大学物理 1(质点力学)

大学物理(一) 力学主讲:刘维一参考书：《大学物理》(新版) 上册，吴百诗主编科学出版社《大学物理（新版）学习指导》，张孝林主编，科学出版社基础知识：矢量：有大小，有方向，加法符合平行四边形法则微积分：导数：求变化率的数学运算积分：求和的数学运算第一章质点运动学第一节质点的概念有质量，没有体积质点是理想模型。

忽略了物体的形状、大小所产生的效果,突出了质量、位置和力三者之间的主要矛盾质点→质点组→刚体→弹性→振动→波,,i j k第二节 位移矢量与运动学方程质点位置的确定方法：1、选定参照点2、从参照点到质点作一矢量r用矢量 r即可确定质点的位置质点的运动学方程当质点在空间移动时，质点的位置矢量随时间发生变化：这就是质点的运动学方程直角坐标系下的运动学方程选择直角坐标系oxyz分量形式：分别表示x ，y ，z 三个方向，其大小为1。

直角坐标系的特点：三个基矢量的方向不变。

由质点的运动学方程可以得到质点的全部运动信息：轨迹、速度、加速度()r r t =()()()()r r t x t i y t j z t k==++()()()x x t y y t z z t ===例：质点的运动学方程为： x=Rcos(t) y=Rsin(t)消去时间 t 即得到轨迹方程：X 2＋y 2＝R 2第三节 由位移求速度和加速度（重点）位置矢量与位移矢量的方向速度是位移随时间的变化率速度就是运动学方程对时间求导数运算 在直角坐标系下：分量形式为：()()r r t t r t ∆=+∆- 0lim t r dr v tdt ∆→∆==∆x y z dr dx dy dz v i j k v i v j v kdt dt dt dt==++=++()()()x y z dx t v dt dy t v dt dz t v dt===v =速度的大小：例题1、质点的运动学方程为：求：t ＝0，1秒时的速度。

解：22(10155)101551510d v i tj t k dtd dd i tj t k dt dt dtj tk =++=++=+加速度是速度随时间的变化率加速度就是速度对时间求导数运算也是运动学方程对时间求二阶导数在直角坐标系下速度表示为：222222y x z dv dv dv a i j kdt dt dt d x d y d z i j k dt dt dt =++=++写成分量形式为：210155r i tj t k=++ 22()dv d dr d r a dt dt dt dt ===a =222222x x y y z z dv d x a dt dt dv d y a dt dt dv d z a dt dt ======加速度的大小：书中的例题1.1, 1.4(P.6;P.15) 一质点作匀速圆周运动，半径为r ，角速度为ω，求：直角坐标系中的运动学方程。

运动学方程：x=Rcos(ωt)y=Rsin(ωt)消去时间t ，得到轨迹方程：x 2+y 2=R 2为圆周运动运动学方程对时间求导得速度：v x =-R ωsin(ωt)=-Vsin(ωt) v y =R ωcos(ωt)=Vcos(ωt)V=R ω速度的大小：V 2= v x 2+ v y 2 速度对时间求导得加速度：a x=- Rω2cos(ωt)a y=- Rω2sin(ωt)Rω2=( R2ω2)/R=V2/R 向心加速度a2= a x2 + a y2书中例题：1.2, 1.6（p.7;p.17）直杆AB两端可以分别在两固定且相互垂直的直导线槽上滑动，已知杆的倾角φ＝ωt随时间变化，其中ω为常量。

求：杆中M点的运动学方程。

解：运动学方程为：x=a cos(ωt)y=b sin(ωt)消去时间t得到轨迹方程：x2/a2 + y2/b2 = 1 椭圆运动学方程对时间t求导数得速度：v x＝dx/dt＝-aωsin(ωt)v y＝dy/dt＝bωcos(ωt)速度对时间t求导数得加速度：a x＝d v x/dt＝－aω2cos(ωt)a y＝d v y/dt＝－bω2sin(ωt)加速度的大小：a2＝a x2＋a y2书中例题1.3, 1.5, 1.7（p.7;p.16;p.18）已知：运动学方程：x＝－0.31t2＋7.2t ＋28y＝0.22t2－9.1t ＋30求：t＝15s时的位置矢量和方向。

解：t＝15s时，x＝－0.31×152+7.2×15+28=66y=0.22×152－9.1×15+30=57r＝66 i－57j运动学方程对时间t求导数得速度：v x＝dx/dt＝d/dt(－0.31t2＋7.2t ＋28)＝-0.62t+7.2v y＝dy/dt＝d/dt(0.22t2－9.1t ＋30)=0.44t－9.1v＝(-0.62t+7.2)i＋(0.44t－9.1)jt＝15s时，v＝(-0.62×15+7.2)i＋(0.44×15－9.1)j＝－2.1i－2.5j ∣v∣＝3.3 （m/s）速度对时间t求导数得加速度：a x＝d v x/dt＝d/dt(-0.62t+7.2)＝－0.62 (m/s2)a y＝d v y/dt＝d/dt(0.44t－9.1)＝0.44 (m/s2)a＝-0.62i＋0.44j∣a∣＝0.76 （m/s2）第四节由加速度求速度、位移问：如果知道质点的加速度，能否确定质点的速度？实例：自由落体实验：（1）自由下落；（2）上抛；（3）下抛已知质点的加速度和质点的初始速度，则可运用导数的逆运算——不定积分＋初条件，确定出质点的速度。

已知质点的速度和质点的初始位置，则可运用导数的逆运算————不定积分＋初条件，确定出质点的运动学方程。

如已知：a x＝a x（t），且t＝t0时，v＝v0，x＝x0加速度求积分得速度：v x＝∫a x（t）dt＝v x（t）＋C其中C为常数，由初条件确定。

验证：d [vx（t）＋C)] /dt＝dv x（t）/dt＝a x由初条件确定C：当t＝t0时，v＝v0，带入v x表达式：v0＝v x（t0）＋C得：C＝v0－v x（t0）v x＝v x（t）＋v0－v x（t0）速度求积分得运动学方程：x＝∫[v x（t）＋v0－v x（t0）]dt＝x（t）＋[v0－v x（t0）] t＋C’其中C’为常数，由初条件确定。

当t＝t0时，x＝x0，带入x表达式：x0＝x（t0）＋[v0－v x（t0）] t0＋C’得：C’＝x0－x（t0）－[v0－v x（t0）] t0x＝x（t）＋x0－x（t0）＋[v0－v x（t0）]（t－t0）例题：已知：a＝100－4t2，且t＝0时，v＝0，x＝0求：速度v和运动学方程v＝∫a dt＝∫（100－4t2）dt＝100t－4/3t3+Ct＝0时，v＝0，得：C＝0∴v＝100t－4/3t3x＝∫v dt＝∫（100t－4/3t3）dt＝50t2－1/3t4+C’t＝0时，x＝0，得：C’＝0∴x＝50t2－1/3 t4第五节几个简单实例匀速直线运动a＝0，t＝t0时，vx＝vx0 ，x＝x0vx＝∫0 dt＝Ct＝t0时，vx＝vx0 得C＝vx0∴vx＝vx0x＝∫vx0 dt＝vx0 t ＋C’t＝t0时，x＝x0 得C＝x0－vx0t0∴x＝x0＋vx0（t－t0）匀变速直线运动ax＝常数＝a，t＝t0时，vx＝vx0 ，x＝x0vx＝∫a dt＝a t＋Ct＝t0时，vx＝vx0 得C＝vx0－a t0∴vx＝vx0＋a（t－t0）x＝∫（vx0 －a t0＋at）dt＝vx0 t －a t0 t＋1/2 a t2＋C’t＝t0时，x＝x0 得C＝x0－vx0t0＋1/2 a t02∴x＝x0＋vx0（t－t0）＋1/2 a t02－a t0 t＋1/2 a t2 ＝x0＋vx0（t－t0）＋1/2 a （t－t0）2抛物体运动取平面直角坐标系，ax＝0 ；ay＝－gt＝0时，v0x＝v0 cosα；v0y＝v0 sinαx＝0 ；y＝0vx＝∫0dt ＝Cx；vy＝∫－g dt＝－gt＋Cy t＝0时，v0x＝v0 cosα；v0y＝v0 sinαvx＝v0 cosα；vy＝v0 sinα－gtx＝∫v0 cosαdt ；y＝∫（v0 sinα－gt）dt ＝v0 cosαt＋Cx’；＝v0 sinαt－1/2gt2＋Cy’t＝0时，x＝0 ；y＝0得：Cx’＝0 ；Cy’＝0∴x＝v0 cosαt ；y＝v0 sinαt－1/2gt2消去时间t得到轨迹方程：y＝x tgα－（g/2v02cos2α）x2为抛物线xLh第六节典型习题习题指导P9. 1.4（重点）在湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过一高处的滑轮拉船靠岸，当绳子以v 通过滑轮时， 求：船速比v 大还是比v 小？ 若v 不变，船是否作匀速运动？如果不是匀速运动,其加速度是多少？解：l ＝（h2＋x2）1/2221/2122()dl x dx v dt h x dt ==+ 221/2()dx h x v dt x +=当x>>h 时，dx/dt ＝v ，船速＝绳速 当x →0时，dx/dt →∞ 加速度：x220d xdt=2221/22221/2221/2221/2221/22221/2()1()11()()1112()2()d x d h x v dt dt x d h x v dt x d dx d h x dx h x v v dx x dt x dx dt dx x dx h x v v x dt x h x dt ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=∙+⎢⎥⎣⎦+⎛⎫=∙++ ⎪⎝⎭=-∙+++将221/2()dx h x vdt x +=代入得：2221/2221/2221/222221/21()112()()2()d x h x x h x h x v v v v dt x x x h x x++=-∙+++222222223()d x h x v h v v dt x x x +=-+=-分析： 当x ∞, 作业：P.49：1.6 ; 1.7 ; 1.8 ; 1.10rd θ第一章补充内容平面极坐标系中的速度和加速度平面极坐标：质点P 的位置用(r,θ)表示。

平面极坐标中基矢量：r ：大小：1，方向：r 方向 0θ ：大小：1，方向：与r垂直方向平面极坐标的特点：基矢量的方向是随着r方向的变化而变化。

平面极坐标中P 点的位置矢量r表示为：r rr = （1）其中r 表示r 的大小，0r 表示r 的方向。

∴（1）式就是质点P 的运动学方程。