二次函数的系数与图象的关系

△>0 抛物线与x轴有两个交点；
△=0 抛物线与x轴有一个交点；
△<0 抛物线与x轴无交点。
例 已知抛物线y= ax2+bx+c如图， y
试确定a、b、c及△=b2-4ac
的符号，并说明理由。
解：∵抛物线的开口向下 ∴a<0
o
x
∵抛物线交y轴于正半轴
Hale Waihona Puke Baidu
∴c＞0
又∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，即- b <0
试确定a、b、c及△=b2-4ac 的符号，并说明理由。
o
x
二次函数图象 与字母系数的关系
二次函数图象有如下规律： 1、二次函数y= ax2+bx+c的图象是___抛__物__线__， 这条抛物线的形状(开口方向、开口大小) 是由_二__次__项__系__数__a_决定的。
a相同 抛物线的形状相同
△ _>__0
O
x
1、判断下列各图中的a、b、c及△的符号
(3) y
(3)a__>_0; b_<__0; c__>_0; △ __<_0
O
(4)a_<__0; b__>_0; c__<_0; △ _=__0
x (4) y
O
x
(5)
y
(5)a__<_0; b__=_0; c__>_0; △ _>__0
5、抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的顶点在x轴
的下方的条件是( B )
A、b2-4ac≥0
B、 b2-4ac<0
C、b2-4ac>0
D、 b2-4ac≤0
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图 所示，判断下列各式的符号：
(1)a; (2)b; (3)c; (4)a+b+c;
(5)a-b+c; (6)b2-4ac; (8)2a+b; (9)2a-b y
练习：1、函数y=2x2+4x-6的开口方向_向__上__;
对称轴是__直__线__x_=_-_1_；顶点坐标是_(_-_1_,_-_8_)_; 与x轴的交点坐标为(_-_3_,_0_)_与__(_1_,_0_),与y轴的交
点坐标为_(_0_，__-_6_). y
2 、已知抛物线y= ax2+bx+c如图，
∴a,b同号 又∵a<0，∴b<0
2a
∵抛物线与x轴有两个交点
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根
∴ △=b2-4ac>0
1、判断下列各图中的a、b、c及△的符号
(1)
y
(1)a_>__0; b__>_0; c_<__0; △ _>__0
O
x
(2)
y
(2)a_>__0; b_<__0; c_=__0;
___a_和__b_联__合__决定的。
考察x=-
_b_ 2a
可，得“左同右异”；
b=0 抛物线的对称轴是y轴。
a,b同号 抛物线的对称轴在y轴左侧；
a,b异号 抛物线的对称轴在y轴右侧；
二次函数图象有如下规律： 4、抛物线与x轴交点的个数由_b_2-_4_a_c_的__符__号__决定。
二次函数与一元二次方程有着内在联系。欲 判断二次函数的图象与x轴有无交点，只要 判断相应一元二次方程有无实数根，即判断 △=b2-4ac的正负，具体如下：
(7)4ac-b2;
-1
0
1
x
7、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示， 根据图象回答问题：
(1)抛物线的对称轴是________;
(2)x______时，y随x的增大而减小。
y
(3)x______时，y＜0？
(4)x______时，y＞0？
0
-1
5
x
6 、已知二次函数y= x2+(2m-1)x+m2. (1)当m__<___41__时，图象与 x轴有两个交点；(△>0) (2)当m__=___41__时，顶点在 x轴上；(△=0) (3)当m__=___21__时，顶点在 y轴上；(b=0)
△>0 抛物线与x轴有两个交点；
△=0 抛物线与x轴有一个交点；
△<0 抛物线与x轴无交点。
c=0 抛物线经过原点； c>0 抛物线交y轴的正半轴； c<0 抛物线交y轴的负半轴；
3、考察x=-
_b_ 2a
可，得“左同右异”；
b=0 抛物线的对称轴是y轴。
a,b同号 抛物线的对称轴在y轴左侧；
a,b异号 抛物线的对称轴在y轴右侧；
4、抛物线与x轴交点的个数由△的符号决定。
(4)当m__=_0__时，图象过原点。 (c=0) (5)当m__>___21__时，图象的对称轴在y(轴ab的<0左) 侧。
二次函数图象有如下规律：
1、抛物线的形状由a决定.
a相同 抛物线的形状相同
a>0 开口向上 a<0 开口向下
2、抛物线y= ax2+bx+c与y轴的交点的位置 由c决定.
|a|越大，开口越窄
a>0 开口向上
a<0 开口向下
二次函数图象有如下规律： 2、抛物线y= ax2+bx+c与y轴的交点的位置 是由__常__数__项__c__决定的。
c=0 抛物线经过原点； c>0 抛物线交y轴的正半轴； c<0 抛物线交y轴的负半轴；
二次函数图象有如下规律： 3、抛物线y= ax2+bx+c的对称轴的位置是由
O
x
2、二次函数y= ax2+bx+c中，a>0，b>0，c=0，
则其图象的顶点坐标在( C )
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
3、二次函数y= ax2+bx+c和一次函数y=ax+b的
图象在同一坐标系内大致图象是( C )
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C
D
4、二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点和 第一、第二、第三象限，则有( B ) A、a>0,b<0, c=0 B、a>0,b>0, c=0 C、a<0,b>0, c=0 D、a>0,b<0, c=0