HP滤波法

1.HP滤波法原理
HP滤波法是由Hodrick和Prescott于1980年在分析美国战后的经济景气时首先提出的。

这种方法被广泛地应用于对宏观经济趋势的分析研究中。

HP滤波法是一种时间序列在状态空间中的分析方法，相当于对波动方差的极小化。

HP滤波可以看作是一个近似的高通滤波器(High-Pass Filter)，其理论基础是时间序列的谱分析方法。

谱分析方法把时间序列看作是不同频率的成分的叠加，时间序列的High-Pass滤波就是要在这些所有的不同频率的成分中，分离出频率较高的成分，去掉频率较低的成分，也即去掉长期的趋势项，而对短期的随机波动项进行度量。

HP滤波的原理，可以表述为：
假设经济时间序列为Y={y1,y2,…,yn}，趋势要素为G={g1,g2,…,gn}。

其中，n为样本的容量。

因此，HP滤波可以将yt(t=1,2,…n)分解为：
yt = gt + ct
其中，gt和ct均为不可观测值。

一般的，时间序列Y中不可观测部分趋势G常被定义为下面(1)最小化问题的解：
其中，B(L)是延迟算子多项式
B(L) = (L ? 1 ? 1) ? (1 ? L)
将(2)代人(1)式，则HP滤波的问题就是使下面损失函数最小，即
对(3)式y1,y2,...,yn进行一阶求导，并令导数为0，得：g1: c1 = λ(g1 ? 2g2 + g3)
g2: c2 = λ( ? 2g1 + 5g2 ? 4g3 + g4)
gt: ct = λ(gt ? 2 ? 4gt ? 1 + 6gt ? 4gt + 1 + g4)
gn ? 1: cn ? 1 = λ(gn ? 3 ? 4gn ? 2 + 5gn1 ? 2gn) gn: cn = λ(gn ? 2 ? 2gn1 + gn)
用矩阵形式表示，为：
c = λFg
F为如下
系数矩阵：
通过上述公式，可以得到：
y ? g = λFg
整理后，可得：
g = (λF + I) ? 1y
并且，在上述F矩阵中，每一列元素之和均为零。

因此，根据C=\lambda Fg 可知，短期波动之和为0。

即：
最小化问题用
来调整趋势的变化。

并且，
的取值随着λ的增大而增大。

不同的λ值决定了不同的随机波动方式和不同的平滑程度。

当λ = 0时，有gt = yt，满足最小化问题的趋势等于序列Y；随着λ的增加，估计的趋势越光滑；当λ→∞时，估计的趋势也就接近于线性函数，这时，HP滤波就退化为用最小二乘法估计趋势。

从统计意义上讲，λ的值的选取是任意的，因为任何一个非平稳时间序列都可以分解成为无数个非平稳趋势成分与平稳周期成分的组合。

但λ的取值决定着趋势要素对实际序列的跟踪程度和趋势光滑度之间的权衡选择。

分别用
和
表示时间序列中趋势成分和周期成分的标准差，那么，λ的最优取值即为。

根据一般经验，\lambda的取值如下：
100，年度数据；1600，季度数据；14400，度数据
2.应用HP滤波法求核心存款
采用HP滤波方法计算出来的长期趋势反映了商业银行存款总额变动的平均状态。

实际存款总额总是围绕长期趋势而上下波动, 且由
可以得知，各期波动存款之和为零。

而我们所要求的核心存款是指存款中长期稳定部分, 波动存款在核心存款之上浮动。

核心存款与波动存款之间具有关系：
波动存款=存款总额-核心存款
因此, 用HP滤波求出的长期趋势成分和短期波动成分并不是我们所需要的核心存款和波动存款，我们还需要在此基础上做进一步计算,以得出稳定的核心存款金额。

为此，本文把用HP滤波法计算出来的长期趋势做下移，从而以一定的概率保证实际存款总额总是在核心存款之上波动。

假设由HP滤波求得的波动部分ct满足正态分布N(μ , σ2)，其中μ为ct 的期望，σ2为方差。

则由
和
即可求得N(μ，σ2)。

取存款总额在核心存款之上的概率为置信水平(1- α)，满足置信水平(1- α)的区间为(-C,C)，则有：
由于α、σ均为已知量，因此，可以反求出C。

将HP滤波法求得的稳定部分gt向下平移C即得到核心存款：
核心存款= gt ? C
如图所示，存款总额、核心存款与通过HP滤波方法得到的长期趋势之间具有如下关系：。