长沙数学高二下期末基础练习(答案解析)

一、选择题
1．函数f (x )＝3sin(2x －6π
)在区间[0，2
π]上的值域为( ) A ．[32-，3
2
] B ．[3
2
-，3]
C ．[
D ．[3] 2．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(A 、ω、ϕ均为正的常数)的最小正周期为π，当
2
3
x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
A ．()()()220f f f -<<
B ．()()()220f f f <-<
C ．()()()202f f f -<<
D ．()()()022f f f <-<
3．在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足BM 2MA =，则CM CA ⋅=( )
A B ．C ．6 D ．
152
4．已知1sin()6
2π
θ-=
，且02πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，则cos()3πθ-=( )
A ．0
B ．
1
2
C ．1
D ．
2
5．非零向量a b ，满足：a b a -=，()
0a a b ⋅-=，则a b -与b 夹角的大小为 A ．135° B ．120° C ．60°
D ．45°
6．平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若
3,4
4ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，且3sin 45
πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
，则0x 的值为( )
A ．
10
B ．
10
C ．10
-
D ．10
-
7．将函数()()()()sin 220f x x x ϕϕϕπ=++<<的图象向左平移
4
π
个单位后，得到函数的图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则ϕ等于（ ）
A ．6
π-
B ．
6
π C ．
4
π D ．
3
π 8．已知角α的终边过点()4,3(0)P m m m -<,则2sin cos αα+的值是
A ．1
B ．
25
C ．2
5
-
D ．-1
9．在给出的下列命题中，是假命题的是（ ） A ．设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若
(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈，则点、、A B C 必共线
B ．若向量,a b 是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为
(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的
C ．已知平面向量OA OB OC 、、满足|(0)OA OB OC r r ===，且0OA OB OC ++=，则ABC ∆是等边三角形
D ．在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d 、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直 10．设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足
3,2BM MC DN NC ==，则AM NM ⋅=（ ）
A ．20
B ．15
C ．9
D ．6
11．已知2sin()
3
,且(,0)2απ
∈-，则tan(2)πα-= （ ）
A ．
25
5
B ．255
-
C ．
52
D ．52
-
12．已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωφπ=+>><的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )
A ．2sin 24y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
B ．2sin 24y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
或32sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
C ．32sin 24
y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
D ．32sin 24
y x π⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
13．已知5
sin α=，则44sin cos αα-的值为 A ．
35
B ．15
-
C ．
15
D ．
35
14．已知单位向量,OA OB 的夹角为60，若2OC OA OB =+，则ABC ∆为（ ）
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
15．如图，在ABC ∆中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若,AB a AC b ==,则AO =（ ）
A ．
1122
a b + B ．
11
24
a b + C ．
11
42
a b + D ．
11
44
a b + 二、填空题
16．已知ABC ∆是顶点为A 腰长为2的等腰直角三角形，P 为平面ABC 内一点，则
()
PA PB PC ⋅+的最小值是__________．
17．若34
π
αβ+=
，则()()1tan 1tan αβ--=_____________． 18．已知向量()1,1a =，()3,2b =-，若2ka b -与a 垂直，则实数k =__________．
19．已知(
,)2π
θπ∈，且3cos()45πθ-=，则tan()4
π
θ+=_________________. 20．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0>ω，0ϕπ<<）
的部分图象如图所示，则(0)f =_____.
21．设F 为抛物线x 2=8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若FA FB FC 0++=，则
FA FB FC ++=______．
22．已知向量(1,2)a =，(2,)b λ=，(2,1)c =．若//(2)c a b +，则λ=________． 23．已知向量a ，b 满足1a =，且()
2a a b b -==，则向量a 与b 的夹角是__________．
24．已知向量(,)a m n =，向量(,)b p q =，（其中m ，n ，p ，q ∈Z ）． 定义：(,)a b mp nq mq np ⊗=-+．若(1,2)a =，(2,1)b =，则a b ⊗=__________； 若(5,0)a b ⊗=，则a =__________，b =__________（写出一组满足此条件的a 和b 即
可）．
25．在平行四边形ABCD 中，AD=2 ，AB=2，若BF FC = ，则AF DF ⋅ =_____．
三、解答题
26．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知4
A π
=
，
5
cos 5
B =
，2a =. （Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.
27．已知函数1
()2sin ,3
6f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.
（1）求()0f 的值； （2）设10,0,
,3,2213f ππαβα⎡⎤⎛
⎫∈+= ⎪⎢⎥⎣⎦
⎝⎭()6325f βπ+=，求()sin αβ+ 的值. 28．假设关于某设备的使用年限x 和支出的维修费y (万元)有如下表的统计资料
(1)画出数据的散点图，并判断y 与x 是否呈线性相关关系
(2)若y 与x 呈线性相关关系，求线性回归方程y b x a ∧∧∧
=+的回归系数a ∧，b ∧
(3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少? 参考公式及相关数据:
2
1
22
1
1
1
ˆ,,90,112.3n
i i
n n
i i i i n
i i i
i x y nxy
b a
y bx x x y x
nx ====-=
=-==-∑∑∑∑ 29．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为
25
105
（1）求tan()αβ+的值； （2）求2αβ+的值． 30．已知集合()()()(){}
21,A x x x x x R φφφφ=+=+-∈. （1）求证：函数()cos
3
x
f x A π=∈；
（2）某同学由（1）又发现()cos
3
x
f x π=是周期函数且是偶函数，于是他得出两个命
题：①集合A 中的元素都是周期函数；②集合A 中的元素都是偶函数，请对这两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例；
（3）设p 为非零常数，求()cos g x px A =∈的充要条件，并给出证明.
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C
7．B
8．C
9．D
10．C
11．A
12．C
13．A
14．C
15．B
二、填空题
16．【解析】【分析】以所在直线为轴建立坐标系设运用向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示得出关于的表达式配方即可得出结论【详解】以所在直线为轴以边上的高为轴建立坐标系是直角边为2的等腰直角三角形且为直角顶
17．2【解析】试题分析：即所以答案应填：考点：和差角公式
18．-
1【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k的方程解方程即可求得实数k的值【详解】由平面向量的坐标运算可得：与垂直则即：解得：【点睛】本题主要考查向量的坐标运算向量垂直的充分必要条
19．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件
20．【解析】【分析】由图像可以计算出的值即可得到三角函数表达式然后计算出结果【详解】由图可知：由得从而将点代入得即又所以得所以【点睛】本题考查了由函数图像求三角函数的表达式熟练掌握图像是解题关键较为基础
21．6【解析】【分析】由题意可得焦点F（02）准线为y＝﹣2由条件可得F是三角形ABC的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p＝4焦点F（02）准线为y＝﹣2由于故F 是三角形ABC的重心设AB
22．【解析】【分析】首先由的坐标利用向量的坐标运算可得接下来由向量平行的坐标运算可得求解即可得结果【详解】因为所以因为所以解得即答案为【点睛】该题是一道关于向量平行的题目关键是掌握向量平行的条件
23．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断
角的大小
24．【解析】（）令∴（）∵∴①又∵∴∴∴是方程组①的一组解∴故答案为； 25．【解析】由知点F 为BC 中点
三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【详解】 分析：由0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，求出26x π-的取值范围，从而求出26sin x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭的范围，从而可得()f x 的值域.
详解：
[]0,,20,2x x ππ⎡⎤
∈∴∈⎢⎥⎣⎦
， 52,666x π
ππ⎡⎤∴-
∈-⎢⎥⎣⎦
，
12,162sin x π⎛
⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
()332,362f x sin x π⎛
⎫⎡⎤∴=-∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
即()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，故选B. 点睛：本题考查了求三角函数在闭区间上的值域问题，意在考查解题时应考虑三角函数的单调性与最值，属于简单题.
2．B
解析：B 【解析】
依题意得，函数f （x ）的周期为π， ∵ω＞0，∴ω=2π
π
=2．
又∵当x=
2
3
π 时，函数f （x ）取得最小值， ∴2×2
3
π +φ=2kπ+
32π ，k ∈Z ，可解得：φ=2kπ+6
π
，k ∈Z ， ∴f （x ）=Asin （2x+2kπ+6π）=Asin （2x+6
π
）． ∴f （﹣2）=Asin （﹣4+6π）=Asin （6
π
﹣4+2π）＞0． f （2）=Asin （4+6
π
）＜0， f （0）=Asin 6π
=Asin 56
π＞0， 又∵
32π＞6π
﹣4+2π＞56π＞2π，而f （x ）=Asinx 在区间（2
π，32π）是单调递减的，∴f （2）＜f （﹣2）＜f （0）． 故选：B ．
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
结合题意线性表示向量CM ，然后计算出结果 【详解】 依题意得：
121211215)333333333232
CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ．
本题考查了向量之间的线性表示，然后求向量点乘的结果，较为简单
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
解法一：由题意求出θ的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果 【详解】
解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛
⎫- ⎪⎝⎭得，
πcos 3θ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭=cos01=，故选C ．
解法二：由π1sin 62θ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，πcos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 【点睛】
本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
先化简()
0a a b ⋅-=得2
=a a b ⋅，再化简a b a -=得2b a =
，最后求a b -与b 的夹
角. 【详解】
因为()
0a a b ⋅-=，所以22
0=a a b a a b -⋅=∴⋅，，
因为a b a -=，所以2222a a a b b =-⋅+， 整理可得22b a b =⋅， 所以有2b a =
，
设a b -与b 的夹角为θ，
则()2
cos a b b a b b a b b
a b
θ-⋅⋅-=
==-22
2
22
2||
a a =-， 又0180θ︒≤≤︒，所以135θ=︒，
【点睛】
本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可． 【详解】
3,44ππα⎛⎫
∈
⎪⎝
⎭
， ,42π
παπ⎛⎫∴+
∈ ⎪⎝⎭
， 3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos 45πα⎛
⎫∴+=- ⎪⎝
⎭，
则0cos cos cos cos sin sin 444444x ππππππαααα⎡⎤
⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫==+
-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
4355=-=， 故选C ． 【点睛】
本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
先利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，并求出平移变换后的函数解析式，由
变换后的函数图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，可得出ϕ的表达式，结合ϕ的范围可求出ϕ的值.
【详解】
()()()
sin 222sin 23f x x x x πϕϕϕ⎛⎫
=+++=++ ⎪⎝⎭
,
将函数()y f x =的图象向左平移
4
π
个单位后， 所得图象的函数解析式为()52sin 22sin 2436g x x x ππ
πϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=+
++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
，
由于函数()y g x =的图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则()5226k k Z ππϕπ⨯++=∈， 得()116k k Z ϕπ⎛
⎫=-∈ ⎪⎝⎭，0ϕπ<<，2k ∴=，6
π=ϕ. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用三角函数的对称性求参数值，同时也考查了三角函数图象的平移变换，根据对称性得出参数的表达式是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
8．C
解析：C 【解析】
因为角α的终边过点()4,3(0)P m m m -<，所以sin α=3
5-，4
cos 5
α=
，所以2sin cos αα+=642
555
-+=-，故选C.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
由()()
1OA m OB m OC OA OC m OB OC CA mCB =⋅+-⋅⇒-=⋅-⇒=⋅ 则点
、、A B C 必共线，故A 正确；
由平面向量基本定理可知B 正确；
由 (0)OA OB OC r r ===>可知O 为ABC ∆的外心，由0OA OB OC ++=可知O 为
ABC ∆的重心，故O 为ABC ∆的中心，即ABC ∆是等边三角形，故C 正确；
存在四个向量（1，0），（0，1），（2，0），（0，-2）其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直,D 错误 故选D.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】 根据图形得出
3344AM AB BC AB AD =+
=+,22
33
AN AD DC AD AB =+=+,AM NM ⋅ 2
()AM AM AN AM AM AN =⋅-=-⋅,结合向量的数量积求解即可.
【详解】
因为四边形ABCD 为平行四边形,点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==,
∴根据图形可得:33
44
AM AB BC AB AD =+
=+, 22
33
AN AD DC AD AB =+
=+, NM AM AN ∴=-,
2
()AM NM AM AM AN AM AM AN ⋅=⋅-=-⋅,
2
2
239
216
AM AB AB AD AD =+⋅+,
22233
342
AM AN AB AD AD AB ⋅=++⋅,
6,4AB AD ==， 2213
1239316
AM NM AB AD ∴⋅=
-=-=， 故选C.
本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示.
考点：向量运算.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
由三角函数的诱导公式，求得2
sin
3
，再由三角函数的基本关系式，求得5cos α
3
， 最后利用三角函数的基本关系式，即可求解tan(2)πα-的值，得到答案. 【详解】
由三角函数的诱导公式，可得2sin()sin 3
παα-==-， 因为(,0)2απ∈-
，所以25cos 1sin αα=-=，
又由sin tan(2)tan cos 5
απααα-=-=-=
，故选A. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简、求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
由图观察出A 和T 后代入最高点，利用φπ<可得ϕ，进而得到解析式． 【详解】
由图象可知2A =，因为884
π
ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 所以T π=，2ω=. 当8
x π
=-
时，2sin 228πφ⎛⎫
-
⋅+= ⎪⎝⎭
， 即sin 14πφ⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
，又φπ<， 解得34πφ=.故函数的解析式为32sin 24y x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
. 故选C. 【点睛】
本题考查由()y sin A x ωϕ=+的部分图象确定函数表达式，属基础题．
13．A
解析：A 【解析】
44sin cos αα-()()
2222
sin cos sin cos αααα=-+22sin cos αα=-22sin 1
α=-3
5
=-，故选A.
点睛：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的，用平方差公式分解要求的算式，两个因式中一部分用同角的三角函数关系整理，另一部分把余弦变为正弦，代入题目的条件，得到结论.
14．C
解析：C 【解析】
2,2,OC OA OB BC OC OB OA AC OC OA OA OB =+∴=-==-=+，
22222,23BC OA AC OA OB OA OB ∴===++⋅=，3,AC OA ∴=与OB 夹角为60，且1,1OA OB AB ==∴=，2
2
2
,AB AC BC ABC +=∴∆为直角三角形，故选
C.
15．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
分析：利用向量的共线定理、平行四边形法则即可得出． 详解：∵在ABC ∆中，BE 是AC 边上的中线 ∴1
2
AE AC =
∵O 是BE 边的中点 ∴1
()2
AO AB AE =+ ∴11
24AO AB AC =
+ ∵,AB a AC b == ∴1124
AO a b =+ 故选B.
点睛：本题考查了平面向量的基本定理的应用.在解答此类问题时，熟练掌握向量的共线定理、平行四边形法则是解题的关键．
二、填空题
16．【解析】【分析】以所在直线为轴建立坐标系设运用向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示得出关于的表达式配方即可得出结论【详解】以所在直线为轴以边上的高为轴建立坐标系是直角边为2的等腰直角三角形且为直角顶
解析：1-
【解析】 【分析】
以BC 所在直线为x 轴建立坐标系，设P x y （，） ，运用向量的坐标运算和向量数量积的坐
标表示，得出()
PA PB PC ⋅+关于x y ， 的表达式，配方即可得出结论． 【详解】
以BC 所在直线为x 轴，以BC 边上的高为y 轴建立坐标系，
ABC ∆是直角边为2的等腰直角三角形，且A 为直角顶点，
斜边22BC =，则022020A B C -（，），（，），（，），
设P x y （，），则2222PB PC PO x y PA x y （，），（，），+==--=-
∴()
2222
2 2222221PA PB PC x y x y ⋅+=+-=+-（，
∴当2
0x y ==，时，()
PA PB PC ⋅+取得最小值-1． 故答案为：-1． 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算，运用坐标法解题是关键，属于中档题．
17．2【解析】试题分析：即所以答案应填：考点：和差角公式
解析：2 【解析】
试题分析：34
π
αβ+=
，tan()1αβ∴+=-，tan tan 11tan tan αβαβ+∴
=--，即tan tan (1tan tan )αβαβ+=--，
()()1tan 1tan 1(tan tan )tan tan αβαβαβ∴--=-++
1(1tan tan )tan tan 2αβαβ=+-+=.所以答案应填：2．
考点：和差角公式．
18．-1【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k 的方程解方程即可求得实数k 的值【详解】由平面向量的坐标运算可得：与垂直则即：解得：【点睛】本题主要考查向量的坐标运算向量垂直的充分必要条
解析：-1 【解析】 【分析】
由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k 的方程，解方程即可求得实数k 的值. 【详解】
由平面向量的坐标运算可得：()()()21,123,26,4ka b k k k -=--=+-，
2ka b -与a 垂直，则()
20ka b a -⋅=，
即：()()61410k k +⨯+-⨯=，解得：1k =-. 【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能
力和计算求解能力.
19．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件
解析：3
4
-
【解析】
试题分析：因为(
,)2
π
θπ∈，所以3(,)424π
ππθ-
∈，所以4
sin()45
πθ-=，所以4tan()43πθ-=，即
tan tan
4431tan tan 4π
θπθ-=+，解得tan 7θ=-，所以tan()4πθ+＝tan tan
71341741tan tan 4
π
θπθ+-+==-+-． 考点：1、同角三角形函数间的基本关系；2、两角和与差的正切公式．
【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数，通常将结论角利用条件角来表示，利用同角三角函数基本关系化为相关角的三角函数后，再利用两角和与差的三角函数公式可求解．
20．【解析】【分析】由图像可以计算出的值即可得到三角函数表达式然后计算出结果【详解】由图可知：由得从而将点代入得即又所以得所以【点睛】本题考查了由函数图像求三角函数的表达式熟练掌握图像是解题关键较为基础 解析：
32
【解析】 【分析】
由图像可以计算出A ，ω，ϕ的值，即可得到三角函数表达式，然后计算出结果 【详解】
由图可知：A =
由
741234
T πππ=-=，得T π=，从而22T πω==.
将点7,12π⎛
⎝
7212πϕ⎛⎫
⨯+= ⎪⎝⎭
即7sin 16πϕ⎛⎫+=-
⎪⎝⎭
，又0ϕπ<<，所以7362ππϕ+=，得3π
ϕ=.
所以3
(0)2
f ϕ===.
【点睛】
本题考查了由函数图像求三角函数的表达式，熟练掌握图像是解题关键，较为基础
21．6【解析】【分析】由题意可得焦点F （02）准线为y ＝﹣2由条件可得F 是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p ＝4焦点F （02）准线为y ＝﹣2由于故F 是三角形ABC 的重心设AB
解析：6 【解析】 【分析】
由题意可得 焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由条件可得F 是三角形ABC 的重心，可得
2123
3
y y y ++=
， 由抛物线的定义可得 结果． 【详解】
由题意可得 p ＝4，焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由于 0FA FB FC ++=， 故F 是三角形ABC 的重心，设 A 、B 、C 的纵坐标分别为 y 1，y 2，y 3， ∴2123
3
y y y ++=
，∴y 1+y 2+y 3＝6． 由抛物线的定义可得 FA FB FC ++=（y 1+2）+（y 2+2）+（y 3+2）＝12． 故答案为12． 【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到 y 1+y 2+y 3＝6，是解题的关键．
22．【解析】【分析】首先由的坐标利用向量的坐标运算可得接下来由向量平行的坐标运算可得求解即可得结果【详解】因为所以因为所以解得即答案为【点睛】该题是一道关于向量平行的题目关键是掌握向量平行的条件 解析：2-
【解析】 【分析】
首先由,a b 的坐标，利用向量的坐标运算可得2(4,4)a b λ+=+，接下来由向量平行的坐标运算可得412(4)λ⨯=+，求解即可得结果. 【详解】
因为(1,2),(2,)a b λ==，所以2(4,4)a b λ+=+， 因为(2)c a b +，(2,1)c =， 所以412(4)λ⨯=+，解得2λ=-， 即答案为2-. 【点睛】
该题是一道关于向量平行的题目，关键是掌握向量平行的条件.
23．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小 解析：120︒
【解析】 【分析】
先根据条件得a b ⋅，再根据向量夹角公式求结果. 【详解】
因为1a =，且()
2a a b ⋅-=，所以2
-2,121,a a b a b ⋅=∴⋅=-=- 因此112π
cos ,,1223
a b a b a b a b
⋅-==
=-∴=⨯⋅. 【点睛】
求平面向量夹角方法：一是夹角公式cos a b a b
θ⋅=
⋅；二是坐标公式
cos θ=
；三是几何方法，从图形判断角的大小.
24．【解析】（）令∴（）∵∴①又∵∴∴∴是方程组①的一组解∴故答案为；
解析：(0,5) (2,1) (2,1)- 【解析】
（1）令1m =，2n =，2p =，1q =，∴0mp nq -=，5mq np +=,
(0,5)a b ⊗=．
（2）∵(5,0)a b =⊗，∴5
mp nq mq np -=⎧⎨+=⎩，①又∵5a <，5b <，
∴2222
2525
m n p q ⎧+<⎨+<⎩，∴m ，n ，p ，q ∈Z ，∴2m =，1n =，2p =，1q =-是方程组①的一组解，∴(2,1)a =，(2,1)b =-．
故答案为()0,5? ，(2,1)a =；(2,1)b =-. 25．【解析】由知点F 为BC 中点 解析：
72
【解析】
由BF FC =知点F 为BC 中点
()()AF DF AB BF
DC CF AB DC AB CF BF DC BF CF ⋅=++=⋅+⋅+⋅+⋅
17422
AB DC AB FC BF DC BF FC =⋅-⋅+⋅-⋅=-
=
三、解答题 26． （Ⅰ）
310
10；（Ⅱ）125
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）求出sin B 的值，利用三角形的内角和以及两角和的正弦公式可计算出sin C 的值； （Ⅱ）利用正弦定理求出c ，然后利用三角形的面积公式即可计算出ABC ∆的面积. 【详解】
（Ⅰ）由题意得2125
sin 1cos 155
B B =-=-=
. 因为A B C π++=，所以
()()sin sin sin sin cos cos sin C A B A B A B A B π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦ 25225310
252510
=
⨯+⨯=
； （Ⅱ）由正弦定理
sin sin a c
A C
=，可得310
2sin 6510sin 52
2
a C c A ⨯
=
==.
所以11652512sin 222555
ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯=. 【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算以及三角形内角和与两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
27．
（1）
；（2）
．
【解析】
试题分析：（1）直接带入求值； （2）将和
直接带入函数
，会得到和
的值，
然后根据
的值．
试题解析：解：（1）
（2）
考点：三角函数求值
28．
（1）见解析；（2）0.08a =， 1.23b =；（3）12.38万元 【解析】 【分析】
（1）在坐标系中画出5个离散的点；
（2）利用最小二乘法求出 1.23b =，再利用回归直线过散点图的中心，求出0.08a =； （3）将10x =代入（2）中的回归直线方程，求得12.38y =. 【详解】
（1）散点图如下：
所以从散点图年，它们具有线性相关关系. （2）2345645x ++++=
=， 2.2 3.8 5.5 6.57.0
55y ++++==，
于是有2112.354512.3
1.23905410
b -⨯⨯=
==-⨯，
51,2340.08a y bx =-=-⨯=.
（3）回归直线方程是 1.230.08,y x =+
当10x =时， 1.23100.0812.38y =⨯+=（万元）， 即估计使用年限为10年时，维修费用是12.38万元. 【点睛】
本题考查散点图的作法、最小二乘法求回归直线方程及利用回归直线预报当10x =时，y 的值，考查数据处理能力.
29．
（1）tan()3αβ+=-
（2）324παβ+=
【解析】
【分析】
【详解】 试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得cos α 与cos β的值，进而可得出sin α与sin β的值，从而可求tan α与tan β的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出()()tan 2tan αβαββ⎡⎤+=++⎣⎦ 的值，再根据,αβ的取值范围，可得出2αβ+的取值范围，进而可得出2αβ+的值.
由条件得cosα＝
，cosβ＝. ∵ α，β为锐角，
∴ sinα＝＝，sinβ＝
＝. 因此tanα＝＝7，tanβ＝
＝. (1) tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2) ∵ tan2β＝＝＝，
∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1.
∵ α，β为锐角，∴ 0<α＋2β<，∴ α＋2β＝
30．
（1）见解析（2）命题①正确.见解析（3）充要条件是23p k π
π=+或
()23p k k Z π
π=-+∈，见解析
【解析】
【分析】
（1）通过计算证明()()()21f x f x f x +=+-，即可得证；
（2）根据函数关系代换()()()63f x f x f x +=-+=，即可证明周期性，举出反例
()cos 34x h x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
不是偶函数； （3）根据充分性和必要性分别证明23p k ππ=
+或()23p k k Z ππ=-+∈.
【详解】
（1）()()()()()2112cos
cos cos cos 333333x x x x f x f x ππππππ⎡⎤⎡⎤+++++=+=++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()
()
()112cos cos cos 1333x x f x πππ
++===+
∴()()()21f x f x f x +=+-
∴()cos 3x
f x A π=∈
（2）命题①正确.集合A 中的元素都是周期函数.
证明：若()f x A ∈
则()()()21f x f x f x +=+-可得()()()321f x f x f x +=+-+.
所以()()3f x f x +=-，从而()()()63f x f x f x +=-+=，
所以()f x 为周期函数，命题①正确；命题②不正确.
如()cos 34x h x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
不是偶函数，但满足()h x A ∈，这是因为 ()()11112cos cos 3433
43x x h x h x ππππππ⎡⎤⎡⎤++⎛⎫⎛⎫++=++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ()112cos 13
4x h x ππ+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ∴()()()21h x h x h x +=+-
∴()h x A ∈
（3）若()cos g x px A =∈
则()()()21g x g x g x +=+-，()()()21g x g x g x ++=+
∴()()cos 2cos cos 1p x px p x ++=+
∴()()()cos 2cos 1cos 1p x p p x p p x ⎡⎤⎡⎤++++-=+⎣⎦⎣⎦
∴()()2cos 1cos cos 1p x p p x +=+，可得∴2cos 1p =
∴23p k ππ=
+或()23p k k Z ππ=-+∈ 当23p k π
π=+或()23
p k k Z ππ=-+∈时 ()()()2cos 22cos 233g x g x k x k x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()cos 212cos 212333
3k x k k x k ππππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ()()()2cos 21cos 2cos 211333k x k k x g x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
∴()cos g x px A =∈
所以()cos g x px A =∈的充要条件是23p k ππ=
+或()23p k k Z ππ=-+∈ 【点睛】
此题考函数新定义问题，考查函数性质的综合应用，关键在于读懂题意，准确识别集合中函数的特征.。