高考数学压轴专题新备战高考《矩阵与变换》分类汇编及答案解析

【高中数学】数学高考《矩阵与变换》复习资料
一、15
1．已知矩阵2101M ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
（1）求矩阵M 的特征值及特征向量； （2）若21α⎡⎤=⎢
⎥-⎣⎦
r
，求3M αv . 【答案】（1）特征值为2；对应的特征向量为210α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u u r
（2）91⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
【解析】 【分析】
(1)先根据特征值得定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出
方程组即可解得相应的特征向量；(2)由12ααα=+u u r u u r r
可得333
12M M M ααα=+u u r u u r r ，求解即
可. 【详解】
（1）矩阵M 的特征多项式为2
1
()0
1
f λλλ--=
-(2)(1)λλ=--，
令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1或2，
当1λ=，时由二元一次方程0
000x y x y --=⎧⎨
+=⎩
. 得0x y +=，令1x =，则1y =-， 所以特征值1λ=对应的特征向量为111α⎡-⎤
=⎢
⎥⎣⎦
； 当2λ=时，由二元一次方程00
00
x y x y -=⎧⎨
+=⎩. 得0y =，令1x =，
所以特征值2λ=对应的特征向量为210α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u u r
；
（2）1221ααα⎡⎤==+⎢⎥-⎣⎦u u
r u u r r
Q ，
333
12M M M ααα∴=+u u r u u r r 331212αα=+u u r u u r 311210⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦91⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
.
【点睛】
本题考查矩阵特征值与特征向量的计算，矩阵的乘法运算，属于基础题.
2．已知关于x 、y 的二元一次方程组()4360
260x y kx k y +=⎧⎨++=⎩
的解满足0x y >>，求实数k
的取值范围.
【答案】5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
由题意得知0D ≠，求出x D 、y D 解出该方程组的解，然后由0
0x y D >>⎧⎨≠⎩
列出关于k 的不
等式组，解出即可. 【详解】
由题意可得()4238D k k k =+-=+，()601x D k =-，()604y D k =-.
由于方程组的解满足0x y >>，则0D ≠，该方程组的解为()()6018
6048x y k D x D k D k y D k ⎧-==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩
，
由于00
D x y y ≠⎧⎪>⎨⎪>⎩，即()()()806016048860408
k k k k k k k ⎧⎪+≠⎪--⎪>⎨++⎪⎪->⎪+⎩，整理得80
2508408k k k k k ⎧
⎪+≠⎪
-⎪>⎨
+⎪-⎪<⎪+⎩，解得542k <<. 因此，实数k 的取值范围是5,42⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
3．解方程组()sin cos 2cos 0cos cos 2sin x y x y ααα
απααα
-=⎧≤≤⎨
+=⎩.
【答案】见解析. 【解析】 【分析】
求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组的解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】
由题意得()sin cos2cos cos2sin cos cos2D ααααααα=+=+，
()cos cos2sin cos2sin cos cos2x D ααααααα=+=+， 22sin cos cos2y D ααα=-=-.
0απ≤≤Q ，022απ∴≤≤.
①当0D ≠时，即当cos20α≠时，即当22
π
α≠且322π
α≠
时，即当4πα≠且34
πα≠时，
11sin cos x y D x D
D y D αα⎧
==⎪⎪⎨
⎪==-⎪+⎩
； ②当4πα=
时，方程组为=
=，则该方程组的解为1x y R =⎧⎨∈⎩
；
③当34πα=
时，方程组为2
2
2
2
x x =-⎪
⎪⎨
⎪-=
⎪⎩，该方程组的解为1x y R =-⎧⎨∈⎩
. 【点睛】
本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
4．求证：sin cos 1
sin 2cos 21sin 22sin sin 3cos31
x
x x
x x x x
x =-. 【答案】证明见解析
【解析】 【分析】
先利用三阶矩阵的计算方法，化简等式的左边，再结合两角差的正弦公式化简即可证明． 【详解】
sin cos 1
sin 2cos 2sin cos sin cos sin 2cos 21sin 3cos3sin 3cos3sin 2cos 2sin 3cos31
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x
x =
-+=sin （-x ）-sin
（-2x ）+sin （-x ）=sin 2x -sin 2x . 【点睛】
本题考查行列式的运算法则及性质的应用，变换的能力及数学分析能力，涉及两角和差的
正弦公式，属于中档题．
5．利用行列式解关于x 、y 的二元一次方程组42
mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩
.
【答案】见解析 【解析】 【分析】
计算出系数行列式D ，以及x D 、y D ，然后分0D ≠和0D =两种情况讨论，在0D ≠时，直接利用行列式求出方程组的解，在0D =时，得出2m =±，结合行列式讨论原方程组解的情况. 【详解】 系数行列式为2
441
m D m m
=
=-，()242x m D m m m
m
+=
=-，
()()222211
y m m D m m m m m
+=
=--=-+.
①当240D m =-≠时，即当2m ≠±时，
原方程组有唯一解()()()22242
21142x y m m D m
x D m m D m m m y D m m ⎧-=
==⎪⎪-+⎨-++⎪===⎪-+⎩
；
②当240D m =-=时，2m =±.
（i ）当2m =-时，0D =，8x D =，4y D =，原方程组无解；
（ii ）当2m =时，0x y
D D D ===，原方程为24422x y x y +=⎧⎨+=⎩
，可化为22x y +=， 该方程组有无数组解，即12x R
x y ∈⎧⎪
⎨=-⎪⎩
.
【点睛】
本题考查利用行列式求二元一次方程组的解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力与分类讨论思想的应用，属于中等题.
6．用行列式方法解关于x y 、的方程组：()()1R 214ax y a x a y a -=⎧∈⎨--=⎩
，并对解的情况进
行讨论.
【答案】1a =时无解；12a =-时无穷解；12a ≠-且1a ≠时有唯一解11211x a
a y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
【解析】 【分析】
本题先求出相关行列式D 、x D 、y D 的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，得到本题结论． 【详解】
Q 关于x 、y 的方程组：1
()2ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨
+=⎩，()(
)1R 214ax y a x a y a
-=⎧∈⎨--=⎩ ∴21
|
|1(1)(1)1a D a a a a
==-=+-，21
|
|(12)121(1)(21)112a D a a a a a a a
-==-+=-++=--+-
211||(1)2x a D a a a a a a +==-=-，1||124124121
x D a a a a a
==-+=+-- 21|
|21(21)(1)12y a a D a a a a a +==--=+-，21
||41(21)(21)14y a D a a a a
==-=+-.
（1）当12a ≠-且1a ≠时，有唯一解11211x a
a y a ⎧
=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
，
（2）当1a =时，无解； （3）当1
2
a =-，时无穷解． 【点睛】
本题考查了用行列式法求方程组的解，本题难度不大，属于基础题．
7．已知线性方程组5210
258x y x y +=⎧⎨+=⎩
．
()1写出方程组的系数矩阵和增广矩阵；
()2运用矩阵变换求解方程组．
【答案】（1）矩阵为5225⎛⎫ ⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）3421
2021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
【解析】
【分析】
()1由线性方程组5210
258
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵．
()2由170345010
521052102121258102540202001
012121⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪
⎛⎫⎛⎫→→→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭
，能求出方程组的解． 【详解】
（1）Q 线性方程组5210
258x y x y +=⎧⎨+=⎩．
∴方程组的系数矩阵为5225⎛⎫
⎪⎝⎭，
增广矩阵为5210.258⎛⎫
⎪⎝⎭
（2）因为5210
258x y x y +=⎧⎨+=⎩
，
1703452105010521052105210212120258102540021202020010101212121⎛
⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴→→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪-----
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭
，
34212021x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
．
【点睛】
本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．已知矩阵11m A m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
（0m >）满足24A I =（I 为单位矩阵）．
（1）求m 的值；
（2）设(,)P x y ，,()'Q x y '．矩阵变换11x m x y m y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
可以将点P 变换为点Q ．当点P 在直线:1l y x =+上移动时，求经过矩阵A 变换后点Q 的轨迹方程．
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．
【答案】（1
）m（2
）1)1)40
x y
''
--=（3
）存在，
1
:
3
l y x
=
，2
:
l y=．
【解析】
【分析】
（1）计算2
A，由24
A I
=可求得m；
（2
）由
1
1
x x
y y
⎛
'
⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪
⎪
'-
⎝⎭⎝⎭
⎭
，得
x x
y y
⎧=+
⎪
⎨
=-
'
'
⎪⎩
，解得
4
4
x x
y y
⎧=+
⎪
⎨
='
-
''
'
⎪⎩
．代入1
y x
=+可得；
（3）首先确定这种变换，与坐标轴垂直的直线不合题意，因此设直线l方程为
(0)
y kx b k
=+≠，求出变换后的直线方程，两方程表示的直线重合，可求得k，可分类0
b≠和0
b=．
【详解】
（1）0
m>
Q，
2
2
2
1110
10
4
1101
01
m m m
A
m m m
⎛⎫
+
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
===
⎪
⎪⎪ ⎪
--+
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
m
∴=
（2
）
1
1
x x x
y y y
⎛⎛⎫
'+
⎛⎫⎛⎫
==⎪
⎪ ⎪
⎪⎪
'--
⎝⎭⎝⎭
⎭⎭
Q，
即
x x
y y
⎧=
⎪
⎨
=-
'
'
⎪⎩
，
4
4
x x
y y
⎧=+
⎪
∴⎨
='
-
''
'
⎪⎩
．
∵点(,)
P x y在直线1
y x
=+上，
4
y x
''''
-=++，
即点()
','
Q x y
的轨迹方程1)1)40
x y
''
--+-=．
（3）垂直于坐标轴的直线不合要求．
设:(0)
l y kx b k
=+≠，(,)
P x y
，()
Q x y
+-
()
y k x b
-=++
Q，
1)(
y k x b
∴-+=+
当0
b≠
时，1)1,k k
-+==，无解．
当0
b=
时，2
1)
20
1
k
k
k
-+-
=⇒+-=,
解得
3
k=
或k=
∴所求直线是1:3
l y x =
，2:l y =． 【点睛】
本题考查矩阵的运算，考查矩阵变换，求变换后的曲线方程，可设原曲线上点坐标为
(,)P x y ，变换后为()','Q x y ，由矩阵运算得'(,)'(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩，然后解得(',')
(',')x h x y y i x y =⎧⎨=⎩
，
把(,)x y 代入原曲线方程即得新方程．
9．a ，b 满足什么条件时，关于x ，y ，z 的方程组4
424ax y z x by z x by z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
有唯一解.
【答案】当0b ≠且1a ≠时 【解析】 【分析】
计算对应行列式为()11
1
110121
a
D b
b a b ==-≠，计算得到答案.
【详解】
4
424ax y z x by z x by z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
有唯一解，则()1111212110121a D b ab b b ab b a b ==++---=-≠ 所以当0b ≠且1a ≠时有唯一解 【点睛】
本题考查了方程组的唯一解问题，意在考查学生的计算能力.
10．用行列式解关于x 、y 的方程组3(31)484mx y m x my m -=⎧⎨+-=+⎩
，并讨论说明解的情况.
【答案】当1m =时，无穷解；当14
m =-
时，无解；当1m ≠且1
4m ≠-时，有唯一解，
441x m =
+，83
41m y m +=-
+. 【解析】 【分析】 先求出系数行列式D ，x D ，y D ，然后讨论m ，从而确定二元一次方程解的情况． 【详解】 解：
3(31)484mx y m x my m -=⎧⎨+-=+⎩
Q 21
431(41)(1)431m
m D m m m m m -∴+-==-+=+-++，
44431
48x D m m
m -==--+，
()()23
853*******
y m D m m m m m m =
=--+++=-，
①当1m ≠且1
4
m ≠-时，0D ≠，原方程组有唯一解，
即144(41)4(14)x D m x m D m m -=
==+++-，()()()()83183
41141
y D m m m y D m m m +-+===-+-++， ②当1m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷解． ③当1
4
m =-时，0D =，0x D ≠，原方程无解． 【点睛】
本题主要考查了行列式，以及二元一次方程的解法，属于基础题．
11．已知向量102
11
2A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
u r ，求矩阵1A -u r 的特征值和属于该特征值的特征向量.
【答案】特征值：1,2-；对应特征向量：12⎛⎫ ⎪-⎝⎭，11⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【解析】 【分析】
先求得1
A -u r ，以及其特征多项式()f λ，令()0f λ=解得特征值，最后根据特征向量的定
义求解即可. 【详解】
设1A -u r a b c d ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，则由A u r 1A -u r E =r
可得 10? 1?
02 10? 1?1? 2a b c d ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪
⎝
⎭， 解得1,1,2,0a b c d =-=-=-=，
故得1A -u r 1? 12? 0--⎛⎫= ⎪-⎝⎭
. 则其特征多项式()()1? 1?
122? f λλλλλ
+=
=+-， 令()0f
λ=，可得特征值为121,2λλ==-.
设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
则由1
1A λαα-=r ，的2y x =-，令1x =，则2y =- 故矩阵1
A -u r 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为12⎛⎫ ⎪-⎝⎭
；
同理可得矩阵1
A -u r
的一个特征值22λ=-对应的一个特征向量为11⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查矩阵特征值和特征向量的求解，属中档题.
12．设函数()271f x x ax =-++（a 为实数）. （1）若1a =-，解不等式()0f x ≥； （2）若当
01x
x
>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围； （3）设21
()1
x g x a
x +=
--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)8
{|3
x x ≤或6}x ≥;(2)[5,)-+∞;(3)[4,)-+∞ 【解析】 【分析】
(1)代入1a =-直接解不等式即可; (2)由
01x
x
>-解得01x <<,故可将()1f x ≥化为(2)70a x -+≥,从而求出a 的范围; (3)化简()g x ,故可将题设条件变为:存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立,因此求出2722x x ---的最小值即可得出结论.
【详解】
(1)若1a =-,则()271f x x x =-+- 由()0f x ≥得|27|1x x -≥-,
即270271x x x ->⎧⎨-≥-⎩或270
721
x x x -≤⎧⎨
-≥-⎩,
解得6x ≥或83
x ≤
, 故不等式的解集为8
{|3
x x ≤或6}x ≥; (2)由
01x
x
>-解得01x <<, 由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥,
当01x <<时,该不等式即为(2)70a x -+≥,
设()(2)7F x a x =-+,则有(0)70
(1)50F F a =>⎧⎨=+≥⎩
解得5a ≥-,
因此实数a 的取值范围为[5,)-+∞; (3)2
1
()1
x g x a
x +=
--2|1|(1)x a x =-++, 若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立,
即存在x 使271x ax -++2|1|(1)x a x ≤-++成立, 即存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立, 又272227(22)5x x x x ---≤---=, 所以527225x x -≤---≤, 所以15a -≥-,即4a ≥-, 所以a 的取值范围为:[4,)-+∞ 【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式,结合了恒成立,能成立等问题,属于综合应用题.解决恒成立,能成立问题时,常将其转化为最值问题求解.
13．给定矩阵，
；求A 4B ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意已知矩阵A=
，将其代入公式|λE ﹣A|=0，即可求出特征值λ1，
λ2，然后解方程求出对应特征向量α1，α2，将矩阵B 用征向量α1，α2，表示出来，然后再代入A 4B 进行计算即可．
解：设A 的一个特征值为λ，由题知=0
（λ﹣2）（λ﹣3）=0 λ1=2，λ2=3
当λ1=2时，由=2，得A 的属于特征值2的特征向量α1= 当λ1=3时，由=3，得A 的属于特征值3的特征向量α2=
由于B=
=2
+
=2α1+α2
故A 4B=A 4（2α1+α2）=2（24α1）+（34α2）=32α1+81α2 =
+
=
点评：此部分是高中新增的内容，但不是很难，套用公式即可解答，主要考查学生的计算能力，属于中档题．
14．解关于x 、y 的方程组(1)20
24160x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩
，并对解的情况进行讨论.
【答案】答案见解析； 【解析】 【分析】
将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b
为2个常数项构成列向量． 而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D 不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解． 【详解】 解：Q (1)20
24160x m y m mx y +++-=⎧⎨
++=⎩
化成矩阵形式Ax b =
则1124m A m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，216m b -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
()()()24212242111
24
2m m D m m m m m m ∴==-+=+=-++---,
()()()421611221
16422412x D m m m m m m ==-++-=-+=++,
()()()162222412216
y D m m
m m m m =
=----+-=-
当系数矩阵D 非奇异时，或者说行列式24220D m m =--≠， 即1m ≠且2m ≠-时，方程组有唯一的解， 61x D x D m =
=-，4
1y D m y D m
-==-． 当系数矩阵D 奇异时，或者说行列式24220D m m =--=， 即1m =或2m =-时，方程组有无数个解或无解．
当2m =-时，原方程为40
44160x y x y --=⎧⎨-++=⎩无解，
当1m =时，原方程组为210
24160x y x y +-=⎧⎨++=⎩
，无解．
【点睛】
本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立，属于中档题．
15．在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦
对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90o 得到点B '，求点B '的坐标． 【答案】()1,4- 【解析】
试题分析：先根据矩阵运算确定()1,2A '，再利用向量旋转变换0110N -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
确定：A B ''u u u u r
.因为
，所以1
{
4
x y =-= 试题解析：解：设(),B x y '，
依题意，由10110122--⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，得()1,2A ' 则
．
记旋转矩阵0110N -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
， 则01211022x y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2122x y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
，解得1{4x y =-=， 所以点B '的坐标为()1,4- 考点：矩阵运算，旋转矩阵
16．已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3.
（1）求a ，b 的值；
（2）求属于2λ的一个特征向量α. 【答案】（1）1a =，2b =；（2）11α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u r
. 【解析】
【分析】
（1）利用特征多项式，结合韦达定理，即可求a ，b 的值； （2）利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量． 【详解】 （1）令2()()(4)(4)4014
a b
f a b a a b λλλλλλλ--=
=--+=-+++=-，
于是124a λλ+=+，124a b λλ=+．解得1a =，2b =.
（2）设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r
，则122331443x x y x x A y x y y y α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦r ， 故2343x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x y =．于是11α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦r ．
【点睛】
本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．
17．已知变换T 将平面上的点11,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，(0,1)分别变换为点9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭．设变换T 对应的矩阵为M ． （1）求矩阵M ； （2）求矩阵M 的特征值．
【答案】（1）33244M ⎡
⎤-
⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦
（2）1或6
【解析】 【分析】
（1）设a b M c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，根据变换可得关于a b c d ,,,的方程，解方程即可得到答案； （2）求出特征多项式，再解方程，即可得答案； 【详解】
（1）设a b M c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，则194122a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦-⎣⎦⎣⎦，30214a b c d ⎡⎤
-⎡⎤⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
即1924122324
a b c d b d ⎧+=⎪⎪⎪+=-⎪⎨⎪=-
⎪⎪⎪=⎩，解得33244a b c d =⎧⎪⎪=-⎪⎨⎪=-⎪=⎪⎩，则33244M ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦．
（2）设矩阵M 的特征多项式为()f λ，可得
2
3
3
()(3)(24)676244
f λλλλλλ-=
=---=-+-， 令()0f λ=，可得1λ=或6λ=． 【点睛】
本题考查矩阵的求解、矩阵M 的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
18．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值
的一个特征向量为
，
属于特征值的一个特征向量为
.求矩阵.
【答案】
【解析】 【分析】
运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】
由特征值、特征向量定义可知，，
即，得
同理可得解得
，
，，
.因此矩阵
【点睛】
本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单
19．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下
得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A .
【答案】1102-⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，根据题意变换得到直线
220x ay bx y +++-=，对比得到答案.
【详解】
设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，
其在矩阵2a a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦仍在直线上， 所以得220x ay bx y +++-=，与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨+=⎩，解得01b a =⎧⎨=-⎩，
故1102A -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】
本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.
20．[选修4-2：矩阵与变换]
已知矩阵11a A b ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为
21α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 若x a A y b ⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，求x ，y 的值． 【答案】x ，y 的值分别为0，1．
【解析】
试题分析：利用矩阵的乘法法则列出方程，解方程可得x ，y 的值分别为0，1． 试题解析：
由条件知，2A αα=，即][1222111a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，即][2422a b +⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦
， 所以24,{
22,a b +=-+= 解得2,{ 4.a b == 所以1214A ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
． 则][][][12221444x
x x y A y y x y +⎡⎤⎡⎤===⎢
⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦
，所以22,{44,x y x y +=-+= 解得0,{ 1.x y == 所以x ，y 的值分别为0，1．。