苏教版高中数学高考总复习(理科)知识梳理_平面向量的数量积及应用_提高

平面向量的数量积及应用
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【考纲要求】
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 【知识网络】
【考点梳理】 考点一、向量的数量积 1. 定义：
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos θa b 叫做a 和b 的数量积（或内积），记作⋅a b ，即||||cos ⋅=θa b a b .
规定：零向量与任一向量的数量积为0. 要点诠释：
（1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与余弦值决定 . （2）在运用数量积公式解题时，一定注意两向量夹角范围0︒≤θ≤180︒.此外，由于向量具有方向性，一定要找准 θ是哪个角.
2. 平面向量的数量积的几何意义
我们规定||cos θb 叫做向量b 在a 方向上的投影，当θ为锐角时，||cos θb 为正值；当θ为钝角时，
平面向量数量积及应用
平面向量的数量积
平面向量的应用
平面向量的坐标运算
||cos θb 为负值；当θ=0︒时，||cos ||θ=b b ；当θ=90︒时，||cos 0θ=b ；当θ=180︒时，||cos ||θ=-b b .
⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与 b 在a 方向上的投影||cos θb 的乘积.
要点诠释：
b 在a 方向上的投影是一个数量，它可正、可负，也可以等于0.
3. 性质：
（1） 0⊥⇔⋅=a b a b
(2) 当a 与b 同向时，||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，||||⋅=-a b a b . 特别地2
2
||||⋅==，即a a a a a
(3) cos ||||
⋅θ=
a b
a b
(4) ||||⋅≤a b a b 4. 运算律
设已知向量a 、b 、c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： (1) ⋅=⋅a b b a (交换律) (2) ()()()λ⋅=λ⋅=⋅λa b a b a b (3) ()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c 要点诠释：
①当0≠a 时，由0⋅=a b 不一定能推出0=b ，这是因为对任何一个与a 垂直的向量b ，都有
0⋅=a b ；当0≠a 时，⋅=⋅a b a c 也不一定能推出=b c ，因为由⋅=⋅a b a c ，得()0⋅-=a b c ，即a 与()-b c 垂直.也就是向量的数量积运算不满足消去律.
②对于实数,,a b c ，有()()a b c a b c ⋅=⋅，但对于向量来说，()()⋅⋅=⋅⋅a b c a b c 不一定相等，这是因为()⋅⋅a b c 表示一个与c 共线的向量，而()⋅⋅a b c 表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以
()⋅⋅a b c 与()⋅⋅a b c 不一定相等.
5. 向量的数量积的坐标运算
①已知两个非零向量11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，那么1212x x y y ⋅=+a b ；
②若(,)x y =a ，则2
22
2,x y x y ⋅==+=
+a a a a
③若1122(,),(,)x y x y ==A B ，则(AB x ==AB 离公式；
④若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则12120x x y y 0⊥⇔⋅=⇔+=a b a b 6. 重要不等式
若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则||||||||-≤⋅≤a b a b a b
1212x x y y ⇔≤+≤ 考点二、向量的应用
（1）向量在几何中的应用
①证明线段平行，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件；
1221//x y x y 0⇔=λ⇔-=a b a b （0→
≠b ）
②证明垂直问题，常用垂直的充要条件；
12120x x y y 0⊥⇔⋅=⇔+=a b a b
③求夹角问题；
利用夹角公式：12cos cos ,||||
x θ⋅=<>=
=
⋅+a b
a b a b 平面向量,a b 的夹角[0]θπ∈，
④求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模2x =⋅=+a a a 或(AB x ==
AB （2）向量在物理中的应用
①向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用； ②向量在速度的分解与合成中的应用. 【典型例题】
类型一、数量积的概念
【平面向量的数量积及应用401196 例4】
例1．已知向量5
(1,2),(2,4),||5,(),2
a b c a b c a c =--=+⋅=
若则与的夹角为（ ） A ．30° B ．60°
C ．120°
D ．150°
【解析】∵2=-b a ，∴,a b 是共线向量，(1,2)+=--a b
∴5()||||cos ,55cos ,2
+⋅=+<+>=⨯⨯<+>=
a b c a b c a b c a b c ，
∴1cos ,2
<+>=
a b c ， ∴向量+a b 和c 所成角为060，又a 与+a b 共线且方向相反， ∴向量a 和c 所成角为0
120，从而选项C 正确.
【总结升华】+a b 仍旧是一个向量，本题的关键之处就是注意到a ，b ，+a b 是共线向量，从而将
a 和c 的夹角问题进行有效的转化.
举一反三：
【变式1】已知向量a 与b 的夹角为120°，1,3==a b ，则5-=a b ________ 【答案】7
【解析】 2
22
2
2
2
15(5)25102511013()3492
-=-=-⋅+=⨯-⨯⨯⨯-+=a b a b a a b b , ∴57-=a b .
【变式2】已知||2=a , ||1=b , 与a b 夹角为0
60，则向量2=+m a b 与向量4=-n a b 的夹角的余
弦值为________.
【答案】14
7-
【解析】由向量的数量积的定义，得0
||||cos 21cos 601⋅=⋅θ=⨯⨯=a b a b
∵2=+m a b ，4=-n a b , ∴22
2||(2)4421=
+=+⋅+=m a b a a b b
2
2
2||(4)81623=-=-⋅+=n a b a a b b
设m 与n 的夹角为θ，则2
2
(2)(4)2743⋅=+-=-⋅-=-m n a b a b a a b b
∴cos 14|||21⋅θ=
==-⋅m n m n | 即向量m 与n 的夹角的余弦值为14
7-
. 【变式3】两个非零向量a 、b 互相垂直，给出下列各式：①0⋅=a b ；②+=-a b a b ；③
+=-a b a b ；④22
2()+=-a b a b ；⑤()()0+⋅-=a b a b . 其中正确的式子有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 【答案】B
【解析】①显然正确；由向量运算的三角形法则知+a b 与-a b 长度相等，但方向不同，所以②错误；③正确；由向量数量积的运算律可知④正确；只有在=a b 时，+a b 与-a b 才互相垂直，⑤错误，故①③④正确，故选B.
例 2.（2016 浙江高考）已知平面向量a →
，b →
，|a →
|=1，|b →
|=2，a →
·b →
=1．若e →
为平面单位向量，则|a →
·e →
|+|b →
·e →
|的最大值是______．
【解析】由|a →
|=1，|b →
|=2，a →
·b →
=1得，<a →
，b →
>=60°，不妨取a →
=（1，0），b →
=（1），设e →
=（cos θ，sin θ），
则|a →
·e →
|+|b →
·e →|=| cos θ|+| cos θsin θ|≤| cos θ|+| cos θ| sin θ|
=2| cos θθ|，取等号时cos θ与sin θ同号，
所以2| cos θ| sin θ|=|2 cos θsin θ
cos θsin θ|sin （θ+β）|，
(其中sin β
，cos β，取β为锐角)|sin （θ+β）|。

【总结升华】考查平面向量数量积和模的问题，注意结合向量坐标转换成代数运算求最值问题.
举一反三：
【变式1】若a 、b 、c 均为单位向量，且0⋅=a b ，()()+⋅+a b b c 的最大值为________
【答案】1+【解析】因为a 、b 、c 均为单位向量，且0⋅=a b ，
设a =（1，0），b =（0，1），(c o s ,s i n )=θθ
c ,
()()(1,1)(cos ,1sin )cos 1sin )14
π
∴+⋅+=⋅θ+θ=θ++θ=θ++a b b c ,
故()()+⋅+a b b c 的最大值为1【变式2】设向量a ，b ，c 满足1==a b ，1
2
⋅=-
a b ，,60<-->=a c b c 则c 的最大值等于（ ）
A ．2
B
C
D ．1 【答案】A 【解析】由1
2
⋅=-
a b 得,120<>=a b ，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，则∠AOB=120°，
CA =-a c ，CB =-b c ，∵,60<-->=a c b c ，
∴∠ACB=60°，∴O 、A 、C 、B 四点共圆。

c 的最大值应为圆的直径2R ，在△AOB 中，OA=OB=1，∠AOB=120°，所以AB =
由正弦定理得22sin AB
R AOB
=
=∠. 故选A.
【变式3】已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________;
DE DC ⋅的最大值为________.
【答案】1；1
【解析】根据平面向量的点乘公式||||cos DE CB DE DA DE DA θ⋅=⋅=⋅,可知||cos ||DE DA θ=,
因此2||1D E C B D A ⋅=
=;||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα⋅=⋅=⋅,而||cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影,要想让DE DC ⋅最大,即让射影最大,此时E 点与B 点重合,射影为||DC ,所
以长度为1 .
例3.（2015 长沙校级二模）在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB=EF=1，BC=6，
，若
，则
与
的夹角的余弦值等于 ．
【答案】
【解析】由题意可得==
+
﹣2
•
=33+1﹣2
•
=36，∴
•
=﹣1．
由
可得
+
=
+
+
+
=1﹣
+（﹣1）+
=
•
（）=•
=2，
故有 =4． 再由=1×6×cos ＜
＞，可得 6×cos ＜
＞=4，
∴cos ＜
＞=，
【总结升华】考查平面向量数量积角度和模的问题，特别注意夹角的方向. 画出示意图，有助于分析解决问题.
举一反三：
【变式1】.（2015 上海模拟）已知向量，的夹角为，||=1，且对任意实数x ，不等式|x +2|≥|+|
恒成立，则||的取值范围是（ ） A ．[，+∞） B ．（，+∞） C ．[1，+∞） D ．（1，+∞）
【答案】C
【解析】由题意可得x 2
•
+4x •+4≥+2+ 恒成立，
化简可得x 2
+2||x +（|3
﹣||﹣1）≥0恒成立，∴△=4﹣4（|3﹣||﹣1）≤0．
化简可得（2||+1）（||﹣1）≥0，求得||≥1，故选：C ．
【平面向量的数量积及应用401196 例1】
【变式2】已知a 、b 都是非零向量，且a +3b 与7a -5b 垂直，a - 4b 与7a -2b 垂直，求a 与b
的夹角θ。

【答案】3
π
【变式3】已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
12:1[0,
)3p πθ+>⇔∈a b 22:1(,]3
p πθπ+>⇔∈a b 3:1[0,)3p πθ->⇔∈a b 4:1(,]3
p π
θπ->⇔∈a b 其中的真命题是（ ）
A ．p 1，p 4
B ．p 1，p 3
C ．p 2，p 3
D ．p 2，p 4
【答案】A
【解析】∵1==a b ，且[0]θπ∈，，若1+>a b ，则2
1+>a b , ∴2
2
21+⋅+>a a b b ，即12
⋅>-a b ， ∴1
cos 2||||
θ⋅=
=⋅>-⋅a b a b a b ，
∴20,
3πθ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
； 若1->a b ，同理求得1
2
⋅<a b ， ∴1cos 2θ=⋅<
a b ，∴(,]3
π
θπ∈，故p 1，p 4正确，应选A. 类型二、数量积的综合应用
例4.设向量(4cos ,sin )αα=a ，(sin ,4cos )ββ=b ，(cos ,4sin )ββ=-c . （1）若a 与2-b c 垂直，求tan()αβ+的值； （2）求+b c 的最大值；
（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .
【解析】（1）∵a 与2-b c 垂直，∴(
2)20⋅-=⋅-⋅=a b c a b a c ，即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，
∴tan()2αβ+=.
（2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c ，
2
2222sin 2sin cos cos 16cos 32cos sin 16sin b βββββββ+=+++-+b c
1730sin cos 1715sin 2βββ=-=-，
∴2
+b c 最大值为32，∴+b c 的最大值为（3）证明：由tan tan 16αβ=，得sin sin 16cos cos αβαβ=， 即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=，故a ∥b .
【总结升华】平面向量有几何和代数两种形式，并通过平面直角坐标系将它们联系起来，所以可以说，向量实际上是解析几何的内容，它把数形很好地结合在一起，这正是数学学习中的一个重要思想方法，因此在解决数学问题时被广泛应用.高考中，除了对平面向量本身的概念、运算加以考察外，更重要的是他与其他知识的联系，即用向量来解决代数、几何等综合问题，从而考察学生综合解决问题的能力.
举一反三：
【变式1】已知向量(sin ,1),(1,cos ),2
2
a b π
π
θθθ==-<<
．
（Ⅰ）若a b ⊥，求θ； （Ⅱ）求||a b +的最大值． 【解析】
（Ⅰ）若a b ⊥，则sin cos 0θθ+=，
由此得tan 1()22π
π
θθ=--
<<
，所以4
π
θ=-
；
（Ⅱ）由(sin ,1),(1,cos ),a b θθ==得
||(sin a b θ+==
当sin()14
π
θ+
=时，||a b +取得最大值，即当4
π
θ=
时，||a b +1.
【变式2】已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，a =（sinB+cosB ，cosC ），b =（sinC ，sinB ―cosB ）. （1）若0⋅=a b ，求角A ； （2）若1
5
⋅=-
a b ，求tan2A. 【解析】（1）由已知0⋅=a b ，得(sin cos )sin cos (sin cos )0B B C C B B ++-=，
化简 sin()cos()0B C B C +-+=， 即sinA+cosA=0，tanA=－1. 而A ∈（0，π），∴3
4
A π=
（2）∵15
⋅=-
a b ， 即1sin()cos()5
B C B C +-+=-， ∴1sin cos 5
A A +=-. ① 对①平方得242sin cos 25
A A =-， ∵24025
-
< ∴(
,)2
A π
π∈
，7
sin cos 5
A A -==
. ② 联立①②得，3sin 5A =
，4cos 5
A =-， ∴3tan 4A =-，∴32244tan 297116
A ⎛⎫⨯- ⎪
⎝⎭=
=--.
【变式3】已知|OA |＝1，|OB |
OA ·
OB ＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R)，则
m
n
等于（ ） A.
13
B ．3
C.
3
【答案】B
【解析】|OA |＝1，|OB |
OA ·
OB ＝0， ∴OA ⊥OB ，且∠OBC ＝30°， 又∵∠AOC ＝30°，∴OC
⊥AB .
∴(m OA ＋n OB )·(OB －OA )＝0， ∴－m OA 2＋n OB 2＝0， ∴3n －m ＝0， 即m ＝3n ，∴m n ＝3.。