概率论习题课5

1.58 3.16 1
0.9422 .
例3 一保险公司有10000人投保，每人每年
付12元保险费，已知一年内投保人死亡率
为0.006.若死亡公司给死者家属1000元.求
(1) 保险公司年利润为 0 的概率；
(2) 保险公司年利润大于60000元 的概率；
解 设 X为投保的10000人中一年内死亡的
[ n /(10 pq )] 0.95.
n /(10 pq ) 1.96 n 19.6 pq 现在的问题是如何确定 pq .
2
设 令
f ( p) p(1 p) pq f ( p) 1 2 p 0 当 p 1 / 2 时, f ( p) 1 / 4 达到最大值.
概率论与数理统计
课件制作：应用数学系 概率统计课程组
第 五 章
1. 切贝雪夫不等式
2. 中心极限定理的应用
例1
某大卖场某种商品价格波动为随机
变量.设第 i 天(较前一天)的价格变化为
Xi
E ( X i ) 0, D( X i ) 0.04. i 1,2,n , n X1 , X 2 ,, X n 独立同分布, Yn Y0 X i 为
(应用题2) 银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金, 已 知这批债券共发放了500张每张须付本息1000元, 设持 券人(一人一券)到期日到银行领取本息的概率为 0.4, 问银行于该日应准备多少现金才能以 99.9% 的把握满 足客户的兑换.
解 设
Xi
1 第 i 个持券人到期日来兑换 0 第 i 个持券人到期日未兑换
所以当 n 充分大时
Z ~ N a 2 , ( a4 a ) / n
2 2
近似 n


19.6 pq 19.6 (1 / 4) 96.04 n 所以取 n 97 就能满足要求.
2 2
97 0.7 139 取140. 140 20 7
电视台需安排 7 人作调查.
例4
假设 ( X 1 , X 2 , , X n ) 是来自总体 X 的
k
n
简单随机样本,已知 E ( X ) ak ( k 1, 2 , 3 , 4 )
2 i 4 i 2 2 i 2 2
1 2 E ( Z n ) E ( X i ) a2 n i 1 n 1 1 2 2 D ( Z n ) 2 D ( X i ) ( a4 a2 ) n i 1 n
由中心极限定理
n
Z a n 2 ( x) 标准正态 lim P x 2 n 分布函数 ( a4 a2 ) / n
1 2 证明当 n 充分大时 随机变量 Z n X i n i 1
近似服从正态分布, 并指出其分布参数
证 依题意 X 1 , X 2 ,, X n 独立同分布, 则
X , X ,, X 也独立同分布. E ( X ) a2 ,
2 1 2 2 2 n
2 i
D( X ) E ( X ) ( EX ) a4 a ,
人数.则 X ~ B (10000 , 0.006 )
E ( X ) 60 ,
D( X ) 59.64 .
(1) 设保险公司年利润为 Y , 则
Y 10000 12 1000 X 0 X 120
C
120 10000
P( Y 0 ) P( X 120)
0.006 0.994
则到期日来银行兑换的总人数为
兑换总额为1000 X,
X , 0.4) , E ( X ) 200
D( X ) 120 .
由中心极限定理
设银行需准备1000 m 元 ,
P( X m) (m 200) / 120 0.999


m 233.96 .
5
由于排版与校对是两个独立的工作, 因而
P( X i 1) 0.001 (1 0.99 ) 10 ,
P( X i 0) 1 10
5 5
5
E ( X i ) 10
5
D( X i ) 10 (1 10 ) .
106 i 1
设校对后错误个数为Y X i , 则
i 1
30
① P(18 Y 22) P( Y E (Y ) 2) 30 30 30 ② P(18 Y30 22)
1 D(Y30 ) / 4 0.7
P{1.826 (Y30 20) / 1.2 1.826)
2(1.826) 1 0.932.
第 n 天的价格， 价格.
Y0 20
i 1
(元/斤) 为现在的
① 用切贝雪夫不等式估计
② 再用中心极限定理估计
P(18 Y30 22) P(18 Y30 22)
解 E (Y30 ) E (Y0 ) E ( X i ) 20
i 1
30
D(Y30 ) D(Y0 ) D( X i ) 1.2
每晚节目A 播出一小时，调查需同时 进行，设每小时每人能调查20户，居民每 晚看电视的概率为70%，电视台需安排多 少人作调查.
解 设 X n为回答看电视的居民中在收看
节目A 的人数, 则 X n ~ B(n , p) , 其中p 为 要估计的收视率, 要求 n , 使
P( X n / n p 0.1) P[ ( X n np) / npq n /(10 pq )]
2 2
设校对后错误个数为 Y , 则 Y ~ B( X , 0.01)
则近似有
Y ~ N (10 , 0.0099 999)
2
由中心极限定理
15 10 P(Y 15) (15.98) 1. 0.0099 999
解 令
Xi
1 第 i 个符号被排错校对后仍错 0 其 他
120 99880
利用泊松定理，取
np 60
P( Y 0 ) P( X 120) 120 60 60 e 0 120!
(2) 由中心极限定理
P( Y 60000 ) P(10000 12 1000 X 60000) 60 P( 0 X 60 ) (0) 59.64

(0) (1.94) 1 0.4738
应用题3 电视台作节目A 收视率的调查. 在每天在看电视播出时, 随机地向当地居 民打电话询问是否在看电视. 若在看电视， 再问是否在看节目A. 设回答在看电视的 居民户数为n. 问为保证以 95%的概率使 调查误差在10 %之内, n 应取多大？
Y ~ B(10 , 10(1 105 ))
由中心极限定理
15 10 0 10 P(0 Y 15) 10(1 105 ) 10(1 105 )
5 / 10 10


所以银行需准备23.4万元.
例2
一本书有1000000个印刷符号, 排版
时每个符号被排错的概率为千分之一.校
对时,每个排版错误被改正的概率为0.99，
求在校对后错误不多于15个的概率.
解
设 Xi
1 第 i 个印刷符号被排错
0 第 i 个印刷符号未排错
则总的被排错的印刷符号个数 X 且
X
i 1
106
i
X ~ B(10 , 0.001)
6
于是 E ( X ) 1000
D( X ) 999 .
E (Y ) 0.01X D(Y ) 0.0099 X . E (Y ) E[ E (Y )] E (0.01X ) 0.01E ( X ) 10
D(Y ) 0.0099 D( X ) 0.0099 999 .