高中数学总复习教学案10G空间向量及运算、用空间向量解决线面位置关系

高中数学总复习教学案
§10.7 空间向量及运算、用空间向量解决线面位置关系
新课标要求
经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；了解空间向量的概念；掌握空间向量的加、减、数乘、及数量积的运算；了解空间向量共面概念及条件；理解空间向量的基本定理。

掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，掌握空间向量线性运算、数量积及其坐标表示；能运用向量数量积判断向量的共线与垂直；能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直与平行关系 重点难点聚焦
重点：掌握空间向量的加、减、数乘、及数量积的运算；理解空间向量的基本定理；掌握空间向量的坐标运算。

难点：灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题
高考分析及预策
向量由于具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介。

空间向量是处理空间问题的重要方法，通过将空间元素间的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，是一种重要的解决问题的手段和方法。

在空间向量部分的基本要求是根据题目特点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，通过向量计算解决问题，即求有向线段的长度，求两条有向线段的夹角（或其余弦），证明直线和直线垂直等。

预测今年的立体几何大题是：一题多问(证明位置关系、求角与距离或体积)、一题多解(可用空间向量做，也可不用空间向量做)，一般情况下，应优先考虑用空间向量的方法。

利用空间向量解决立体几何问题，主要有两种策略，一是建立空间直角坐标系，通过向量的坐标运算解决问题；二是不建立坐标系，直接利用空间向量的基本定理，即将有关向量用空间的一组基底表示出来，然后通过向量的有关运算求解。

题组设计
再现型题组
1.△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD = （ ）
A.
12BC BA -+
B.
1
2BC BA --
C. 12BC BA -
D. 1
2BC BA
+
2.若a=（2x ，1，3），b=（1，－2y ，9），如果a 与b 为共线向量，则
A .x=1，y=1 B.x=21，y=－21
C.x=61，y=－23
D.x=－61，y=23
3.(2007四川·文)如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是
(A ）BD ∥平面CB1D1
A
B
C
D
(B)AC1⊥BD
(C)AC1⊥平面CB1D1 (D)异面直线AD 与CB 所成的角为60°
4.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →
=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.等边三角形 巩固型题组
5. 如果平面α 和这个平面外的一条直线l 同时垂直于直线m ，求证：l //α.
6.如图，m, n 是平面α内的两条相交直线。

如果,,n l m l ⊥⊥求证：α⊥l 。

7. 如下图，直棱柱ABC —A1B1C1的底面△ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M 、N 分别是A1B1、A1A 的中点. （1）求BN 的长；
（2）求异面直线BA 与1CB1的余弦值；
（3）求证：A1B ⊥C1M.
8．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ， DC PD =，E 是PC 的中点，作
PB EF ⊥交PB 于点F.
（1）证明 ∥PA 平面EDB ； （2）证明⊥PB 平面EFD ； （3）求二面角D -PB -C 的大小．
提高型题组
9.如右图，在四边形ABCD 中，4||||||=++，
4||||||||=⋅+⋅，0=⋅=⋅，
则⋅+)(的值为（ ） A 、2
B 、22
C 、4
D 、24
10.如图，正三棱柱
111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．
（Ⅰ）求证：
1AB ⊥平面1A BD ；
（Ⅱ）求二面角
1A A D B --的大小．
课堂小结
运用向量基本定理或建立空间坐标系坐标法求解，立体几何中的平行与垂直的问题,利用向量解决,书写较长,但思维力度不大，充分显示出代数化方法研究几何图形的优越性.两个向量共线、垂直的充要条件，直线方向向量与平面的法向量，考题形式往往是客观题，而通过坐标法计算数量积去证平行、垂直，求夹角、距离，往往是高考的解答题。

一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n 的某个坐标设为1，再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量 反馈型题组
11. 若l 的方向向量为（2，1，m ），平面α的法向量为（1，1/2，2），若l ∥α，则m= 12.已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是
A.1
B.51
C.53
D.57
13.已知点A （1，2，1）、B （－1，3，4）、D （1，1，1），若2AP PB ＝， 则|PD |的值是__________.
14.如果四面体的两组对棱互相垂直，求证第三组对棱也互相垂直．
15.已知AB =（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC 的单位法向量. 16. 如下图，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，E 、F 分别是BB1、CD 的中点.
A
B D
1A
1
C 1B C
n
β
P l
α a m
A 1
（1）证明AD ⊥D1F ；
（2）求AE 与D1F 所成的角； （3）证明面AED ⊥面A1D1F.
§10.7 空间向量及运算、用空间向量解决线面位置关系 再现型题组 ⒈【提示或答案】A.
【基础知识聚焦】考查相反向量概念与向量运算． ⒉ 【提示或答案】C ．
【基础知识聚焦】考查用坐标表示共线向量的条件. 3. 【提示或答案】D ．
【基础知识聚焦】空间坐标系的建立，用向量处理平行、垂直与夹角问题. 4. 【提示或答案】D ．
【基础知识聚焦】考查单位向量以及向量的加法、数量积运算. 巩固型题组
5.【证法一】：设m α=A, 过A 和直线l 作平面β， 设β α=a,∵m ⊥α, ∴m ⊥a ．
l 和a 的位置关系有相交和平行两种情况，
若l 和a 相交，∵m ⊥a ，m ⊥l ，则m ⊥β． 又m ⊥α, 且α和β同过点A ，
∴α和β重合．∵l ⊂β，∴l ⊂α，与已知l ⊄α矛盾．
∴l //a ，又l ⊄α，a ⊂α，∴l //α．
注：由m ⊥a ，m ⊥l ，不能直接推出l //a ，∵尽管l 和a 同在平面β内，但m 不一定在β内．“两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”，此结论只有当这三条直线都在同一平面内时才成立．
【证法二】：在直线l 上任取一点P ，过P 作直线n //m ． ∵m ⊥α, m ⊥l, ∴n ⊥α, ∴n ⊥l ．
过l 和n 作平面β，设β α=a ，
∵n ⊥α,∴n ⊥a,又n ⊥l,且l 、a 、n 都在平面β内．
∴l //a, 又l ⊄α, a ⊂α, ∴l //α．
注：此证法中，先将直线m 平移到与直线l 相交，然后再过两条相交直线作平面β，这样所得交线a 、直线l 以及直线n 都在同一平面β内，且l 和a 都与直线n 垂直，便可得l //a ．将两条异面直线中的一条平移，得到两条相交直线，是对异面直线的常见处理方式，请同学们结合此例仔细体会证法二的妙处． 【证法三】：设a ，b 是平面α内的一组基底，l 、m 分别是l 、m 上的一个非零向量， ∵m ⊥α，∴m ⋅a=m ⋅b=0，又m ⊥l ，∴m ⋅l=0．
以a 、b 、m 为空间基底，则存在实数x ，y ，z ，使得l=xa+yb+zm ． ∴m ⋅l=m ⋅(xa+yb+zm)=xm ⋅a+ym ⋅b+zm2=0+0+zm2=0． ∵m2≠0，∴z=0，则l=xa+yb ，∴l 与a 、b 共面．
a A α l β
m
又已知直线l 不在平面α内，∴l //α．
【点评】灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决线面平行、垂直问题。

要证明线面平行，只要证明直线与平面的法向量垂直，即证两个向量数量积为零。

【变式与拓展】如图,在平行六面体1111D C B A ABCD -中,O 是11D B 的中点. 求证:C B 1∥面1ODC .
分析:要证明C B 1∥面1ODC ,只需证明C B 1∥面1ODC ,进一步只需证明C B 1与面1ODC 中的一组基向量共面.
证明:设,,,11111CC D C B C ===因为11BCC B 为平行四边形,
∴ a c C B -=1,又O 是11D B 的中点,
)
(21
),(2111111C D C OD C -=-=+=∴
D D 1 ∥1CC ,11CC D D =,,11C C D D =∴
,)(21
11D OD +-=
+=∴
若存在实数
,,y x 使),(11R y x OC y OD x C B ∈+=成立,则
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-)(21)(21y x x y x y x +-++-=)(21)(21 因为c b a ,,不共线,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+∴1
0)(2
1
1)(21
x y x y x ,⎩
⎨⎧==∴11y x . ,011C B +=∴所以11,,OC B 是共面向量,
因为B 1不在1,OC 所确定的平面内,
C A
B 1∴∥面1OD
C ,又∉C B 1面1ODC , C B 1∴∥面1ODC .
6证明：在α内作任一直线g ，分别在g n m l ,,,上取非零向量
,,。

因为m 与n 相交，所以向量,不平行。

由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（x,y ）,使y x +=
将上式两边与向量l 作数量积，得
y x ⋅+⋅=⋅， 因为 0,0=⋅=⋅
所以 0=⋅g l 所以g l ⊥ 即 g l ⊥。

这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以.α⊥l
【点评】本题是课本唯一用向量法证明线面平行、垂直定理的题目。

本题用综合法构造三角形全等和线段中垂线性质证很麻烦，充分显示了向量解决垂直运算的优越性. 7. 【解法】：∵AC ⊥BC,CC1⊥面ABC ， ∴可以建立如图所示的坐标系
（1）依题意得B （0， 1，0），N （1，0，1），
∴｜BN ｜=2
22)01()10()01(-+-+-=3.
（2）A1（1，0，2），B （0，1，0），C （0，0，0），B1（0，1，2），
∴1BA =(1,-1,2)，1CB =（0，1，2），1BA ·1CB =3，｜1BA ｜=6，｜1CB ｜=5.
∴cos 〈1BA ，1CB 〉
=111
1CB BA ⋅=10
30
.
所以，异面直线BA 与1CB1的余弦值为1030
（3）证明：C1（0，0，2），M （21，21
，2），
B A 1=(-1,1,-2)，M
C 1=（21，21
，0），∴B A 1·M C 1=0，∴A1B ⊥C1M.
【点评】底面有直角的直棱柱适合建立坐标系的条件，可以用两点间的距离公式，数量积的
夹角公式，用坐标法求点点距、向量夹角。

特别注意异面直线角的范围(0,2π
],而向量角的范
围为[0,π]。

【变式与拓展】在三棱锥S —ABC 中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=13，SB=29. （1）求证：SC ⊥BC ；
（2）求SC 与AB 所成角的余弦值.
【解法一】：如下图，取A 为原点，AB 、AS 分别为y
AC=2，
BC=13，SB=29，得B （0
，17，0）、S （0，0，，0），SC =
（21713，174，－23），=（－21713，1713，0）.
（1）∵·=0，∴SC ⊥BC.
（2）设SC 与AB 所成的角为α，∵AB =（0，17，0），·AB =4，||| AB |=417，
∴cos α=1717
，即为所求.
【解法二】：（1）∵SA ⊥面ABC ，AC ⊥BC ，AC 是斜线SC 在平面ABC 内的射影，∴SC ⊥BC. （2）如下图，过点C 作CD ∥AB ，过点A 作AD ∥BC 交CD 于点D ，连结SD 、SC ，则∠SCD 为异面直线SC 与AB 所成的角.∵四边形ABCD 是平行四边形，CD=17，SA=23，
SD=2
2
AD SA +=1312+=5，∴在△SDC SCD=1717
，即为所求.
8.【解法】：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点.设.DC a =
⑴证明：连结AC ，AC 交BD 于G.连结EG. 依题意得
(,0,0),(0,0,),(0,,)
22a a A a P a E
底面ABCD 是正方形， G ∴是此正方
形的中心，
故点G 的坐标为(,,0)
22a a 且
(,0,),(,0,).
22a a PA a a EG =-=-
2PA EG ∴=. 这表明EG PA ∥.
而EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ，PA ∴∥平面EDB 。

⑵证明：依题意得(,,0),(,,)B a a PB a a a =-。

又
(0,,),
22a a
DE = 故0
2202
2=-+=⋅a a DE PB
PB DE ∴⊥, 由已知EF PB ⊥，且,EF
DE E =所以PB ⊥平面EFD.
(3)解：设点F 的坐标为000(,,),,x y z PF PB λ=则000(,,)(,,)x y z a a a a λ-=-
从而000,,(1).x a y a z a λλλ===-所以0001
1
(,,)(,(),()).2222a
a
FE x y z a a a λλλ=---=---
由条件EF PB ⊥知，0=⋅即2
2211
()()0,
22a a a λλλ-+---= 解得
1
3λ=
∴点F 的坐标为2(,,),
333a a a
且
2(,,),(,,).366333a a a a a a FE FD =--=---
32332
22=+--=⋅a a a FD PB ,即PB FD ⊥，
故EFD ∠是二面角C PB D --的平面角.
∵
691892
222
a a a a FD PE =
+-=⋅且
a
a a a a a a a 36
94996636369222222=++==++=
2.1
cos .2
||||
6a FE FD
EFD FE FD ∴=
=
=3EFD π∴∠=
,
所以，二面角C —PC —D 的大小为.
3π
【点评】考查空间向量数量积及其坐标表示，运用向量数量积判断向量的共线与垂直，用向量证明线线、线面、面面的垂直与平行关系。

【变式与拓展】如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ， E 、F 分别是AB 、PC 的中点． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：EF ⊥CD ；
（3）若∠PDA ＝45︒，求EF 与平面ABCD 所成的角． 证明：如图，建立空间直角坐标系A －xyz ， 设AB ＝2a ，BC ＝2b ，PA ＝2c ，则：A(0, 0, 0)， B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，D(0, 2b, 0)，
P(0, 0, 2c)∵ E 为AB 的中点，F 为PC 的中点
∴ E (a, 0, 0)，F (a, b, c)
(1)∵＝(0, b, c)，＝(0, 0, 2c)，＝(0, 2b, 0) ∴＝12
(→ AP ＋→ AD ) ∴与、共面
又∵ E ∉ 平面PAD
∴ EF ∥平面PAD ．
(2)∵ → CD ＝(-2a, 0, 0 )
∴→ CD ·→ EF ＝(-2a, 0, 0)·(0, b, c)＝0 ∴ CD ⊥EF ．
(3)若∠PDA ＝45︒，则有2b ＝2c ，即 b ＝c ，∴ →
EF ＝(0, b, b)， → AP ＝(0, 0, 2b) ∴ cos 〈→ EF ，→ AP 〉＝2b22b ·2b
＝2
2
∴ 〈→
EF ，→ AP 〉＝ 45︒
∵ → AP ⊥平面AC ，∴ →
AP 是平面AC 的法向量
∴ EF 与平面AC 所成的角为：90︒－〈→ EF ，→
AP 〉＝ 45︒．
提高型题组
9.【解法】如右图，在四边形ABCD 中， ∵++=
0=⋅=⋅
又∵4||||||=++ 4||||||||
=⋅+⋅
DC BD BD
AB
∴
2
0)2,44(2=∴=-∴=⋅-
∴ AC DC AB ⋅+)(=)()(DC BD AB DC AB
++⋅+ =
DC ⋅+⋅+++02
2
0||
2|||
=
2
24(|)||(|-=+=4
【点评】本题考查向量的模、夹角的概念，向量的加法、数量积运算及其运算法则． 10.解法：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．
ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．
在正三棱柱
111ABC A B C -中，
平面ABC ⊥平面
11BCC B ，
AO ∴⊥平面11BCC B ．
取
11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直
角坐标系，则(1
00)B ，，，(
110)D -，，，
1(02A ，(00A ，1(1
20)B ，
，， 1(12AB ∴=，，(
210)BD =-，，，1(12BA =-． 12200AB BD =-++=，111430AB BA =-+-=， 1AB BD ∴⊥，11AB BA ⊥． 1AB ∴⊥平面1A BD ．
（Ⅱ）设平面
1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．
(11AD =-，，1(020)AA =，
，． AD ⊥n ，1AA ⊥n ， ∴01=⋅AA n 且0=⋅AD n
020x y y ⎧-+=⎪∴⎨=⎪⎩，
，0y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩，．
令1z =
得(=，n 为平面1A AD 的一个法向量． 由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ，
1AB ∴为平面1A BD 的法向量．
462
22331,cos -=⋅--=⋅>=<AB AB n
∴二面角1A A D B --
的大小为．
【点评】解立体几何题最常用的思想方法是化归与转化，主要体现在：（1）线线、线面、面面的位置转化，如本例第（1）问；（2）空间角向平面角转化，如本例第（2）问。

反馈型题组 11.
45-
12.D 13. 377 14.已知：四面体ABCD 中，AB ⊥CD ，AD ⊥BC ；
求证：AC ⊥BD ； 证明：设=a ，AC =b ，=c ， 则=b-a ，BD =c-a ，=c-b ，
∵AB ⊥CD ，AD ⊥BC ，∴a ⋅(c-b)=0，c ⋅(b-a)=0，则a ⋅c=a ⋅b ，a ⋅c=c ⋅b ．
∴a ⋅b=c ⋅b ，即a ⋅b c ⋅b=0，从而有b ⋅(c a)=0，故AC ⊥BD ．
15.解：设面ABC 的法向量n=（x ，y ，1），则n ⊥且n ⊥AC ，即n ·=0，且n ·AC =0，
即
2x+2y+1=0，
4x+5y+3=0
16.解：取D 为原点，DA 、DC 、DD1为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，则A （2，0，0）、A1（2，0，2）、D1（0，0，2）、E （2，2，1）、F （0，1，0）.
（1）∵·F D 1 =（2，0，0）·（0，1，－2）=0，∴AD ⊥D1F.
（2）∵·F D 1=（0，2，1）·（0，1，－2）=0，
∴AE ⊥D1F ，即AE 与D1F 成90°角.
（3）∵·F D 1=（2，2，1）·（0，1，－2）=0，
∴DE ⊥D1F.∵AE ⊥D1F ，∴D1F ⊥面AED.
∵D1F 面A1D1F ，∴面AED ⊥面A1D1F.
∵D1F 面A1D1F ，∴面AED ⊥面A1D1F.
即⎪⎩⎪⎨⎧-==,1,21y x ∴n =（21，－1，1），单位法向量±==n 0（31，－32，32）.。