2.2二次函数的图像和性质(第二课时) 课件 2022—2023学年北师大版数学九年级下册

y y=x2+1
10
8
6

4
2 y=x2-1
-5 -2
5
x
讨论 （1）抛物线y=x2+1、y=x2-1的 开口方向、对称 轴、顶点各是什么？
抛物线 y=X2+1
y=x2-1
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
y轴
(0，1)
向上
y轴
(0，-1)
y y=x2+1
10
8
6
4
2 y=x2-1
-5 -2
5
x
讨论 （2）抛物线y=x2+1、y=x2-1与y=x2 有什么位置关系？
就得到抛物线y=ax2+k； 把抛物线y=ax2向下平移k个单位，
下
就得到抛物线y=ax2-k
减
在同一直角坐标系中，
y
画出下列二次函数的图象：
2
y=-0.5x2， y=-0.5x2+2 ,
1
y=-0.5x2-2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
观察三条抛物线的相互关系， 并分别指出它们的开口方向、 对称轴及顶点。
x 2和y=2x 2 的(图1)像列表
(2) 描点
当a＜0时，它 的图象又如 何呢？
10 9
y
y
2x2
8
7
y 1 x2 2
(3) 连线
6
函数
y=
1 2
x
2,
y=2x
2
5 4
的图像与函数 y=x 2(图中
3 2
虚线图形)的图像相比，有
1
什么共同点和不同点?
-5-4-3-2-1 o1 2 3 4 5 x
且x1＜x2＜0，则y1 ＜ y2(填“＜”或“＞”)
4.已知一个二次函数图像的顶点在y轴上， 并且离原点1个单位，图像经过点(–1,0)， 求该二次函数解析式。
5.已知抛物线
，把它向下平移，得到的
抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，
若△ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下
平移几个单位？
能力提高
关于y轴对称
（0，k）
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
(1)抛物线y=ax2＋k与y=－５x2的形状大小， 开口方向都相同，若其顶点坐标是（０，３）， 则其表达式为 y=－５x2＋３ ， 它是由抛物线y=－５x2向 上 平移 ３ 个单位的．
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
2.抛物线y=ax2+k 中的
a决定什么？怎样决定的？ a决定开口方向和大小；
k决定什么？
k决定顶点的纵坐标.
的对称轴是什么？
顶点坐标怎样表示？
记忆
抛物线y=ax2+k有如下性质：
1、当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下， 2、对称轴y轴（或x=0）， 3、顶点坐标是（0，k），
(4)、二次函数y=ax2+k（a，k是常数），当x取值
x1、x2时（x1≠x2），函数值相等，则当x取x1+x2时，
函数值为
k
2.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( C)
A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状
3.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1 ) ,(x2，y2 )
1.已知函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3交于点（1，b）。
（1）求a、b（2）求抛物线y=ax2 的顶点坐标和对称轴。
（3）求以抛物线y=ax2 与直线y=-2的两个交点A、B 及抛物线的顶点C为顶点的三角形的面积？
y
2o C 2
-1
A -2
B
x
y=—2
3.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2. 向下平移1个单位.
（2）函数y=-x2+1，当x >0 时， y随x的增大而减小； 当x =0 时，函数y有最大值，最大值y是 1 ， 其图象与y轴的交点坐标是 (0,1) ，
增减性 结合开口方向 和对称轴 才能确定.
平移规律： k正向上； k负向下.
例2 在同一直角坐标系中， 画出二次函数y=x2+1, y=x2-1的图象。 解：列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 …
y=x2-1 … 8 3 0 -1 0 3 8 …
-2
-3 -4
y=-0.5x2+2
-5
-6
-7
你能说出抛物线y=-0.5x2+k的 开口方向、对称轴及顶点吗？
-8
-9
-10
y=-0.5x2
它与抛物线y=-0.5x2有何关系？
y=-0.5x2-2
想 抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？ 一 怎样决定的？k决定什么？
想 它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
总结
抛物线y=ax2+k有如下性质：
1、当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下， 2、对称轴y轴（或x=0）， 3、顶点坐标是（0，k）， 4、|a|越大开口越小，反之开口越大。
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
a＞0
a＜0
图象
开口 对称性 顶点 增减性
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
可以发现，
把抛物线y=2x2 向____上平移1个单位， 下
就得到抛物线 y=2x2+；1
－4
把抛物线 y=2x2 向____平移1个单位，
10 8 6 4 2
－2 －2
就得到抛物线 y=2x2-1.
y = 2x2＋1 y = 2x2－1
24
知识要点
二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a ≠ 0）的图象的关系 二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到.
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a＞0
a＜0
图象
O
O
开口 对称性
顶点
增减性
开口向上
开口向下
|a|越大，开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
(2) 抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与 抛物线y=2x2 有什么关系？
(2)抛物线y=ax2＋k与y=３x2的形状相同， 且其顶点坐标是（０，１）， 则其表达式为 y=３x2＋１ 或y=－３x2＋１，
1、把抛物线y=-2x2向上平移3个单位长度， 得到的抛物线是 y=-2x2+3 2、把抛物线y=-x2-2向下平移5个单位， 得到的抛物线是 y=-x2-7 3、一条抛物线向上平移2个单位后得到抛物 线y=0.5x2，原抛物线是 y=0.5x2-2
与x轴的交点坐标是 (-1,0),(1,0).
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标. 开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
课堂小结
二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
1.开口方向由a的符 号决定； 2.k决定顶点位置； 3.对称轴是y轴.
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
在同一直角
y=
1 2
x2
…
8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
坐标系中画
1 出函数
y=
2
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
4、|a|越大开口越小，反之开口越大。
当堂练习
1、抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 y = 2x2－４ ． 2、填表：
函数 y = ３x2 y = 3x2＋1 y = -4x2－5
开口方向
向上 向上 向下
顶点 对称轴
（0,0） y轴
(0,1)
y轴
(0,-5)
y轴
有最高（低）点
有最低点 有最低点 有最高点
y=x2+1
把抛物线y=x2
y
向下移1个单位，
就得到抛物线y=x2-1；
8
y=x2
抛物线y=x2
6
向上平移1个单位，
4
就得到抛物线y=x2+1。
2
y=x2-1
-5 -2
5
x
思考
把抛物线y=2x2向上平移5个单位，
会得到哪条抛物线？向下平移4个单位呢？
y=2x2+5 y=2x2-4
上
加 归纳：把抛物线y=ax2向上平移k个单位，
时，函数y的值最大，最大值是 ,
它是由抛物线y= −2x2线怎样平移得到的__________.
（2）抛物线 y= 2x²-5 的顶点是____，对称轴是____,
在对称轴的左侧，y随着x的
；
在对称轴的右侧，y随着x的 ，
当x=____时，函数y的值最___，最小值是
.
6、一次函数y=ax+k和二次函数y=ax2+k的图象 大致是如图中的（ ）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
做一做：
1、按下列要求求出二次函数的解析式 （1）抛物线y=ax2+k 过点（-3，2），（0，-1） 求该抛物线线的解析式。
（2）形状与y=-2x2+3形状相同，但开口方向不同， 顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。
（3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3， 且经过（1，2）的点的解析式，
u上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
二 二次函数y=ax2+k的性质
把抛物线y = 2x2
(1)向上平移5个单位，
8
会得到哪条抛物线？
6
4
向下平移2个单位呢？
2
－4 －2 －2
－4
y 2x2 5
24
y 2x2 2
想一想 1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？
第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象， 再向上（或向下）平移︱k ︱单位.
4、分别说下列抛物线的开口方向，对称轴、顶点 坐标、最大值或最小值各是什么及增减性如何？。
（1）y=-x2-3 （2）y=1.5x2+7（3）y=2x2-1 (4) y= −2x2+3
5.(1)抛物线y= −2x2+3的顶点是
,对称轴是
，
在
侧，y随着x的增大而增大；
在
侧，y随着x的增大而减小，
当x=