八年级数学全等三角形中的动点问题专题练习

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八年级数学全等三角形中的动点问题专题强化训练

八年级数学全等三角形中的动点问题专题强化训练1、在等腰三角形ABC中，AC=BC=5，AB=8，D为底边AB上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，则DE+DF=10.2、在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为8cm。

3、将边长为1的等边三角形OAP按图示方式，沿x轴正方向连续翻转2019次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2007的位置。

P1的坐标为(1,0)，P3的坐标为(-1,0)，P50的坐标为(0,-1)，P2019的坐标为(1,0)。

4、在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE。

连接DE、DF、EF。

1）证明△ADF≌△CEF。

首先，AD=CE，AF=BF，因此△ADF≌△BDF，△CEF≌△XXX。

又因为BF=EF，所以△BDF≌△XXX。

因此，△ADF≌△CEF。

2）证明△DFE是等腰直角三角形。

因为AD=CE，所以DE=DF。

又因为AF=BF，所以EF=2DF。

因此，△DFE是等腰直角三角形。

5、在等边三角形ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1个单位的速度沿AB向B和沿CA向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处。

1）在爬行过程中，CD和BE始终相等。

2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图所示，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小条件不变，证明∠CQE=60°。

3）如果将原题中“沿着CA向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF。

6、如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M、N分别为BC、CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形。

人教版初中八年级数学上册专题三角形全等之动点问题习题及答案

三角形全等之动点问题（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，正方形ABCD 的边长为4，动点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB -BC -CD 方向运动，到达点D 时停止运动．连接AP ，DP ．设点P 运动的时间为t 秒，求当t 为何值时，△ADP 的面积为6．【思路分析】1．研究背景图形，标注四边形ABCD 是边长为4的正方形，四条边都相等，四个角均为90°． 2．分析运动过程，分段①分析运动过程：动点P 的起点、终点、状态转折点，以及对应的时间范围．0≤t ≤6DC(2/s) P ：②根据状态转折点分为三段：02t ≤≤，24t <≤，46t <≤，需要对每一段分别进行分析． 3．表达线段长，建等式①当02t ≤≤时，即点P 在线段AB 上，PDCBA此时AP =2t ，AD =4，12ADP S AD AP =⋅⋅△，即16422t =⋅⋅，32t =，符合题意．②当24t <≤时，即点P 在线段BC 上，P DC BAA BCDABCDP DCB A此时1144822ADP S AD AB =⋅⋅=⨯⨯=△，不符合题意，舍去．③当46t <≤时，即点P 在线段CD 上，PAB CD此时DP =12-2t ，AD =4，12ADP S AD DP =⋅⋅△，即164(122)2t =⋅⋅-，92t =，符合题意．综上，当t 的值为32或92时，△ADP 的面积为6．➢ 巩固练习1. 已知：如图，在等边三角形ABC 中，AB =6，D 为BC 边上一点，AP且BD=4．动点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，连接AD，BP．设点P运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPA≌△ADC．2.如图，正方形ABCD的边长为8，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB向点B运动（点P不与点A，B重合），动点Q从点B出发以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，点P，Q同时出发，当点Q停止运动，点P也随之停止．连接AQ，交BD于点E，连接PE．设点P运动时间为x秒，求当x为何值时，△PBE≌△QBE．3.已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=10 cm，点D为边AB上一点，AD=6 cm．点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设CQBEPA DA点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q 的运动速度．4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=9，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点P与点Q 第一次在△ABC的哪条边上相遇？5.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到E，使CE=2，连接DE，动点F从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动．设点F的运动时间为t秒．（1）请用含t的式子表达△ABF的面积S．（2）是否存在某个t值，使得△ABF和△DCE全等？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．➢思考小结1.动点问题的处理方法：①______________________；②______________________，________；③______________________，________．2.分析运动过程包括4个方面（四要素）：①起点、________、__________；②_________________________；③根据_____________分段；④所求目标．3.当研究目标多变或问题情形复杂时，我们往往将问题拆解成几个较为简单的问题来进行考虑，动点问题也是如此．具体分析动点问题时，往往会先研究背景图形，再分析运动过程、分段，为最后表达线段长，建等式做好准备．因为动点运动方向的改变不仅会改变线段长的表达，还可能改变和动点相关的图形的形状，所以要先分段，然后逐段分析，表达线段长，建等式．【参考答案】1.当t为4秒时，△BPA≌△ADC2.当x为83秒时，△PBE≌△QBE3. ①当t 为52秒时，△BPD ≌△CPQ ，此时Q 的速度为85cm/s ． ②当t 为3秒时，△BPD ≌△CQP ，此时Q 的速度为2cm/s ． 4. （1）①全等②Q 的速度为4cm/s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等（2）经过24秒，点P 与点Q 第一次在BC 边上相遇． 5．（1）034351258432t s t t s t s t <=<=<<=-+≤≤，，，（2）t 为1秒或7秒时，△ABF 与△DCE 全等。

全等三角形之动点问题(简单题)

一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题1.如图,Rt△ABC在直线l上，且∠ABC= 90°，BC=6cm,AC= 10cm.(1)求AB的长;(2)若有一动点P从点B出发，以2cm/s的速度在直线l上运动,则当t为何值时,△ACP为等腰三角形?二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题2、如图，射线MB上MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P 从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求：(1)△PAB为等腰三角形的t值;(2)△PAB为直角三角形的t值;(3) 若AB=5且∠ABM=45。

，其他条件不变，直接写出△PAB为直角三角形的t值三、全等三角形：因动点产生的全等三角形问题3.如图，已知△ABC中，∠B=∠C,AB=AC=10 cm,BC=8 cm,D为AB的中点.点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1 s后，△BPD与△CQP是否全等?请说明理由;(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等?四、三角形面积：因动点产生的三角形面积问题4.△ABC中，AB=6cm,BC=8cm,∠B=90°, P从A沿AB向B以1cm/s的速度移动，Q从B沿BC向C以2cm/s的速度移动。

(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2?;(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，点P到B点后，又继续沿BC向C移动,点Q到达C后，又继续沿CA向A移动,在这一整个移动过程中，是否存在点P、Q,使△PBQ的面积等于9cm2?若存在，试确定P、Q的位置;若不存在，请说明理由。

五、相遇问题：因动点产生的相遇问题5.如图，在△ABC中，AB= BC= AC= 12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿△ABC的三边运动，已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动.(1)点M.N运动几秒后,M、N两点重合?(2)点M.N运动几秒后，可得到等边△AMN?(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN?如果能，请求出此时M、N运动的时间.六、最值问题：因动点产生的最值问题6.如图K 13一6，点P,Q分别是△ABC的边AC,AB上的定点，请你在BC上找一点R，使得△PQR的周长最短.。

2023-2024学年人教版数学八年级上册第十二章全等三角形微专题——动点问题1(含解析)

2023-2024学年人教版数学八年级上册第十二章全等三角形微专题——动点问题1一、单选题1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．2B．3C．4D．52．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，点D在AC上，CD=3，BD平分∠ABC，点P是AB 上一个动点，则下列结论正确的是（）A．PD>3B．PD≥3C．PD≤3D．PD=33．如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AD=3，若P是BC上的动点，则线段DP的最小值是（）A．3B．2.4C．4D．54．如图所示，在△ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是（）A．118°B．125°C．136°D．124°5．如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6，延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当以A、B、P为顶点的三角形和△DCE全等时，t的值为（）A．1B．7C．1或2D．1或76．如图，在△ABC中，∠ACB>90°，△ABC的面积为18，AB=9，BD平分∠ABC，E，F分别是BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．4B．6C．7D．97．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AD=5，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB=∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（）A．2B．3C．4D．5二、填空题10．如图，在正方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，动点动点Q以3cm/s的速度从点B止移动．设移动的时间为t(与△PAB全等．12．如图，CA⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发，以随着E点运动而运动，且始终保持三角形与点A、B、C组成的三角形全等．13．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA值为．14．如图，∠ACB=90°，AC=/秒的速度沿射线AC运动，点Q秒时，△ABC与以点P，Q，C为顶点的三角形全等．三、解答题15．在平面直角坐标系中，A(−5,0)，B(0,5)．点C为x轴正半轴上一动点，过点A作AD⊥BC交y轴于点E．(1)如图①，若C(4,0)，求点E的坐标；(2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且OC<5．其它条件不变，连接DO，求证：DO 平分∠ADC．16．已知：△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，D 为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE=AD．(1)如图，当点D在线段BC上时，过点E 作EH⊥AC于H，连接DE，求证：EH=AC；(2)如图，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M．求证：BM=EM．17．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD=BD，AC=6．(1)求BO的长；(2)F是射线BC上一点，且CF=AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ 全等时，求t的值．18．定理：三角形任意两边之和大于第三边．(1)如图1，线段AD，BC交于点E，连接AB，CD，判断AD+BC与AB+CD的大小关系，并说明理由；(2)如图2，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，在OA，OB上截取OE=OF，连接PE，PF．求证：PE=PF；(3)如图3，在△ABC中，AB>AC，P为角平分线AD上异于端点的一动点，求证：PB−PC>BD−CD．19．如图，在△ABC中，D为AB的中点，AB=AC=10cm，BC=8cm，动点P从点B出发，沿BC方向以每秒3cm的速度向点C运动；同时动点Q从点C出发，沿CA方向以每秒3 cm的速度向点A运动，运动时间是t秒．(1)在运动过程中，当点C位于线段PQ的垂直平分线上时，求出t的值；(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPD和△CQP全等，若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由．20．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是射线BA上一动点，连接CD，以CD为边作∠DCE=45°，CE在CD右侧，CE与过点A且垂直于AB的直线交于点E，连接DE．(1)当CD，CE都在AC的左侧时，如图①，线段BD，AE，DE之间的数量关系是_________；(2)当CD，CE在AC的两侧时，如图②，线段BD，AE，DE之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；(3)当CD，CE都在AC的右侧时，如图③，线段BD，AE，DE之间有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．参考答案：1．B【分析】根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时，PQ的值最小，根据角平分线性质得出PQ=PA，求出即可．【详解】解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，∴PQ=PA=3，故选：B．【点睛】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，解题的关键是能得出使PQ最小时Q 的位置．2．B【分析】连接DP，根据角平分线的性质及垂线段最短解答即可．【详解】解：连接DP，如图所示：∵∠C=90°，BD平分∠ABC，∴当DP⊥AB时，DP=CD=3那么当DP不垂直AB时，DP>CD=3，∵垂线段最短，∴PD≥3，故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质及垂线段最短，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．3．A【分析】由垂线段最短可知当DP⊥BC时，DP最短，根据角平分线的性质即可得出结论．【详解】解：当DP⊥BC时，DP的值最小，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ABC ∴∠ABD=∠CBD=12∵BP=BP，∴△PBQ≌△PBE(SAS)，∵∠AEB=90°，∠CBD=34°∴∠APB=∠AEB+∠CBD=∵BD平分∠ABC，PE⊥AB，EF⊥∴PE=EF，∴CP=CE+PE=CE+EF的最小值．即CE+EF的最小值为4，故选：A．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将CE+EF的最小值为转化为CP，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．7．D【分析】根据等角的余角相等求出∠ABD=∠CBD，再根据垂线段最短可知DP⊥BC时DP最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP=AD．【详解】解：∵BD⊥CD，∠A=90°．∴∠ABD+∠ADB=90°，∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠CBD，由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，此时，DP=AD=5．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质并判断出DP最小时的位置是解题的关键．8．D【分析】当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB，AP=BQ时，△APE≅△BQP②当AP=BP，AE=BQ时，△AEP≅△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．【详解】当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB，AP=BQ时，△APE≅△BQP，∵AB=10cm，AE=6cm，∴BP=AE=6cm，AP=4cm，∴BQ=AP=4cm；∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，∴v的值为：4÷2=2cm/s；②当AP=BP，AE=BQ时，△AEP≅△BQP，∵AB=10cm，AE=6cm，∵BD平分∠ABC，∴∠N′BM=∠NBM，在△MBN′与△MBN中，{BN′=BN∠N′BM=∠NBM，BM=BM×AB×CN′，此时S△ABC=12×4×CN′，可得6=12可得CN′=3，∴CM+MN的最小值为3，故答案为：3．∵AB=AD，∠ABP=∴BP=AQ，∵AQ=AB−BQ=8−3t，BP=t，∴8−3t=t，∴t=2s，当点Q在边AD时，不能构成△QAD，当点Q在边CD上时，如图2，AB+AD+DQ=3t，BP=t，∴DQ=3t−16．要使△PAB和△QAD全等，只能是△PAB≌△QAD，∴BP=DQ，∴t=3t−16，∴t=8s，故答案为：2s或8s．【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质解本题的关键是分类讨论，用方程的思想解决问题．11．5【分析】由平行线的性质可得∠EBF=∠A，由ASA证明△BEF≌△AED，得到AD=BF，最后由BF+CD=AD+CD=AC即可得到答案．【详解】解：∵BF∥AC，∴∠EBF=∠A，∵E为AB中点，∴BE=AE，在△BEF和△AED中，{∠EBF=∠ABE=AE∠BEF=∠AED，∴△BEF≌△AED(ASA)，∴AD=BF，∴BF+CD=AD+CD=AC=5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行线的性质、三角形全等的判定与性质是解题的关键．12．0或2或6或8【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况AC=BE和AB=EB，分别进行计算，即可得出结果．【详解】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，△ACB≌△BED，∵AC=4cm，∴BE=4cm，∴AE=AB−BE=4cm，∴点E的运动时间为4÷2=2（秒）；②当E在BN上，AC=BE时，△ACB≌△BED，∵AC=4cm，∴BE=4cm，∴AE=AB+BE=12cm，∴点E的运动时间为12÷2=6（秒）；③当E在线段AB上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，∵AB=8cm，∴BE=8cm，∴AE=AB+BE=16cm，∴点E的运动时间为16÷2=8（秒），综上所述，当点E经过0秒或2秒或6秒或8秒时，由点D、E、B组成的三角形与点A、B、C 组成的三角形全等，故答案为：0或2或6或8．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是注意分类讨论思想的运用．13．3【分析】过P作PE⊥OB交OB于E，当D于E重合时，PD=PE最小，即可求解．【详解】解：如图，过P作PE⊥OB交OB于E，∴当D于E重合时，PD=PE最小，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，∴PE=PC=3，∴PD的最小值为3，故答案：3．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段定理，掌握定理是解题的关键．14．1或3或4【分析】设点P运动时间为t秒，根据已知条件分△ABC≌△PQC，△ABC≌△QPC，两种情况，根据AC=PC=4和BC=PC=2列方程求出t值即可．【详解】解：∵AC=2BC=4，∴BC=2，设点P运动时间为t秒，∵∠ACB=∠PCQ=90°，PQ=AB，∴当△ABC≌△PQC时，AC=PC=4，∴|4−2t|=4，解得：t=0（舍）或t=4；当△ABC≌△QPC时，BC=PC=2，∴|4−2t|=2，解得：t=1或t=3；综上：1秒或3秒或4秒时，△ABC与以点P，Q，C为顶点的三角形全等，故答案为：1或3或4．【点睛】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况．15．(1)点E 的坐标为(0，4)；(2)见解析【分析】（1）可证明△AOE≌△BOC(ASA)，从而得出OE =OC ，进而求得；（2）过O 作OM ⊥DA 于M ，ON ⊥DC 于N ，根据△AOE≌△BOC ，得S ΔAOE =S ΔBOC ，从而得出OM =ON ，进而得证．【详解】（1）解：如图，∵AD ⊥BC ，AO ⊥BO ，∴∠AOE =∠BDE =∠BOC =90°，∴∠OAE +∠ACD =90°，∠OBC +∠ACD =90°，∴∠OAE =∠OBC ，∵A (−5，0)，B (0，5)，∴OA =OB =5．在△AOE 和△BOC 中，{∠OAE =∠OBC OA =OB ∠AOE =∠BOC，∴△AOE≌△BOC(ASA)，∴OE =OC ，∴点C 坐标为(4,0)，∴OE =OC =4，∴E (0，4)；（2）证明：如图，过O作OM⊥DA于M，ON⊥DC于由（1）知，△AOE≌△BOC，∴SΔAOE=SΔBOC，AE=BC，∴1 2×AE×OM=12×BC×ON，∴OM=ON，{∠AHE =∠C ∠AEH =∠DAC AE =DA，∴△AEH≌△DAC(AAS)，∴EH =AC ．（2）如图，作EF ⊥CM 交CM 的延长线于点F ，∵∠F =90°，∠ACD =180°−∠ACB =90°，∠DAE =90°，∴∠F =∠ACD =∠MCB ，∵∠FAE +∠CAD =90°，∠CDA +∠CAD =90°，∴∠FAE =∠CDA ，在△FAE 和△CDA 中，{∠F =∠ACD ∠FAE =∠CDA AE =DA，∴△FAE≌△CDA(AAS)，∴EF =AC ，∵AC =CB ，∴EF =AC =BC ，在△BMC 和△EMF 中，{∠MCB =∠F ∠BMC =∠EMF BC =EF，∴△BMC≌△EMF(AAS)，∵BM =EM ．【点睛】此题考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．17．(1)6∵∠BOD=∠ACD，∴∠AOP=∠ACF，∵AO=CF，∴当OP=CQ时，△AOP≌△FCQ∵∠BOD=∠ACD，∴∠AOP=∠FCQ，∵AO=CF，∴当OP=CQ时，△AOP≌∴t=4t−6，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠EAP=∠CAP，在△APE和△APC中，{AE=AC（3）过点C作CF⊥CE，交AB于点F，如图，先证明△CBF≌△CAE，得到BF=AE，CF=CE，然后证明△DCE≌△DCF解题即可；【详解】（1）过点C作CF⊥CE，交AB延长线于点F，如图．∴∠ECF=∠ACB=90°．∴∠FCB=∠ECA．∵AE⊥AB，∴∠EAB=90°．∵∠CBA=∠CAB=45°，∴∠CBF=∠CAE=135°．∵BC=AC，∴△CBF≌△CAE(ASA)．∴BF=AE，CF=CE．∵∠DCE=45°，∠ECF=90°，∴∠DCE=∠DCF=45°．∵CD=CD，∴△DCE≌△DCF(SAS)．∴DE=DF．∵BD+BF=DF，∴BD+AE=DE．故答案为：BD+AE=DE．（2）图②的猜想：BD−AE=DE．证明：过点C作CF⊥CE，交AB于点F，如图②．∴∠ECF=∠ACB=90°．∴∠CBF=∠CAE．∵AE⊥AB，∴∠EAB=90°．∵∠CBA=∠CAB=45°，∴∠CBF=∠CAE=45°．∵BC=AC，∴△CBF≌△CAE(ASA)．∴BF=AE，CF=CE．∵∠DCE=45°，∠ECF=90°，∴∠DCE=∠DCF=45°．∵CD=CD，∴△DCE≌△DCF(SAS)．∴DE=DF．∵BD−BF=DF，∴BD−AE=DE．（3）过点C作CF⊥CE，交AB于点F，如图∴∠ECF=∠ACB=90°．∴∠FCB=∠ECA．∵AE⊥AB，∴∠EAB=90°．∵∠CBA=∠CAB=45°，∴∠CBF=∠CAE=45°．∵BC=AC，∴△CBF≌△CAE(ASA)．∴BF=AE，CF=CE．∵∠DCE=45°，∠ECF=90°，∴∠DCE=∠DCF=45°．∵CD=CD，∴△DCE≌△DCF(SAS)．∴DE=DF．∵BD−BF=DF，∴BD−AE=DE．故答案为：BD−AE=DE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．。

专题全等三角形中的动点运动问题(30题)(原卷版)

（苏科版）八年级上册数学《第1章全等三角形》专题全等三角形中的动点运动问题（30题）1．（2023春•横山区期末）如图，AB＝8cm，∠A＝∠B，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为t （s）．当△ACP与△BPQ全等时，x的值为．2．（2022春•普宁市期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3：7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为．1、全等三角形中的动点运动问题，通过点的运动，用代数式表示线段的大小，从而寻找线段间的等量关系，建立方程，进而快速解题.2、解题策略：①明晰点的运动方向和速度；②根据已知和求证的目标，寻找线段或角之间的数量关系，进而解决问题；③有时要用到分类讨论的思想.典型题训练3．（2022秋•攸县期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AB＝5cm，AD＝BC＝3cm，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动．设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为cm/s．4．（2023春•吴江区期末）如图，已知长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点E在AB边上，BE＝3cm，点F在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，到达点C后马上折返，向点B运动，点G在线段CD上以vcm/s的速度由C点向D点运动．点F，G同时出发，当一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．若以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，则t＝秒．5．如图，△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，AD＝BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B 点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以vcm/s的速度由C点向A点运动，那么当△BPD与△CQP 全等时，v＝（）A．3B．4C．2或4D．2或36．（2022秋•高邑县期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且l∥AB，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当△CPE与△CQF全等时，t的值不可能是（）A．2B．2.8C．3D．67．（2022秋•浠水县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1cm的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．当△ABD≌△ACE时，t的值为（）A．2B．4C．6D．2或68．（2023春•和平区校级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，满足AC＝7，BC＝12，点P从A 点出发沿A→C→B路径向终点B运动：点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动；点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P，Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，当以P，E，C为顶点的三角形与以Q，F，C为顶点的三角形全等时，t的值为（不考虑两三角形重合的情况）．9．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度运动至点G，E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与直线AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0＜t＜2和2＜t＜4时段BF的长度（用含t的代数式表示）（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）当△ADE≌△CDF时，直接写出所有满足条件的t值．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且PQ＝AB，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△QP A全等．11．（2022秋•昭阳区期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．（1）若点Q与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点Q与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△BPD与△CQP全等？12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由．13．（2022秋•苍溪县期末）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，点P从点出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以lcm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：AB∥DE．（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C 运动，设点P的运动时间为ts．（1）PC＝cm．（用t的代数式表示）（2）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CA向点A运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．15．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）16．（2022秋•南召县期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝20cm，BC＝15cm，E为AB的中点，若点P在线段BC上以5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．（1）若点Q运动的速度是5cm/s，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当△BPE与△CQP全等时，求出点Q的运动速度．17．（2022春•二七区校级期中）如图，点E在线段CD上，EA，EB分别平分∠DAB和∠CBA，点F在线段AB上运动，AD＝4cm，BC＝3cm，且AD∥BC．（1）当点F运动到离点A多少厘米时，△ADE和△AFE全等？为什么？（2）在（1）的情况下，此时BF＝BC吗？为什么？求出AB的长．18．如图，在长方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．（注：长方形中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC）（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等：①经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；②设运动时间为t秒时，△PEQ的面积为Scm2，请用t的代数式表示S．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△AEP与△BPQ全等．19．（2023春•碑林区校级期末）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6．（1）求BO的长；（2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．20．如图1，长方形ABCD中，AB＝CD＝7cm，AD＝BC＝5cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，与此同时点F在线段BC上由点B向点C运动，设运动的时间均为ts．（1）若点F的运动速度与点E的运动速度相等，当t＝2时：①判断△BEF与△ADE是否全等？并说明理由；②求∠EDF的度数．（2）如图2，将图1中的“长方形ABCD”改为“梯形ABCD”，且∠A＝∠B＝70°，AB＝7cm，AD＝BC＝5cm，其他条件不变．设点F的运动速度为xcm/s．是否存在x的值，使得△BEF与△ADE全等？若存在，直接写出相应的x及t的值；若不存在，请说明理由．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D在AC上，且AD＝6cm，过点A作射线AE⊥AC（AE与BC在AC同侧），若动点P从点A出发，沿射线AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒．连接PD、BD．（1）如图①，当PD⊥BD时，求证：△PDA≌△DBC；（2）如图②，当PD⊥AB于点F时，求此时t的值．22．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝CD，BD＝14，点E从点D出发，以每秒2个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒5个单位的速度，沿C→B→C做匀速移动，点G 从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒，G点的移动距离为y．（1）请用含t的代数式表示以下线段：ED＝，当0＜t≤2时，BF＝，当2＜t≤4时，BF＝；（2）请猜想AD与BC的位置关系，并说明理由；（3）在移动过程中，请你探究当t取何值时，△DEG与△BFG全等？并求出此时G点的移动距离y．23．（2023春•渭滨区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．24．（2022春•华容县期中）如图，已知正方形ABCD的边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．（1）如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D 点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等．请说明理由．②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？相遇点在何处？25．（2022秋•红花岗区期中）如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t．（1）当点D在射线AM上运动时满足S△ADB：S△BEC＝2：1，试求点D，E的运动时间t的值；（2）当动点D在直线AM上运动，E在射线AN运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC 全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．26．如图，AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在射线AB上以1cm/s的速度由点A出发沿射线AB方向运动，同时，点Q在射线DB上由点D出发沿射线DB方向运动．它们运动的时间为t （s）．（1）若点Q的运动速度是点P的运动速度的2倍，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）设点Q的运动速度为xcm/s（x≠2），是否存在实数x，使△ACP与△BPQ全等？若存在，请画出示意图，将全等的三角形用符号表示出来，并直接写出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由．27.（2022秋•沭阳县校级月考）如图①，线段BC＝6，过点B、C分别作垂线，在其同侧取AB＝4，另一条垂线上任取一点D．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC向终点C运动；同时动点Q从点C出发，以每秒a个单位的速度沿射线CD运动，当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为t（s）．（1）当t＝1，CP＝，用含a的代数式表示CQ的长为；（2）当a＝2，t＝1时，①求证：△ABP≌△PCQ；②求证：AP⊥PQ；（3）如图②，将“过点B、C分别作垂线”改为“在线段BC的同侧作∠ABC＝∠DCB”，其它条件不变．若△ABP与△PCQ全等，直接写出对应的a的值．28．在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．（1）当AC＝BC时，①如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E．求证：△ACD≌△CBE；②如图2，过点A作AD⊥直线l于点D，点B与点F关于直线l对称，连接BF交直线l于E，连接CF．求证：DE＝AD+EF．（2）当AC＝8cm，BC＝6cm时，如图3，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF．点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．当△MDC与△CEN全等时，求t的值．29．（2022秋•浠水县期中）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．30．（2022秋•原平市校级期中）如图，在△ABC中，BC＝5，高AD、BE相交于点O，BD=23CD，且AE＝BE．（1）求线段AO的长；（2）动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△POQ的面积为S，请用含t的式子表示S；（3）在（2）的条件下，点F是直线AC上的一点且CF＝BO．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值，若不存在，请说明理由．。

全等三角形之动点问题(建等式)(人教版)(含答案)

全等三角形之动点问题（建等式）（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.已知：如图，等边三角形ABC的边长为10，点D是BC上一点，且DC=2．动点P从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC方向向点C运动，连接AD，AP．设点P运动的时间为t 秒．解答下列问题：（1）线段BP的长可用含t的式子表示为( )A.tB.2tC.10-tD.10-2t答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.（上接第1题）（2）当t为何值时，△ABP≌△ACD．根据题意可建等式为( )A.2t=2B.10-2t=2C.2t=10D.2t=2或10-2t=2答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.已知：如图，等边三角形ABC的边长为8，点D是BC上一点，且BD=6．动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿CA方向向点A运动，连接AD，BP．设点P运动的时间为x 秒．解答下列问题：（1）线段AP的长可用含x的式子表示为( )A.2xB.2+2xC.6-2xD.8-2x答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.（上接第3题）（2）若某一时刻△ABP≌△BAD，则x的值为( )A.1B.2C.3D.4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=18，动点P从点A出发沿AD向点D以每秒2个单位的速度运动，动点Q从点C出发沿CB向点B以每秒3个单位的速度运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P运动的时间为x秒，请回答下列问题：（1）线段PD，QC的长可用含x的式子分别表示为( )A.2x；18-3xB.2x；3xC.12-2x；18-3xD.12-2x；3x答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.（上接第5题）（2）当x为何值时，△PDQ和△CDQ全等．根据题意可建等式为( )A.12-2x=3xB.2x=18-3xC.12-2x=18-3xD.12-2x=18-3x或2x=18-3x答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题7.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，点E为AB中点．点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P 的运动时间为t秒，解答下列问题：（1）线段BP，PC的长可用含t的式子分别表示为( )A.2t；6-2tB.6-2t；2tC.2t；4-2tD.6-t；t答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题8.（上接第7题）（2）若某一时刻△BPE与△CQP全等，求此时t的值和点Q的运动速度，下列解题思路和计算结果正确的是( )A.若△BPE与△CQP全等，则需，即，解得，所以t=2，B.①若△BPE≌△CQP，则需，即，解得，所以t=2，；②若△BPE≌△CPQ，则需，即，解得，所以C.①若△BPE≌△CQP，则需，即，解得，所以t=2，；②若△BPE≌△CQP，则需，即，解得，所以D.①若△BPE≌△CQP，则需，即，解得，所以t=2，；②若△BPE≌△CPQ，则需，即，解得，所以答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题。

初中数学人教版八年级上册三角形全等之动点问题(习题及答案)

初中数学人教版八年级上册实用资料三角形全等之动点问题（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，正方形ABCD 的边长为4，动点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB -BC -CD 方向运动，到达点D 时停止运动．连接AP ，DP ．设点P 运动的时间为t 秒，求当t 为何值时，△ADP 的面积为6．【思路分析】1．研究背景图形，标注四边形ABCD 是边长为4的正方形，四条边都相等，四个角均为90°． 2．分析运动过程，分段①分析运动过程：动点P 的起点、终点、状态转折点，以及对应的时间范围．0≤t ≤62s2sDC(2/s) P ：②根据状态转折点分为三段：02t ≤≤，24t <≤，46t <≤，需要对每一段分别进行分析． 3．表达线段长，建等式①当02t ≤≤时，即点P 在线段AB 上，PDCB A此时AP =2t ，AD =4，12ADP S AD AP =⋅⋅△，即16422t =⋅⋅，32t =，符合题意．PDC B A AB CDABCD②当24t <≤时，即点P 在线段BC 上，P DCB A此时1144822ADP S AD AB =⋅⋅=⨯⨯=△，不符合题意，舍去．③当46t <≤时，即点P 在线段CD 上，PAB CD此时DP =12-2t ，AD =4，12ADP S AD DP =⋅⋅△，即164(122)2t =⋅⋅-，92t =，符合题意．综上，当t 的值为32或92时，△ADP 的面积为6．➢巩固练习1.已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D为BC边上一点，且BD=4．动点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，连接AD，BP．设点P运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPA≌△ADC．2.如图，正方形ABCD的边长为8，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB向点B运动（点P不与点A，B重合），动点Q从点B出发以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，点P，Q同时出发，当点Q停止运动，点P也随之停止．连接AQ，交BD于点E，连接PE．设点P运动时间为x秒，求当x为何值时，△PBE≌△QBE．3.已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=10 cm，点D为边ABAPB D CCQBEPA DA上一点，AD=6 cm．点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=9，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点P与点Q 第一次在△ABC的哪条边上相遇？5.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到E，使CE=2，连接DE，动点F从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动．设点F的运动时间为t秒．（1）请用含t的式子表达△ABF的面积S．（2）是否存在某个t值，使得△ABF和△DCE全等？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．➢思考小结1.动点问题的处理方法：①______________________；②______________________，________；③______________________，________．2.分析运动过程包括4个方面（四要素）：①起点、________、__________；②_________________________；③根据_____________分段；④所求目标．3.当研究目标多变或问题情形复杂时，我们往往将问题拆解成几个较为简单的问题来进行考虑，动点问题也是如此．具体分析动点问题时，往往会先研究背景图形，再分析运动过程、分段，为最后表达线段长，建等式做好准备．因为动点运动方向的改变不仅会改变线段长的表达，还可能改变和动点相关的图形的形状，所以要先分段，然后逐段分析，表达线段长，建等式．【参考答案】1.当t为4秒时，△BPA≌△ADC2.当x为83秒时，△PBE≌△QBE3. ①当t 为52秒时，△BPD ≌△CPQ ，此时Q 的速度为85cm/s ． ②当t 为3秒时，△BPD ≌△CQP ，此时Q 的速度为2cm/s ． 4. （1）①全等②Q 的速度为4cm/s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等（2）经过24秒，点P 与点Q 第一次在BC 边上相遇． 5．（1）034351258432t s t t s t s t <=<=<<=-+≤≤，，，（2）t 为1秒或7秒时，△ABF 与△DCE 全等。

专题全等三角形的应用---动点运动问题(30题)(解析版)

八年级上册数学《第十二章全等三角形》专题全等三角形的应用---动点运动问题（30题）1．（2023春•虹口区校级期末）如图，AB ＝8，BC ＝10，CD 为射线，∠B ＝∠C ，点P 从点B 出发沿BC 向点C 运动，速度为1个单位/秒，点Q 从点C 出发沿射线CD 运动，速度为x 个单位/秒；若在某时刻，△ABP 能与△CPQ 全等，则x ＝．【分析】设点P 、Q 的速度为ts ，分两种情形构建方程即可解决问题．【解答】解：设点P 、Q 的速度为ts ，分两种情形讨论：①当AB ＝PC ，BP ＝CQ 时，△ABP ≌△PCQ ，即8＝10﹣t ，解得：t ＝2，∴2x ＝2×1，∴x ＝1；②当BP ＝PC ，AB ＝CQ 时，△ABP ≌△QCP ，即t =12×10＝5，∴5x ＝8，x =85，综上所述，x ＝1或85，故答案为：1或85．【点评】本题考查全等三角形的判定、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．2．（2022秋•攸县期末）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ，AB ＝5cm ，AD ＝BC ＝3cm ，点E 在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动．设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为 cm/s．【分析】设点F的运动速度为xcm/s，则AE＝tcm，BE＝（5﹣t）cm，BF＝xtcm，由于∠DAB＝∠ABC，则当AD＝BE，AE＝BF时，根据“SAS”判断△ADE≌△BEF，即5﹣t＝3，t＝xt；当AD＝BF，AE＝BE 时，根据“SAS”判断△ADE≌△BFE，即xt＝3，t＝5﹣t，然后分别解方程求出x即可．【解答】解：设点F的运动速度为xcm/s，则AE＝tcm，BE＝（5﹣t）cm，BF＝xtcm，∵∠DAB＝∠ABC，∴当AD＝BE，AE＝BF时，根据“SAS”判断△ADE≌△BEF，即5﹣t＝3，t＝xt，解得t＝2，x＝1；当AD＝BF，AE＝BE时，根据“SAS”判断△ADE≌△BFE，即xt＝3，t＝5﹣t，解得t＝2.5，x＝1.2，综上所述，点F的运动速度为1或1.2cm/s．故答案为：1或1.2．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．3．（2022春•普宁市期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3：7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为．【分析】设BE＝3t，则BF＝7t，使△AEG与△BEF全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况：情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，列方程解得t，可得AG；情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，列方程解得t，可得AG．【解答】解：设BE＝3t，则BF＝7t，因为∠A＝∠B＝90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，∵BF＝AE，AB＝60，∴7t＝60﹣3t，解得：t＝6，∴AG＝BE＝3t＝3×6＝18；情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，∵BE＝AE，AB＝60，∴3t＝60﹣3t，解得：t＝10，∴AG＝BF＝7t＝7×10＝70，综上所述，AG＝18或AG＝70．故答案为：18或70．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．4．如图，△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，AD＝BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B 点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以vcm/s的速度由C点向A点运动，那么当△BPD与△CQP 全等时，v＝（）A．3B．4C．2或4D．2或3【分析】表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD 与CQ是对应边两种情况讨论即可．【解答】解：∵AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点，∴BD=12×24＝12cm，设点P、Q的运动时间为t，则BP＝2t，PC＝（16﹣2t）c①当BD＝PC时，16﹣2t＝12，解得：t＝2，则BP＝CQ＝2t＝4，故点Q的运动速度为：4÷2＝2（厘米/秒）；②当BP＝PC时，∵BC＝16cm，∴BP＝PC＝8cm，∴t＝8÷2＝4（秒），故点Q的运动速度为12÷4＝3（厘米/秒）；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．5．如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s 的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若△AEP与△BPQ全等，则点Q的运动速度是（）A．2或83B．6或83C．2或6D．1或23【分析】设Q运动的速度为xcm/s，则根据△AEP与△BQP得出AP＝BP、AE＝BQ或AP＝BQ，AE＝BP，从而可列出方程组，解出即可得出答案．【解答】解：∵长方形ABCD，∴∠A＝∠B＝90°，∵点E为AD的中点，AD＝8cm，∴AE＝4cm，设点Q的运动速度为xcm/s，①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP＝BP，AE＝BQ，2y=6−2y4=8−xy，解得，x=83 y=32，即点Q的运动速度83cm/s时能使两三角形全等．②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP＝BQ，AE＝BP，2y=8−xy4=6−2y，解得：x=6 y=1，即点Q的运动速度6cm/s时能使两三角形全等．综上所述，点Q的运动速度83或6cm/s时能使两三角形全等．故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，涉及了动点的问题使本题的难度加大了，解答此类题目时，要注意将动点的运用时间t和速度的乘积当作线段的长度来看待，这样就能利用几何知识解答代数问题了．6．（2022秋•高邑县期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且l∥AB，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当△CPE与△CQF全等时，t的值不可能是（）A．2B．2.8C．3D．6【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值．【解答】解：当P在AC上，Q在BC上时，如图，过点P，Q，C分别作PE⊥直线l于点E，QF⊥直线l于点F，CD⊥AB于点D，∵∠ACB＝90，∴∠PCE+∠QCF＝90°，∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，∴∠EPC＝∠QCF，∵△PCE≌△CQF，∴PC＝CQ，∴6﹣2t＝8﹣3t，解得t＝2；当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，由题意得，6﹣2t＝3t﹣8，解得t＝2.8；当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，由题意得，2t﹣6＝6，解得t＝6．综上，当△CPE与△CQF全等时，t的值为2或2.8或6．∴t的值不可能是3．故选：C．【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质、作图﹣基本作图、平行线之间的距离、勾股定理，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．7．（2022秋•浠水县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1cm的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．当△ABD≌△ACE时，t的值为（）A．2B．4C．6D．2或6【分析】当点E在射线CM上时，D在CB上，BD＝CE，当点E在CM的反向延长线上时DB＝CE，由全等三角形的性质求出其解即可．【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，AB＝AC，BD＝CE．如图，当点E在射线CM上时，D在CB上，BD＝CE，∵CE＝t，BD＝6﹣2t，∴6﹣2t＝t，∴t＝2．如图，当点E在CM的反向延长线上时DB＝CE，∵CE＝t，BD＝2t﹣6，∴t＝2t﹣6，∴t＝6．综上所述，当t＝2或6时，△ABD≌△ACE，故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时分类讨论是重点也是难点．8．（2023春•和平区校级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，满足AC＝7，BC＝12，点P从A 点出发沿A→C→B路径向终点B运动：点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动；点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P，Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，当以P，E，C为顶点的三角形与以Q，F，C为顶点的三角形全等时，t的值为　（不考虑两三角形重合的情况）．【分析】三角形PEC和三角形QFC要全等，P的对应顶点是C，有两种情况：一种是点P在AC上，点P在BC上时；另一种是点Q到达终点，而P在BC上时，先把各线段的长度表示出来，再让对应边相等，即可构造方程解出t．【解答】解：①当点P在线段AC上，点P在线段BC上时；如图：当△PCE≌CQF时，∠QCF＝∠EPC，∴PC＝CQ．由题意知：AP＝t，PC＝7﹣t，BQ＝3t，CQ＝12﹣3t；∴7﹣t＝12﹣3t，解得t＝2.5．②当P在线段BC上，点Q到达终点时，如图：当△PCE≌CQF时，∠QCF＝∠EPC，∴PC＝CQ．由题意知：AP＝t，PC＝t﹣7，CQ＝7，∴t﹣7＝7，解得t＝14．综上所述，t的值为2.5或14．【点评】本题考查全等三角形的性质，找到全等三角形的对应边是解题的关键．9．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度运动至点G，E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与直线AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0＜t＜2和2＜t＜4时段BF的长度（用含t的代数式表示）（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）当△ADE≌△CDF时，直接写出所有满足条件的t值．【分析】（1）根据点F从点B出发、点E从点A出发的速度、结合图形解答；（2）根据题意列出方程，解方程即可；（3）分点E从点A运动至点G、从点G返回两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．【解答】解：（1）当0＜t≤2时，BF＝4t，当2＜t≤4时，BF＝16﹣4t；（2）由题意得，16﹣4t＝2t，解得t=8 3；（3）当0＜t≤2时，△ADE≌△CDF，则AE＝CF，即8﹣4t＝2t，解得t=4 3，当2＜t≤4时，△ADE≌△CDF，则AE＝CF，即4t﹣8＝2t，解得t＝4，则t=43或4时，△ADE≌△CDF．【点评】本题考查的是全等三角形的性质的应用，根据题意求出函数关系式、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且PQ＝AB，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△QPA全等．【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．【解答】解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP=BCPQ=AB∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝BC＝5cm；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP=ACPQ=AB，∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即AP＝AC＝10cm，∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．综上所述，当P运动到AP＝BC、点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．11．（2023春•吉安县期末）如图，△ABC中，D为AB的中点，AD＝5厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米．（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动，若点Q的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明△BPD≌△CQP；（2）若点P以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点Q以5厘米/秒的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，再加上BP＝CQ＝3，PC＝BD＝5，则可判断△BPD 与△CQP全等；（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x﹣3x＝2×10，解方程得到点P运动的路程为3×10＝30，得到此时点P在BC边上，于是得到结果．【解答】解：（1）∵BP＝3×1＝3，CQ＝3×1＝3，∴BP＝CQ，∵D为AB的中点，∴BD＝AD＝5，∵CP＝BC﹣BP＝5，∴BD＝CP，在△BPD与△CQP中，BD=CP∠B=∠C，BP=CQ∴△BPD≌△CQP（SAS）；（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x﹣3x＝2×10，解得：x＝10，∴点P运动的路程为3×10＝30，∵30＝28+2，∴此时点P在BC边上，∴经过10秒，点Q第一次在BC边上追上点P．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，找准对应边是解题的关键．12．如图，∠BAC＝90°，AB＝22，AC＝28．点P从B点出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q从C 点出发沿C→A→B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：点P运动多少秒时，△PFA与△QAG全等？【分析】分类讨论：当点P在BA上，点Q在AC上，如图1，则PB＝2t，CQ＝3t，AP＝22﹣2t，AQ＝28﹣3t，利用三角形全等得PA＝AQ，即22﹣2t＝28﹣3t；当点P、Q都在AB上，即P点和Q点重合时，△PFA与△QAG全等，此时2t+3t﹣28＝22，当点P在AC上，点Q在AB上，如图2，则PA＝2t﹣22，AQ＝3t﹣28，由PA＝AQ，即2t﹣22＝3t﹣28；当点Q停在点B处，点P在AC上，由PA＝QA得2t﹣22＝22，然后分别解方程求出t，再根据题意确定t的值．【解答】解：设P、Q点运动的时间为t，（1）当点P在BA上，点Q在AC上，如图1，则PB＝2t，CQ＝3t，AP＝22﹣2t，AQ＝28﹣3t，∵△PFA与△QAG全等，∴PA＝AQ，即22﹣2t＝28﹣3t，解得t＝6，即P运动6秒时，△PFA与△QAG全等；（2）当点P、Q都在AB上，即P点和Q点重合时，△PFA与△QAG全等，此时2t+3t﹣28＝22，解得t＝10，（3）当点P在AC上，点Q在AB上，如图2，则PA＝2t﹣22，AQ＝3t﹣28，∵△PFA与△QAG全等，∴PA＝AQ，即2t﹣22＝3t﹣28，解得t＝6（舍去）；当点Q停在点B处，点P在AC上，由PA＝QA得2t﹣22＝22，解得t＝22，舍去．综上所述：当t等于6秒或10秒时，△PFA与△QAG全等．【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．对于动点问题常利用代数的方法解决．13．（2022秋•苍溪县期末）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，点P从点出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以lcm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：AB∥DE．（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．【分析】（1）证明△ABC≌△EDC（SAS），可得∠A＝∠E，然后根据内错角相等两直线平行即可得出结论；（2）分两种情况讨论：当0≤t≤4时，AP＝2tcm，当4＜t≤8时，BP＝（2t﹣8）cm，可得AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，进而可以解决问题；（3）先证△ACP≌△ECQ（ASA），得AP＝EQ，再分两种情况列方程求解即可．【解答】（1）证明：在△ABC和△EDC中，AC=EC∠ACB=∠ECD，BC=DC∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠A＝∠E，∴AB∥DE；（2）解：当0≤t≤4时，AP＝2tcm，当4＜t≤8时，BP＝（2t﹣8）cm，∴AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，∴线段AP的长为2tcm或（16﹣2t）cm；（3）解：根据题意得DQ ＝tcm ，则EQ ＝（8﹣t ）cm ，由（1）得：∠A ＝∠E ，ED ＝AB ＝8cm ，在△ACP 和△ECQ 中，∠A =∠E AC =EC ∠ACP =∠ECQ，∴△ACP ≌△ECQ （ASA ），∴AP ＝EQ ，当0≤t ≤4时，2t ＝8﹣t ，解得：t =83；当4＜t ≤8时，16﹣2t ＝8﹣t ，解得：t ＝8；综上所述，当线段PQ 经过点C 时，t 的值为83或8．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，列代数式，一元一次方程的应用，解决本题的关键是得到△ACP ≌△ECQ ．14．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝6cm ，BC ＝10cm ，点P 从点B 出发，以2cm /s 的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为ts ．（1）PC ＝ cm ．（用t 的代数式表示）（2）当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发，以vcm /s 的速度沿CA 向点A 运动，是否存在这样v 的值，使得△ABP 与△PQC 全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据P 点的运动速度可得BP 的长，再利用BC ﹣BP 即可得到CP 的长；（2）此题主要分两种情况①当BP ＝CQ ，AB ＝PC 时，△ABP ≌△PCQ ；当BA ＝CQ ，PB ＝PC 时，△ABP ≌△QCP ，然后分别计算出t 的值，进而得到v 的值．【解答】解：（1）依题意，得PC＝（10﹣2t）（cm）．故答案为：10﹣2t；（2）①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，∵AB＝6cm，∴PC＝6（cm），∴BP＝10﹣6＝4（cm），2t＝4，解得：t＝2，CQ＝BP＝4（cm），v×2＝4，解得：v＝2；②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，∵PB＝PC，∴BP＝PC=12BC＝5（cm），2t＝5，解得：t＝2.5，CQ＝BP＝6（cm），v×2.5＝6，解得：v＝2.4．综上所述：当v＝2.4或2时△ABP与△PQC全等．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．15．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过　秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长，根据SAS判定两个三角形全等．②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个边长．【解答】解：（1）①△BPD≌△CQP，理由如下：∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝1×1＝1cm，∵AB＝6cm，点D为AB的中点，∴BD＝3cm．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝4cm，∴PC＝4﹣1＝3cm，∴PC＝BD．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△BPD≌△CQP；②假设△BPD≌△CQP，∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CQP，∠B＝∠C，则BP＝CP＝2，BD＝CQ＝3，∴点P，点Q运动的时间t=BP1=2秒，∴v Q=CQt=32=1.5cm/s；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得 1.5x＝x+2×6，解得x＝24，∴点P共运动了24s×1cm/s＝24cm．∵24×1.5＝36，∴点P、点Q在AC边上相遇，∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．【点评】此题主要是运用了路程＝速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．16．（2022秋•聊城月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．（2）当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等．【分析】（1）经过1秒后，可得BP＝CQ＝3厘米，则PC＝8﹣3＝5厘米，可证明△BPE≌△CQP；（2）由△BPE与△CQP全等可知有△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，全等可得BP＝CP或BP＝CQ，或可求得BP的长，可求得P点运动的时间，由CQ＝BE或CQ＝BP可求得Q点运动的路程，可求得其速度．【解答】解：（1）△BPE与△CQP全等，理由如下：当运动1秒后，则BP＝CQ＝3厘米，∴PC＝BC﹣BP＝8﹣3＝5厘米，∵E为AB中点，且AB＝10厘米∴BE＝5厘米，∴BE＝PC，在△BPE和△CQP中BE=PC∠B=∠CBP=CQ∴△BPE≌△CQP（SAS）；（2）∵△BPE与△CQP全等，∴△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，当△BEP≌△CQP时，则BP＝CP，CQ＝BE＝5厘米，设P点运动的时间为t秒，则3t＝8﹣3t，解得t=4 3，∴Q点的运动的速度＝5÷43=154（厘米/秒），当△BEP≌△CPQ时，由（1）可知t＝1（秒），∴BP＝CQ＝3厘米，∴Q点的运动的速度＝3÷1＝3（厘米/秒），即当Q点每秒运动154厘米或3厘米时△BEP≌△CQP．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P，Q是边AC，BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E，设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿AC，BC向点C匀速运动，运动速度都为每秒1个单位，其中一点到达终点C后，另一点也随之停止运动，在运动过程中△APD和△QBE是否保持全等？判断并说明理由；（2）若点P从点C出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q仍从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当t为何值时，△APD和△QBE全等？【分析】（1）根据∠C＝90°，PD⊥AB，QE⊥AB，于是得到∠A+∠APD＝∠A+∠B＝90°，证得∠APD ＝∠B，∠ADP＝∠QEB＝90°，即可得到结论；（2）分两种情况：①0≤t＜83时，点P从C到A运动，则AP＝AC＝CP＝8﹣3t，BQ＝t，求得t＝2，②t≥83时，点P从A到C运动，则AP＝3t﹣8，BQ＝t，求得t＝4．【解答】解：（1）△ADP≌△QBE，理由：∵∠C＝90°，PD⊥AB，QE⊥AB，∴∠A+∠APD＝∠A+∠B＝90°，∴∠APD＝∠B，∠ADP＝∠QEB＝90°，∵AP＝BQ＝t，在△ADP与△QBE中，∠APD=∠B∠ADP=∠QEB AP=BQ，∴△ADP≌△QBE；（2）①0≤t＜83时，点P从C到A运动，则AP＝AC＝CP＝8﹣3t，BQ＝t，当△ADP≌△QBE时，则AP＝BQ，即8﹣3t＝t，解得：t＝2，②t≥83时，点P从A到C运动，则AP＝3t﹣8，BQ＝t，当△ADP≌△QBE时，则AP＝BQ，即3t﹣8＝t，解得：t＝4，综上所述：当t＝2s或4s时，△ADP≌△QBE．【点评】本题考查了全等三角形的判定，解方程，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．18．如图，在长方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．（注：长方形中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC）（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等：①经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；②设运动时间为t秒时，△PEQ的面积为Scm2，请用t的代数式表示S．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△AEP与△BPQ全等．【分析】（1）①当t＝1时，AP＝BQ，∠A＝∠B，AE＝PB，从而可证明△EAP≌Rt△PBQ；②当t≤4时，AP＝BQ＝t，S＝S梯形AEQB﹣S AEP﹣S PBQ；当4＜t≤6时，点P与点B重合，S＝2t；（2）如图3所示：因为△AEP≌△BQP，所以AP＝PB＝2，AE＝BQ＝3，从而可求得t＝2，点Q运动的速度为＝3÷2＝1.5cm/秒．【解答】解：（1）①当t＝1时，AP＝1，BQ＝1，∴AP＝BQ．∵E是AD的中点，∴AE=12AD＝3．∵PB＝AB＝AP＝4﹣1＝3，∴AE＝PB．在Rt△EAP和Rt△PBQ中，AE=PB ∠A=∠B AP=BQ，∴Rt△EAP≌Rt△PBQ．∴∠APE＝∠BQP，∵∠BQP+∠BPQ＝90°，∴∠APE+∠BPQ＝90°，∴∠EPQ＝90°，∴PE⊥PQ；②如图1所示连接QE．图1Ⅰ、当t≤4时，AP＝BQ＝t，S梯形AEQB =12（AE+BQ）•AB=12×4×（3+t）＝2t+6．S△AEP =12AE•PA=12×3t=32t，S△PBQ=12PB•BQ=12×（4﹣t）t＝2t−12t2．∴S＝2t+6−32t﹣（2t−12t2）．整理得：S=12t2−32t+6，如图2所示：Ⅱ、当4＜t≤6时，点P与点B重合，S=12QB•AB=12×4×t＝2t．∴S与t的函数关系式为S=2−32t+6(0＜t≤4)＜t≤6)；（2）如图3所示：∵△AEP≌△BQP，PA≠BQ，∴AP＝PB＝2，AE＝BQ＝3．∴t＝AP=12AB=12×4＝2．∴点Q运动的速度为＝3÷2＝1.5cm/秒时，△AEP≌△BQP．故答案为：1.5．【点评】此题是四边形综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、矩形的性质、函数的解析式、一元一次方程的综合应用，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．19．（2023春•碑林区校级期末）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6．（1）求BO的长；（2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．【分析】（1）由AAS证明Rt△BDO≌Rt△ADC，根据对应边相等求得BO的长；（2）分情况讨论点F分别在BC延长线上或在BC之间时△AOP≌△FCQ，根据对应边相等求得t值．【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°，∴∠ACD＝∠AOE，∴∠BOD＝∠ACD．又∵∠BDO＝∠ADC＝90，AD＝BD，∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS），∴BO＝AC＝6．（2）①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．∵OP＝t，CQ＝6﹣4t，∴t＝6﹣4t，解得t＝1.2．②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．∵OP＝t，CQ＝4t﹣6，∴t＝4t﹣6，解得t＝2．综上，t＝1.2或2．【点评】本题考查全等三角形的判定．这部分内容是初中几何中非常重要的内容，一定要深刻理解，做到活学活用．20．如图1，长方形ABCD中，AB＝CD＝7cm，AD＝BC＝5cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，与此同时点F在线段BC上由点B向点C运动，设运动的时间均为ts．（1）若点F的运动速度与点E的运动速度相等，当t＝2时：①判断△BEF与△ADE是否全等？并说明理由；②求∠EDF的度数．（2）如图2，将图1中的“长方形ABCD”改为“梯形ABCD”，且∠A＝∠B＝70°，AB＝7cm，AD＝BC＝5cm，其他条件不变．设点F的运动速度为xcm/s．是否存在x的值，使得△BEF与△ADE全等？若存在，直接写出相应的x及t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①根据SAS证明：△BEF≌△ADE；②由①：△BEF≌△ADE得DE＝EF，∠BEF＝∠ADE，证明△DEF是等腰直角三角形可得结论；（2）分两种情况：①如图2，当△DAE≌△EBF时，②如图3，当△ADE≌△BFE时，分别根据AD＝BE，AE＝BF，列方程组可得结论．【解答】解：（1）①△BEF≌△ADE，理由如：当t＝2时，AE＝BF＝2，∴BE＝AB﹣AD＝7﹣2＝5，∵AD＝5，∴BE＝AD，∵∠A＝∠B＝90°，∴△BEF≌△ADE；②由①得DE＝EF，∠BEF＝∠ADE，∵∠A＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∴∠BEF+∠AED＝90°，∴∠DEF＝180°﹣（∠BEF+∠AED）＝90°，∵DE＝EF∴∠EDF＝∠EFD，∵∠EDF+∠EFD＝90°，∴∠EDF＝45°；（说明：用其他方法的，请参照此评分标准给分）（2）存在，①如图2，当△DAE≌△EBF时，∴AD＝BE，AE＝BF，则5=7−t t=xt∴x＝1，t＝2；②如图3，当△ADE≌△BFE时，AE＝BE，AD＝BF，则t=7−t 5=xt，∴x=107，t=72．（说明：每正确写出一对x、t的值，给1分．）【点评】本题考查四边形综合题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定、三角形全等的性质和判定及动点运动等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D在AC上，且AD＝6cm，过点A作射线AE⊥AC（AE与BC在AC同侧），若动点P从点A出发，沿射线AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒．连接PD、BD．（1）如图①，当PD⊥BD时，求证：△PDA≌△DBC；（2）如图②，当PD⊥AB于点F时，求此时t的值．【分析】（1）由PD⊥BD、∠C＝90°可推出∠PDA＝∠CBD，即可根据ASA判定△PDA≌△DBC；（2）由PD⊥AB，AE⊥AC可推出∠APF＝∠CAB，即可根据AAS判定△APD≌△CAB，再由全等三角形的性质即可得解．【解答】（1）证明：如图①，∵PD⊥BD，∴∠PDB＝90°，∴∠BDC+∠PDA＝90°，又∵∠C＝90°，∴∠BDC+∠CBD＝90°，∴∠PDA＝∠CBD，又∵AE⊥AC，∴∠PAD＝90°，∴∠PAD＝∠C＝90°，又∵BC＝6cm，AD＝6cm，∴AD＝BC，在△PAD和△DCB中，∠PAD=∠CAD=CB，∠PDA=∠CBD∴△PDA≌△DBC（ASA）；（2）解：如图②，∵PD⊥AB，∴∠AFD＝∠AFP＝90°，∴∠PAF+∠APF＝90°，又∵AE⊥AC，∴∠PAF+∠CAB＝90°，∴∠APF＝∠CAB，在△APD和△CAB中，∠APD=∠CAB∠PAD=∠C，AD=CB∴△APD≌△CAB（AAS），∴AP＝AC，∵AC＝8cm，∴AP＝8cm，∴t＝8．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据ASA判定△PDA≌△DBC、根据AAS判定△APD≌△CAB是解题的关键．22．在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），AB＝10，如图作∠DBO＝∠ABO，∠CAy＝∠BAO，BD交y轴于点E，直线DO交AC于点C．（1）①求证：△ACO≌△EDO；②求出线段AC、BD的位置关系和数量关系；（2）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1，到B点处停止运动；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A运动，速度为2，到A点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PG⊥CD于点G，QF⊥CD于点F．问两动点运动多长时间时△OPG与△OQF全等？【分析】（1）①根据全等三角形的判定定理ASA证得结论；②利用①中全等三角形的性质得到：AC∥BD，AC＝BD﹣10；（2）设运动的时间为t秒，（i）当点P、Q分别在y轴、x轴上时（ii）当点P、Q都在y轴上时，（iii）当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，当点Q提前停止时，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）①如图，∵∠DBO＝∠ABO，OB⊥AE，∴∠BAO＝∠BEO，∴AB＝BE，∴AO＝OE，∵∠CAy＝∠BAO，∴∠CAy＝∠BEO，∴∠DEO＝∠CAO在△ACO与△EDO中，∠CAO=∠DEO OA=OE∠AOC=∠DOE，∴△ACO≌△EDO（ASA）；②由①知，△ACO≌△EDO，∴∠C＝∠D，AC＝DE，∴AC∥BD，AC＝BD﹣10；（2）设运动的时间为t秒，（i）当点P、Q分别在y轴、x轴上时PO＝QO得：6﹣t＝8﹣2t，解得t＝2（秒），（ii）当点P、Q都在y轴上时PO＝QO得：6﹣t＝2t﹣8，解得t=143（秒），（iii）当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，则PO＝QO得：t﹣6＝2t﹣8，解得t＝2（秒）不合题意；当点Q提前停止时，有t﹣6＝6，解得t＝12（秒），综上所述：当两动点运动时间为2、143、12秒时，△OPE与△OQF全等【点评】本题考查了全等三角形的判定，坐标与图形的性质，正确的理解题意是解题的关键．23．（2023春•渭滨区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．【分析】（1）分两种情况进行解答，①当点P在BC上时，②当点P在BA上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P移动的距离，从而求出时间即可；（2）由△APQ≌△DEF，可得对应顶点为A与D，P与E，Q与F；于是分两种情况进行解答，①当点P 在AC上，AP＝4，AQ＝5，②当点P在AB上，AP＝4，AQ＝5，分别求出P移动的距离和时间，进而求出Q的移动速度．【解答】解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1，若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP=12BC=92cm，此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+92=332，移动的时间为：332÷3=112秒，②当点P在BA上时，如图①﹣2若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD=12AB，即点P为BA中点，此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+152=572cm，移动的时间为：572÷3=192秒，故答案为：112或192；（2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；①当点P在AC上，如图②﹣1所示：此时，AP＝4，AQ＝5，∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）=154cm/s，②当点P在AB上，如图②﹣2所示：此时，AP＝4，AQ＝5，即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）=9332cm/s，综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，点Q的运动速度为154cm/s或9332cm/s．。

全等三角形之动点问题(综合测试)(人教版)(含答案)解析

全等三角形之动点问题（综合测试）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，在长方形ABCD中，BC=8cm，AC=10cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC方向向点C运动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B运动，当P，Q两点中其中一点到达终点时，两点同时停止运动，连接PQ．设点P的运动时间为t秒，当t为( )时，△PQC是以PQ为底的等腰三角形．A.5B.C.4D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=18，BC=12，点D为AB的中点．点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由C点向A点匀速运动，连接DP，QP．设点P的运动时间为t秒，解答下列问题：（1）根据点P的运动，对应的t的取值范围为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.（上接第2题）（2）若某一时刻△BPD与△CQP全等，则t的值与相应的CQ的长为( )A.t=2，CQ=9B.t=1，CQ=3或t=2，CQ=9C.t=1，CQ=3或t=2，CQ=6D.t=1，CQ=3答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.（上接第2，3题）（3）若某一时刻△BPD≌△CPQ，则a=( )A. B.2C.3D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.在梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC于E，且AD=8，EC=6，BE=14．动点P从点D出发，速度为2个单位/秒，沿DA向点A运动，同时，动点Q从点B出发，速度为3个单位/秒，沿BC向点C运动，当一个动点到达端点时，另一个动点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．请回答下列问题：（1）线段PD，QE的长可用含t的式子分别表示为( )A.3t；8-2tB.2t；8-2tC.2t；14-3tD.2t；14-3t或3t-14答案：C解题思路：6.（上接第5题）（2）连接DQ，当t为何值时，△DQE≌△DCE．根据题意可建等式为( )A.3t=6B.14-3t=6C.14-3t=8D.14-3t=6或3t-14=6答案：B解题思路：7.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=10cm．动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动时间为t秒．请回答下列问题：（1）点P在线段CD上运动的时间范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：8.（上接第7题）（2）当时，△ABP的面积S可用含t的式子表示为( )cm2．A.12t-96B.-6t+78C.-12t+156D.6t-48答案：B解题思路：9.已知：如图，正方形ABCD的边长为8，动点P从点B出发沿BC-CD-DA方向以每秒2个单位的速度运动，到达点A时停止运动．连接AP，BP．设点P运动时间为t秒，请回答下列问题：（1）当点P在线段CD上运动时，线段CP的长可用含t的式子表示为( )A.8-2tB.2t-8C.18-2tD.16-2t答案：B解题思路：10.（上接第9题）（2）若△ABP的面积为16，则t的值为( )A.1B.2C.2或10D.2或6答案：C解题思路：。

全等三角形的动点问题

全等三角形的动点问题
一、两点同时运动
题1：如图，在△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的速度为多少cm/s时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等。

二、三点同时运动
题2：如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝8，BD＝10，点E从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB向点B匀速移动，点G从点B出发，沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒，求t为何值时，△DEG和△BFG全等。

如图，AB＝12cm，∠CBA=∠DBA=60°，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3cm/s的速度由点B向点A 匀速运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D匀速运动，设点Q的速度为xcm/s，当△BPQ与△ACP 全等时，x的值为多少？。

初中数学全等三角形之动点类型试题和答案

全等三角形之动点问题（综合测试）1、如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点B开始沿BA 以1cm／s的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2cm／s的速度向点C运动．几秒后，△PBQ的面积为9cm2？第1题图第2题图第3题图2、如图所示，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1m/s，点Q运动的速度是2m/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题：（1）填空：△ABC的面积为（2）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．（3）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．(4)当△BPQ是直角三角形时，求t的值3、如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从A点出发沿A-C-B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F，问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由。

八年级三角形全等中的动点问题

A BCE F三角形与动点问题1、如图，在等腰△ACB中，AC＝BC＝5，AB＝8，D为底边AB上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝．2、在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.3、如图，将边长为1的等边△OAP按图示方式，沿x轴正方向连续翻转2011次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2007的位置．试写出P1，P3，P50，P2011的坐标．4、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF．（1）求证：△ADF≌△CEF（2）试证明△DFE是等腰直角三角形5、（2009年包头）如图，已知ACB△与DFE△是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B C F D、、、在同一条直线上，且点C与点F重合，将图（1）中的ACB△绕点C顺时针方向旋转到图（2）的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，则线段FG的长为 cm（保留根号）．6、如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．7、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？图1 图2 图3A EC (F ) B图（1）EA GBC (F ) D图（2）8、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 在第一象限内，E 是边OB 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90︒，使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ，设C （m ，n ）．（1）若m = n 时，如图，求证：EF = AE ；（2）若m ≠n 时，如图，试问边OB 上是否还存在点E ，使得EF = AE ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．9.（2009年本溪）在ABC△中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B C 、重合），以AD 为一边在AD 的右侧．．作ADE △，使AD AE DAE BAC =∠=∠，，连接CE ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=°，则BCE ∠= 度；（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D 在直线BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．10．如图，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点) 0,8 ( M ，点) 6,0 ( N ．点P 从点N 出发，以每秒1个单位长度的速度沿N →O 方向运动，点Ｑ从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿O →M 的方向运动．已知点ＱP 、同时出发，当点Ｑ到达点M 时，ＱP 、两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．（1）设四边形．．．MNPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．（2）当t 为何值时，ＱP 与l 平行？11.已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．AEEAC CD BB图1 图2 AA备用图备用图ABCDE FGH KMN12345678（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．12.如图，AC 为正方形ABCD 的一条对角线，点E 为DA 边延长线上的一点，连接BE ，在BE 上取一点F ，使BF BC =，过点B 作BK BE ⊥于B ，交AC 于点K ，连接CF ，交AB 于点H ，交BK 于点G ．（1）求证：BG BH =；（2）求证：AE BG BE +=CPQAMN CPQBA M NCPQBA MN。

八年级数学上册三角形全等之动点问题(习题及答案)(人教版)

三角形全等之动点问题（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，正方形ABCD 的边长为4，动点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB -BC -CD 方向运动，到达点D 时停止运动．连接AP ，DP ．设点P 运动的时间为t 秒，求当t 为何值时，△ADP 的面积为6．【思路分析】1．研究背景图形，标注四边形ABCD 是边长为4的正方形，四条边都相等，四个角均为90°． 2．分析运动过程，分段①分析运动过程：动点P 的起点、终点、状态转折点，以及对应的时间范围．0≤t ≤62s2sDC(2/s) P ：②根据状态转折点分为三段：02t ≤≤，24t <≤，46t <≤，需要对每一段分别进行分析． 3．表达线段长，建等式①当02t ≤≤时，即点P 在线段AB 上，PDCB A此时AP =2t ，AD =4，12ADP S AD AP =⋅⋅△，即16422t =⋅⋅，32t =，符合题意．②当24t <≤时，即点P 在线段BC 上，PDC B A AB CDABCDP DCB A此时1144822ADP S AD AB =⋅⋅=⨯⨯=△，不符合题意，舍去．③当46t <≤时，即点P 在线段CD 上，PAB CD此时DP =12-2t ，AD =4，12ADP S AD DP =⋅⋅△，即164(122)2t =⋅⋅-，92t =，符合题意．综上，当t 的值为32或92时，△ADP 的面积为6．➢ 巩固练习1. 已知：如图，在等边三角形ABC 中，AB =6，D 为BC 边上一点，AP且BD=4．动点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，连接AD，BP．设点P运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPA≌△ADC．2.如图，正方形ABCD的边长为8，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB向点B运动（点P不与点A，B重合），动点Q从点B出发以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，点P，Q同时出发，当点Q停止运动，点P也随之停止．连接AQ，交BD于点E，连接PE．设点P运动时间为x秒，求当x为何值时，△PBE≌△QBE．3.已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=10 cm，点D为边AB上一点，AD=6 cm．点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设CQBEPA DA点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q 的运动速度．4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=9，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点P与点Q 第一次在△ABC的哪条边上相遇？5.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到E，使CE=2，连接DE，动点F从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动．设点F的运动时间为t秒．（1）请用含t的式子表达△ABF的面积S．（2）是否存在某个t值，使得△ABF和△DCE全等？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．➢思考小结1.动点问题的处理方法：①______________________；②______________________，________；③______________________，________．2.分析运动过程包括4个方面（四要素）：①起点、________、__________；②_________________________；③根据_____________分段；④所求目标．3.当研究目标多变或问题情形复杂时，我们往往将问题拆解成几个较为简单的问题来进行考虑，动点问题也是如此．具体分析动点问题时，往往会先研究背景图形，再分析运动过程、分段，为最后表达线段长，建等式做好准备．因为动点运动方向的改变不仅会改变线段长的表达，还可能改变和动点相关的图形的形状，所以要先分段，然后逐段分析，表达线段长，建等式．【参考答案】1.当t为4秒时，△BPA≌△ADC秒时，△PBE≌△QBE2.当x为833. ①当t 为52秒时，△BPD ≌△CPQ ，此时Q 的速度为85cm/s ．②当t 为3秒时，△BPD ≌△CQP ，此时Q 的速度为2cm/s ． 4. （1）①全等②Q 的速度为4cm/s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等（2）经过24秒，点P 与点Q 第一次在BC 边上相遇． 5．（1）034351258432t s tt s t s t <=<=<<=-+≤≤，，，（2）t 为1秒或7秒时，△ABF 与△DCE 全等。

八年级数学全等三角形之动点问题

八年级数学全等三角形之动点问题（全等三角形）拔高练习解答题（本大题共8小题，共120分）1. （本小题15分）如图，在等边厶ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D E处，请问（1 ）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中/ CQE的大小保持不变.请利用图（2）情形，求证：/ CQE =60°;（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图（3）,则爬行过程中，D F始终等于EF是否正确.A核心考点：运动变化型问题2. （本小题15分）如图，已知△ ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点.（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△ BPD与厶CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使厶BPD^A CQP（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿核心考点：正数和负数3. （本小题15分）如图，△ ABC的边BC在直线I上，ACLBC,且AC=BC △ EFP的边FP也在直线I上，边EF与边AC重合，且EF=FP.（1）请你通过观察，测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；⑵将厶EFP沿直线I向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q连接AP, BQ猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；⑶将厶EFP沿直线I向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q连接AP, BQ•你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由•A(E)31核心考点：全等三角形的判定与性质4. （本小题15分）如图，在厶ABC中，/ CAB=70 .在同一平面内，将厶ABC绕点A旋转到△ AB C的位置,使得CC // AB,则/B' AB = _________________核心考点：全等三角形的判定与性质5. （本小题15分）已知如图（1）,△ ABC中，/ BAC= 90°, AB= AC, AE是过A的一条直线，且B、C在A E的异侧，BDL AE于D, CEL AE于E,求证：（1）BD = DE+ CE （2）若直线AE绕A点旋转到⑵位置时（B D V CE），其余条件不变，问BD与DE CE的关系如何？请予证明.（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时，（BD>CE）,其余条件不变，问BD与DE CE的关系如何？请直接写出结果，不须证明.（4）归纳⑴、（2）、（3），请用简捷语言表述BD DE CE的关系.6. （本小题15分）在图中，直线MN与线段AB相交于点0,/ 1 = / 2 = 45（1）如图，若AO = OB,请写出AO与BD的数量关系和位置关系；（2）将图中的MN绕点O顺时针旋转得到下图，其中AO = OB.求证：AC = BD, AC 丄BD;核心考点：全等三角形的判定与性质7.（本小题15分）如图，A B C 、D 在同一直线上,AB= CD DE// AF,且 DE = AF ,求证：△ AFC^A DE 精选范本，供参考!【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】 B .如果将BD 沿着AD 边的方向平行移动，如图,B 点与C 点重合时，如图, B 点在C 点右侧时，其余条请予证明；如果不成立，请说明理由. 核心考点：全等三角形的判定。

完整)全等三角形动点问题提高题

完整)全等三角形动点问题提高题1.已知等边三角形ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，D为AB的中点。

现点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。

1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则1秒钟时，△BPD与△CQP全等，因为它们都是等腰三角形，且∠BPD=∠CQP；2）若点Q的运动速度为v，则当v=2厘米/秒时，△BPD≌△CQP。

接着，若点Q以v速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则它们第一次在AC上相遇，此时所用时间为3秒。

2.已知△XXX的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，XXX与XXX重合，且EF=FP。

1)观察可得，AP=AB，BP=BC，且AP与BP垂直；2)将△EFP沿直线l向左平移，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，则BQ=2AP，且AP与BQ垂直；3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ，则BQ=2AP，且AP与BQ不垂直。

3.在△ABC中，∠CAB=70°。

在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠B′AB=20°。

4.已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。

1)连接BD和CE，证明BD＝DE＋CE；2)若直线AE绕A点旋转到(2)位置时(BD＜CE)，其余条件不变，则BD＜DE＜CE；3)若直线AE绕A点旋转到(3)位置时(BD＞CE)，其余条件不变，则CE＜DE＜BD；4)综合以上结论，得出BD、DE、CE构成一个等差数列，公差为CE。

5.在图中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°。

1）若AO=OB，则AO=BD，且AO与BD垂直；2）将MN绕点O顺时针旋转得到下图，其中AO=OB，则AC=BD，且AC与BD垂直。