2024-2025学年北京五十五中高一(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年北京五十五中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U={1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，B={3,4}，则A∩(∁U B)=( )
A. {1,2}
B. {1,3}
C. {1,4}
D. {1,2,4}
2.设命题p：∀x∈R，|x|+2>0，则￢p为( )
A. ∃x0∈R，|x|+2>0
B. ∃x0∈R，|x|+2≤0
C. ∃x0∈R，|x|+2<0
D. ∀x∈R，|x|+2≤0
3.若函数y=f(x)的定义域为{x|0≤x≤1}，值域为{y|0≤y≤1}，那么函数y=f(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.设a，b∈R，且a<b<0，则( )
A. 1
a <1
b
B. b
a
>a
b
C. a+b
2
>ab D. b
a
+a
b
>2
5.已知函数f(x−1)=4x+3，则f(2)值为( )
A. 7
B. 9
C. 11
D. 15
6.如果偶函数f(x)在[2,5]上是减函数且最小值是4，那么f(x)在[−5,−2]上是( )
A. 减函数且最小值是4
B. 减函数且最大值是4
C. 增函数且最小值是4
D. 增函数且最大值是4
7.设函数f(x)的定义域为[0,1]，则“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
8.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|−1<x<2}，则b−c+4
a
的最小值为( )
A. −4
B. −2
C. 2
D. 4
9.已知函数f(x)={
2,x >m x 2+4x +2,x ≤m 的图象与直线y =x 恰有2个公共点，则实数m 的取值范围是( )
A. [−2,−1)∪[2，+∞)
B. [−1,2)
C. [−2,−1]
D. [2,+∞)10.用C(A)表示非空集合A 中的元素的个数，定义A ∗B =|C(A)−C(B)|，若A ={−1,1}，B ={x|(ax 2+3x)(x 2+ax +2)=0}，若A ∗B =1，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则C(S)=( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.函数f(x)= x−1+1x−2的定义域用区间表示是______．
12.已知集合A ={2a−1,a 2,0}，B ={1−a,a−5,9}，若满足A ∩B ={9}，则实数a 的值为______．
13.已知函数f(x)=mx 2−x +m ，对一切实数x ，f(x)<0恒成立，则m 的一个值可以为______．
14.定义max{a,b,c}为a ，b ，c 中的最大值，设ℎ(x)=max{x 2,14x,6−x}，则ℎ(x)的最小值为______．
15.函数f(x)=x 1+|x|(x ∈R)，给出下列四个结论
①f(x)的值域是(−1,1)；
②任意x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2
>0；③任意x 1，x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2，都有f(x 1)+f(x 2)2
>f(x 1
+x 22)；④规定f 1(x)=f(x)，f n +1(x)=f(f n (x))，其中n ∈N ∗，则f 10(12)=112．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题14分)
已知集合A ={x|x 2−5x−14≤0}，B ={x|m +1≤x ≤m +3,m ∈R}．
(1)当m =5时，求A ∪B 和B ∩∁R A ；
(2)若A ∩∁R B =A ，求m 的取值范围．
17.(本小题14分)
已知函数f(x)=x|x|−2x ．
(1)判断函数f(x)的奇偶性并用定义证明；
(2)用分段函数的形式表示函数f(x)的解析式，并并直接在本题给出的坐标系中画出函数f(x)的图像．
18.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax +b x 的图像经过点A(1,3)，B(2,0)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并证明；
(3)当x ∈[12,m]时，f(x)的最小值为3，求m 的值．
19.(本小题15分)
已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3．
(1)求f(x)的解析式；
(2)解关于x 的不等式：f(x)+2ax−3>0，其中a ∈[3a,a +1]；
(3)当x ∈[−1,1]时，f(x)>2x +2m +1恒成立，试确定实数m 的取值范围．
20.(本小题15分)
已知某电子公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元，设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)={400−6x,0≤x ≤407400x −40000x 2,x >40．(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式(利润=销售收入−成本)；
(2)当年产量为多少万部时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
21.(本小题12分)
已知集合P ⊆Z ，且集合P 具有以下性质：
①P中的元素有正整数，也有负整数；
②P中的元素有奇数，也有偶数；
③若x，y∈P，则x+y∈P；
④−1∉P．
回答下列问题．
(1)若x∈P，求证：3x∈P；
(2)判断集合P是有限集还是无限集，并说明理由；
(3)判断0和2与集合P的关系，并说明理由．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.D
5.D
6.C
7.A
8.D
9.A
10.B
11.[1,2)∪(2,+∞)
12.−3
13.−1(答案不唯一)
14.4
15.①②④
16.解：(1)当m=5时，B={x|6≤x≤8}，
因为A={x|−2≤x≤7}，
所以A∪B={x|−2≤x≤8}，B∩∁R A={x|7<x≤8}；
(2)因为B={x|m+1≤x≤m+3,m∈R}，
所以∁R B={x|x<m+1或x>m+3}，
因为A∩∁R B=A，所以A⊆∁R B，
因为A={x|−2≤x≤7}，
所以m+1>7或m+3<−2，
解得m>6或m<−5，
所以m的取值范围为{m|m<−5或m>6}．
17.解：(1)函数f(x)为R上的奇函数，
因为f(−x)=−x|x|+2x=−f(x)，
所以函数f(x)为R上的奇函数；
(2)f(x)=x|x|−2x ={
x 2−2x,x ≥0−x 2−2x,x <0，
图象如图所示：．
18.解：(1)根据题意，函数f(x)=ax +b x 的图像经过点A(1,3)，B(2,0)，
故{a +b =32a +b 2=0，解得{
a =−1
b =4，
故f(x)=−x +4x ；
(2)函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；
证明：设∀x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，
则f(x 1)−f(x 2)=−x 1+4x 1−(−x 2+4x 2)
=(x 2−x 1)+4(x 2−x 1)x 1x 2
=(x 2−x 1)×x 1x 2+4x 1x 2，因为x 2−x 1>0，x 1x 2>0，故(x 2−x 1)×x 1x 2+4x 1x 2>0，
即f(x 1)>f(x 2)，故函数f(x)在(0,+∞)上单调递减．
(3)由(2)知f(x)在[12,m]是减函数，
因此f(x )min =f(m)=−m +4m =3，解得m =1或m =−4，
又m >12，所以m =1． 19.解：(1)由题意，函数f(x)是二次函数，且f(0)=f(2)，可得函数f(x)的对称轴为x =1，又由最小值为1，可设f(x)=a(x−1)2+1(a ≠0)，
又f(0)=3，即a ×(0−1)2+1=3，解得a =2，
所以函数的解析式为f(x)=2(x−1)2+1=2x 2−4x +3．
(2)f(x)+2ax−3>0⇔2x 2+(2a−4)x >0⇔x 2+(a−2)x >0，
因为a ∈[3a,a +1]，所以{
a ≥3a
a ≤a +13a <a +1
⇒a ≤0，所以x 2+(a−2)x >0⇔x <0或x >2−a ，
所以若a ∈[3a,a +1]，则关于x 的不等式：f(x)+2ax−3>0的解集为(−∞,0)∪(2−a,+∞)．
(3)因为当x ∈[−1,1]时，f(x)>2x +2m +1恒成立，
即当x ∈[−1,1]时，2x 2−4x +3>2x +2m +1恒成立，
即当x ∈[−1,1]时，m <x 2−3x +1恒成立，
设函数g(x)=x 2−3x +1，x ∈[−1,1]，
则g(x)在区间[−1,1]上单调递减，
所以g(x)在区间[−1,1]上的最小值为g(1)=−1，
所以m <−1，
故实数m 的取值范围为(−∞,−1)． 20.解：(1)当0<x ≤40时，W =xR(x)−(16x +40)=−6x 2+384x−40，
当x >40时，W =xR(x)−(16x +40)=−40000x −16x +7360，
∴W =−40000x −16x +7360．
(2)①当0<x ≤40时W =−6x 2+384x−40，
∴当x =32时，W max =W(32)=6104，
②当x >40时，W =−40000x −16x +7360≤−2
40000x ⋅16x +7360=5760，当且仅当4000x =16x ，即x =50时，等号成立，
即当x =50时，W max =5760，
综上所述，当x =32时，W 取得最大值为6104万美元，
即当年产量为32万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万美元． 21.(1)证明：由③若x ，y ∈P ，则x +y ∈P ，
可得若x ∈P ，则x +x =2x ∈P ，x +2x =3x ∈P ．
(2)集合P 为无限集，证明如下：
假设集合P 为有限集，则集合P 中必最大值，且最大值为正数，
不妨设最大值为m ，由(2)若x ，y ∈P ，则x +y ∈P ，可得2m ∈P 与集合P 的最大值为m 矛盾，
所以集合P为无限集．
(3)由③可知，x∈P，则kx∈P(k是正整数).有①可设，x，y∈P，且x>0，y<0
则xy，(−y)x∈P，因而0=xy+(−y)x∈P．
假设2∈P，则2k∈P.由上面及③知，0，2，4，6，8，…均在P中，故2k−2∈P(k是正整数)不妨令P中负数为奇数−2k+1(k为正整数)，由③，(2k−2)+(−2k+1)=−1∈P，矛盾．
故若2∈P，则P中没有负奇数．若P中负数为偶数，设为−2k(k为正整数)，则由③及2∈P，得−2，−4，−6…均在P中，即−2m−2∈P(m为非负整数)，则P中正奇数为2m+1，有(4)得，(−2m−2)+(2m+1)=−1∈P，矛盾．
综上，0∈P，2∉P．。