安徽省黄山市屯溪第一中学2018-2019学年高二下学期入学摸底考试数学(文)试题(含精品解析)

安徽省黄山市屯溪第一中学2018-2019学年高二下学期入学摸底考试
数学（文）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.和直线都平行的直线的位置关系是（ ）
A. 相交
B. 异面
C. 平行
D. 平行、相交或异面
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用平行公理，即可得到答案．
【详解】由平行公理，可知平行与同一直线的两直线是平行的，所以和直线都平行的直线的位置关系
是平行，故选：．
【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
2.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由直线的方程，求得直线的斜率，进而根据，即可得倾斜角，得到答案．
【详解】由题意，直线，可得直线的斜率，
即，又∵，所以，
故选：．
【点睛】本题考查直线的倾斜角的求解，其中解答中由直线方程得出斜率，再根据斜率与倾斜角的关键求解是解决的关键，着重考查了运算与求解能力，属于属基础题．
3.“”是“直线与垂直”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线垂直的等价条件求出的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】由题意，若与垂直，
则满足，得或，
即“”是“直线与垂直”的充分不必要条件，
故选：．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，其中解答中熟记两条直线垂直的条件，求出的值，再结合充分不必要条件进行解答是解决的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.
详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，
由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.
点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.
5.设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥
体积的最大值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的重心，判断出当平面时，三棱锥
体积最大，然后进行计算可得。

详解：如图所示，
点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，
当平面时，三棱锥体积最大
此时，
,
点M为三角形ABC的重心
中，有
故选B.
点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出
当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到
，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型。

6.从甲、乙等5名同学中选2人参加社区服务，则甲恰被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．
【详解】由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数，
甲被选中包含的基本事件的个数，
根据古典概型及其概率的计算公式，所以甲被选中的概率
故选：．
【点睛】本题考查古典概型及其概率的计算，其中解答中要认真审题，求解基本事件的总数，以及甲被选中包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解，着重考查了分析问题和解答问题的能
力，属于基础题．
7.已知双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】D 【解析】【分析】
由双曲线离心率为2，得到
，又由，即可求解双曲线的渐近线方程，得到答案．
【详解】由题意知，双曲线方程为：，
∴双曲线的渐近线方程为，
又∵双曲线离心率为2，∴，又由，
所以双曲线的渐近线方程为．
故选：．
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的求解，以及双曲线的离心率的应用，其中解答中合理应用双曲线的标准方程与几何性质是解答的关键，属于基础题，着重考查了运算与求解能力．
8.直线与圆
相切，则（ ）
A. -2或12
B. 2或-12
C. -2或-12
D. 2或12
【答案】D 【解析】
∵直线与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴＝1或12,故选D.
考点：本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.
9.已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则
（ ）
A. B. 3 C. D. 2
【答案】B
【解析】
试题分析：设到的距离为，则，因为，所以，不防设的斜率为
，由得：，所以，故选B．
考点：1．直线与圆锥曲线的关系；2．抛物线的定义．
10.设，若直线与线段相交，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直线经过定点，又由直线与线段相交，可得或，
即可求解．
【详解】由题意，直线，即，所以直线经过定点，
又由斜率公式，可得，．
∵直线与线段相交，
∴或，则的取值范围是．
故选：．
【点睛】本题考查了斜率计算公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11.直线分别与轴, 轴交于两点,点在圆上.则面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出，然后求出圆心到直线的距离为，进而可以得出到直线的距离，
从而求出面积的范围。

【详解】由题意得，，则，设点到直线的距离为，则
的面积为.
圆心为，半径为，则圆心到直线的距离为，所以，
即，故的面积的取值范围是.故选A.
【点睛】本题考查了圆的性质，考查了三角形面积的求法，考查了点到直线的距离公式，考查了数形结合的数学思想，属于中档题。

12.过点作圆的切线，与轴的交点为抛物线的焦点，与抛物线交
于两点，则中点到抛物线的准线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题意得，过点作圆作圆的切线，
可得直线的方程为，此时直线与轴的交点坐标为，
又与抛物线的焦点重合，即，解得，
即，且准线方程，
联立方程组，整理得，则，
则，所以得中点到抛物线的准线的距离为，故选D.
点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的问题关系的应用，其中解答中涉及到直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的定义等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，其中此类问题的解答中把直线的方程代入圆锥曲线方程，转化为根与系数的关系及韦达定理的应用是解答的关键.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.命题“存在”的否定是______
【答案】
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题进行求解，即可得到答案．
【详解】由命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，所以命题“存在”的否定
是“”，
故答案为：
【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，其中解答中熟记全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
14.在空间直角坐标系中，设，则______．
【答案】13
【解析】
【分析】
根据空间直角坐标系中两点间的距离公式，计算即可得到答案．
【详解】由题意，在空间直角坐标系中，由，
根据空间中的距离公式，可得．
故答案为：13．
【点睛】本题考查了空间中两点间的距离公式求距离，其中解答中熟记空间直角坐标系中两点间的距离公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
15.已知双曲线的离心率为，焦点为，点在曲线上，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
设双曲线的方程，取为右支上一点，由，可得，由双曲线的定义和离心率公式、以及余弦定理，计算即可得到所求值．
【详解】设双曲线的方程为，取为右支上一点，且，
因为，可得，
由双曲线的定义可得，解得，
又，可得，
在中，，
由余弦定理，得．
故答案为：．
【点睛】本题考查双曲线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中注意合理运用离心率公式和双曲线的定义，同时借助余弦定理求解是解答的关键，着重考查化简整理的运算能力，属于中档题．
16.已知是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线
上，
为等腰三角形，
，则的离心率为______．
【答案】【解析】【分析】
求得直线的方程，根据题意求得点坐标，代入直线方程，根据椭圆离心率的定义，即可求得椭圆的离
心率．
【详解】如图所示，由题意知：
，
直线的方程为：
，
由
，
，则
，
代入直线
，整理得：，
∴所求的椭圆离心率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了椭圆标准方程离心率的求解，及直线方程的应用，其中解答中应用题设条件求得点P
的坐标，代入直线的方程，得出
是解答的关键，同时注意数形结合思想的应用，是中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.给定两个命题，命题对于任意实数，都有恒成立；命题方程
表示
一个圆．若“”为真命题，“
”为假命题，求实数的取值范围．
【答案】【解析】
【分析】
根据条件求得命题为真命题的等价条件，结合“”为真命题，“”为假命题，得到一个为真命题，一个为假命题，进行求解即可．
【详解】由题意，若真，即对于任意实数，都有恒成立．
①若，即对于任意实数，都有恒成立；
②若，必须满足，
由①②得真，的取值范围是
若真，即方程表示一个圆，只需，即．
所以真，的取值范围是．
若“”为真命题，“”为假命题，即一真一假．
当真假时，实数的取值范围是，
当假真时，实数的取值范围是，
所以的取值范围是．
【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，其中解答中求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
18.如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．
【答案】（1）详见解析（2）．
【解析】
分析：（1）连接，欲证平面，只需证明即可；（2）过点作，垂
足为，只需论证的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.
详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．
连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．
由知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．
（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．
所以OM=，CH==．
所以点C到平面POM的距离为．
点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.
19.已知圆，点．
（1）设点是圆上的一个动点，求的中点的轨迹方程；
（2）直线与圆交于，求的值．
【答案】（1）；（2）48
【解析】
【分析】
（1）设，由中点公式求得，代入圆的方程即可得出的中点的轨迹方程．
（2）直线与圆交于，把直线的方程代入圆的方程利用方程的根与系数
的关系，求得，代入化简整理即可得出．
【详解】（1）由题意，设，
由点是圆上的一个动点，则，
又由Q是AP的中点，根据中点公式得，
解得．
代入圆的方程可得：，
整理得．
∴的中点的轨迹方程为：．
（2）由直线与圆交于，
把直线的方程代入圆的方程可得：，
整理得．
则，
∴
=.
【点睛】本题考查了圆的标准方程及其性质、向量数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系、中
点坐标公式的综合应用，着重考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，
AB=2，AD=，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)．
【解析】
分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC．
（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．由几何关系可知∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成
的角．计算可得．则异面直线BC与MD所成角的余弦值为．
（Ⅲ）连接CM．由题意可知CM⊥平面ABD．则∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．计算可得
．即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．
详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．
（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．
在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．
在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．
在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．
所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．
（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=．又因为平面
ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．
在Rt△CAD中，CD==4．
在Rt△CMD中，．
所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．
点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．
21.过抛物线的焦点作倾斜角为45°的直线，直线与抛物线交于，若．
（1）抛物线的方程；
（2）若经过的直线交抛物线于，若，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得直线的方程为，再根据韦达定理结合，即可求出；
（2）当直线的斜率不存在求出，当直线的斜率存在，根据韦达定理和中点坐标公式，根据，
得出点在线段的中垂线上，求得的值，即可求出直线方程
【详解】（1）依题意：，则直线的方程为，
由，消可得，
设，则，
∴，∴，
故抛物线的方程为．
（2）若经过的直线的斜率不存在，此时直线与抛物线交于，则关于轴对称，满足
，即直线满足题意．
若经过的直线的斜率存在，设它为，则．
由，消可得
设，则，
∴，∴，
∵，∴点在线段的中垂线上，
即线段的中垂线为：，
即，即
所以直线的方程为即．
故直线的方程为或．
【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常
联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问
题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分
析问题解决问题的能力等．
22.已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一个动点，的周长为
6，且存在点使得，为正三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上不重合的四个点，与相交于点，且．若的斜率为，求四
边形的面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
分析：第一问由题意列出关于的方程组，求得的值，结合隐含条件求得，从而求得椭圆的方程，第
二问由已知向量等式可得，又，，则，分别写出所在直线的方程，之后分
别于椭圆方程联立，求得的值，代入四边形面积公式求得结果.
详解：（1）设为椭圆的半焦距，依题意，有：解得，
∴
故椭圆的方程为：.
（2）解：,又，则.
，
∴
∴
∴
故四边形的面积为.
点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，涉及到的知识点有椭圆的焦点三角形的周长、从隐含条件
中得出所满足的条件，从而求导相关的参数，从而求得椭圆的方程，再者就是有关两直线垂直时对应斜
率的关系，还有就是有关直线与椭圆相交时，需要联立方程组，之后根据题意求得香瓜的量即可.。