最新高考单招数学复习专题4——复数与平面向量(概念)1.27

江苏高考单招数学复习专题4——复数与平面向量 姓名__________
一、考点及要求： 1.复数的概念 B ； 2.复数的四则运算 B ； 3.复数的几何意义 A
二、基础知识与方法：
（一）复数有关概念：
1．定义：形如(),a bi a b R +∈的数叫做复数，记作z a bi =+，其中i 是虚数单位，2
1i =-； a 与b 分别叫做复数z a bi =+的________和_______．
2．分类：复数(),z a bi a b R =+∈可分为实数、虚数和纯虚数；
它们各自满足的条件分别是________、_________和 _______________.
3.两个复数a bi +与c di +相等的充要条件是__________________.
4．复数z a bi =+的模记作z ，即z a bi =+=__________.
5．复数z a bi =+的共轭复数记作z ，即z a bi =+=________.
6.几何意义：复数z a bi =+←−
→复平面上的点(),Z a b ←−→平面向量OZ uuu v ； 121221z z OZ OZ Z Z -=-=u u u u r u u u v u u u u v .
（二）复数的四则运算：
设复数()()122,0z a bi z c di z a b c d R =+=+≠∈、、、，则
()()a bi c di +±+=____________________；
()()a bi c di ++=_______________________； a bi c di
+=+_______________________．
（三）复数常用的结论
① ()4414243*1,,1,,k k k k i i i i i i k N +++===-=-∈，123n n n n i i
i i ++++++=_______()*n N ∈． ② ()21i +=______，()21i -=_______.
三、例试题讲练
1.（江苏15）已知i 为虚数单位，i i bi a )2(-=+，R b a ∈,，则ab 的值为（ ）
A.1-；
B.2；
C.1-；
D.1
2.（江苏16）已知复数z 满足1)2(=+i z （i 是虚数单位），则z 的虚部是（ ）
A.1；
B.1-；
C.2-；
D.i --2.
3.（江苏13）i 是虚数单位，=+i i )2(（ ）
A.i 21--
B. i 21-
C. i 21+-
D. i 21+
4.（江苏18）i 是虚数单位，若()17,2i a bi a b R i
+=+∈-,则乘积ab 的值是（ ） A.15- B.3- C.3 D.15
5.（江苏17）已知i a i i +=-）（21（i 为虚数单位）
，则实数a 的值为 .
6.设a 为实数,若复数()()ai i ++121 是纯虚数,则=a .
7.设i 是虚数单位,复数ai
i -+21为实数,则=a .
8.（江苏14）已知i 是虚数单位，复数()
21z i =-，则z =_______.
9.在复平面内,复数z 满足()i i
z +=-42(i 为虚数单位),则复数z 的模为 .
10.已知复数(1i)(12i),z =++其中i 是虚数单位，则z 的模是 .
11.复数()i i z -=1(i 为虚数单位)的共轭复数为 .
12.已知复数i
i z 23-=(i 是虚数单位),那么复数z 所对应的点位于复平面的第 象限.
13.计算：
（1）23201i i i i +++++=L
（2）2310i i i i ⋅⋅⋅⋅=L
（3）()()=++-4411i i
江苏高考单招数学复习专题4——平面向量1（概念与线性运算） 姓名__________
一、考点及要求: 1.平面向量的概念 B 2.平面向量的加法、减法及数乘运算 B
二、基础知识与方法 （一）向量的有关概念
1．向量：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 (或模)．
向量的表法：①字母表法：；②几何表法：；③坐标表法：(),x y R ∈
2．零向量： 的向量叫做零向量，记为，其方向是_______的．
3．单位向量：长度等于 的向量叫做单位向量，与同向的单位向量为________.
a r AB u u u r (),OA xi y j x y =+=u u u r r r 0r
a r
4．相等向量：长度且方向的向量；相反向量：长度且方向的向量．
5.平行向量：若向量,a b
r r
的方向，则向量,a b
r r
叫做平行向量（或共线向量），记作a b
r r
∥；
规定：与任一向量．
（二）向量的线性运算：1．加减法——三角形法则或平行四边形法则；
（1）定义：在平面内，作则叫做与的和，记作；此法称为三角形法则. （2）运算性质：向量加法满足交换律、结合律：
2.实数与向量的积
（1）定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作a
λ
r
；它的长度规定为：①|a
λ
r
|＝；
它的方向规定为：②当0
λ>（0
λ<），a
λ
r
与的方向（）；当λ＝0，a
λ
r
＝______. （2）运算律：设,R
λμ∈,则：()a
λμ=
r
；()a
λμ
+=
r
；()
a b
λ+=
r r
. 注：若0
λ≠，则a
λ
r
与的方向相同或相反，即a
λ
r
与是共线向量.故有a b⇔
r r
∥()0
b a a
λ
=≠
r r r r
3.平面向量基本定理：若
12
,e e是同一平面内的两个不共线的向量，则对于这一平面内任一向量a
r
，有且只
有一对实数
12
,
λλ，使
1122
a e e
λλ
=+
r
. 其中不共线向量
12
,e e叫做这一平面内的一组基底；
若向量
12
,e e所在直线互相垂直，则向量
12
,e e叫做平面向量的正交基底.通常用与x轴和y轴同方向的两个单位向量,i j
r r
（正交基底）表示平面上的任意向量.
三、例试题讲练
r
,,
OA a AB b
==
u u u r r u u u r r
OB
uuu r
a
r
b
r
a b
+
r r
a
r
a
r
a
r
a
r
1.若非零向量b a ,是互为相反向量，则下列说法中错误的是（ ） A.a ∥b ； B.b a ≠； C.b a ≠； D.a b -=.
2.化简下列各式：（1）OA OB OC CO -+--u u u r u u u r u u u r u u u r
（2）()()
AB CD BC AD ++-u u u r u u u r u u u r u u u r （3）若,,a b c 分别表示向量，则()()22633342a b c a b c +---+-=
3.已知向量b a ,满足()()()04223=+---++b a x a x a x ，求向量x .
4.（江苏17）已知向量122AB e e =-u u u r ，123BC e e =+u u u r ，则用向量1e ，2e 表示向量AC uuu r 为 ( )
A.2123e e +
B.214e e -
C.214e e +-
D.2123e e --
5.（江苏12）已知12,e e u r u r 是两个不共线的向量，设向量1212,2,a ke e b e e =+=-r u r u r r u r u r 其中k 是实数，
则//a b r r 的充要条件是（ ）
A. 2k =-
B. 12k =-
C. 12
k = D. 2k = 6.在ABC ∆中，若AB AC AB AC ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ,则BAC ∠=______.
7.已知向量21,e e 不共线，若向量21e ke +与12e ke +共线，求实数k 的值.
8. 设O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，M 分别是BC 的中点，
N 是DC 的三等分点，用,a AB b AD ==r u u u r r u u u r 作为基底表示：
（1）BD =u u u r （2）AO =u u u r
（3）AM =u u u u r （4）AN =u u u r
9.已知,OA OB u u u r u u u r 不共线，设(),OP mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，若1m n +=，证明,,A B P 三点共线.
10.在ABC ∆中，::1:2CD DA AE EB ==,设,a BC b CA ==r u u u r r u u r
若DE ma nb =+u u u r r r ，则m n +=______.
江苏高考单招数学复习专题4——平面向量2（数量积、坐标表示及运算）姓名__________
一、考点及要求：3.平面向量的坐标表示 B 4.平面向量的数量积 C
二、基础知识与方法 （一）向量的数量积
1.向量的夹角：设非零向量,OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，则()
0180AOB θθ∠=≤≤o o 叫做向量与的夹角.
2.向量数量积的定义：设非零向量和，其夹角为，则 称为和的数量积，记为；即 . 规定：零向量与任一向量的数量积为0.
3.定义的推论： （1）在定义中，是在上的投影，即OD =.
（2）若向量b a =r r ，则()22cos0a a a a a a ==⨯=r r r r r r g 记作，即；
（3）向量和的夹角公式：； a r b r
a r
b r θcos a b θr r a r b r a b r r g cos a b a b θ=r r r r g
cos b θr b r a r cos b θr 22a a =r r 2a a =r r a r b r cos a b a b
θ=r r g r r
（4）向量和，. （二）向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，设,i j r r 分别是与x 轴和y 轴同方向的两个单位向量，则向
量a xi y j =+r r r ，其中(),x y 叫做向量a r 的坐标，记作(),a x y =r .即设点(),A x y ，则a OA =r u u u r .
（三）向量的坐标运算及位置关系：设 ，
则 ， ， ， . 12211122,
0a b x y x y a b x y x y ⇔=⊥⇔+=r r r r ∥
三、例试题讲练 1.若()()3,2,5,6A B --，则线段AB 的中点坐标为___________；
2.与向量()4,3=平行的单位向量为（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛54,53； B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--54,53； C.⎪⎭⎫ ⎝⎛54,53或⎪⎭⎫ ⎝⎛--54,53； D.⎪⎭
⎫ ⎝⎛±±54,53． 3.设()()()4,1,,,3,2-===n m ，则=DA （ ）
A.()n m ++7,1；
B.()n m ----7,1；
C.()n m --7,1；
D.()n m +-+-7,1． 4.已知()()2,3,2,1B A ,向量()43,3--+=y x x a 与相等，则=x ______；=y _______．
5.已知()()2,1,5,7A B ，若3AB AC =u u u r u u u r ,则点C 的坐标为__________．
6.设向量()()2,,3,1a k b k =-=-r r ，若a b r r ∥，则实数k =______；若a b ⊥r r ，则实数k =______．
a r
b r 0a b a b ⊥⇔=r r r r g
1122(,),(,),a x y b x y R λ==∈r r 1212(,)a b x x y y +=++r r 1212(,)a b x x y y -=--r r 11(,)a x y λλλ=r 1212a b x x y y =+r r g
7.若()()()1,2,3,4,2,5A B C x x +三点在同一条直线上，求实数x 的值.
8.已知()()()2,2,2,1,1,6A B C --，则AB AC ⋅=u u u r u u u r _________；cos ABC ∠=_________.
9.设()()1,1,3,2a b =-=r r ，则()
a b a ⋅-=r r r ______；若a kb -r r 与2a b +r r 共线，则实数k =______．
10.若()()2,1,3,1a b =-=r r ，求：
（1）向量a r 的单位向量；
（2）向量,a b r r 夹角的大小；
（3）()()
32a b a b --r r r r g
11.已知4,3,,a b a b ==r r 的夹角θ为120o ，求：
（1）a b ⋅r r ；
（2）()()22a b a b +⋅-r r r r ； （3）a b -r r .。