人教 备战中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练含答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；
（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P
为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．
【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；
（3）2213(03)2213(03)2
2t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞ 【解析】
试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；
（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程
2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223
y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3
b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；
（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），
∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；
（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，
∵PQ=2，∴QF=1． ①当点P 在点M 上方时，即0
＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=12
PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t ＞
3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=
12PM×QF=12（23t t -）=21322t t -． 综上所述，S=2213 (03)22{13 (03)22
t t t t t t t 或-+<<-．
考点：二次函数综合题；分类讨论．
2．抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3（a≠0）与直线y ＝kx+c （k≠0）相交于A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点，且抛物线与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出C 、D 两点的坐标
（3）在第四象限抛物线上有一点P ，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标．
【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3;（2）C （0，﹣3）,D （0，﹣1）;（3）P （2，﹣2）.
【解析】
【分析】
（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得抛物线解析式．
（2）当x ＝0时可求C 点坐标，求出直线AB 解析式，当x ＝0可求D 点坐标． （3）由题意可知P 点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P 点横坐标．
【详解】
解：（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入
y ＝ax 2+bx ﹣3可得 304233a b a b --=⎧⎨+-=-⎩
解得12
a b =⎧⎨=-⎩ ∴y ＝x 2﹣2x ﹣3
（2）把x ＝0代入y ＝x 2﹣2x ﹣3中可得y ＝﹣3∴C （0，﹣3）
设y ＝kx+b ，把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入
023k b k b -+=⎧⎨+=-⎩
解得11
k b =-⎧⎨=-⎩ ∴y ＝﹣x ﹣1
∴D （0，﹣1）
（3）由C （0，﹣3），D （0，﹣1）可知CD 的垂直平分线经过（0，﹣2）
∴P 点纵坐标为﹣2，
∴x 2﹣2x ﹣3＝﹣2
解得：x ＝∵x ＞0∴x ＝．
∴P （
，﹣2）
【点睛】
本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x ＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y 轴交点坐标，知道点P 纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标．
3．如图，已知A （﹣2，0），B （4，0），抛物线y=ax 2+bx ﹣1过A 、B 两点，并与过A 点的直线y=﹣12
x ﹣1交于点C ． （1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使四边形ACPO 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N ．问：是否存在这样的点N ，使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为：y=
211184x x --，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P 点坐标为（1，﹣
12
）；（3）N 点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1） 【解析】 分析：（1）由待定系数法求解即可；
（2）将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可；
（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N 坐标，表示点M 坐标代入抛物线解析式即可．
详解：（1）把A （-2，0），B （4，0）代入抛物线y=ax 2+bx-1，得
042101641a b a b --⎧⎨+-⎩
＝＝ 解得1814a b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩
＝＝ ∴抛物线解析式为：y=18x 2−14
x−1 ∴抛物线对称轴为直线x=-1
41228
b a -
=-⨯＝1 （2）存在 使四边形ACPO 的周长最小，只需PC+PO 最小
∴取点C （0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O 与直线x=1的交点即为P 点．
设过点C′、O 直线解析式为：y=kx
∴k=-
12
∴y=-12x
则P点坐标为（1，-1
2
）
（3）当△AOC∽△MNC时，
如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E
∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°
∴∠CDN=∠CAO
由相似，∠CAO=∠CMN
∴∠CDN=∠CMN
∵MN⊥AC
∴M、D关于AN对称，则N为DM中点
设点N坐标为（a，-1
2
a-1）
由△EDN∽△OAC ∴ED=2a
∴点D坐标为（0，-5
2
a−1）
∵N为DM中点
∴点M坐标为（2a，3
2
a−1）
把M代入y=1
8
x2−
1
4
x−1，解得
a=4
则N点坐标为（4，-3）
当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM
∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N
由（2）N（2，-1）
∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）
点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．
4．函数()2110,>02
y x mx x m =-++≥的图象记为1C ，函数()2110,>02
y x mx x m =---<的图象记为2C ，其中m 为常数，1C 与2C 合起来的图象记为C .
（Ⅰ）若1C 过点()1,1时，求m 的值；
（Ⅱ）若2C 的顶点在直线1y =上，求m 的值；
（Ⅲ）设C 在42x -≤≤上最高点的纵坐标为0y ，当
0392y ≤≤时，求m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12m =
；（Ⅱ）2m =；（Ⅲ）912m ≤≤. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）将点C 的坐标代入1C 的解析式即可求出m 的值；
（Ⅱ）先求出抛物线2C 的顶点坐标，再根据顶点在直线y 1=上得出关于m 的方程，解之即可
（Ⅲ）先求出抛物线1C 的顶点坐标，结合（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标，和x 的取值范围，分三种情形讨论求解即可；
【详解】
解：（Ⅰ）将点()1,1代入1C 的解析式，解得1m .2
= （Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标为2m m,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭
， 令2
m 112
-=，得m 2,=± ∵m>0，∴m 2.=
（Ⅲ）∵抛物线1C 的顶点2m P m,12⎛⎫+ ⎪⎝⎭，抛物线2C 的顶点2m Q m,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭
， 当0m 2<≤时，最高点是抛物线G 1的顶点 ∴203m y 1922
≤=+≤，解得1m 2.≤≤ 当2m 4<≤时，G 1中（2，2m-1）是最高点，0y =2m-1 ∴32
≤2m-19≤，解得2m 4.<≤ 当m>4时，G 2中（-4，4m-9）是最高点，0y =4m-9．
∴32≤4m-99≤，解得94m 2
<≤. 综上所述，91m 2≤≤
即为所求. 【点睛】
本题考查二次函数综合题，待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
5．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线2234323y x x =--+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．
（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；
（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；
（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；
（3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】
【分析】
（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨
论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可
【详解】
（1）∵2234323y x x =--+，a=233-，则抛物线的“
衍生直线”的解析式为2323y=x+-； 联立两解析式求交点22343232323
y=x+y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩
，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩或x=1y=0⎧⎨⎩， ∴A （-2，23），B （1,0）；
（2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，
在223432333
y x x =--+中，令y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2，23），
∴AC=22-++2133=（23）（）
由翻折的性质可知AN=AC=13，
∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，
∴N 在y 轴上，且AD=2，
在Rt △AND 中，由勾股定理可得
DN=22AN -AD =13-4=3，
∵OD=23，
∴ON=23-3或ON=23+3，
∴N 点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；
（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ，
∴∠ ACK=∠ EFH ，
在△ ACK 和△ EFH 中
ACK=EFH AKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△ ACK ≌△ EFH ，
∴FH=CK=1，
HE=AK=
∵抛物线的对称轴为x=-1，
∴ F 点的横坐标为0或-2，
∵点F 在直线AB 上，
∴当F 点的横坐标为0时，则F （0
），此时点E 在直线AB 下方， ∴E 到y 轴的距离为
EH-OF=
，即E 的纵坐标为
∴ E （-1，
）； 当F 点的横坐标为-2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去；
②当AC 为平行四边形的对角线时，
∵ C （-3,0），且A （-2
，
∴线段AC 的中点坐标为（-2.5，
），
设E （-1，t ），F （x ，y ），
则x-1=2×（-2.5），
y+t=
∴x= -4，
y=，
×（-4）
，解得
t=， ∴E （-1
，-3
），F （-4
，3）； 综上可知存在满足条件的点F ，此时E （-1，
）或E （-1
，），F （-4
）
【点睛】
本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题
6．某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系如图所示．
（1）根据图象直接写出y 与x 之间的函数关系式．
（2）设这种商品月利润为W （元），求W 与x 之间的函数关系式．
（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？
【答案】（1）y ＝180(4060)3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩
；（2）W ＝222105400(4060)33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩
;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．
【解析】
【分析】
（1）当40≤x≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，当60＜x≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y=mx+n ，解方程组即可得到结论；
（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；
（3）当40≤x≤60时，W=-x 2+210x-5400，得到当x=60时，W 最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x 2+390x-9000，得到当x=65时，W 最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论．
【详解】
解：（1）当40≤x ≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx +b ，
将（40，140），（60，120）代入得40140
60120k b k b +=⎧⎨+=⎩，
解得：1
180k b =-⎧⎨=⎩
，
∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣x +180；
当60＜x ≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝mx +n ， 将（90，30），（60，120）代入得9030
60120
m n m n +=⎧⎨
+=⎩，
解得：3
300
m n =-⎧⎨
=⎩，
∴y ＝﹣3x +300；
综上所述，y ＝180(4060)
3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩
；
（2）当40≤x ≤60时，W ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣x +180）＝﹣x 2+210x ﹣5400， 当60＜x ≤90时，W ＝（x ﹣30）（﹣3x +300）＝﹣3x 2+390x ﹣9000，
综上所述，W ＝22
2105400(4060)
33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩
； （3）当40≤x ≤60时，W ＝﹣x 2+210x ﹣5400，
∵﹣1＜0，对称轴x ＝210
2
--＝105，
∴当40≤x ≤60时，W 随x 的增大而增大，
∴当x ＝60时，W 最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600， 当60＜x ≤90时，W ＝﹣3x 2+390x ﹣9000，
∵﹣3＜0，对称轴x ＝390
6
--＝65，
∵60＜x ≤90，
∴当x ＝65时，W 最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675， ∵3675＞3600，
∴当x ＝65时，W 最大＝3675，
答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675． 【点睛】
本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．
7．课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
【答案】（1）240
7
mm，
480
7
mm；（2）PN=60mm，40
PQ mm．
【解析】
【分析】
(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm），根据平行得出△APN和△ABC 相似，根据线段的比值得出y的值，然后得出边长；(2)、根据第一题同样的方法得出y与x的函数关系式，然后求出S与x的函数关系式，根据二次函数的性质得出最大值.
【详解】
(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm）
∵PN∥BC,
∴=，△APN∽△ABC
∴=
∴=
∴=解得 y=
∴2y=
∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm
(2)、设PQ=x（mm），PN=y（mm），矩形面积为S ，则AE=80-x（mm）．.
由（1）知=
∴=
∴ y=
则S=xy===
∵
∴ S有最大值
∴当x=40时，S最大=2400（mm2）此时，y==60 ．
∴面积达到这个最大值时矩形零件的两边PQ、PN长分别是40 mm ，60 mm．
考点：三角形相似的应用
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．
【答案】（1）y=3
8
x2﹣
3
4
x﹣3
（2）运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是
9 10
（3）K1（1，﹣27
8
），K2（3，﹣
15
8
）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣910
（t ﹣1）2+
9
10
．利用二次函数的图象性质进行解答； （
3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=3
4
x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征
可设点K 的坐标为（m ，3
8m 2﹣34
m ﹣3）．
如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =
9
4．则根据图形得到：S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12
•EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣
34m 2+3m=9
4．易求得K 1（1，﹣278
），K 2（3，﹣158）．
解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得
4230
16430a b a b --=⎧⎨
+-=⎩
， 解得3834a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
所以该抛物线的解析式为：y=3
8x 2﹣34
x ﹣3；
（2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ． ∴PB=6﹣3t ．
由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）． 在Rt △BOC 中，BC=2234+=5． 如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．
∴QH ∥CO ， ∴△BHQ ∽△BOC ， ∴
HB OC BG
BC
=，即
Hb 35
t
=，
∴HQ=3
5
t．
∴S△PBQ=1 2
PB•HQ=
1
2
（6﹣3t）•
3
5
t=﹣
9
10
t2+
9
5
t=﹣
9
10
（t﹣1）2+
9
10
．
当△PBQ存在时，0＜t＜2
∴当t=1时，
S△PBQ最大=
9
10
．
答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是
9
10
；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．
把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得
40
3
k c
c
+=
⎧
⎨
=-
⎩
，
解得
3
k
4
c3
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
∴直线BC的解析式为y=
3
4
x﹣3．
∵点K在抛物线上．
∴设点K的坐标为（m，3
8
m2﹣
3
4
m﹣3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．则点E的坐标为（m，
3
4
m﹣3）．∴EK=
3
4
m﹣3﹣（
3
8
m2﹣
3
4
m﹣3）=﹣
3
8
m2+
3
2
m．
当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=
9
10
．
∴S△CBK=9
4
．
S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+1
2
•EK•（4﹣m ） =
1
2
×4•EK =2（﹣3
8m 2+32
m ）
=﹣34m 2
+3m ． 即：﹣34
m 2+3m=94．
解得 m 1=1，m 2=3．
∴K 1（1，﹣
278
），K 2（3，﹣158）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．
9．在平面直角坐标系xOy 中(如图)，已知抛物线y ＝x 2－2x ，其顶点为A ． (1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况； (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” ①试求抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”的坐标；
②平移抛物线y ＝x 2－2x ，使所得新抛物线的顶点B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线的表达式.
【答案】(l)抛物线y ＝x 2－2x 的开口向上，顶点A 的坐标是(1，－1)，抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的；(2)①(0，0)、(3，3)； ②新抛物线的表达式是y ＝(x ＋1)2－1. 【解析】 【分析】 （1）
10a =>，故该抛物线开口向上，顶点A 的坐标为()1,1-；
（2）①设抛物线“不动点”坐标为(),t t ，则22t t t =-，即可求解；②新抛物线顶点B 为“不动点”，则设点(),B m m ，则新抛物线的对称轴为：x m =，与x 轴的交点(),0C m ，四边形OABC 是梯形，则直线x m =在y 轴左侧，而点()1,1A -，点(),B m m ，则
1m =-，即可求解. 【详解】
(l)10a =>，
抛物线y ＝x 2－2x 的开口向上，顶点A 的坐标是(1，－1)，
抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的. (2)①设抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”坐标为(t ，t). 则t ＝t 2－2t ，解得t 1＝0，t 2＝3.
所以，抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”的坐标是(0，0)、(3，3). ②∵新抛物线的顶点B 是其“不动点”，∴设点B 的坐标为(m ，m) ∴新抛物线的对称轴为直线x ＝m ，与x 轴的交点为C(m ，0) ∵四边形OABC 是梯形， ∴直线x ＝m 在y 轴左侧. ∵BC 与OA 不平行 ∴OC ∥AB.
又∵点A 的坐标为(1，一1)，点B 的坐标为(m ，m)，
∴m ＝－1.
∴新抛物线是由抛物线y ＝x 2－2x 向左平移2个单位得到的， ∴新抛物线的表达式是y ＝(x ＋1)2－1. 【点睛】
本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解即可.
10．如图，已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点,-3) 和,0)，过点A 作直线AC//x 轴，交y 轴与点C ． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取一点P ，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为D ，连接OA ，使得以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似，求出对应点P 的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q ，使得1
3
AOC AOQ S S ∆∆=?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）213322
y x x =
-；（2）P 点坐标为（3）或（
833,- 4
3）；（3）Q 点坐标（30）或（315） 【解析】 【分析】
（1）把A 与B 坐标代入抛物线解析式求出a 与b 的值，即可确定出解析式；
（2）设P 坐标为2133
,2x x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭
，表示出AD 与PD ，由相似分两种情况得比例求出x 的值，即可确定出P 坐标；
（3）存在，求出已知三角形AOC 边OA 上的高h ，过O 作OM ⊥OA ，截取OM=h,与y 轴交于点N ，分别确定出M 与N 坐标，利用待定系数法求出直线MN 解析式，与抛物线解析式联立求出Q 坐标即可． 【详解】
（1）把3A 3)-和点(33B 0)代入抛物线得：333
27330
a b a b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩，
解得：12a =
，33
2
b =-， 则抛物线解析式为2133
22
y x x =
-； （2）当P 在直线AD 上方时，
设P 坐标为2133
,22
x x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，则有3AD x =2133322PD x x =-+， 当OCA ADP ∆∆∽时，OC CA AD DP =2331333
x x x =
--+， 整理得：239318236x x x -+=-，即23113240x x -+=， 解得：11353x ±=
，即83
x =或3x =
此时
83
(
3
P ，4)3-；
当OCA PDA ∆∆∽时，OC CA PD AD =
，即23
13333
x x x =
--+， 整理得：23963663x x x -+=-，即253120x x -+=， 解得：5333
x ±=
，即43x =或3（舍去）， 此时(43P ，6)；
当点()0,0P 时，也满足OCA PDA ∆∆∽； 当P 在直线AD 下方时，同理可得：P 的坐标为43
(3
，10)3-，
综上，P 的坐标为83(
，4)3-或(43，6)或43
(，10)3-或()0,0；
（3）在Rt AOC ∆中，3OC =，3AC =，
根据勾股定理得：23OA =，
11
··22
OC AC OA h =， 3
2
h ∴=
， 133
3AOC AOQ S S ∆∆==
， AOQ ∴∆边OA 上的高为
9
2
， 过O 作OM OA ⊥，截取9
2
OM =
，过M 作//MN OA ，交y 轴于点N ，如图所示：
在Rt OMN ∆中，29ON OM ==，即()0,9N ， 过M 作MH x ⊥轴，
在Rt OMH ∆中，1924MH OM ==
，24
OH OM ==
，即(4M ，9)4， 设直线MN 解析式为9y kx =+，
把M
坐标代入得：
994=+
，即k =
9y =+，
联立得：29
12y y x x ⎧=+⎪
⎨=-
⎪⎩
，
解得：0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
15
x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
Q 0)
或(-，15)，
则抛物线上存在点Q ，使得1
3
AOC AOQ S S ∆∆=
，此时点Q
的坐标为0)
或(-15)．
【点睛】
二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．。