高中数学人教版选修2-2全套教案

f f ( x2 ) f (x1) f ( x1 x) f ( x1 )
x
x2 x1
x
思考：观察函数 f(x)的图象
平均变化率 f f ( x2 ) f ( x1 ) 表示什么 ?
y
x
x2 x1
f(x2 )
y=f (x)
△ y =f(x2)- f(x1)
直线 AB 的斜率
f(x1 ) O
△ x= x2 -x1
f ( x2 ) f ( x1 ) 表示 , 称为函数 f(x)从 x1 到 x2的平均变化率 x2 x1
2．若设 x x2 x1, f x2,同样 f y f ( x2 )
y
3． 则平均变化率为
x
f ( x2 ) f ( x1 ) (这里 x 看作是对于 x1 的一个 “增量 ”可用 x1+ x 代替 f ( x1 ) )
x1
x2
x
三．典例分析 例 1．已知函数
f(x)= x 2 x 的图象上的一点
A( 1, 2) 及临近一点 B( 1
x, 2
y) ,则
y
．
x 解： 2 y ( 1 x) 2 ( 1 x) ，
y
∴
x
( 1 x) 2 ( 1 x) 2 3x
x
例 2． 求 y x2 在 x x0 附近的平均变化率。
解： y ( x0 x) 2 x0 2 ，所以
f ( x0 )
lim f (x0
x0
x) f ( x0 ) x
说明：（ 1）导数即为函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率
（ 2） x x x0 ，当 x
0 时， x
x0 ，所以 f ( x0 )
f (x) lim
f ( x0)
x0
x x0
三．典例分析 例 1．（ 1）求函数 y=3x2 在 x=1 处的导数 . 分析： 先求 Δ f=Δ y=f( １＋ Δ x)- f( １ )=6 Δ x+( Δ x) 2
二．新课讲授
1．瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速
度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如， t 2 时的瞬时速度是多少？考察 t 2 附近的情况：
思考：当 t 趋近于 0 时，平均速度 v 有什么样的变化趋势？
结论：当 t 趋近于 0 时，即无论 t 从小于 2 的一边，还是从大于 2 的一边趋近于 2 时，平均速
导函数的概念涉及： f ( x) 的对于区间（ a , b ）上任意点处都可导，则 f ( x) 在各点的导数也随 x
的变化而变化，因而也是自变量 x 的函数，该函数被称为 f (x) 的导函数，记作 f ' ( x ) 。
五、小结与作业
教学目标：
§1.1.2 导数的概念
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； 2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
探究过程： 如图是函数
h(t)=
- 4.9t2+6.5t+10
的图像，结合图形可知，
65 h( )
h(0) ，
49
所以 v
65 h( ) h(0)
49 65 0 49
0( s/ m) ，
o
t
65
虽然运动员在 0 t
这段时间里的平均速度为 0(s / m) ，但实际情况是运动员仍然运动，并非
49
静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
在 1 t 2 这段时间里， v h(2) h(1) 21
8.2(m / s)
65
探究：计算运动员在 0 t
这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
49
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数
h(t)= - 4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知，
2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化 问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力
3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。 教学重点： 1、导数的求解方法和过程； 2、导数符号的灵活运用
教学难点：
1、导数概念的理解； 2、导函数的理解、认识和运用
教学过程：
一、情境引入
在前面我们解决的问题：
1、求函数 f ( x) x 2 在点（ 2，4）处的切线斜率。
y
f (2
x) f (x) 4
x
x
x ，故斜率为 4
2、直线运动的汽车速度 V 与时间 t 的关系是 V t 2 1 ，求 t to 时的瞬时速度。
V v(to t
t ) v(t o ) 2to t
问题 2 高台跳水
在高台跳水运动中 ,运动员相对于水面的高度 h(单位： m)与起跳后的时间 t（单位： s）存在函
数关系 h(t)= - 4.9t2+6.5t+10 . 如何用运动员在某些时间段内的平均速 v 度粗略地描述其运动状态 ? 思考计算： 0 t 0.5和 1 t 2 的平均速度 v
在 0 t 0.5 这段时间里， v h(0.5) h(0) 4.05(m / s) ； 0.5 0
的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
二．新课讲授
（一）问题提出
问题 1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程
,可以发现 ,随着气球内空气容量的增加
加越来越慢 .从数学角度 ,如何描述这种现象呢 ?
,气球的半径增
气球的体积 V(单位 :L )与半径 r (单位 :dm)之间的函数关系是 V (r ) 4 r 3
第一章 导数及其应用
§1.1.1 变化率问题
教学目标：
1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
教学难点：平均变化率的概念．
教学过程：
一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生
3
h
如果将半径 r 表示为体积 V 的函数 ,那么 r (V ) 3 3V 4
分析 : r (V ) 3 3V ， 4
⑴ 当 V 从 0 增加到 1 时 ,气球半径增加了 r (1) r ( 0) 0.62( dm) 气球的平均膨胀
o
t
率为 r (1) r ( 0) 0.62(dm / L ) 10
（ 1）
2x
f (1 2x) f (1)
（ 2）
x
变式 :设 f(x) 在 x=x 0 处可导，（ 3） f ( x0 4 x) f ( x0 ) 无限趋近于 1，则 f (x0 ) =___________ x
（ 4） f ( x0 4 x) f (x0 ) 无限趋近于 1，则 f (x0) =________________ x
小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过
渡到瞬时速度的精确值。
2 导数的概念
从函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 :
lim f (x0
x0
x) f ( x0 ) lim f
x
x0 x
我们称它为函数 y f ( x) 在 x x0 出的导数，记作 f '(x0) 或 y' |x x0 ，即
⑵ 当 V 从 1 增加到 2 时 ,气球半径增加了 r (2) r (1) 0.16(dm)
气球的平均膨胀率为 r (2) r (1) 0.16(dm / L ) 21
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从 V1 增加到 V2 时 ,气球的平均膨胀率是多少 ? r (V 2 ) r (V1) V2 V1
y ( x0
x) 2
2
x0
2
x0 2x0 x
x2
2
x0
2 x0
x
x
x
x
所以 y x2 在 x x0 附近的平均变化率为 2x0 x
四．课堂练习
1．质点运动规律为 s t 2 3 ，则在时间 (3 , 3 t) 中相应的平均速度为
．
2.物体按照 s(t)=3t2+t+4 的规律作直线运动 ,求在 4s 附近的平均变化率 . 25 3 t
（ 5）当△ x 无限趋近于 0， f ( x0
2 x)
f (x0
2 x)
所对应的常数与
f ( x0 ) 的关系。
x
总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。
例 3、若 f ( x) ( x 1) 2 ，求 f ' ( 2 ) 和 ( f (2)) '
注意分析两者之间的区别。
例 4：已知函数 f (x) x ，求 f (x) 在 x 2 处的切线。
时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第 2h 时和第 6h 时，原油温度的瞬时变化率就是
f ' (2) 和 f ' (6)
根据导数定义，
f f (2 x
x) f ( x0 ) (2 x
3．会求函数在某点的导数 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；
教学难点：导数的概念．
教学过程：
一．创设情景
（一）平均变化率
（二） 探究：计算运动员在 0
t
65
这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
h
49
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
（ 1） f ( x) x2 1， x 2
f ( x) 在 x x0 处的导数就是 f (x) 在 x x0 处的切线斜率。
（ 2） f ( x) 2x 1， x 2
（3） f ( x) 3， x 2
例 2、函数 f ( x) 满足 f ' (1) 2 ，则当 x 无限趋近于 0 时，
f (1 x) f (1)
65 h( )
h(0) ，
49
所以 v
h( 65) h(0) 49 65 0 49
0( s/ m) ，
虽然运动员在 0
t
65
这段时间里的平均速度为
0(s / m) ，但实际情况是运动员仍然运动，并非
49
静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
（二）平均变化率概念 :
1．上述问题中的变化率可用式子
A，则称 f (x) 在 x xo 处可导， 并称 A 为
f (x) 在 x xo 处的导数，记作 f ' ( x o ) 或 f ' ( x ) | x xo ，上述两个问题中： （ 1） f ' ( 2 ) 4 ，
（2） V '( t o ) 2t o
三、几何意义：我们上述过程可以看出
四、例题选讲 例 1、求下列函数在相应位置的导数
了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数 ,求物体在任意时刻的速度与加速度等 ;
二、求曲线的切线 ;
三、求已知函数的最大值与最小值 ; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效
度 v 都趋近于一个确定的值 13.1．
从物理的角度看，时间
t 间隔无限变小时，平均速度 v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，
运动员在 t 2 时的瞬时速度是 13.1m / s
h(2 为了表述方便，我们用 lim
t0
t ) h(2) t
13.1
表示“当 t 2 ， t 趋近于 0 时，平均速度 v 趋近于定值 13.1”
3.过曲线 y=f(x)=x3上两点 P（1，1）和 Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当 Δx=0. 1 时割线的斜率 . 五．回顾总结： 1．平均变化率的概念； 2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业
教学目标：
导数与导函数的概念
1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义； 理解导函数的概念和意义；
x)2 ( 1
x) 2 3
Байду номын сангаас
x
x
y f ( 1) lim
x0 x
( 1 x)2 ( 1 x) 2
lim (3 x) 3
x
x0
例 2．（课本例 1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，
如果第 xh 时，原油的温度（单位： C ）为 f (x) x 2 7x 15(0 x 8) ，计算第 2h 时和第 6h
t ，故斜率为 4
二、知识点讲解
上述两个函数
f ( x) 和 V (t ) 中，当
x ( t )无限趋近于
0 时，
V
(
V
)都无限趋近于一个常
tx
数。
归纳：一般的，定义在区间（ a ， b ）上的函数 f ( x) ， xo (a， b) ，当 x 无限趋近于 0 时，
y f ( xo x
x) f ( xo ) 无限趋近于一个固定的常数 x
解： 法一（略）
再求 f 6 x
x 再求 lim f 6 x0 x
法二： y |x 1
（ 2）求函数 f(x)=
lim 3x2 3 12 lim 3( x2 12 ) lim3( x 1) 6
x1 x 1
x1 x 1
x1
x 2 x 在 x 1 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解： y x
(1