2019_2020学年高一数学下学期期末考试试题文

安徽省池州市2019—2020学年高一数学下学期期末考试试题文
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝｛y｜y2﹣y﹣2≤0，y∈Z｝，则A＝（) A．｛y｜﹣1≤y≤2｝B．｛y｜y≤﹣1或y≥2}
C．{﹣1，0，1，2} D．｛﹣2,﹣1，0，1｝
2．总体由编号为01,02,03，……,29，30的30个个体组成，利用随机数表(以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第4列开始由左向右读取,一行读取完毕后转下一行继续读取，则选出来的第4个个体的编号为（）
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02
43 69 69 38 74
32 04 94 23 49 55 80 20 36 35
48 69 97 28 01
A．26 B．20 C．02 D．24
3．为了在运行下面的程序之后得到输出y＝16,键盘输入x应该是（)
INPUT x
IF x<0 THEN
y=-x+1
ELSE
y=x²—2x+13
END IF
PRINT y
END
A．3或﹣15 B．﹣5 C．15或﹣3 D．5或﹣3
4．甲，乙两名同学5次考试的得分如茎叶图所示,其中两竖线之间是得分的十位数．两边分别是甲，乙得分的个位数,则下列结论错误的是(）
A．甲得分的中位数是85
B．乙得分的中位数与众数相同
C．甲得分的方差小于乙得分的方差
D．甲得分的平均数低于乙得分的平均数
5．若a＞1＞b，则下列不等式中不一定成立的是（）A．a﹣b＞1﹣b B．a﹣1＞b﹣1 C．1﹣a＞b﹣a D．a ﹣1＞1﹣b
6．若等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2+a3＝8，则S4的值为()
A．8 B．16 C．24 D．32
7．若{a n｝是公比为e的正项等比数列，则｛lna3n﹣1｝是（)
A．公比为e3的等比数列B．公比为3的等比数列
C．公差为3e的等差数列D．公差为3的等差数列
8．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼•春官•大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”
八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”
为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“金、石、土、革、丝、木”任取“两音”，则“两音”同为打击乐器的概率为（）
A．B．C．D．
9．若执行下面的程序框图，输出S的值为5，则判断框中应填入的条件是（）
A．k≤15？B．k≤16？ C．k≤31？ D．k≤32？10．广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费x和销售额y进行统计，得到统计数据如表（单
位:万元）：
23456
广告费
x
2941505971
销售额
y
由上表可得回归方程为＝10.2x +，又已知生产该商品的成本（不含广告费）为（单位：万元)，据此模型预测最大的纯利润为()
A．30.15万元B．21。

00万元C．19。

00万元
D．10。

50万元
11．已知正项等差数列｛a n}，{b n｝的前n项和分别是S n，T n，且（3n﹣1）2S﹣n（3n﹣1）S n T n﹣2n2T n2＝0对任意的n∈N ＊恒成立，则＝（）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．若任意取x∈[﹣1,1］,关于x的不等式x2+mx+（m2﹣2）≤0成立，则实数m的取值范围为(）
A．[，］B．[，]
C ．［，] D．[,］
二、填空题（共4小题)。

13．某产品分为优质品、合格品、次品三个等级,生产中出现优质品的概率为，出现合格品的概率为，其余为次品．在该产品中任抽一件，则抽到的为次品的概率为．
14．已知f（x）＝x2﹣tx+1，若在区间［﹣3，6］上任意取一个数t，则f（x）在［0,1］上为单调函数的概率为．15．已知a，b为正实数，且a+b﹣3+2＝0，则ab的最小值为．
16．在钝角△ABC中，A，B的对边分别为a，b(a＞b），若a，b为一元二次方程x2﹣2x+1＝0的两个根，sin A+（+1）sin B ＝，则A的弧度数的取值集合为．
三、解答题（共6小题）.
17．一颗质地均匀的正四面体的四个面上分别写有数字1、2、3、4，将它先后抛掷两次,翻看正四面体与桌面接触的面上的数字，并分别记为x，y．
（1）记“x＞2"为事件A，求事件A发生的概率；
(2）记“y≥2x”为事件B，求事件B发生的概率．
18．已知函数f（x）＝（x＞0）．
(1)解不等式:f(x）＞；
（2)求函数f(x）的最小值．
19．某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合,帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售．为了更好地销售,现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分布在区间[1500，3000］内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示,以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率．
（1）估计这批蜜柚每只的平均重量；
（2）已知该贫困村的蜜柚树上大约还有10000个蜜柚待出售,对于这10000个密柚某电商提出两种收购方案:
A．所有蜜柚均以40元/千克收购；
B．低于2000克的蜜柚以60元/个收购,高于或等于2000克但不超过2500克的以90元/个收购,其余的以100元/个收购,请你通过计算为该村选择收益最好的方案．
20．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
a sin B﹣
b cos A＝0．
（1）求角A的大小;
(2)若a＝2，D为BC的中点，AD＝2，求△ABC的面积．21．已知S n是数列｛a n｝的前n项和，且S n＝（1﹣）（n∈N*）．（1）求数列｛a n}的通项公式；
（2)设b n＝4na n，求数列{b n}的前n项和T n．
22．如图所示，海平面上有3个岛屿A，B,C，它们位于海平面α上，已知B在A的正东方向，C在A的北偏西15°的方向，C在B的北偏西60°方向上，某一天上午8时,甲，乙两人同时从A岛屿乘两个汽艇出发分别前往B，C两个岛屿执行任务,他们在上午的10时分别同时到达B,C岛屿．现在已知甲
乙都是匀速前进的，且乙的前进速度为3海里/小时．（1）求A、B两个岛屿之间的距离；
（2）当天下午2时甲从B岛屿乘汽艇出发前往C岛屿执行任务，且速度为（+)海里/小时，1个小时后乙立即从C岛屿乘汽艇以原速度返回A岛屿，求乙前进多少小时后，甲乙两个人之间的距离最近？
注意：sin75°＝．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{y|y2﹣y﹣2≤0,y∈Z｝，则A＝（）A．{y｜﹣1≤y≤2｝B．｛y|y≤﹣1或y≥2｝C．｛﹣1，0，1，2｝D．｛﹣2,﹣1，0，1}
【分析】通过解不等式并利用列举法求得集合A．
解：由题意知，A＝{y｜﹣1≤y≤2，y∈Z｝＝｛﹣1，0，1，2}．
故选：C．
2．总体由编号为01，02，03，……，29，30的30个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第4列开始由左向右读取，一行读取完毕后转下一行继续读取,则选出来的第4个个体的编号为（）
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02
43 69 69 38 74
32 04 94 23 49 55 80 20 36 35
48 69 97 28 01
A．26 B．20 C．02 D．24
【分析】根据题意，利用随机数表法求出对应的数．
解:根据题意，从随机数表第1行的第4列开始,
由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于30的编号依次为
20，26,24，02；
可知选出的第4个数值为02．
故选：C．
3．为了在运行下面的程序之后得到输出y＝16,键盘输入x应该是（）
A．3或﹣15 B．﹣5 C．15或﹣3 D．5或﹣3
【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后得到函数y解析式,利用分类讨论法求出对应x的值．
解：模拟程序的运行过程知，
程序运行后得到函数y＝；
所以当x＜0时，y═﹣x+1＝16，解得x＝﹣15;
当x≥0时，y＝x2﹣2x+13＝16，即x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1(不合题意，舍去）;
综上知，x＝﹣15或3．
故选：A．
4．甲，乙两名同学5次考试的得分如茎叶图所示，其中两竖线之间是得分的十位数．两边分别是甲，乙得分的个位数,则下列结论错误的是()
A．甲得分的中位数是85
B．乙得分的中位数与众数相同
C．甲得分的方差小于乙得分的方差
D．甲得分的平均数低于乙得分的平均数
【分析】根据中位数,众数，方差以及平均数的计算方法解答．解：甲得分的中位数是85，所以A对;乙得分的中位数和众数都是87，所以B对；甲得分的方差大于乙得分的方差,所以C 错；由茎叶图观察得，甲得分的平均数低于乙得分的平均数，所以D对．
故选:C．
5．若a＞1＞b，则下列不等式中不一定成立的是（）A．a﹣b＞1﹣b B．a﹣1＞b﹣1 C．1﹣a＞b﹣a D．a ﹣1＞1﹣b
【分析】根据a＞1＞b，取a＝2，b＝0，即可得到答案．解:根据a＞1＞b，取a＝2，b＝0，则D不成立．
故选：D．
6．若等差数列｛a n｝的前n项和为S n，且a2+a3＝8，则S4的值为（）
A．8 B．16 C．24 D．32
【分析】由已知结合等差数列的性质求得a1+a4＝8,再由等差数列的前n项和公式求解．
解：在等差数列{a n｝中，由a2+a3＝8，得a1+a4＝a2+a3＝8，可得S4＝＝．
故选:B．
7．若｛a n}是公比为e的正项等比数列,则{lna3n﹣1｝是（) A．公比为e3的等比数列B．公比为3的等比数列
C．公差为3e的等差数列D．公差为3的等差数列
【分析】先根据等比数列的通项公式可知a n＝a1•e n﹣1,再由lna3n﹣1﹣lna3(n﹣1）﹣1＝ln＝lne3＝3，为常数，可判定｛lna3n }是公差为3的等差数列，故而得解．
﹣1
解：因为{a n}是公比为e的正项等比数列,所以a n＝a1•e n﹣1，
因为lna3n﹣1﹣lna3（n﹣1）﹣1＝ln＝ln＝lne3＝3，为常数，所以{lna3n﹣1｝是公差为3的等差数列，
故选：D．
8．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼•春官•大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”
八音．其中“金、石、木、革"为打击乐器,“土、匏、竹”
为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“金、石、土、革、丝、木”任取“两音”,则“两音”同为打击乐器的概率为（) A．B．C．D．
【分析】基本事件总数n＝，“两音"同为打击乐器包含的基本事件个数m＝＝6，由此能求出“两音"同为打击乐器的概率．
解：从“金、石、土、革、丝、木”任取“两音”，
基本事件总数n＝，
∵“金、石、木、革”为打击乐器，“土”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，
∴“两音”同为打击乐器包含的基本事件个数m＝＝6,
则“两音”同为打击乐器的概率为P＝＝＝．
故选:B．
9．若执行下面的程序框图，输出S的值为5，则判断框中应填入的条件是（)
A．k≤15？B．k≤16？ C．k≤31？ D．k≤32？【分析】根据程序框图，理解程序框图功能，结合对数的运算法则进行计算即可．
解:程序的功能是计算S＝log23•log34•log45…log k(k+1）＝•…＝＝log2（k+1)，
由log2（k+1）＝5，得k+1＝32，则k＝31，
此时k＝k+1＝32，不满足条件输出S＝5，
即k≤31成立,k＝32不成立，
则条件为k≤31？
故选:C．
10．广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费x和销售额y进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：
23456
广告费
x
2941505971
销售额
y
由上表可得回归方程为＝10。

2x +,又已知生产该商品的成本（不含广告费）为(单位:万元),据此模型预测最大的纯利润为（）
A．30.15万元B．21.00万元C．19。

00万元
D．10.50万元
【分析】由表中数据求出回归方程，利用回归方程求出纯利润函数以及函数的最大值即可．
解:由表中数据，计算＝×（2+3+4+5+6)＝4，
＝×（29+41+50+59+71）＝50，
代入回归方程＝10.2x +中，得＝﹣10。

2＝50﹣10.2×4＝9。

2，
所以＝10.2x+9。

2,
计算纯利润为g（x）＝（10.2x+9.2）﹣（x +）＝﹣+x+9。

2≤＝19，
当且仅当x＝7时取“＝”，
所以据此模型预测最大的纯利润为19．
故选：C．
11．已知正项等差数列｛a n},{b n}的前n项和分别是S n，T n，且（3n ﹣1)2S﹣n（3n﹣1）S n T n﹣2n2T n2＝0对任意的n∈N＊恒成
立,则＝(）
A．B．C．D．
【分析】把已知等式分解因式得到（3n﹣1）S n﹣2nT n＝0⇒＝;再根据等差数列的性质把所求转化为即可求解结论．
解：∵正项等差数列｛a n｝，｛b n}的前n项和分别是S n，T n,∴（3n﹣1）2S﹣n（3n﹣1）S n T n﹣2n2T n2＝0⇒[（3n﹣1）S n ﹣2nT n]•[（3n﹣1）S n+nT n］＝0;
即（3n﹣1）S n﹣2nT n＝0⇒＝；
∴＝＝＝＝．
故选:D．
12．若任意取x∈[﹣1，1］，关于x的不等式x2+mx+(m2﹣2）≤0成立，则实数m的取值范围为（）
A．［，] B．［,］
C．[，］D．[，]
【分析】由已知结合二次函数的性质及特殊点所对应的函数值的正负即可求解．
解：令f(x）＝x2+mx+(m2﹣2），x∈［﹣1，1］，
由题意可得,，
解可得，．
故选:A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，生产中出现优质品的概率为,出现合格品的概率为，其余为次品．在该产品中任抽一件，则抽到的为次品的概率为．
【分析】利用互斥事件概率计算公式直接求解．
解：某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，
生产中出现优质品的概率为，出现合格品的概率为，其余为次品．
在该产品中任抽一件,
则抽到的为次品的概率为P＝1﹣＝．
故答案为：．
14．已知f（x）＝x2﹣tx+1,若在区间[﹣3，6］上任意取一个数t，则f(x）在［0，1］上为单调函数的概率为．
【分析】求出所有事件的区域长度以及满足条件的t的范围对应的区域长度，利用几何概型概率公式可求．
解：因为f（x）在［0，1］上为单调函数⇔≤0或≥1⇔t≤0或t≥2；
故﹣3≤t≤0或2≤t≤6；
故所求概率为：＝．
故答案为：．
15．已知a，b为正实数，且a+b﹣3+2＝0,则ab的最小值为4．
【分析】由已知结合基本不等式a+b即可直接求解．
解：∵a，b为正实数，且a+b﹣3+2＝0，
∴﹣2，当且仅当a＝b时取等号，
解可得，ab≥4即最小值4．
故答案为：4
16．在钝角△ABC中，A，B的对边分别为a,b（a＞b），若a，b为一元二次方程x2﹣2x+1＝0的两个根，sin A+（+1）sin B ＝，则A的弧度数的取值集合为｛,π｝．
【分析】由题意可得a，b的值，再由正弦定理可得sin B与sin Adgx，代入已知条件可得sin A的值，再由题意可得A的取值集合．
解:因为a，b为一元二次方程x2﹣2x+1＝0的两个根，可得x ＝＝±1，
因为a＞b,所以a＝+1，b＝﹣1，
由正弦定理可得a：b＝sin A：sin B，所以sin B＝sin A＝，由sin A+（+1）sin B＝，可得sin A+（+1)sin A＝，即sin A＝，
因为钝角三角形中，当A为钝角时，则A＝π，当A不是钝角，因为a＞b,则C为钝角，这时A＝,
故答案为：｛，π｝
三、解答题：本题共6题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．一颗质地均匀的正四面体的四个面上分别写有数字1、2、3、4，将它先后抛掷两次，翻看正四面体与桌面接触的面上的
数字，并分别记为x，y．
（1）记“x＞2”为事件A,求事件A发生的概率;
(2）记“y≥2x”为事件B,求事件B发生的概率．
【分析】（1）基本事件总数n＝4×4＝16，记“x＞2”为事件A，则事件A包含的基本事件总数m＝2×4＝8，由此能求出事件A发生的概率P（A)．
（2）记“y≥2x”为事件B，利用列举法求出事件B包含的基本事件（x，y）有4个,由此能求出事件B发生的概率P（B)．解：(1)一颗质地均匀的正四面体的四个面上分别写有数字1、2、3、4，
将它先后抛掷两次，翻看正四面体与桌面接触的面上的数字,并分别记为x，y．
基本事件总数n＝4×4＝16,
记“x＞2”为事件A，则事件A包含的基本事件总数m＝2×4＝8，
∴事件A发生的概率P（A）＝＝＝．
（2）记“y≥2x”为事件B，则事件B包含的基本事件（x，y）有：
（1，2），（1，3），（1，4），(2，4）,共4个,
∴事件B发生的概率P（B）＝．
18．已知函数f（x）＝（x＞0）．
（1）解不等式：f（x)＞;
(2)求函数f（x)的最小值．
【分析】（1)由已知进行整理,然后结合二次不等式的求解即可；（2）利用基本不等式即可直接求解．
解：(1）由题意可得，，
因为x＞0，
所以（x+4)2x，整理可得，3x2﹣26x+48＞0
解可得，x＞6或x＜，
故不等式的解集{x|，x＞6或x＜｝；
（2）x＞0，f（x）＝＝x++8＝12,
当且仅当x＝即x＝2时，函数取得最小值12．
19．某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚,并利用互联网电商渠道进行销售．为了更好地销售,现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重,其质量分布在区间[1500，3000]内（单位：克)，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示，以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率．(1）估计这批蜜柚每只的平均重量；
（2）已知该贫困村的蜜柚树上大约还有10000个蜜柚待出售，对于这10000个密柚某电商提出两种收购方案：
A．所有蜜柚均以40元/千克收购；
B．低于2000克的蜜柚以60元/个收购,高于或等于2000克但不超过2500克的以90元/个收购,其余的以100元/个收购,请你通过计算为该村选择收益最好的方案．
【分析】（1）由频率分布直方图能估计这批蜜柚每只的平均重量．
（2）分别求出选用A方案收益和选用B方案收益，由此得到该村收益最好的方案是方案A．
解：（1)由频率分布直方图估计这批蜜柚每只的平均重量为：＝1625×0。

0004×250+1875×0。

0004×250+2125×0.0006×250+2375×0。

0016×250+2625×0。

0008×250+2875×0.0002×250＝2287。

5（克）．
（2)选用A方案收益为：10000××40＝915000（元），选用B方案收益为:
10000×（0.0004+0.0004)×250×60+10000×（0。

0006+0.0016）×250×90+10000×(0。

0008+0。

0002）×250×100＝865000（元）．
∴该村收益最好的方案是方案A．
20．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别是a,b，c，且a sin B ﹣b cos A＝0．
（1)求角A的大小；
（2）若a＝2,D为BC的中点，AD＝2，求△ABC的面积．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，结合sin B＞0,利用
同角三角函数基本关系式可求tan A＝,结合范围A∈（0,π）,可求A的值．
(2)由已知利用余弦定理可得b2+c2＝4+bc，可求cos∠ADB＝
，cos∠ADC＝，由+＝0,可得：b2+c2＝10，进而解得bc＝6，根据三角形的面积公式即可计算求解．
解:（1）∵a sin B﹣b cos A＝0，
∴由正弦定理可得sin A sin B﹣sin B cos A＝0，…………………………
∵sin B＞0，
则sin A﹣cos A＝0，……………………………
∴tan A＝…………………………….。

∵A∈（0,π），
∴A＝．…………………………。

（2)∵在△ABC中，a2＝b2+c2﹣2bc cos∠A，A＝，
∴b2+c2＝4+bc．…………………………
∵在△ABD中,cos∠ADB＝＝，…
同理△ACD中，cos∠ADC＝＝，…
而∵∠ADB+∠ADC＝π,有cos∠ADC+cos∠ADB＝0,
∴+＝0,可得：b2+c2＝10．…
∴联立得4+bc＝10，可得bc＝6，…
∴S△ABC＝bc sin∠BAC＝＝．…
21．已知S n是数列{a n｝的前n项和，且S n＝(1﹣）(n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n＝4na n，求数列{b n｝的前n项和T n．
【分析】（1）易知,a1＝，由S n＝（1﹣），可知S n﹣1＝(1﹣）,两式相减整理得a n＝（n≥2)，再把n＝1代入进行验证即可得解;
(2）由(1）可知b n＝，再采用错位相减法即可得解．
解:（1）因为S n＝(1﹣），所以S n﹣1＝（1﹣),
两式相减得，S n﹣S n﹣1＝（n≥2），
所以a n＝＝（n≥2），
在S n＝（1﹣)中，令n＝1，则a1＝S1＝，符合上式,
所以a n＝(n∈N*）．
故数列{a n｝的通项公式为a n＝（n∈N*）．
（2）因为b n＝4na n，所以b n＝＝，
所以T n＝+++……++，
所以T n＝+++……++，
两式相减，得T n＝++……++﹣＝﹣＝
，
所以T n＝．
22．如图所示，海平面上有3个岛屿A，B，C,它们位于海平面α上,已知B在A的正东方向，C在A的北偏西15°的方向,C 在B的北偏西60°方向上,某一天上午8时，甲，乙两人同时从A岛屿乘两个汽艇出发分别前往B，C两个岛屿执行任务，他们在上午的10时分别同时到达B,C岛屿．现在已知甲乙都是匀速前进的，且乙的前进速度为3海里/小时．（1)求A、B两个岛屿之间的距离；
(2)当天下午2时甲从B岛屿乘汽艇出发前往C岛屿执行任务,且速度为(+）海里/小时，1个小时后乙立即从C岛屿乘汽艇以原速度返回A岛屿，求乙前进多少小时后，甲乙两个人之间的距离最近
注意：sin75°＝．
【分析】（1）△ABC中由正弦定理求得AB的值即可；（2）由正弦定理求出BC,再利用余弦定理求PQ2，计算PQ2取最小值时对应的时间即可．
解：（1）由题意知，∠BAC＝105°，∠ABC＝30°，∠ACB ＝45°，AC＝3×2＝6(海里)，
△ABC中，由正弦定理得,＝,
所以AB＝＝＝6，
所以A、B两个岛屿之间的距离为6海里;
（2)由正弦定理得，＝，
所以BC＝＝＝3（+);
设乙从C岛峪乘汽艇以原速度返回A岛屿运行t小时到达P 处，
则甲从B岛屿乘汽艇出发前往C岛屿执行任务运行t+1小时到达Q处，
PQ2＝CP2+CQ2﹣2CP•CQ cos C
＝（3t)2+﹣2×3t×［3(+）﹣(+）（t+1）］cos45°
＝(23+10）t2﹣（44+28）t+16（2+），其中t∈[0，2］，当且仅当t＝时,PQ2取得最小值；
又t＝＜＝2,所以t＝∈[0,2]；
所以乙前进小时后，甲乙两个人之间的距离最近．。