高中数学破题致胜微方法(函数的奇偶性全析)：五、图象法判断函数的奇偶性

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我们研究函数时，往往会借助图象讨论函数的性质.而图象也能够很直观的反应出函数的特性，通过对图象形状的判断，能够帮助我们做出定性分析，再用代数方法严谨证明，今天我们就借助这一思路，看看如何利用图象法判断函数的奇偶性.
先看例题：
例：已知函数2,1()0,||12,1x x f x x x x +<-⎧⎪=≤⎨⎪-+>⎩
，判断函数的奇偶性.
解：由于函数是分段函数，并不容易直接用定义去验证函数的奇偶性
所以，我们不妨先画出函数图象：
很明显，图象关于y 轴对称
所以原函数为偶函数
通过代数验证，也可知有()()f x f x -=
整理：利用图象判断函数性质
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练：已知函数224,0()4,0
x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩ ，判断函数的奇偶性. 如图：
函数图象是两个二次函数的组合.
根据图象的对称性有，()()f x f x -=-，所以原函数为奇函数
注意：图象法解题要保证图象容易做出，且容易观察，才能做出正确的判断.当遇到证明题目时，还要用代数方法进行严格证明.
练：已知函数f (x )是奇函数，导数f'(x )存在，判断函数f'(x )的奇偶性.
解：我们可以任意画出一个奇函数的示意图，如图：
可以在图上，找两个横坐标相同的点，做两条切线
发现切线斜率相同，所以有
f'(-x)= f'(x)
所以导函数应为偶函数.
对比一些已知函数：
32
x x
=
()'4
=，43
()'3
x x
=-
=，(cos)'sin
x x
x x
(sin)'cos
根据已知函数和其导函数的奇偶性，也能够推断，f'(x)的奇偶性
总结：
1.要学会画图，能够画出基本初等函数的大致图象.
2.在遇到分段函数时，要注意端点处的取值情况，画图时同样要注意端点情况.
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3.引入导数后，可导的奇函数，导函数为偶函数.可导的偶函数，导函数为奇函数.
练习：
1.如图，给出偶函数y ＝f (x )的局部图象，试作出它的y 轴右侧的图象，并比较f (1)与f (3)的大小
2.判断函数2211,02()11,02
x x f x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩ 的奇偶性 答案：
1.偶函数关于y 轴对称，所以如图
很明显f(1)>f(3)
2.
绘制出函数图象，如图
图象关于原点对称，所以原函数为奇函数.
5。