪⎫ω＞0，|φ|＜
π2，y ＝f (x )的部分
11 图像如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝ .
解析：由图像可知，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π2，
∴ω＝2，∴2×π8＋φ＝π2＋k π，k ∈Z.
又|φ|＜π2，∴φ＝π4.
又f (0)＝1，∴A tan π4＝1，
∴A ＝1，∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π24＝tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫π12＋π4＝tan π3＝ 3. 答案：3。