八年级初二数学第二学期平行四边形单元 期末复习专项训练检测试卷

八年级初二数学第二学期平行四边形单元 期末复习专项训练检测试卷
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD 中，30, 6, 63,BCD BC CD E ︒∠===是AD 边上的中点，F 是AB 边上的一动点，将AEF ∆沿EF 所在直线翻折得到A EF '∆,连接A C '，则
A C '的最小值为( )
A ．319
B ．313
C ．3193-
D ．63
2．如图所示，等边三角形ABC 沿射线BC 向右平移到DCE ∆的位置，连接AD 、BD ，则下列结论：（1）AD BC =（2）BD 与AC 互相平分（3）四边形ACED 是菱形（4）
BD DE ⊥，其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AB ＝4，BD ＝43，E 为AB 的中点，点P 为线段AC 上的动点，则EP+BP 的最小值为（ ）
A ．4
B ．25
C ．27
D ．8
4．将个边长都为1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点
分别是正方形
对角线的交点，则2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4，E 为CD 上一动点，连接AE 交BD 于F ，过F 作FH ⊥AE 于F ，过H 作HG ⊥BD 于 G ．则下列结论：①AF ＝FH ；②∠HAE ＝45°；③BD ＝2FG ；④△CEH 的周长为 8．其中正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边CD 上一点，且BC ＝EC ，CF ⊥BE 交AB 于点F ，P 是EB 延长线上一点，下列结论：①BE 平分∠CBF ；②CF 平分∠DCB ；③BC ＝FB ；④PF ＝PC ．其中正确结论的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．如图，在ABC ∆中，4BC =，BD 平分ABC ∠，过点A 作AD BD ⊥于点D ，过点D 作//DE CB ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若2EF DF =，则AB 的长为（ ）
A ．10
B ．8
C ．7
D ．6
8．已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示)，点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、3C 均在x 轴正半轴上，若已知正方形1111D C B A 的
边长为1，1160B C O ︒
∠=，且112233////B C B C B C ，则点3A 的坐标是( )
A ．331(3++
B ．33332+
C ．33132++
D ．333(3++
9．如图，在一张矩形纸片ABCD 中，4AB =，8BC =，点E ，F 分别在AD ， BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：
①四边形CFHE 是菱形；②EC 平分DCH ∠；③线段BF 的取值范围为34BF ≤≤；④当点H 与点A 重合时，25EF =． 以上结论中，你认为正确的有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，点P 在边AD 上从点A 到点D 运动，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作PF ⊥BD 于点F ，已知AB=3，AD=4，随着点P 的运动，关于PE+PF 的值，下面说法正确的是（ ）
A ．先增大，后减小
B ．先减小，后增大
C ．始终等于2.4
D ．始终等于3
二、填空题
11．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，对角线长为1cm ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分的面积是_____．
12．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG ，BG ，BD ，DG ，下列结论：①BC=DF ；②135DGF ︒∠=；③BG DG ⊥；④3
4
AB AD =
，则254
BDG
FDG
S S =
，正确的有__________________．
13．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作//ED AB ，
//EF AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作1C ；取BE 中点1E ，作11//E D FB ，
11//E F EF ，得到四边形111E D FF ，它的周长记作2C ．照此规律作下去，则
2020C =______．
14．如图，在等边ABC 和等边DEF 中，FD 在直线AC 上，33,BC DE ==连接
,BD BE ，则BD BE +的最小值是______．
15．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点
E ，若27CD
F ∠=︒，则DAB ∠的度数为____________．
16．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在边AD 、BC 上．将该纸片沿EF 折叠，使点A 的对应点G 落在边DC 上，折痕EF 与AG 交于点Q ，点K 为GH 的中点，则随着折痕EF 位置的变化，△GQK 周长的最小值为____．
17．如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝10cm，BC＝3cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上．在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为
_____cm．
18．如图,在平面直角坐标系中,直线
1
1
2
y x
=+与x轴、y轴分别交于A，B两点，以AB为
边在第二象限内作正方形ABCD，则D点坐标是_______；在y轴上有一个动点M，当MDC
△的周长值最小时，则这个最小值是_______．
19．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF=20°，则∠AED等于__度．
20．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段AB的中点．点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DE＝AB＝10．以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，则线段MG长度的最大值为_____．
三、解答题
21．如图，矩形OBCD 中，OB ＝5，OD ＝3，以O 为原点建立平面直角坐标系，点B ，点D 分别在x 轴，y 轴上，点C 在第一象限内，若平面内有一动点P ，且满足S △POB ＝
13
S 矩形OBCD ，问：
（1）当点P 在矩形的对角线OC 上，求点P 的坐标；
（2）当点P 到O ，B 两点的距离之和PO +PB 取最小值时，求点P 的坐标．
22．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作
//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．
(1)求证: FCE BOE ≌；
(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．
23．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC . （1）求证：AEF CGH ∆≅∆
（2）若ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：
（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+
24．在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于点F （如图1和图2），然后展开铺平，连接BE ，EF ．
（1）操作发现：
①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个 三角形； ②当折痕经过点A 时，BE 与AE 的数量关系为 ． （2）深入探究：
在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝23． ①当△BEF 是等边三角形时，求出BF 的长；
②△BEF 的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF 的长；若不存在，请说明理由．
25．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠． （1）若点F 在边CD 上，如图1，
①求证：CH CG ⊥． ②求证：GFC 是等腰三角形．
（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ． 26．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.
（发现与证明．．
）ABCD 中，AB BC ≠，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D . 结论1：'AB C ∆与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形；
结论2：'B D AC .
试证明以上结论. （应用与探究）
在ABCD 中，已知2BC =，45B ∠=，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D .若以A 、C 、D 、'B 为顶点的四边形是正方形，求AC 的长.（要求画出图形）
27．如图1，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，且交AC 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD .
（1）①求证：四边形BFDE 是菱形；②求∠EBF 的度数．
（2）把（1）中菱形BFDE 进行分离研究，如图2，G ，I 分别在BF ，BE 边上，且BG =BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH ，并延长FH 交ED 于点J ，连接IJ ，IH ，IF ，IG ．试探究线段IH 与FH 之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）把（1）中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD 满足AB =AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，作EF ⊥DE ，垂足为点E ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ．请直接写出线段AG ，GE ，EC 三者之间满足的数量关系．
28．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。

（1）如图1，损矩形ABCD ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，则该损矩形的直径是线段AC ，同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点，在公共边的同侧的两个角是相等的。

如图1中：△ABC 和△ABD 有公共边AB ，在AB 同侧有∠ADB 和∠ACB ，此时∠ADB ＝∠ACB ；再比如△ABC 和△BCD 有公共边BC ，在CB 同侧有∠BAC 和∠BDC ，此时∠BAC ＝∠BDC 。

请再找一对这样的角来 ＝
（2）如图2，△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AC 为一边向形外作菱形ACEF ，D 为菱形ACEF 的中心，连结BD ，当BD 平分∠ABC 时，判断四边形ACEF 为何种特殊的四边形？请说明理由。

（3）在第（2）题的条件下，若此时AB ＝3，BD ＝2，求BC 的长。

29．已知：正方形ABCD 和等腰直角三角形AEF ，AE=AF （AE ＜AD ），连接DE 、BF ，P 是DE 的中点，连接AP ．将△AEF 绕点A 逆时针旋转．
（1）如图①，当△AEF 的顶点E 、F 恰好分别落在边AB 、AD 时，则线段AP 与线段BF 的位置关系为 ，数量关系为 ．
（2）当△AEF 绕点A 逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立．
（3）若AB=3,AE=1，则线段AP 的取值范围为 ．
30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒． （1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）； （2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值； （3）当32
5
t =
时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
如图，先作辅助线，首先根据垂直条件，求出线段ME 、DE 长度，然后运用勾股定理求出
DE 的长度，再根据翻折的性质，当折线'EA ，'AC 与线段CE 重合时，线段'
AC 长度最
短，可以求出最小值. 【详解】
如图，连接EC,过点E 作EM ⊥CD 交CD 的延长线于点M. 四边形ABCD 是平行四边形，
6AD BC AD BC ∴==，，
E 为AD 的中点，30BCD ∠=︒，
330DE EA MDE BCD ∴==∠=∠=︒，， 又 EM CD ⊥,
1333
22ME DE DM ∴=
==， 33153
6322
CM CD DM ∴=+== 根据勾股定理得：
2
2
22
3153319.22CE ME CM ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
根据翻折的性质，可得'3EA EA ==,
当折线'EA ，'AC 与线段CE 重合时，线段'AC 长度最短，此时'
AC
= 3193. 【点睛】
本题是平行四边形翻折问题，主要考查直角三角形勾股定理，根据题意作出辅助线是解题的关键.
2．D
解析：D 【分析】
先求出∠ACD=60°，继而可判断△ACD 是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD 是平行四边形，从而可判断②是正确的；再结合①的结论，
可判断③正确；根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，再根据平移后对应线段互相平行可得∠BDE=∠COD=90°，进而判断④正确.
【详解】
解：如图：∵△ABC，△DCE是等边三角形
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD
∴∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°
∴△ACD是等边三角形
∴AD=AC=BC，故①正确；
由①可得AD=BC
∵AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BD、AC互相平分，故②正确；
由①可得AD=AC=CE=DE故四边形ACED是菱形，即③正确
∵四边形ABCD是平行四边形，BA=BC
∴.四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AC//DE
∴∠BDE=∠COD=90°
∴BD⊥DE，故④正确
综上可得①②③④正确，共4个.
故选：D
【点睛】
此题主要考查了菱形的判定与性质，以及平移的性质，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直.
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
连结DE交AC于点P，连结BP，根据菱形的性质推出AO是BD的垂直平分线，推出
PE+PB=PE+PD=DE且值最小，根据勾股定理求出DE的长即可．
【详解】
如图，设AC，BD相交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝1
2
AC，BO＝
1
2
BD＝23，
∵AB＝4，
∴AO＝2，
连结DE交AC于点P，连结BP，作EM⊥BD于点M，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且DO＝BO，即AO是BD的垂直平分线，∴PD＝PB，
∴PE+PB＝PE+PD＝DE且值最小，
∵E是AB的中点，EM⊥BD，
∴EM＝1
2
AO＝1，BM＝
1
2
BO＝2，
∴DM＝DO+OM＝3
2
BO＝33，
∴DE＝2222
E DM1(33)27
M+=+=，
故选C．
【点睛】
此题考查了轴对称-最短路线问题，关键是根据菱形的判定和三角函数解答．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和．由此即可解答.
【详解】
由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即一个阴影部分的面积为
如图，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，
∴n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n-1），
∴2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为×（2019-1）=．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
5．D
解析：D
【分析】
①作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF=CF，故需证明FC=FH，可证：AF=FH；
②由FH⊥AE，AF=FH，可得：∠HAE=45°；
③作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD=2FG，只需证OA=GF即可，根据
△AOF≌△FGH，可证OA=GF，故可证BD=2FG；
④作辅助线，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则IL=HC，可证AL=HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CE=IM，故△CEH的周长为边AM的长．
【详解】
①连接FC，延长HF交AD于点L，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠CDF=45°．
∵AD=CD，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF．
∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．
∵∠ALH+∠LAF=90°，
∴∠LHC+∠DAF=90°．
∵∠ECF=∠DAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC．
∴FH=AF．
②∵FH⊥AE，FH=AF，
∴∠HAE=45°．
③连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，
∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，
∴∠AFO=∠GHF．
∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，
∴△AOF≌△FGH．
∴OA=GF．
∵BD=2OA，
∴BD=2FG．
④连接EM，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，
∵HL⊥AE，CI∥HL，
∴AE⊥CI，
∴∠DIC+∠EAD=90°，
∵∠EAD+∠AED=90°，
∴∠DIC=∠AED，
∵ED⊥AM，AD=DM，
∴EA=EM，
∴∠AED=∠MED，
∴∠DIC=∠DEM，
∴∠CIM=∠CEM，
∵CM=MC，∠ECM=∠CMI=45°，
∴△MEC≌△CIM，可得：CE=IM，
同理，可得：AL=HE，
∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．
∴△CEH的周长为8，为定值．
故①②③④结论都正确．
故选D．
【点睛】
解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等．
6．D
解析：D
【分析】
分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．
【详解】
证明：如图：
∵BC＝EC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CEB＝∠EBF，
∴∠CBE＝∠EBF，
∴①BE平分∠CBF，正确；
∵BC＝EC，CF⊥BE，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴②CF平分∠DCB，正确；
∵DC∥AB，
∴∠DCF＝∠CFB，
∵∠ECF＝∠BCF，
∴∠CFB＝∠BCF，
∴BF＝BC，
∴③正确；
∵FB＝BC，CF⊥BE，
∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，
∴PF＝PC，故④正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．
7．D
解析：D
【分析】
延长AD 、BC 交于点G ，根据三线合一性质推出ABG ∆是等腰三角形，从而可得D 是AG 的中点，E 是AB 的中点，再利用中位线定理即可得.
【详解】
如图，延长AD 、BC 交于点G
∵BD 平分ABC ∠，AD BD ⊥于点D
,90ABD GBD ADB GDB ∴∠=∠∠=∠=︒
∴BAD G ∠=∠
AB BG ∴=，D 是AG 的中点
∵//DE BG
∴E 是AB 的中点，F 是AC 的中点，DE 是ABG ∆的中位线，EF 是ABC ∆的中位线 ∴12,22
EF BC BG DE === 又∵2EF DF =
∴1DF =
∴3DE EF DF =+=
∴26BG DE ==
∴6AB =
故选：D.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定定理与性质、中位线定理，通过作辅助线，构造等腰三角形是解题关键.错因分析：容易题.失分原因是对特殊三角形的性质及三角形的重要线段掌握不到位.
8．C
解析：C
【分析】
根据两直线平行，同位角相等可得∠B 3C 3O=∠B 2C 2O=∠B 1C 1O=60°，然后利用三角形全等可得B 2E 2=E 1E 2=D 1E 1=E 3C 2，E 2C 2=E 3E 4=B 3E 4，解直角三角形求出OC 1、C 1E 、E 1E 2、E 2C 2、C 2E 3、E 3E 4、E 4C 3，再求出B 3C 3，过点A 3延长正方形的边交x 轴于M ，过点A 3作A 3N ⊥x 轴于N ，先求出A 3M ，再解直角三角形求出A 3N 、C 3N ，然后求出ON ，再根据点A 3在第一象限写出坐标即可．
【详解】
解∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，
∴∠B 3C 3O =∠B 2C 2O =∠B 1C 1O =60°，
∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，B 1C 1=C 1D 1，∠B 1C 1D 1=90°，
∴∠C 1B 1O=∠D 1C 1E 1=30°，
∴△C 1B 1O ≌△D 1C 1E 1；
∴B 1O=C 1E 1，OC 1=D 1E 1，
同理可得B 2E 2=E 1E 2=D 1E 1=E 3C 2；E 2C 2=E 3E 4=B 3E 4；
111122223111111222OC D E E E B E C E B C ∴=====
=⨯= 11113331C E D C ==⨯= 2234342231332E C E E B E B E ===
=⨯= 433433313636
E C B E ==⨯= 3343112263
B C E C ∴==⨯= 过点A 3延长正方形的边交x 轴于M ,过点A 3作A 3N ⊥x 轴于N ，
则3323233333311333333339
A M A D C D
B
C B C +=+=+=+⨯= 33333331A N A M ++=
==3313313322C M A M ++=== 34313333123C N E M C M ⎛⎫+-∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
111122223343ON OC C E E E E C C E E E C N =++++++
1313131313322262
-=++++++=
∵点A 3在第一象限，
∴点A 3的坐标是32⎭
. 故选C.
【点睛】
本题考查正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，30°角的直角三角形.熟练掌握有30°角的直角三角形各边之间的数量关系是解决本题的关键.
9．C
解析：C
【分析】
①先判断出四边形CFHE 是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH ，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH ，然后求出只有∠DCE=30°时EC 平分∠DCH ，判断出②错误；
③点H 与点A 重合时，设BF=x ，表示出AF=FC=8-x ，利用勾股定理列出方程求解得到BF 的最小值，点G 与点D 重合时，CF=CD ，求出最大值BF=4，然后写出BF 的取值范围，判断出③正确；
④过点F 作FM ⊥AD 于M ，求出ME ，再利用勾股定理列式求解得到EF ，判断出④正确．
【详解】
解：
①∵FH 与CG ，EH 与CF 都是矩形ABCD 的对边AD 、BC 的一部分，
∴FH ∥CG ，EH ∥CF ，
∴四边形CFHE 是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH ，
∴四边形CFHE 是菱形，（故①正确）；
②∴∠BCH=∠ECH ，
∴只有∠DCE=30°时EC 平分∠DCH ，（故②错误）；
③点H 与点A 重合时，此时BF 最小，设BF=x ，则AF=FC=8-x ，
在Rt △ABF 中，AB 2+BF 2=AF 2，
即42+x 2=（8-x ）2，
解得x=3，
点G 与点D 重合时，此时BF 最大，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF 的取值范围为3≤BF ≤4，（故③正确）；
过点F 作FM ⊥AD 于M ，
则ME=（8-3）-3=2，
由勾股定理得， EF=22MF ME +=2242+=25，（故④正确）；
综上所述，结论正确的有①③④共3个，
故选C ．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．
10．C
解析：C
【分析】
在矩形ABCD 中，由矩形边长，可得矩形面积是12，进而得134
AOD ABCD S S ==矩形，由矩形对角线相等且互相平分得AO OC =，OB OD =，AC BD =，利用勾股定理可解得
5AC =,则52
OA OD ==，111()3222
AOD AOP DOP S S S OA PE OD PF OA PE PF =+=+=+==，即可求出PE+PF 的值．
【详解】
解：连接PO ，如下图：
∵在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，
∴12ABCD S AB BC ==矩形,
AO OC =，OB OD =，AC BD =，
225AC AB +BC ，
∴1112344
AOD ABCD S S ==⨯=矩形,
52OA OD ==， 11115()()322222
AOD AOP DOP S S S OA PE OD PF OA PE PF PE PF =+=+=+=⨯+=，
∴12 2.45
PE PF +=
=； 故选C ．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，利用等积法间接求三角形的高线长及用勾股定理求直角三角形的斜边；利用面积法求解，是本题的解题突破点． 二、填空题
11．218
cm 【分析】
根据正方形的性质可以证明△AEO ≌CFO ，就可以得出S △AEO =S △CFO ，就可以求出△AOD 面积等于正方形面积的
14
，根据正方形的面积就可以求出结论． 【详解】
解：如图：
∵正方形ABCD 的对角线相交于点O ，
∴△AEO 与△CFO 关于O 点成中心对称，
∴△AEO ≌CFO ，
∴S △AEO ＝S △CFO ，
∴S △AOD ＝S △DEO +S △CFO ，
∵对角线长为1cm ，
∴S 正方形ABCD ＝
1112⨯⨯＝12cm 2， ∴S △AOD ＝18
cm 2， ∴阴影部分的面积为18cm 2．
故答案为：
18
cm 2． 【点睛】 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及三角形的面积公式的运用，在解答时证明△AEO ≌CFO 是关键．
12．①③④
【分析】
由矩形的性质可得AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD ，由角平分线的性质和余角的性质可得∠F=∠FAD=45°，可得AD=DF=BC ，可判断①；通过证明
△DCG ≌△BEG ，可得∠BGE=∠DGC ，BG=DG ，即可判断②③；过点G 作GH ⊥CD 于H ，设AD=4x=DF ，AB=3x ，由勾股定理可求BD=5x ，由等腰直角三角形的性质可得HG=CH=FH=
12x ，
，由三角形面积公式可求解，可判断④． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD ，
∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠F=∠FAD ，
∴AD=DF ，
∴BC=DF ，故①正确；
∵∠EAB=∠BEA=45°，
∴AB=BE=CD ，
∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，
∴△CEF 是等腰直角三角形，
∵点G 为EF 的中点，
∴CG=EG ，∠FCG=45°，CG ⊥AG ，
∴∠BEG=∠DCG=135°，
在△DCG 和△BEG 中， ===BE CD BEG DCG CG EG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
，
∴△DCG ≌△BEG （SAS ）．
∴∠BGE=∠DGC ，BG=DG ，
∵∠BGE ＜∠AEB ，
∴∠DGC=∠BGE ＜45°，
∵∠CGF=90°，
∴∠DGF ＜135°，故②错误；
∵∠BGE=∠DGC ，
∴∠BGE+∠DGA=∠DGC+∠DGA ，
∴∠CGA=∠DGB=90°，
∴BG ⊥DG ，故③正确；
过点G 作GH ⊥CD 于H ，
∵34
AB AD =， ∴设AD=4x=DF ，AB=3x ，
∴CF=CE=x ，22AB AD x +，
∵△CFG ，△GBD 是等腰直角三角形，
∴HG=CH=FH=
12x ，52x ， ∴S △DGF =
12×DF×HG=x 2，S △BDG =12DG×GB=254x 2， ∴254BDG FDG S S =，故④正确；
故答案为：①③④． 【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．
13．20181
2
【分析】
根据几何图形特征，先求出1C 、2C 、3C ，根据求出的结果，找出规律，从而得出2020C ．
【详解】
∵点E 是BC 的中点，ED ∥AB ，EF ∥AC
∴DE 、EF 是△ABC 的中位线
∵等边△ABC 的边长为1
∴AD=DE=EF=AF =12 则1C =1422
⨯=
同理可求得：2C =1，3C =12 发现规律：规律为依次缩小为原来的
12 ∴2020C =20181
2
故答案为：
201812．
【点睛】 本题考查找规律和中位线的性质，解题关键是求解出几组数据，根据求解的数据寻找规律．
14．37
【分析】
如图，延长CB 到T ，使得BT=DE ，连接DT ，作点B 关于直线AC 的对称点W ，连接TW ，DW ，过点W 作WK ⊥BC 交BC 的延长线于K ．证明BE=DT ，BD=DW ，把问题转化为求DT+DW 的最小值．
【详解】
解：如图，延长CB 到T ，使得BT=DE ，连接DT ，作点B 关于直线AC 的对称点W ，连接TW ，DW ，过点W 作WK ⊥BC 交BC 的延长线于K ．
∵△ABC ，△DEF 都是等边三角形，BC=3DE=3，
∴BC=AB=3，DE=1，∠ACB=∠EDF=60°，
∴DE ∥TC ，
∵DE=BT=1，
∴四边形DEBT 是平行四边形，
∴BE=DT ，
∴BD+BE=BD+AD ，
∵B ，W 关于直线AC 对称，
∴CB=CW=3，∠ACW=∠ACB=60°，DB=DW ，
∴∠WCK=60°，
∵WK ⊥CK ，
∴∠K=90°，∠CWK=30°，
∴CK=12CW=32，333，
∴TK=1+3+3
2
=
11
2
，
∴TW=
2
2
22
1133
22
TK WK
⎛⎫
⎛⎫
+=+ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
=37，
∴DB+BE=DB+DT=DW+DT≥TW，
∴BD+BE≥37，
∴BD+BE的最小值为37，
故答案为37．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．15．102︒
【分析】
根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC，AD=CD；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB的度数．
【详解】
连接BD，BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA．
∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，
∴AF=BF，BF=DF，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA，
∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，
∵∠CDF=27°，
∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，
∴∠DAB=2∠DAC=102°．
故答案为：102°．
【点睛】
本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．
16．3+35．
【分析】
取AB的中点M，连接DQ，QM，DM．证明QM＝QK，QG＝DQ，求出DQ＋QM的最小值即可解决问题．
【详解】
取AB的中点M，连接DQ，QM，DM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝6，∠DAM＝∠ADG＝90°，
∵AM＝BM＝3，
∴DM2222
+=+5，
63
AB AM
∵GK＝HK，AB，GH关于EF对称，
∴QM＝QK，
∵∠ADG＝90°，AQ＝QG，
∴DQ＝AQ＝QG，
∵△QGK的周长＝GK+QG+QJ＝3+DQ+QM．
又∵DQ+QM≥DM，
∴DQ+QM≥5
∴△QGK的周长的最小值为5，
故答案为5
【点睛】
本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、最值问题，解题的关键是取AB的中点M，确定QG＋QK＝QD＋QM，属于中考常考题型．
17101
【分析】
探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．
【详解】
如图1中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，
在Rt△ADE中，则有x2＝32+（9﹣x）2，解得x＝5，
∴DE＝10﹣1-5＝4（cm），
如图2中，当点M 运动到MB ′⊥AB 时，DE ′的值最大，DE ′＝10﹣1﹣3＝6（cm ），
如图3中，当点M 运动到点B ′落在CD 时， 22221310NB C N C B ''''=+=+=
DB ′（即DE ″）＝10﹣1﹣10＝（9﹣10）（cm ），
∴点E 的运动轨迹E →E ′→E ″，运动路径＝EE ′+E ′B ′＝6﹣4+6﹣（910101）（cm ）．
101．
【点睛】
本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
18．(3,2)-517
【分析】
如图（见解析），先根据一次函数的解析式可得点A 、B 的坐标，从而可得OA 、OB 、AB 的长，再根据正方形的性质可得90BAD ∠=︒，DA AB =，然后根据三角形全等的判定定
理与性质可得,AE OB DE OA ==，由此即可得出点D 的坐标；同样的方法可求出点C 的坐标，再根据轴对称的性质可得点C '的坐标，然后根据轴对称的性质和两点之间线段最短得出MDC △的周长值最小时，点M 的位置，最后利用两点之间的距离公式、三角形的周长公式即可得．
【详解】
如图，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，作点C 关于y 轴的对称点C '，交y 轴于点F ，连接C D '，交y 轴于点M '，连接C M '，则CF y ⊥轴 对于112
y x =+ 当0y =时，
1102
x +=，解得2x =-，则点A 的坐标为(2,0)A - 当0x =时，1y =，则点B 的坐标为(0,1)B
2,1,OA OB AB ∴====四边形ABCD 是正方形
90BAD ∴∠=︒
，CD DA AB ===90DAE OAB ABO OAB ∴∠+∠=∠+∠=︒
DAE ABO ∴∠=∠
在ADE 和BAO 中，90AED BOA DAE ABO DA AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ADE BAO AAS ∴≅
1,2AE OB DE OA ∴====
213OE OA AE ∴=+=+=
则点D 的坐标为(3,2)D -
同理可证：CBF BAO ≅
1,2CF OB BF OA ∴====
123OF OB BF ∴=+=+=
则点C 的坐标为(1,3)C -
由轴对称的性质得：点C '的坐标为(1,3)C '，且CM C M '=
MDC ∴△
的周长为CD DM CM DM C M '++=+
由两点之间线段最短得：当点M 与点M '重合时，DM C M '+取得最小值DC ' (3,2),(1,3)D C '-
DC '∴==则MDC △
DC '=故答案为：(3,2)-
．
【点睛】
本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质等知识点，正确找出MDC △的周长最小时，点M 的位置是解题关键． 19．65
【分析】
先由正方形的性质得到∠ABF 的角度，从而得到∠AEB 的大小，再证△AEB ≌△AED ，得到∠AED 的大小
【详解】
∵四边形ABCD 是正方形
∴∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠CAD=45°，∠ABC=90°，AB=AD
∵∠FBC=20°，∴ABF=70°
∴在△ABE 中，∠AEB=65°
在△ABE 与△ADE 中
45AB AD BAE EAD AE AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△ABE≌△ADE
∴∠AED=∠AEB=65°
故答案为：65°
【点睛】
本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导出∠AEB 的大小.
20．5【分析】
取DE 的中点N ，连结ON 、NG 、OM ．根据勾股定理可得55NG =M 与G 之间总有MG ≤MO+ON+NG （如图1），M 、O 、N 、G 四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段MG 的最大值．
【详解】
如图1，取DE 的中点N ，连结ON 、NG 、OM ．
∵∠AOB＝90°，
∴OM＝1
2
AB＝5．
同理ON＝5．
∵正方形DGFE，N为DE中点，DE＝10，
∴2222
10555
NG DN DG
++
＝＝＝．
在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），
如图2，由于∠DNG的大小为定值，只要∠DON＝1
2
∠DNG，且M、N关于点O中心对称时，
M、O、N、G四点共线，此时等号成立，
∴线段MG取最大值5
故答案为：5
【点睛】
此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、O、N、G四点共线，则线段MG长度的最大是解题关键．
三、解答题
21．（1）P（10
3
，2）；（2）（
5
2
，2）或（﹣
5
2
，2）
【分析】
（1）根据已知条件得到C（5，3），设直线OC的解析式为y＝kx，求得直线OC的解析式
为y＝3
5
x，设P（m，
3
5
m），根据S△POB＝
1
3
S矩形OBCD，列方程即可得到结论；
（2）设点P的纵坐标为h，得到点P在直线y＝2或y＝﹣2的直线上，作B关于直线y＝2的对称点E，则点E的坐标为（5，4），连接OE交直线y＝2于P，则此时PO+PB的值最小，设直线OE的解析式为y＝nx，于是得到结论．
【详解】
（1）如图：
∵矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，
∴C（5，3），
设直线OC的解析式为y＝kx，
∴3＝5k，
∴k＝3
5
，
∴直线OC的解析式为y＝3
5 x，
∵点P在矩形的对角线OC上，
∴设P（m，3
5 m），
∵S△POB＝1
3
S矩形OBCD，
∴1
2
⨯5×
3
5
m＝
1
3
⨯3×5，
∴m＝10
3
，
∴P（10
3
，2）；
（2）∵S△POB＝1
3
S矩形OBCD，
∴设点P的纵坐标为h，
∴1
2
h×5＝
1
3
3
⨯⨯5，
∴h＝2，
∴点P在直线y＝2或y＝﹣2上，作B关于直线y＝2的对称点E，则点E的坐标为（5，4），
连接OE 交直线y ＝2于P ，则此时PO +PB 的值最小，
设直线OE 的解析式为y ＝nx ，
∴4＝5n ，
∴n ＝45
， ∴直线OE 的解析式为y ＝
45x ， 当y ＝2时，x ＝
52， ∴P （52
，2）， 同理，点P 在直线y ＝﹣2上，
P （52
，﹣2）， ∴点P 的坐标为（
52，2）或（﹣52，2）． 【点睛】
本题考查了轴对称——最短路线问题，矩形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的找到点P 在位置是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形，证明详见解析
【分析】
（1）证明四边形OCFD 是平行四边形，得出OD=CF ，证出OB=CF ，再证明全等即可（2）证出四边形ABCD 是矩形，由矩形的性质得出OC=OD ，即可得出四边形OCFD 为菱形.
【详解】
(1)证明:∵//,//CF BD DF AC ，
∴四边形OCFD 是平行四边形， OBE CFE ∠=∠，
∴OD CF =，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OB OD =，
∴OB CF =，
在FCE △和BOE △中， OBE CFE BEO FEC OB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()FCE BOE AAS ≌．
(2)当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形.理由如下:
∵90ADC ∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，
∴四边形ABCD 是矩形
∴,,,OA OC OB OD AC BD ===
∴OC OD =，
∴四边形OCFD 为菱形
【点睛】
本题考查全等三角形判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质和菱形的判定是解题的关键.
23．（1）证明见解析；（2
）BE =（3）证明见解析．
【分析】
（1）根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质可证明∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，再证明四边形ACGE 是平行四边形即可证明AE=CG ，由此可利用“AAS”可证明全等； （2）证明△AEF ≌△DGF （AAS ）可得△DGF ≌△CGH ，所以可得12
AE
DG CG CD ，再结合等腰直角三角形的性质即可求得CD ，由此可得结论；
（3）利用等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质结合勾股定理分别把22AC BD +和22AB BC +用2CD 表示即可得出结论． 【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AB//CD ，AD//BC ，
∴∠E=∠EGD ，∠H=∠DFG ，
∵∠CGH=∠EGD ，∠DFG=∠AFE ，
∴∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，
∵//EH AC ，AB//CD ，
∴四边形ACGE 是平行四边形，
∴AE=CG ，
∴△AEF ≌△CGH （AAS ）；
（2）∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AB//CD ，AB=CD ，
∴∠E=∠EGD ，∠D=∠EAF ，
∵F 是AD 的中点，
∴AF=FD ，
∴△AEF ≌△DGF （AAS ）；。