2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(07 数系的扩充与复数的引入)

2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全
（07数系的扩充与复数的引入）
一、选择题：
1.（2015安徽文）设i 是虚数单位，则复数()()112i i -+=（ ）
（A ）3+3i （B ）-1+3i （C ）3+i （D ）-1+i
2.（2015安徽理）设i 是虚数单位，则复数
21i
i
-在复平面内所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】B
【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实
数化（分
母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为
(,)Z a b . 3．（2015北京理）复数()i 2i -=（ ）
A ．12i +
B ．12i -
C ．12i -+
D ．12i --
【答案】A
【解析】试题分析：(2)12i i i -=+
考点：复数运算
4．（2015福建文）若(1)(23)i i a bi ++-=+（,,a b R i ∈是虚数单位），则,a b 的值分别等于（ ） A ．3,2- B ．3,2 C ．3,3- D ．1,4- 【答案】A
【解析】试题分析：由已知得32i a bi -=+，所以3,2a b ==-，选A ． 考点：复数的概念．
5．（2015福建理）若集合{
}234
,,,A i i i i
= （i 是虚数单位）
，{}1,1B =- ，则A B I 等于 ( )
A ．{}1-
B ．{}1
C ．{}1,1-
D ．φ
【答案】C 【解析】
试题分析：由已知得{},1,,1A i i =--，故A B =I {}1,1-，故选C ． 考点：1、复数的概念；2、集合的运算．
6. （2015广东文） 已知i 是虚数单位，则复数()2
1i +=（ ） A ．2- B ．2 C ．2i - D ．2i 【答案】D
考点：复数的乘法运算．
7．（2015广东理）若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ） A ．32i - B ．32i + C ．23i + D ．23i - 【答案】D ．
【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ．
【考点定位】本题考查复数的基本运算，属于容易题．
8. （2015湖北文、理）i 为虚数单位，607i =（ ）
A ．i -
B ．i
C ．1-
D ．1 【答案】A .
【考点定位】本题考查复数的概念及其运算，涉及分数指数幂的运算性质.
【名师点睛】将复数的幂次运算和分数指数幂运算结合在一起，不仅考查了复数的概念，也考查了分数指数幂的运算性质，充分体现了学科内知识之间的联系性，能够较好的反应学生基础知识的识记能力和计算能力.
10. (2015湖南文、理)已知
()2
11i i z
-=+（i 为虚数单位）
，则复数z =（ ） A. 1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --
【答案】D.
试题分析：.由题根据所给复数式子进行化简即可得到复数z 的代数式；
由题22(1)(1)22(1i)
1,1112
i i i i i z i z i i -----=+∴====--++ ，故选D. 【考点定位】复数的计算.
【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式
四则运
算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，
而复数
的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.
11、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ） （A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +
12.(2015全国新课标Ⅰ卷理)设复数z 满足
1+z
1z
-=i ，则|z|=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2
【答案】A
考点：1.复数的运算；2.复数的模.
13. (2015全国新课标Ⅱ卷文)若为a 实数,且2i
3i 1i
a +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．4
【答案】D
【解析】试题分析：由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D. 考点：复数运算.
14．(2015全国新课标Ⅱ卷理)若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】
试题分析：由已知得2
4(4)4a a i i +-=-，所以2
40,44a a =-=-，解得0a =，故选B ． 考点：复数的运算．
16.(2015山东文、理)若复数z 满足1z
i i
=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+
【答案】A
【考点定位】复数的概念与运算.
【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.
17. (2015陕西文、理)设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ）
A．
31
42π
+
B．
11
42π
- C．
11
2π
- D．
11
2π
+
【答案】B
【解析】
试题分析：2222
(1)||(1)1(1)1
z x yi z x y x y
=-+⇒=-+≤⇒-+≤
如图可求得(1,1)
A，(1,0)
B，阴影面积等于2
111
111
4242
π
π⨯-⨯⨯=-
若||1
z≤，则y x
≥的概率是
2
1
11
42
142
π
ππ
-
=-
⨯
，故选B．
考点：1、复数的模；2、几何概型．
19、(2015上海理)已知点A的坐标为()
43,1，将OA绕坐标原点O逆时针旋转
3
π
至OB，则点B 的纵坐标为（）
A．
33
2
B．
53
2
C．
11
2
D．
13
2
【答案】D
【解析】
133313
(cos sin)(43)()
332222
OB OA i i i i
ππ
=⋅+=+⋅+=+
u u u r u u u r
，即点B的纵坐标为
13
2
【考点定位】复数几何意义
20.(2015四川理)设i是虚数单位，则复数3
2
i
i
-( )
（A）-i （B）-3i （C）i. （D）3i
【答案】C
【考点定位】复数的基本运算.
【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.
二、填空题：
1、（2015北京文）复数()
1
i i+的实部为．
【答案】-1
【解析】试题分析：复数(1)11
i i i i
+=-=-+，其实部为-1.
考点：复数的乘法运算、实部.
2. (2015江苏)设复数z满足234
z i
=+（i是虚数单位），则z的模为_______.
【答案】5
【解析】试题分析：22
|||34|5||5||5
z i z z
=+=⇒=⇒=
考点：复数的模
3. (2015上海文、理)若复数z满足i
z
z+
=
+1
3，其中i是虚数单位，则=
z .
【答案】i
2
1
4
1
+
【解析】设)
,
(R
∈
+
=b
a
bi
a
z，则bi
a
z-
=，因为i
z
z+
=
+1
3，
所以i
bi
a
bi
a+
=
-
+
+1
)
(3，即i
bi
a+
=
+1
2
4，所以
⎩
⎨
⎧
=
=
1
2
1
4
b
a
，即
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
2
1
4
1
b
a
，
所以i
z
2
1
4
1
+
=.
【考点定位】复数的概念，复数的运算.
4、(2015四川文)设i是虚数单位，则复数
1
i
i
-＝_____________.
【答案】2i
【考点定位】本题考查复数的概念，复数代数形式的四则运算等基础知识.
【名师点睛】解决本题的关键取决于对复数运算的熟练程度，也就是＝－i的运算，容易误解
为＝i，从而导致答案错误.一般地，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，而＝i－1＝－i.属于容易题
5. (2015天津文) i是虚数单位,计算
12i
2i
-
+
的结果为．
【答案】-i
【解析】
试题分析：
()
2i i2
12i i2i
i
2i2i2i
-+
---
===-
+++
.
考点：复数运算.
6.(2015天津理)i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 . 【答案】2- 【解析】
试题分析：()()()12212i a i a a i -+=++-是纯度数，所以20a +=，即2a =-. 考点：1.复数相关定义；2.复数运算.
7．(2015重庆理)设复数a +bi （a ，b ∈R ）的模为3，则（a +bi ）（a -bi ）=________. 【答案】3
【考点定位】复数的运算.
8．(2015重庆文)复数(12i)i +的实部为________. 【答案】-2
考点：复数运算.
三、解答题：。