微积分豪华大礼包15级微积分I(03023)思考题IIII解答 (13-14修)

15级微积分（一）期末思考题 IIII 解答
一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，答案错选或未选者，该题不得分。

每小题3分，共15分）.
1.当a =（ C ）时， 1
lim(sin )1x ax x
→∞=.
A ．1-
B ．2
C ．1
D ．0
解：11
1lim(sin )lim x x ax ax a x x →∞→∞==⋅=
2.方程21x x -=-在区间（ A ）上至少存在一个实根。

A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(1,0)- D ．(2,3) 解：210x x +-=，令2()1f x x x =+-
()[0,1](0)10,(1)10,f x f f =-<=>在 上连续，由零值定理知，选A 3.设当201cos ,x kx x →- 时，则k =（ A ）.
A
． B ．2 C ．1 D ．0 解：22
01cos 01cos ,lim
1x kx
x kx x x →-→-∴= 时，
2
222200()1cos 2lim lim =122x x kx kx k k k x x →→-===而，得，故A 4.函数x y x =，则y '=( D )
A.1x xx -
B. ln x x x
C. (ln )x x x x +
D. (ln 1)x x x + 解：ln ln y x x =，1
ln 1y x y
'=+，(ln 1)x y x x '=+ 5. 曲线sin x
y x
=
( B )． A ．既有垂直渐近线也有水平渐近线 B ．只有水平渐近线
C ．只有垂直渐近线
D ．无渐近线
解：sin 1
lim lim sin 0,0x x x x y x x →∞→∞=⋅=∴=是其水平渐近线；
0sin lim 1,x x x
→=∴无垂直渐近线；
22()sin 1
lim
lim lim sin 0,0x x x f x x x a x
x x →∞
→∞→∞==⋅==∴即无斜渐近线.故选A
二、填空题（请填写下列各小题的正确答案，每小题3分，共15分）. 1. 1
1lim(
)1ln x x x x x →-=-12
解：111111
ln()lim limln()lnlim()1ln 1ln 1ln 11
1lim()lim 1ln x x x x x x x x x x x x x
x x x x x e e e x x →→→-⋅-----→→-===- 1
111ln 10ln 11lim(
)lim ()lim
11ln (1)ln 0ln x x x x x x x x x x x x x x x
→→→-++--==---+
1
1
2
1ln 1lim
lim
1
112
ln 1x x x x
x x
x x →→===
+-
+ 1ln 2111
lim()1ln 2
x x x e x x →-==- 2. 两曲线44ln 5,4ln y x y x x =+=+的交点个数为 2 个.
解：4
4ln 5
,4ln y x y x x
=+⎧⎨=+⎩ 444ln 54ln ,ln 4ln 450x x x x x x +=+-+-=即求此方程实根个数
设 4()ln 4ln 45,f x x x x =-+-:(0,)D +∞
33
314ln 1()4ln 4=40ln 10=x x f x x x x x x x
+-'=-++-=令
3ln 1,1x x x =-=
唯一极小值就是最小值，曲线上最小值点(1,1)-在x 轴下方，
4
4
lim ()lim (ln 4ln 45)lim ()lim (ln 4ln 45)x x x x f x x x x f x x x x ++
→→→+∞
→+∞
=-+-=+∞=-+-=+∞
所以方程有两个实根，故两曲线有2个交点.
3. 需求量q 对价格p 的函数为2()52p q p =-，则需求价格弹性Eq Ep =22
210p p --. 解：
2
222()1052
Eq p
p p q p p Ep q
p '=⋅=⋅-=---
4. 2
(3)()4(1)
x f x x -=-函数的单调增区间是(,1),(3,)-∞-+∞.
解：:(,1)(1,)D -∞+∞∪
222
12(3)(1)(3)1(3)(1)()01,34(1)4(1)x x x x x f x x x x x -----+'=====-=-- 令
，
5. 函数极限0sin sin lim
x x
x
→= 1 。

解：① 00sin sin 0cossin cos lim
()lim 101x x x x x
x →→⋅== ② 00sin sin sin lim
lim 1(0,sin 0,sin sin sin )x x x x
x x x x x x →→==→→
三、求极限（请保留必要的计算步骤；每题6分，共12分）. 1. 3
0sin lim x x x
x →-．
解：3200sin 01cos 0lim
()lim ()030x x x x x x x →→--=0sin lim 6x x x →=1
6
= 2. sin 01lim ()x x x +→
解：
sin
1
lim ln()
sin0
1
lim()()
x
x
x x
x
e
x
+
→
+
→
∞=000
1ln
lim sin ln()lim sin ln lim()
csc
x x x
x
x x x
x x
e e e
+++
→→→
∞
--
∞
===
00
1
sin
lim lim tan
csc cot1
x x
x
x x
x x x
e e e
++
→→
====.
四、求导数（请保留必要的计算步骤；每题6分，共12分）.
1.
cos0
()0,.
bx
x a x x
f x x a b
e x
+>
⎧
==
⎨
≤
⎩
设在处可导，求常数
00
0000
00
00
()00
lim()lim()(0)
lim()lim1lim()lim(cos),1
()(0)()(0) ()0lim lim
()(0)1
lim lim lim
x x
bx
x x x x
x x
bx
x x x
f x x x
f x f x f
f x e f x x a x a a
f x f f x f
f x x
x x
f x f e
x x
-+
--++
-+
--
→→
→→→→
→→
→→
==
==
===+==
--
=⇒=
--
==
解 在处可导，故在处必连续.
则有
所以在处可导
000
()(0)cos101sin
lim lim()lim1
01
1,1
x x x
bx
b
x
f x f x x x
b
x x
a b
-
+++
→
→→→
=
-+--
====
==
所以
2
．已知tan
()(sin)x
f x x
=+)
(x
f'．
解设
tan
12
()(sin),()
x
f x x f x
==
2
11
1
1cos ln()tan ln sin,()sec ln sin tan
()sin
x
f x x x f x x x x
f x x
'
==+
所以tan2
1
()(sin)(sec ln sin1)
x
f x x x x
'=+
2
2ln2
141
ln()ln ln ln(ln)[ln(4)2ln(4)]
3(4)3
x
x x
f x x x x x
x x
-
=+=-+--+
+
2
2
111112
()2ln[(1)]
()344
f x x
f x x x x x
'=-+⋅--
-+
所以
22()2ln ]3(4)3(4)x x
f x x x x '=----+
tan 22()(sin )(sec lnsin 1)2ln ]3(4)3(4)x x x
f x x x x x x x '=+----+
五、求隐函数导数（请保留必要的计算步骤；10分）. 由方程1
sin()ln
1x xy y
+-=确定y 是x 的隐函数，求y '． 解： 原式可写 sin()ln(1)ln 1xy x y -++=
方程两边对x 求导，得 1()cos()01y y xy xy x y
''+-
+=+ 故 2(1)cos()
(1)cos()1y y x xy y xy x xy x -+'=+++
六、求函数高阶导数（请保留必要的计算步骤；10分）.
()ln , .n x
y y x
=
已知求 解：方法①： 1
ln ,y x x
=
⋅ ()()111!(1)!()(1),(ln )(1)n n n n n n
n n x x x x
++-=-=- ()0()(0)1(1)(1)2(2)(2)3(3)(3)
(0)
()
1111()(ln )()(ln )()(ln )()(ln )1()(ln )n n n n n n n n n n n n y C x C x C x C x x x x x
C x x
---∴=+++++ 12112
31
231!(1)!1(1)(2)!1(1)ln (1)(1)()2(1)(2)(3)!2!1(1)!
(1)(1)3!!111
(1)(ln 1)
23n
n n n n n n n n n
n n n n n n n x n x x x x x n n n n n x x x x n x x n --+--+-+---=-+-+------+-++-=------
方法②： 222111
ln (ln 1)y x x x x x '=-+=--　
32333(2)112121211(ln 1)(ln 1)[ln (1)]22y x x x x x x x x x -⋅⋅''=---⋅=--⋅=-+
432111[ln (1)]23
y x x ⋅⋅'''=--++
()1!11(1)[ln (1)]2n n
n n y x x n
+=--+++
七、求函数的极值及其曲线的拐点（请保留必要的计算步骤；10分）
列表分析函数()3
21x f x x =+的单调性、凹向性、极值与拐点.
解：()32211
x x
f x x x x ==-++ ;(,)D -∞+∞ ()222
2
(3)
(1)
x x f x x +'=+, 令 ()0,0f x x '==为驻点,
又()()222
2(3)
,0,0,(1)
x x f x f x x x -''''===+令,
()4-
、 (0,0)、)4
为函数曲线的拐点.
八、经济应用题（请保留必要的计算步骤；8分）.
已知某厂生产x 件产品的成本为2
()50002004
x C x x =++（元）．求10x =件时的
总成本、平均成本、边际成本，并解释边际成本的经济意义.
解：总成本2
10(10)5000200070254
C =++= 平均成本(10)
(10)702.5(/)10
C C =
=元件 边际成本()200,(10)2052
x
C x C ''=+=
边际成本的经济意义：当产量为10件时，再增加一件产品所要追加的成本
约为205元.
九、证明题（请保留必要的计算步骤；8分）.
设函数)(x f 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导, 且()()1f a f b ==,求证：至少存在一点,(,)a b ηξ∈,使得[()()]1e f f ηξηη-'+=。

()()(),()()()
()()[,](,)()()[()()](()()1)
()()(,)(,)
x x x x b a b a
b a
F x e f x
G x e F x e f x e f x F x G x a b a b e f b e f a e e e f f f a f b b a b a
G b G a e e a b e a b b a b a
ηξηηηξξ''===+--'==+==----==∈--证明：令和有显然、在上都满足拉格朗日中值定理条件故在内至少存在一点，
使得， 又：在内至少存在一点，使得，[()()],[()()]1
e f f e e f f ηξηξηηηη-''+=+=两式相比可得即。