第3章运动定理(3)力矩与角动量

2 2
J J ' sin
例：圆周运动的质点关于圆心O的角动量
J r p
J rp m rv m r
2
J
v
r
m
SI：kg·m2/s
•
,或 J·s
o
微观体系的角动量是明显量子化的，其取值只能是 普朗克常数
h / 2 1 .0 5 1 0
34


i
m i ri m i rc M rc M r 0 ｃ

角动量的柯尼希定理的推导
第四项
所以

i
ric m i v ic
J rc M v c

i
ric m i v ic
2. 质心系的角动量的定理
据质点组的角动量定理

i

i
ric F i
rc M


i
2. 质心系的角动量的定理
d rc M v c ric m i v ic dt dt i d rc dvc d M v c rc M ric m i v ic dt dt dt i dvc d v c M v c rc M ric m i v ic dt dt i dvc d rc M ric m i v ic dt dt i dJ

质点的角动量定理（积分形式）
t
t
0
Ld t
t
t
0
dJ J J 0
意义：力矩L作用于质点m在△t时间内的积累效果， 导致质点的角动量发生改变。

质点角动量定理的几点说明
① 该定理仅适用于惯性系，在非惯性系下，要考虑惯
性力的力矩；
② J、L必须相对于同一参考点；
③ 参考点为固定点；
2
F引 F ， 就不变了， r
引力不能再使 r 减小 。 但在z 轴方向却无此限制， 可以在引力作用下不断收缩。
五．质心系的角动量定理
1. 角动量的柯尼希定理
在惯性系中，质点系相对确定参照点O的角动量等于 系统质心相对O的角动量与系统内各质点相对质心的 角动量之和
J rc M v c ric m i v ic

i i
rc m i v c ric m i v c

i
rc m i v ic ric m i v ic


i

角动量的柯尼希定理的推导
rc m i v c rc
第一项
i

i
mi
v c rc M v c
y
L F
r sin F d

力矩的几点说明
L F r sin F d
① 力矩L为矢量，数值：
方向：右手螺旋法则 ② 力矩与参照点有关，不指明参照点，力矩无意义 ③ L在直角坐标系下的描述
L ( yF z zF y ) i ( zF x x F z ) j ( x F y yF x ) k

i

角动量的柯尼希定理的推导
在惯性系，对于一固定参照点O，各质点的位矢ri，速 度为vi，质点组的角动量为
J

i
ri m i v i
因为 则有
ri rc ric , v i v c v ic
J

i
rc ric m i v c v ic
④ J 并非与L有关， L导致J 的变化；
⑤ 角动量守恒
• • •
若L＝0，则有 J＝J0（恒矢量），质点对o的角动量守恒；
L＝0的原因：F＝0 ；F与r的方向平行
若L≠0，但Lz＝0，则有 Jz＝Jz0，质点对z轴的角动量为恒量
例：F = 0，质点m作匀速直线运动，必有
J r mv A
角动量定义为
J r mv r P

角动量的几点说明
J mv r s in r m v s in
① 角动量为矢量，数值：
方向：右手螺旋法则
0
② 角动量与参照点有关，选不同的参考点，角动量不
相同；
J J xi J j Jzk
三个坐标分量
L x ( yF z zF y ) L y ( zF x xF z ) Lz ( xF y yF x )
④ Lx，Ly，Lz的意义
•
Lx=yFz－zFy ；与x无关，作用力F对于x轴的力矩
•
•
Ly=zFx－xFz ；与y无关，作用力F对于y轴的力矩
Lz=xFy－yFx ；与z无关，作用力F对于z轴的力矩
• J z ( xp y yp x )
；与z无关，质点对于z轴的角动量
⑥ 单位与量纲
• •
单位：千克·米2/ 秒 （kg·m2/s） 量纲：[L2MT-1]
例：质点m对于O’点的角动量 质点m对于O点的角动量
J ' r ' m v m L sin
2
J rm v m L sin
经典力学（上）
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第三章 牛顿力学的运动定理 及守恒律
3.5
一．力矩

力矩与角动量
定义：
•
设作用力F作用于空间P点，选取空间一确定点o为
参照点，P点位矢为r，则力F对于o点力矩定义为
L r F
z
L
F
θ
o
r
d
m
x
L r F
L ri F i
L dJ dt
而

i

i
rc ric F i

i
rc F i

i
ric F i ric F i rc F ric F i
rc

i
Fi dvc dt



ri r j

rij
f ij

i
ri f ij
j(i)

i j
ri r j

f ij 0
而

i
ri F i L i L
i
（质点系的总力矩）
上式右边＝
d d t ri m i v i d t i d dJ J i dt dt i d
比较两边可得

i
ric F i
d dt

i
ric m i v ic
2. 质心系的角动量的定理
令
则有
Lc

i
ric F i J c ,

i
ric m i v ic
J s
的整数或半奇数倍。
•
但因宏观物体的角动量比h大得多，所以宏观物体的
角动量可以看作是连续变化的。
三．质点的角动量定理
设空间一质点 m，受到作用力 F，速度为 v 。相对于 确定参照点o，位矢 r ；力矩为L，角动量 J。 考虑
dJ dt d dt (r m v ) dv dr dt mv r dm v dt dv

i
ri m i v i
可得
L
dJ dt
或
Ldt dJ
质点系的角动量定理（微分形式），与质点
的角动量定理形式一样

质点系角动量定理的说明
① 该定理仅适用于惯性系，在非惯性系下，要考虑 惯性力的力矩； ② 内力的力矩对系统的总角动量无贡献，但它可以 改变系统内各质点的角动量； ③ 角动量定理的积分形式为
t
t
0
Ld t J J 0

质点系角动量定理的说明
④ 关于角动量守恒
•
若 L＝0，则有 J＝J0（恒矢量），质点对o的角动 量守恒；
•
若 L≠0，但 Lz＝0，则有 Jz＝Jz0，质点系对z轴的 角动量守恒
盘 状 星 系

星云具有盘形结构：
pc — 秒差距，1pc = 3.0861016m 旋 转 的 星 云
m i v ic 0
第二项
i
rc m i v ic rc

i
第三项
i
ric m i v c

i
m i ric v c 0 c
m i ric c
i

i i
m i ( ri rc )
r dr r v
的矢径在相等的时间内扫过相等的面积
2ds c dr ds r 2 c' dt dt
面积速度为常量
四．质点系的角动量定理
•
定义： 在惯性系中，质点系内各个质点相对于某确定参照 点的角动量的矢量和称为质点系对该点的角动量
J J r m ivi
v mv r m
dt dt dv r m r F L ( v v 0) dt