北师版九年级数学BS版上册精品授课课件 第2章 一元二次方程2.5 一元二次方程的根与系数的关系

解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个 实数根分别为x1，x2， ∴Δ≥0，即32－4(m－1)≥0.解得m≤ ； (2)由根与系数的关系，得 x1＋x2＝－3，x1x2＝m－1. ∵2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0， ∴2×(－3)＋m－1＋10＝0. ∴m＝－3.
例 若关于x的一元二次方程x2＋(k－2)x＋k2＝0 的3两个根互为倒数，则－1k＝_____．
3．已知关于x的一元二次方程x2＋mx－6＝0的一
个根是6，则m＝______，另一个根是______．
－5
－1
4．若方程3x2＋2x－5＝0的两个根为x1，x2，则 ＋ ＝___． 【解析】x1＋x2＝－ ，
x1x2＝－ ，
＋＝
＝ ＝.
5．方程 x2－(k＋1)x＋ k2＋1＝0的两个实数根x1，x2， 且x1x2＝5，则k4的值为_____．
【解析】由题可知： Δ=[－(k+1)]2－4( k2+1)≥0， x1x2= k2+1=5.
解得 k≥ ， k＝±4.
∴k＝4.
6．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－ 1＝0的两个根的(1)平方和；(2)倒数和．
解：设方程的两个根分别为x1，x2，那么
(1)∵∴(xxx112＋1＋＋xx2x＝222＝)－2＝(x321，x＋12x＋1x·2x2)22＝x－1·－x2212x＋.1xx222，(2)x11＋x12＝xx1＋1·xx22＝－－3212＝3. ＝(－32)2－2×(－12)
3 2
例 关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实 数2根分别为x1，x2.
(1)求m的取值范围； (2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值．
方法指导：(1)由一元二次方程有两个实数根结合根的判 别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得 出m的取值范围； (2)根据根与系数的关系，可得出x1＋x2，x1x2的值，结 合已知条件可得出关于m的方程，解之即可得出m的 值．
(1) x2－2x－3＝0；
(2) x2＋4x＋3＝0；
(3) x2－5x－6＝0；
(4) x2＋7x＋12＝0.
解：(1) (x－3)(x＋1)＝0，x1＝3，x2＝－1； (2) (x＋3)(x＋1)＝0，x1＝－3，x2＝－1； (3) (x－6)(x＋1)＝0，x1＝6，x2＝－1； (4) (x＋3)(x＋4)＝0，x1＝－3，x2＝－4．
＝143
课堂小结与作 业
（根 韦与 达系 定数 理的 ）关
系
内容 应用
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、
x2，那么 b x1 x2 a
x1
x2
c a
x12 x22 (x1 x2)2 2x1x2
(x1 x2)2 (x1 x2)2 4x1x2
1 1 x1 x2 x1 x2 x1 • x2
能得出以下结果：
x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ac.
证一证
：
x1 x2
b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
b b2 4ac b b2 4ac 2a
2b 2a
b . a
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
b2 b2 4ac
4a2
(2)原方程可化为2x2－x－2＝0， 这里a＝2，b＝－1，c＝－2. Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－2)＝1＋16＝17＞0， ∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是x1，x2， 那么x1＋x2＝ ，x1x2＝－1.
2．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0的一个
根是－2，则另一个根0 是_____．
4ac 4a2
c. a
归纳总 结
一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定 理）
如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1
、 x2，x1
那么
+
x2
=
b a
x1
，
x2
c a
满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0
应用举例
例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根 之1和、两根之积：
(1) x2 + 7x + 6 = 0； (2) 2x2 - 3x - 2 = 0.
,
(3) x12+x22=
,
14
(4) (x1–x2)2=
.
12
随堂练习
1．利用根与系数的关系，求出下列方程的两根之和、两根 (1)2x2－3x－4＝0； (2)x(2x－1)－2＝0.
解：(1)这里a＝2，b＝－3，c＝－4. Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－4)＝9＋32＝41＞0， ∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是x1，x2， 那么x1＋x2＝ ，x1x2＝－2；
x1和x2，则(x1＋x2)－Cx1·x2 ＝(
)
A．－10
B．10
C．2
D．－2
2．设a，b是方程x2＋x－2016＝0的两个不相等的实 数根，则a2＋2a＋b的20值15为________．
3.设x1, x2为方程x2–4x+1=0的两个根，则:
(1) x1+x2= 4 , (2) x1·x2=1
第二章 一元二次方程
2.5 一元二次方程的根与系数的关系
复习导入
数学与生活息息相关，前面，我们主要研究了一 元二次方程的解法，回顾一元二次方程的解法一 共有几种？ 1．一元二次方程的解法：
(1) 配方法； (2) 直接开平方法；
(3) 公式法； (4) 因式分解法．
2．利用因式分解法快速地求出下列方程的根．
3．根据方程的根的情况，完成下列问题． (((132)))xxx222－＋－245xxx－＋－336＝＝＝000；；；－xxx31111＝＝＝_________，，，－－1 xxx3222＝＝＝_________，，，xxx－111＋＋＋24xxx222＝＝＝_________－，，，33xxx111xxx222＝＝＝ (4)x2＋7x＋12＝0；6x1＝___，－x12＝___，x15＋x2＝__－_，6x1x2＝
方法指导：利用一元二次方程根与系数的关系 求两根之和、两根之积时，要先利用根的判别 式b2－4ac判断方程根的情况．
(1) x2 + 7x + 6 = 0;
解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
方法指导：应用根与系数关系时，注意还要考虑根的判 解别：式设．方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两个根为x1，x2. 由一元二次方程根与系数的关系，得x1x2＝k2＝1，解得k ＝±1. 当k＝1时，Δ＜0； 当k＝－1时，Δ＞0. 综上所述，k＝－1.
练一 练
1．设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两实根分别为
(2) 2x2 - 3x - 2 = 0.
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2. Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .
－3 －4
－7
12
你发现了什么规律？ຫໍສະໝຸດ 实践探究一元二次方 程
x2＋3x－4＝
0 x2－2x－5＝
0 2x2－3x＋1
＝0 6x2＋x－2＝
0
x1
1
1＋ 6
1
1 2
x2
－4
1－ 6
1 2 －23
x1＋x2
－3
2
3 2 －16
x1·x2
－4
－5
1 2 －13
2.在前面学过利用公式法求解一元二次方程，对于 一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，它的求 根公式是
课堂小结与作 业
完成学生用书对应课时练 习