正态分布的可加性
正态分布的性质及其在实际中的应用
正态分布的性质及其在实际中的应用正态分布是数学中的一个重要概念，这种分布在生活中的应用非常广泛。
在现代统计学中，正态分布是基本分布之一，具有许多独特的性质。
在本文中，我们将探讨正态分布的性质及其在实际中的应用。
什么是正态分布？
正态分布是一种连续的概率分布，也被称为高斯分布或钟形曲线。
它具有以下特点：
1. 对称性: 正态分布是一个对称分布，以均值为中心对称。
2. 集中性: 大多数数据集中在均值附近。
3. 概率密度函数: 正态曲线的概率密度函数具有以下形式：
其中，μ是均值，σ是标准差，π是圆周率，e是自然对数的底数。
实际应用
正态分布的应用非常广泛，特别是在统计学中。
如下是几个例子:
1. 财务分析
正态分布可用于分析公司收益的变化情况。
在财务分析中，正态分布可作为比较不同公司的基准。
如果一个公司的收益呈正态分布，那么可以比较其收益的均值和标准差来判断其在业内的优劣。
2. 计算机科学
正态分布可用于计算机网络的性能分析。
在计算机科学中，正态分布可以用于模拟和预测网络中的数据传输和带宽利用率等方面的情况。
3. 生物学
在生物学中，正态分布可以用于分析群体的数量和分布。
例如，可以使用正态分布来分析某个药物的效果、细胞数量等。
结论
正态分布是统计学中一个基本且有用的概念。
它在实际中的应
用非常广泛，可以用于越来越多的领域，包括财务、计算机科学
和生物学等。
在熟悉它的模式和特点的基础上，我们可以更好地
分析它的数据，并从中获得更多、更精准的信息。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
0 x 1 法二 (公式法)：注意到被积函数的非零区域G为： 0 z x 1 能否用 f Z ( z ) f X ( x) fY ( z x )dx ?
若Xi ~ N( i，i 2), i=1,2,...n, 相互独立，则对任 何实数a1, a2, …, an, 有
aX1 b ~ N ( a1 b,, a2? 12 ), ?
ai i , ? i2 i2 ) a ai X i ~ N ( ?
i 1 i 1 i 1
(P( A B) B) P3 A / B) 0.3 0054 0.2 P AB) P( 0. ( 0.5 0.5 . . P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.3 0.5 0.2 0.6
P( A B ) P( A B) 1 P( A B) 0.4
于是Y的概率密度为 1 1 1/ 2 fY ( y ) f X ( y ) ( y ) f X ( y ) ( y ) 1/ 2 2 2 1 ( y ) 1/ 2 [ f X ( y ) f X ( y )] , y 0 2
f Y ( y) 0 , y 0
例1 设甲、乙、丙三 人的命中率分别为0.3， 0.2，0.1。现三人独立地 A 1 向目标各射击一次，结果 有两次命中目标，试求丙 没有命中目标的概率。
P(Ai)—— 先验概率
A2
........
An
P(Ai /B ) 后验概率
P(B/Ai) P(B )
《正态分布》说课稿
《正态分布》说课稿正态分布是统计学中非常重要的一个概念，它描述了大量随机变量的分布规律，被广泛应用于各个领域的数据分析和预测中。
本文将介绍正态分布的基本概念、性质、应用以及如何利用正态分布进行统计推断。
一、正态分布的基本概念1.1 正态分布的定义：正态分布又称高斯分布，是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，左右对称，中间最高。
1.2 正态分布的特点：正态分布具有唯一的均值和标准差，均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度。
1.3 正态分布的标准化：通过标准化可以将正态分布转化为标准正态分布，即均值为0，标准差为1的正态分布。
二、正态分布的性质2.1 正态分布的均值和中位数相等：正态分布的均值和中位数相等，即曲线对称中心位置处的值。
2.2 正态分布的68-95-99.7法则：约68%的数据落在均值附近的一个标准差范围内，约95%的数据落在两个标准差范围内，约99.7%的数据落在三个标准差范围内。
2.3 正态分布的线性组合仍然是正态分布：对于正态分布的线性组合，如两个正态分布的和或差，仍然是正态分布。
三、正态分布的应用3.1 在自然科学中的应用：正态分布常用于测量误差、实验数据分析等领域，如物理学、化学等。
3.2 在社会科学中的应用：正态分布被广泛应用于人口统计、心理学研究、经济学分析等领域。
3.3 在工程技术中的应用：正态分布在质量控制、可靠性分析、风险评估等方面有重要应用。
四、利用正态分布进行统计推断4.1 正态分布的参数估计：通过样本数据估计总体的均值和标准差，得到对总体的估计。
4.2 正态分布的假设检验：利用正态分布进行假设检验，判断总体参数是否符合某种假设。
4.3 正态分布的置信区间估计：通过正态分布的性质，构建总体参数的置信区间，对总体参数进行估计。
五、结语正态分布作为统计学中重要的概念，具有丰富的性质和广泛的应用。
通过深入理解正态分布的基本概念和性质，我们可以更好地应用正态分布进行数据分析和推断，为各个领域的研究和实践提供有力支持。
正态分布所有的知识点
正态分布是统计学中一种常见的概率分布，也称为高斯分布。
它在许多实际问题的建模和分析中都有重要应用。
本文将从基本概念、性质和应用等方面介绍正态分布。
1. 基本概念正态分布是一种连续型的概率分布，其特点是呈钟形曲线，对称分布于均值周围。
正态分布的定义由两个参数确定，分别是均值μ和标准差σ。
记为N(μ, σ^2)，表示随机变量X服从均值为μ，标准差为σ的正态分布。
2. 性质正态分布具有许多重要的性质，包括：2.1 对称性正态分布是关于均值对称的。
也就是说，分布在均值μ左侧的曲线与分布在均值右侧的曲线是相似的。
2.2 峰度和偏度正态分布的峰度是指其曲线的陡峭程度。
正态分布的峰度为3，称为正态分布的峰度系数。
高于3的峰度表示曲线更陡峭，低于3的峰度表示曲线更平缓。
正态分布的偏度是指其曲线的对称性。
正态分布的偏度为0，表示曲线对称。
大于0的偏度表示曲线向左偏斜，小于0的偏度表示曲线向右偏斜。
2.3 中心极限定理中心极限定理是指在一定条件下，独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。
这个定理在统计学中有广泛的应用，使得正态分布成为统计推断的基础。
3. 应用正态分布在实际问题中有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景：3.1 统计推断正态分布在统计推断中起到至关重要的作用。
通过收集样本数据，我们可以根据正态分布的性质进行参数估计和假设检验等统计分析。
3.2 财务分析正态分布在财务分析中也有重要应用。
例如，股票市场的收益率往往服从正态分布，基于正态分布的模型可以用于分析和预测股票的风险和收益。
3.3 质量控制正态分布在质量控制中用于判断产品质量是否符合要求。
通过收集产品的测量数据，可以利用正态分布的性质进行质量控制和异常检测。
3.4 自然科学研究正态分布在自然科学研究中也有广泛应用。
例如，地震的震级、物种的体重和身高等都可以用正态分布进行建模和分析。
结论正态分布是统计学中最重要的概率分布之一，具有许多重要的性质和应用。
正态分布
正态分布（normal distribution ）一、 定义 如果连续型随机变量取值分布呈现单峰、对称、两侧均匀变动的钟形分布，且能用下列函数描述其位置和形状特征的，则称之为正态分布。
概率密度函数， -∞<x<∞二、 参数1、可变参数（1）位置参数 μ E （x ）=μ表达正态曲线在横轴的位置：μ3>μ2>μ11 2 3(2) 形态参数 σ表达正态曲线的偏尖峰形状和偏平阔形状:σ3>σ2>σ1 V(x)= σ2固定参数 (1)偏度系数 理论三阶矩 SK=∑（x-μ）3/nσ3=0 (2) 峰度系数 理论四阶矩 KU=∑（x-μ）4/nσ4=3 * 样本偏度系数g 1与样本峰度系数g 2公式复杂，可参阅其他教材。
三、图形及曲线与横轴向面积（概率）分布规律P{μ-σ<x<μ+σ}=0.6827P{μ-1.96σ<x<μ+1.96σ}=0.9500 P{μ-2.58σ<x<μ+2.58σ}=0.990022()())2X f X μσ-=-四、 应用1、描述资料分布2、依据面积分布规律求医学参考值范围3、质量控制方法中随机误差分布符合正态，可用一定范围作为质量警戒线和控线4、标准正态分布的U 值，可视为重要统计量，是大样本参数估计和假设检验的基础。
而且用于求资料某一定范围内分布的理论频数（n 、x 、s ）已计算出例：已知x =50，S=10,N=200,求45<x<65的频数 解：令x 1=45 x 2=65U 1=(45-50)/10=-0.5， U 2=(65-50)/10=1.5 查U 值表Ф{-0.5< U 1<0}=0.5-0.3085=0.1915 Ф{0< U 2<1.5}=0.5-0.0668=0.4332 P{-0.5<U<1.5}=0.1915+0.4332=0.6247 200×0.6247=1255、正态分布式在特定条件下一些离散型分布的极限分布，这意味着只要符合特定条件，这些离散型分布亦可按正态近似法处理。
概率论与数理统计之正态分布
转化为标准正态分布
P(8100 Yn 10000)
标准化
P 2.5
Yn np np(1 p)
50
(50) (2.5) 1 0.9938 0.0062
37
例：某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8 各用户用电多少是相互独立的，求：
(1)同一时刻有8100户以上用电的概率； (2)若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以
1
z2
e 10 , z R
10
§4.4 二维正态分布
定义： 二维随机变量 (X ,Y )服从二维正态分布，记作
(
X
,Y
)
~
N(x
,
y
,
2 x
,
2 y
,
r)
其中 x, y ,x 0, y 0, r( r 1) 是参数.
26
§4.4 二维正态分布
定理1：设二维连续随机变量
(X
,Y
)
~
N(x
,
Q /100 8000 1.96
Q 807840
38
40
39
15-16，五. 设每个零件上的瑕疵点个数服从泊松分布P(1)，现 随机抽取100个零件，根据中心极限定理，求100个 零件上总瑕疵点个数不多于120个的概率.
正态分布的前世今生
一、邂逅，正态曲线的首次发现 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，4.5节
二、寻找随机误差分布的规律（正态分布的确立） 三、正态分布的各种推导 四、正态分布开疆扩土 五、正态魅影
正态分布性质，4.3节
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
定义：设随机变量 X 的概率密度为
正态分布知识点归纳总结
正态分布知识点归纳总结一、正态分布的概念正态分布是概率论和统计学中最重要的连续概率分布之一，具有许多重要的性质和应用。
它的密度函数表达式为：\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]其中，μ是分布的均值（也称为期望值），σ是分布的标准差，π是圆周率。
该密度函数描述了正态分布的概率密度曲线，呈钟形曲线，中心对称。
正态分布具有以下几个重要的性质：1. 对称性：正态分布是关于均值对称的，即以均值为中心呈对称分布。
2. 峰度：正态分布的峰度为3，表示分布的尾部平缓，数据集中在均值附近。
3. 位置参数和尺度参数：正态分布具有两个参数，均值μ用于描述分布的位置，标准差σ用于描述分布的离散程度。
4. 68-95-99.7法则：正态分布在均值附近有着特别的区间划分规律，约68%的数据落在均值附近一个标准差的范围内，约95%的数据落在两个标准差的范围内，约99.7%的数据落在三个标准差的范围内。
二、正态分布的特性正态分布具有一些独特的特性，使得它在统计学和概率论中广泛应用。
以下是一些正态分布的特性：1. 中心极限定理：若从任意总体中抽取样本，在样本容量足够大时，样本均值的分布将近似服从正态分布，这就是中心极限定理。
2. 独特的形状：正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，两侧逐渐平缓衰减，分布的形状独特，使得其具有许多重要的性质。
3. 偏度和峰度：正态分布的偏度（skewness）为0，表示分布的对称性；峰度（kurtosis）为3，表示分布比较平缓。
4. 边缘分布：正态分布具有边缘分布的性质，在多维情况下，边缘分布为正态分布。
正态分布的这些特性使得它成为了统计学和概率论中极为重要的概率分布，被广泛应用于假设检验、置信区间估计、回归分析、贝叶斯分析等统计方法。
三、正态分布的应用正态分布在实际应用中具有广泛的意义，涉及到许多不同领域。
三正态分布——数量性状遗传理论新解
三正态分布——数量性状遗传理论新解张廷桢【摘要】用与生产关系密切且广泛存在的孟德尔群体,讨论数量遗传理论.首先,对Nilsson-Ehle小麦粒色实验的原始资料进行分析,得知小麦种皮的深红色受3对基因控制,进而作X2检验,说明数量性状受多基因控制.用Lyapunov中心极限定理证明,基因型值G呈正态分布,小生境环境效应E呈正态分布.从概率角度,阐述G与E 的独立,用正态分布的可加性合成G与E,使P=G+E呈正态分布,并且绘制出三正态曲线图.这说明在随机交配下,不论是否连锁,不论基因效应是否相等,不论等位基因是否存在显性和什么样的显性,表现型值P均服从正态分布.吸收微效多基因假说的合理内核,引入环境效应,其应用范围突破微效多基因假说,更加全面和科学.【期刊名称】《安徽农业科学》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】3页(P4-6)【关键词】数量性状遗传;孟德尔群体;中心极限定理;基因型值G;环境效应E;表现型值P;正态分布【作者】张廷桢【作者单位】西北农林科技大学林学院,陕西杨凌712100【正文语种】中文【中图分类】S188+.1;Q348数量性状遗传是遗传学的重要内容之一。
自1909年Nilsson-Ehle发表小麦杂交实验100年以来，国内外在数量遗传理论上都延用着他的研究，但许多人将F2(种子)的表现型隐去真像，指出由白粒到深红粒有多种级别。
实际上，小麦F2胚外包被的是母体F12n组织，种子应是同一红色。
这里所谈的是一种假象。
这是其一。
第二，没有引入组成数量遗传的另一重要组分——环境效应。
Nilsson-Ehle认为没有环境影响。
Ayala等认为，环境对小麦粒色变异的影响极小。
在Nilsson-Ehle实验中，环境的影响可忽略不计。
确切地说，他研究的是数量性状遗传的基因型部分，就基因的积加作用来说，只是比两对基因的遗传多了一对，不能产生数量性状遗传的完整理论。
第三，现行的多基因假说设立很多不切实际的禁区，如要求无连锁、各基因效应相等、等位基因只能是不完全显性或无显性等，难以解释自然界生物普遍存在的数量性状遗传的许多问题。
概率论 正态分布
概率论正态分布概率论:正态分布第四章正态分布第一节第二节第三节第四节第五节正态分布的密度函数正态分布的数字特征正态分布的线性性质二维正态分布中心极限定理正态分布的密度函数正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一,它在概率统计中占有特别重要的地位.比如,考察一群人的身高,个体的身高作为一个随机变量,其取值特点是:在平均身高附近的人较多,特别高和特别矮的人较少.一个班的一次考试成绩、测量误差等均有类似的特征.高斯在研究误差理论时曾用它来刻画误差,因此很多文献中亦称之为高斯分布. 进一步的理论研究表明,一个变量如果受到大量独立的因素的影响(无主导因素),则它一般服从正态分布,这是中心极限定理探讨的问题.一. 一般正态分布1. 定义若随机变量X的密度函数为1 2 2 f ( x) e 2其中 x ( x )2式中为实数, >0 .则称X服从参数为 ,2的正态分布,亦称高斯分布.记为N(, 2).可表为X～N(, 2). 图象见右上角正态分布有两个特性： (1) 单峰对称密度曲线关于直线x=对称1 f()＝maxf(x)＝ 2(2) 的大小直接影响概率的分布越大,曲线越平坦; 越小，曲线越陡峻. 正态分布也称为高斯(Gauss)分布N ( 4,3 / 5)N ( 4,1)N ( 4,7 / 5)二. 标准正态分布参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0, 1)。
(x) 其密度函数为1 (x)2 ( x )x2 e 24 2 0(1) (0)=0.5( x ) P { X x}t2 x 1 e 2 2(2) (+∞)＝1；dt , xf ( x) 1 e 2(3) (x)＝1－(－x). 一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值.(P328附表1)如,若 X~N（0,1),(0.5)=0.6915, P{1.32正态分布的数字特征 (一) 一般正态分布N(, 2)( x)2 2 21 X ~ f (x) e 2, xE( X )xf ( x)dxt ( xt2 2 e dt 2x e 2( x )2 2 2D( X )) f ( x )dx(二)标准正态分布N(0, 1)X ~ f ( x)E( X )x2 e 2, xx2 e 2 dxxf ( x ) dx0(奇函数 )D( X ) E{[ X E ( X )] }2 x[ xE ( X )] f ( x)dxx2 e 2 dx三. 一般正态分布概率的计算若X～N(,2),>0,则有F ( x ) P { X x}x 1 e 2 (t ) 2 2 2x }F ( x) P{X x} P{ P{Z ( x ).} ( x ) /t2 1 e 2 dt 2一般地,有例1 设随机变量 X ~ N (1, 2 ) , 求 P{ 1.6 X 2.4} 解 P{ 1.6 X 2.4} P{ 1.6 1 X 1 2.4 1} P{ 2.6 X 1 1.4}P{ 2.6 / 2 ( X 1) / 2 1.4 / 2} P{ 1.3 ( X 1) / 2 0.7}(0.7) ( 1.3)(0.7) [1 (1.3)] 0.7580 [1 0.9032] 0.6612 .P{a X b} P{a X b } a b a Xb P{ } P{ Z } b a P{Z } P{Z } Z ~ N (0,1) b a( ) ( ) 2例2. 设 X N(,2),求P{-3解 P{ 3 X 3 } P{( 3 ) X( 3 ) } P{3 X 3 } P{ 3 X3 } P{ 3 ( X ) / 3} (3) ( 3)(3) [1 (3)] 2 (3) 1 0.9973本题结果称为3原则.在工程应用中,通常认为P{|X|≤3} ≈1，忽略{|X|>3}的值.如在质量控制中, 常用标准指标值±3作两条线,当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报,表明生产出现异常.例 3 设随机变量 X ~ N ( 2, 2 ) , 且 P{2 X 4} 0 .3, 求 P{ X0}. 随机变量解 P{2 X 4} P{0 ( X 2) / 2 / } 标准化(2 / ) (0) 0.3, (2 / ) 0.3 (0) 0.8P{ X 0} P{( X 2) / 2 / } ( 2 / ) 1 (2 / ) 1 0.8 0.2 例 4 设随机变量 X ~ N ( 3, 4 ) , 且常数 C 满足 P{ X C } P{ X C }, 求常数 C . 解由P{ X C} P{ X C}, 即 1 P{ X C} P{ X C} 所以 P{ X C} 0.5 X 3 C 3 C 3 另一方面 , P{ XC} P{ } ( ) 0.5 2 2 2 C 3 0 , C 3. 2例 4(2021年) ( A)设 X ~ N (0 , 1), 对于给定的 (0,1), 数 ( B)满足 P{ X } . 若 P{ X x} , 则 x 等于( D) 1解 P { X x} P { x X x}1 P{ X x}2 故 x 1一种电子元件的使用寿命Ｘ(小时)服从正态分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件,三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率. 解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,则Y~90 100 ) (0.67) 0.2514 其中 p P{ X 90} ( 15P{Y 0} (1 p ) 3 0.4195 故2 (2021年) 设随机变量X ~ N ( 1 , 12 ), Y ~ N ( 2 , 2 ),且 P{ X 1 1} P{ Y 2 1}, 则必有 ( A) 1 2 . ( B ) 1 2 . (C ) 1 2 . ( B) 1 2 .第二节正态分布的数字特征一. 一般正态分布N(, 2)( x)2 2 21 X ~ f (x) e 2, xE( X )xf ( x)dxt ( xt2 2 e dt 2x e 2( x )2 2 2D( X )) f ( x )dx标准正态分布N(0, 1)X ~ f ( x)E( X )x2 e 2, xx2 e 2 dxxf ( x ) dx0(奇函数 )D( X ) E{[ X E ( X )] }2 x[ xE ( X )] f ( x)dxx2 e 2 dx例1 已知随机变量X的密度函数为 1 x 2 2 x 1 f ( x) e ,x 求 E ( X )、D ( X ) .f ( x)x 2 x 11 e2 (1/ 2)( x 1) 2 2(1/ 2 ) 21 故 1, 2例2 设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3)1 解 f (x) e2 x2 x2 2 E ( X 2 ) x 2 f ( x)dxe dx 2 2 2x de 2x 2x 2 eE( X )3 xf ( x) dxx2 x3 2 e dxx2 e 2 dx 12021年(数一) 设随机变量X的分布函数为F ( x) 0.3 ( x) 0.7 ( 其中 ( x)为标准正态分布函数, 则EX ( A)0. ( B )0.3. (C )0.7. ( D)1.x 1 ), 2分析 : EX xf ( x )dx ,因此先求随机变量 X的概率密度函数 f ( x ).解 f ( x ) F ( x ) [ 0 . 3 ( x ) 0 . 7 (0 .7 x 1 0 . 3 ( x ) ( ) 2 2于是 EXx 1 ) ] 2xf ( x ) dxx[0.3 ( x )0 .7 x 1 ( )]dx 2 20.7 x 1 0.3 x ( x)dx x ( )dx 2 21 0 .3 x e 20 .7 dx x 21 x 12 ( ) 2 21 x 12 ( ) 1 2 2 e dx 20 .7 1 x 2 e 21 x 12 ) ( 0 .7 1 2 2 dx dx x 2 e 2x 1 令 t , 则dx 2dt , x 2t 1. 代入上式得 20 .7 1 x 2 e 21 x 12 ) ( 2 20 .7 1 dx (2t 1) 2 e 21 0 .7 2t e2 22 dt0 .7 1 2 e 20. 7 10 2 e 22dt 0.7dt 0.7.设随机变量 X与 Y相互独立 , 且 X服从标准正态分布 ,1 Y的概率分布为 P{Y 0} P{Y 1} .记 FZ ( z )为随机变量2 Z XY 的分布函数 , 则函数 FZ ( z )的间断点个数为 ( A) 0 . ( B )1. (C ) 2 . ( D )3 .解 FZ (z) P{Z z} P{XY z}P{Y 0}P{XY z | Y 0} P{Y 1}P{XY z | Y 1}1 [ P{ XY z | Y 0} P{ XY z | Y 1}]2 1 [ P{ X 0z | Y 0} P{ X 1 z | Y 1}] 2 为什么? 1 [ P { X 0 z }P { X z }] 21 (1)当z 0时, FZ ( z ) [ P{ X 0 z} P{ X z}] 21 1 [ P( ) P{ X z}] [0 P{ X z}]2 21 1 P{ X z} ( z )2 2 1 (2)当z 0时, FZ ( z ) [ P{ X0 z P{ X z}] 21 1 [ P() P{ X z}] [1 P{ X z}]2 2所以 , z 0为函数 FZ ( z )的间断点 . ( B )正确 .1 [1 ( z )] 2例 3 某地抽样调查结果表明 , 考生的外语成绩 (百分制) 近似服从正态分布 , 平均成绩为 72 分, 而 96以上的考生占总数的 2.3%, 求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率 . 解设 X —考生的外语成绩, 依题设知X ~ N ( , 2 ), 其中72, 下求方差 2 X 96 由题设 P{ X 96} 0.023 P{ } 0.023 X 96 96 1 P{ } 0.023, 即 1 ( ) 0.023) 0.977,96 96 72 2, 12 2 2于是 , P{60 X 84 } P{60 72 X 84 72 X 1} P{ } P{ 1 12 12(1) (1) (1) [1 (1)]2 (1) 1 2 0.841 1 0.682例 4 假设测量的随机误差 X ~ N ( 0,10 2 ).试求在 100 次独立重复测量中 , 至少有三次测量的绝对值大于 19 .6 的概率 ,并利用泊松分布求出的近似值 . 解先求每次测量误差的绝对值大于19.6的概率 p p P{ X 19.6} 1 P{ X19.6} 1 P{19.6 X 19.6}1 P{ 19.619.6 0 X 19.6 0 } 1 P{ 10 10 X1 P{ 1.96 1.96} 1 [ (1.96) ( 1.96)]1 [ (1.96) ( 1.96)] 1 (1.96) [1 (1.96)]2 2 (1.96) 2 2 0.975 2 1.95 0.0519.6设 Y — 100次测量中绝对值大于19.6, 则Y ~ B (100,0.05)于是所求的概率为 P{Y 3} 1 P{Y 0} P{Y 1} P{Y2}0 1 1 C100 (0.05) 0 (0.95)100 C100 (0.05)1 (0.95)99 2 C100 (0.05) 2 (0.95)98np 100 0 .05 5, 故由泊松分布得52 1 e (1 ) 1 e 5 (1 5 ) 0.87 2 2习作题 1.设随机变量X N(0,1)，Y U(0,1)，Z B(5,0.5),且 X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望答:27 E (U ) E (2 X 3Y ) E (4 Z 1) 22 设随机变量 X 1 ,..., X n 相互独立,且均服从 N ( , 2 )1 n 分布,求随机变量 X X i 的数学期望 n i 1 1 n 答: E ( X ) E ( X i ) n i 11. 设随机变量X B（12,0.5),Y N(0,1), COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y 的方差与协方差.2. 某单位招聘2500人,按考试成绩从高分到低分依次录用,共有10000人报名.假定报名者的考试成绩X 服从正态分布 N ( , 2 ), 现已知90分以上有359人, 60分以下的有1151人,求被录用者中的最低分数.第三节正态分布的线性性质一. 线性性质例1 设随机变量X服从标准正态分布,求随机变量 Y a X b ~ N (b, a2 ) Y=aX+b的密度函数,且有y b 解： Y=ax+b关于x严单,反函数为 h( y ) ay b fY ( y) f X ( ) h( y) 1 a 2E (Y )y b a 2 e( y b ) 2 2a2y e 2 a( y b ) 2 2a 2dyax b 2x2 e 2 dxD (Y ) E{[YE (Y )]2 } [ y E (Y ) ]2 f ( y ) dy( y b)2 2 a 2 2 e dy a 2 a 直接由Y的密度函数,可观察到Y的数学期望与方差1 2a2 , 由 f ( y) e 2 a 可知随机变量Y服从正态分布, ( y b) 2( y b)2而且 E (Y ) b , D (Y ) a 2定理1 设随机变量X 服从正态分布N(, 2),则X的线性函数 Y a b X 也服从正态分布,且有 Y a bX ~ N ( a b , a 2 2 )已知X N(,2),求 Y解 Y X 关于x严格单调,反函数为 h( y) y 故 fY ( y) f X [h( y)] | h( y) | f X (y )y 2你能用正态分布的线性性质求解吗?二. 正态分布的可加性定理2 设随机变量X1,X2 相互独立且Xi 服从正态分布N(i ,i2),i=1,2, 则 2 2 2 2 a1 X 1 a2 X 2 ~ N (a1 1 a2 2 , a1 1 a2 2 ) 定理3 设随机变量X1, X2，..., Xn独立且Xi 服从正态分布N(i ,i2),i=1,...,n, 则a i X i ~ N ( a i i , a i2 i2 )i 1 i 1例1. 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布.解依题设 X ~ N ( 0,1) , Y ~ N ( 0,1) ; 故有E ( X ) 0 , D ( X ) 1 , E (Y ) 0 , D (Y )于是由定理 2可知 X Y服从正态分布 , 且有E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) 0 0 0D ( X Y ) D ( X ) D (Y ) 1 1 2,即 X Y ~ N (0 , 2 )例2. 设随机变量X与Y独立,且X~ N(1,2),Y~N(0,1). 求证:(1)Z=2X-Y+3的密度函数;(2)P{2D ( Z ) D ( 2 X Y 3) 4 D ( X )E (Y ) 8 1 9Z 2 X Y 3 ~ N (5,9) 2 Z 8 Z (2) P{2 Z 8} P{ } P{ 1 1} (1) (1) (1) [1 (1)] 即2 (1) 1 2 0.8413 1 0.6826一. 密度函数若随机变量(X,Y)的密度函数为f ( x, y )1 212 11 ( x 1 )2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 [ ] 2 22 2 1 2 2( 1 ) 2 1其中，1、2为实数，1>0、2>0、| |( X , Y ) ~ N ( 1 , 2 , , , )2 1 2 2二、边缘密度函数 2 设(X, Y)~f(x,y),(x,y)R ,则称 f X ( x) f ( x, y )dy 为(X,Y)关于X的边缘密度函数；同理,称 fY ( y ) f ( x,y )dx为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。
数理统计2：为什么是正态分布，正态分布均值与方差的估计，卡方分布
数理统计2：为什么是正态分布，正态分布均值与⽅差的估计，卡⽅分布上⼀篇⽂章提到了⼀⼤堆的统计量，但是没有说到它们的⽤处。
今天，我们就会接触到部分估计量，进⼊到数理统计的第⼀⼤范畴——参数估计，同时也会开始使⽤R 语⾔进⾏模拟。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：为什么是正态分布为什么要突然提到正态分布的参数估计？原因有以下⼏个。
⾸先，正态分布是⽣活中最常见的分布，许多随机事件的分布可以⽤正态分布来概括。
林德贝格勒维中⼼极限定理告诉我们，⼆阶矩存在的独⽴同分布随机变量列{ξn }，记它们的和为S n ，E(ξ1)=µ，D(ξn )=σ2，则S n −nµ√n σd→N (0,1).刚刚学完概率论的同学应该对这个结论不陌⽣。
⽽中⼼极限定理的条件实际上并不需要这么强，林德贝格费勒定理去除了同分布的约束，只要{ξn }满⾜∀τ>0，1∑nk =1D(ξk )n∑k =1∫|x +E(ξk )|≥τ∑n k =1D(ξk )(x −E(ξk ))2d F k (x )→0,就有∑nk =1(ξk −E(ξk ))∑nk =1D(ξk )d→N (0,1).这说明⾃然界中微⼩随机项的累积效应普遍服从中⼼极限定理。
另外，正态分布的信息完全由两个参数所决定：期望和⽅差，即前两阶矩。
因此，如果我们假定总体是服从正态分布的，就只需要对其两个参数作估计，这给问题的讨论带来⽅便。
最后就是正态分布在实⽤上的意义了，两个独⽴正态分布的和、差甚⾄乘积都是正态分布，这在实⽤上也很⽅便，所以许多时候即使总体不服从正态分布，也近似认为服从正态分布。
Part 2：正态分布均值估计既然正态分布完全由两个参数所决定，那么只要知道出这两个参数的值（或者范围），就能确定总体的全部信息。
然⽽，在实际⽣活中要获得绝对正确的正态分布参数是不可能的，因为⽣活中的总体情况总是未知，要认识总体，我们只能从总体中抽取⼀系列样本，再通过样本性质来估计总体。
正态分布——概念、特征、广泛应用
正态分布——概念、特征、广泛应用一、概念指变量的频数或频率呈中间最多，两端逐渐对称地减少，表现为钟形的一种概率分布。
正态分布的由来正态分布是最重要的一种概率分布。
正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss(Carl Friedrich Gauss，1777—1855)率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。
高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。
高斯是一个伟大的数学家，重要的贡献不胜枚举。
在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
但随着各种理论的深入研究，高斯理论的卓越贡献日显重要。
1．正态分布的重要性正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。
一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。
2．正态曲线及其性质3．标准正态曲线标准正态曲线N（0，1）是一种特殊的正态分布曲线，以及标准正态总体在任一区间(a，b)内取值概率。
4．一般正态分布与标准正态分布的转化由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。
只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。
5．“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。
这种认识便是进行推断的出发点。
关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。
二、正态分布的特征均数处最高以均数为中心，两端对称永远不与x轴相交的钟型曲线有两个参数：均数——位置参数，标准差——形状（变异度）参数。
范文：概率论与数理统计复习
概率论与数理统计复习概率论与数理统计复习一、概率论的基本概念：1、事件的运算律：交换律：，；结合律：，；分配律：，；德·摩根法则：，；减法运算：。
2、概率的性质：性质1；性质2（有限可加性）当个事件两两互不相容时，；性质3对于任意一个事件，；性质4当事件满足时，，；性质5对于任意两个随机事件，；性质6对于任意一个事件；性质7（广义加法法则）对于任意两个事件，。
3、条件概率：在已知发生的条件下，事件的概率为：（）。
注意：所有概率的性质对条件概率依然适用，但使用公式必须在同一条件下进行。
4、全概率公式与贝叶斯公式：设个事件构成样本空间的一个划分，是一个事件，当（）时，全概率公式：；贝叶斯公式：当时，，。
应用全概率公式和贝叶斯公式计算事件的概率或其在已知条件下的条件概率时，关键的问题是找到一个完备事件组，使得能且仅能与之一同时发生，然后运用古典概型、概率的加法和乘法法则计算出和，，并套用全概率公式或贝叶斯公式即可。
若一个较复杂的事件是由多种“原因”产生的样本点构成时，多考虑用全概率公式，而这些样本点就构成一个完备事件组；若已知试验结果而要追查“原因”时，往往使用贝叶斯公式，这些“原因”的全体即是所求的完备事件组。
5、随机事件的独立性：事件独立性的结论：（1）事件与独立；（2）若事件与独立，则与，与，与中的每一对事件都相互独立；（3）若事件与独立，且，，则，；（4）若事件相互独立，则；（5）若事件相互独立，则。
注意：（1）事件相互独立只要求满足，而事件互斥（互不相容）只要求，这两个概念前一个与事件的概率有关，后一个与事件有关，两者之间没有必然的联系；（2）如果事件相互独立，则与不相关，反之一般不成立。
（3）对于任意个随机事件，相互独立则两两独立，反之未必；（4）对于任意个相互独立的随机事件，它们中任意一部分事件的运算结果（和、差、积、逆等）与其他一部分事件或它们的运算结果都相互独立，如：与，与，与都相互独立；6、贝努利概型与二项概率公式：设一次试验中事件发生的概率为，则重贝努利试验中，事件恰好发生次的概率为，。
帆软生成正态分布曲线-概述说明以及解释
帆软生成正态分布曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：正态分布是统计学中最为常见的一种分布，也被称为高斯分布或钟形曲线。
它以其对称的形状和特定的数学特征而著称，广泛应用于各个领域中的数据分析和建模工作中。
在实际应用中，我们常常需要生成符合正态分布的数据集。
而帆软作为一款功能强大的数据可视化与分析工具，提供了生成正态分布曲线的功能，使得用户可以快速、简便地生成符合正态分布的人工数据或模拟数据。
本文将就帆软生成正态分布曲线的方法展开讨论，介绍其基本原理和算法，并探讨正态分布在实际应用中的重要性和应用场景。
最后，我们将对本文的内容进行总结，并对未来应用正态分布曲线的研究进行展望。
在接下来的章节中，我们将深入了解正态分布的概念和特征，并详细介绍帆软生成正态分布曲线的方法。
同时，我们还将阐述正态分布在各个领域中的实际应用，并对未来的研究方向提出一些建议。
通过本文的阅读，读者将对正态分布和帆软的应用有一个更为全面的认识，并能够在实际工作中灵活运用这些知识和技巧，提升数据的分析和建模能力。
1.2文章结构文章结构部分应该包括对整篇文章的组织和主要内容的介绍。
在本文中，文章结构包括引言、正文和结论三个主要部分。
引言部分的目的是引入文章的主题和背景，提供读者对正态分布和帆软生成正态分布曲线的概述。
首先，我们将简要说明正态分布的概念和特征，包括其在统计学中的重要性和应用。
然后，我们将介绍帆软生成正态分布曲线的方法以及使用帆软生成曲线的优势和适用性。
正文部分将详细讨论正态分布的概念和特征。
我们将介绍正态分布的定义、形状和性质。
然后，我们将讨论帆软生成正态分布曲线的方法，包括使用帆软生成曲线的步骤和注意事项。
我们还将介绍如何使用帆软生成正态分布曲线来模拟实际数据和分析数据的示例。
结论部分将总结正态分布的重要性和应用，并强调帆软生成正态分布曲线的价值和局限性。
我们将提出结论并展望未来在这一领域的研究方向。
此外，我们还将回顾本文的主要内容，并强调正态分布在实际应用中的作用和帆软生成正态分布曲线的潜在用途。
正态分布的可加性
正态分布的可加性
正态分布的可加性是X+Y-N(3，8)。
相互立的正态变量之线性组合服从正态分布，即X~N（u1，（q1）^2），Y~N(u2，（q2）^）则Z=aX+bY~N（a*u1+b*u2，（a^2）*（q1）^2+（b^2）*（q2）^2）。
正态分布的曲线特点：
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
当μ=0，σ=1时的正态分布是标准正态分布。
正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
正态总体的常用抽样分布(2)
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1) ,
且 X 与 (n 1)S 2 相互独立，
2 /n
2
3
X / n
~
N (0, 1) ，(n 1)S 2 2
~
2 (n 1) ，
且
X 2/n
与
(
n
1)
2
S
2
相互独立，
由 t 分布的定义,
T X 2/n
(n 1)S 2
2 (n 1)
S
2 X
和
SY2
为各自的样本方差,
则
F
S
2 X
SY2
2 1
2 2
~
F (n1
1, n2
1) .
证
(n1
1)
S
2 X
2 1
~
2(n1
1)，(n2
1)SY2
2 2
~ 2(n2 1)，
且
S
2 X
与
SY2
相互独立,
由F分布的定义可得结论.
18
小结
样本均值
X
1 n
n i 1
Xi
样本方差
S2
(4) U ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
2 1
/
n1
2 2
/
n2
(5)
T
F
(X S
S
2 X
SY2
Y)
xy
（1
1
1
） 2~
t ( n1
n2
n1 n2
2
其
中
S
2 xy
(n1
1)S n1
1 2
概率论中几种具有可加性的分布及其关系讲解
目录摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 关键词⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 Abstract ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 Key words ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 1 几种常见的具有可加性的分布⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 1.1二项分布⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 21.2泊松分布（Possion 分布）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 31.3正态分布··· ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 1.4伽玛分布⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 61.5柯西分布⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯71.6卡方分布⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 2 具有可加性的概率分布间的关系⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯82.1二项分布的泊松近似⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯82.2二项分布的正态近似⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯92.3正态分布与泊松分布间的关系⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯102.4正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布的关系⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 3 小结⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 致谢⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13概率论中几种具有可加性的分布及其关系概率论中几种具有可加性的分布及其关系摘要 概率论与数理统计中概率分布的可加性是一个十分重要的内容 . 所谓分布的可加性指的是同一 类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布 . 结合其特点， 这里给出了概率论中几种具有可加性的分布：二项分布，泊松分布，正态分布，柯西分布，卡方分布以及伽玛分布 . 文章讨论了各类分布 的性质及其可加性的证明，这里给出了证明分布可加性的两种方法，即利用卷积公式和随机变量的 特征函数 .除此之外，文章就可加性分布之间的各种关系，如二项分布的泊松近似，棣莫佛 - 拉普拉 斯中心极限定理等，进行了不同层次的讨论 . 关键词 概率分布 可加性 相互独立 特征函数Several Kinds of Probability Dstribution and its Relationshipwith AdditiveAbstract Probability and mathematical statistics in the probability distribution of additivity is a very important content.The distribution of the so-called additivity refers to the distribution of the same kind of independent random variables and distribution are still belong to this kind of bined with itscharacteristics, here given several has additivity distribution in probability theory: the binomial distribution, poisson distribution and normal distribution and cauchy distribution, chi-square distribution and gamma distribution.Article discusses the nature of all kinds of distribution and its proof of additivity, additive of proof distribution are also given two methods, namely using convolution formula and characteristic function of a random variable. In addition, this paper therelationships between the additive property distribution, such as the binomialdistribution of poisson approximation, Di mo - Laplace's central limit theorem, and so on, has carried on the different levels of discussion.引言 概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的学科，在概率论与数 理统计中，有时候我们需要求一些随机变量的和的分布，在这些情形中，有一种求和类 型比较特殊，即有限个相互独立且同分布的随机变量的和的分布类型不变，这一求和过 程称为概率分布的 “可加性” .概率分布中随机变量的可加性是一个相当重要的概念， 本 文给出了概率论中常见的六种具有可加性的分布， 包括二项分布， 泊松分布， 正态分布， 伽玛分布， 柯西分布和卡方分布 .文章最后讨论了几项分布之间的关系， 如二项分布的泊 松近似，正态近似等等 .1 几种常见的具有可加性的分布在讨论概率分布的可加性之前，我们先来看一下卷积公式和随机变量的特征函数 首先来看卷积公式 [1]：Key Words probability distribution additivity property mutual independence characteristic function①离散场合的卷积公式设离散型随机变量, 彼此独立，且它们的分布列分别是P( k) a k ,k 0,1 ,n 和P( k) b k,k 0,1, ,n.则的概率分布列可表示kkP( k) P( i)P( k i) a i b k i ,k 0,1,2 .i 0 i 0②连续场合的卷积公式设连续型随机变量, 彼此独立，且它们的密度函数分别是 f (x), f (y) ，则它们的和的密度函数如下f (z) f f f (x) f (z x)dx.(2)其证明如下：的分布函数是 F (z) f( z) f (x)f ( y)dxdy xyzf (y)dy f (x)dxF (z x) f (x)dx.其中 F (x)为的分布函数，对上式两端进行求导，则可得到的密度函数：f (z) f f f (x) f (z x)dx. 即证.在概率分布可加性的证明中，除了卷积公式，我们常用的证明方法还有利用随机变量的特征函数.下面我们来讨论一下这几种具有可加性的分布及其可加性证明的过程中卷积公式和特征函数的应用.1.1二项分布1.1.1二项分布B(n,p) 的概念如果记为n次伯努利试验中成功 (记为事件A)的次数，则的可能取值为0，1，2，⋯⋯，n.记p为事件 A 发生的概率，则p(A) p, p( A) 1 p,记为q.即q 1 p.因n 次伯努利试验的基本结果可以记作?=(w1,w2，⋯?n)，w i 或为 A 或为A,这样的w共有2n个，这n2个样本点w组成了样本空间Ω.下求的分布列，即求事件{ k }的概率.若某个样本点?=(w1,w2，⋯?n)∈{ k } ，意味着w1,w2 ，⋯?n 中有k 个 A ，n k 个 A ，由独立性即可得:P( ) p k(1 p)n k.而事件{ =k }中这样的w 共有个，所以的分布列为knP( k)= p k(1-p)n k，k 0,1, n.k 此分布即称为二项分布，记作~ B(n,p) .且我们易验证其和恒为 1. .也就是概率论中几种具有可加性的分布及其关系n=1时，二项分布 B(n, p)称为两点分布，有时也称之为 0 1分布. 二项分布的图像具有以下特点：①二项分布的图像形状取决于 n 和 p 的大小，随着 p 的增加，分布图高峰逐渐右移 .②当 p 0.5 时，图像是对称的 . 1.1.2 二项分布的可加性定理 1.1.1 设 ~B(n,p), ~ B(m, p), 而且 , 相互独立，记 , 则有也就是说， ~ B(n m, p). 即证！1.2 泊松分布 ( Possion 分布 ) 与二项分布一样，泊松分布也是一种离散分布，许多随机现象，特别是社会现象与 物理学中的一些随机现象都服从于泊松分布 . 泊松分布可作为描述大量试验中稀有事件 出现次数的概率分布的数学模型 . 1.2.1 泊松分布的概率分布列 泊松分布的概率分布如下所示： kP( k) e ,k 0,1,2 ⋯，其中 大于0，记作 ~ P( ). k!对于泊松分布而言，它的参数 即是期望又是它的方差： kE( ) k e e e e k 0 k! k 1 (k 1)! 又因，kE( 2 ) k 2e k ek 0 k! k 1 (k 1)!k= (k 1) 1 e k 1 (k 1)!~ B(n m, p).证明 因 ,所以易知 可以取 0,1,2 n m 等n m 1个值. 根据卷积公式 (1) ，事件 k 的概率可以表示为kP( k) P( i)P( k i)i0ki0n i n i p i(1p)n i ip k(1 p)knmk i0mk i mk ip (1p)kn ..k又因i0m kinm所以P( k)knmp k (1 p)n m k,k 0,1, n m.k1故 的方差为 Var( ) E( 2) (E( ))2 = 2 21.2.2 泊松分布的可加性定 理 1.2.1 设 随 机 变 量 1 ~ P( 1), 2 ~ P( 2) ， 且 1, 2 相 互 独 立 ， 则 1 2 ~ P( 1 2).kk 证明 此处 P( 1 k) 1e 1,P( 2 k) 2 e 2 ,k 0,1,2, 1 k! 2k! 根据卷积公式 (1) ，有ki P( 1 2 k) 1e 11 2 i 0 i! (k i)! e ( 1 2) kk! i k i12 k! i 0 i!(k i)!1 2 (1 2)e ( 1 2),k 0,1, .k!所以 (1 2) ~P (1 2).即证！同样我们可以利用特征函数对其进行证明，此处不再赘述 1.3 正态分布1.3.1 正态分布的定义 [6]定义 1.3 对于已经给定的两个常数 和 >0，定义函数1 (x )2/2 2 p , (x) e (x ) /22它含有两个参数 和 . 显然的， p , (x)取正值 .我们称密度函数为 p , (x) 的分布为正态分布，记作 N( , 2) ，它的分布函数记为 (t )2x 2e 2 2dt正态分布的密度函数的图像是一条钟形曲线，中间高两边低，而且关于 x 对称， 在此处 p , (x) 取最大值 1.我们称 为该正态分布的中心， 在 x 附近取值的可能 性比较大，在 x 处有2拐点 .若将 固定，改变 的取值，则 越大，曲线峰顶越低，图像较为平坦； 越小， 曲线封顶越高，图像较为陡峭 . 因此正态密度函数的尺度由 确定，故称 为尺度参数 .同样的，将 固定，而去改变 的值，会发现图像沿 x 轴平移而并不改变形状，也 就说明该函数的位置由 决定，故称其为位置参数 .当 0, 1 时的正态分布称为标准正态分布，记作 N (0,1) . 它的密度函数记为(u) ，分布函数记为 (u). 则有12(u) 1eu /2,u ( , )22= 2ek2(k 2)!ek1k1(k1)! ki k 2 ie 2(1)1 F , (x) 12概率论中几种具有可加性的分布及其关系21.3.2 一般正态分布的标准化对于正态分布族N( , 3); ( , ), 0 ,标准正态分布 N(0,1) 只是其中一个成员 .其实在应用中很少有随机变量恰好服从标准正 态分布，可是一般正态分布均可以利用线性变换转变成标准正态分布 . 所以一切与正态变量有关的事件的概率均可通过标准正态分布分布求取 .定理 1.3.1 如果随机变量 Y~ N( , )，则X (Y )/ ~ N(0,1) ，其中X 为标准正 态变量 .证明 记Y 与X 的分布函数分别为 F Y (y)和F X (x)，易知因为正态分布函数严格递增而且处处可导，所以如果记 Y 和X 的密度函数分别是 p Y (y) 和 p X (x) ，会有p X (x) dF Y ( x) p Y ( x)dx Y 由此即得， X Y~ N (0,1). 对于标准正态随机变量 X ~ N(0,1), X 的数学期望为1 E(X) 12 xe且Y X , 由方差的性质Var (Y ) Var( x) 2.也就是说，正态分布的方差即是其另一个参数 2. 1.3.3 正态分布的可加性3因被积函数 h(x) xe x /2为奇函数，故上述积分值为 0，也就是说 E(X) 0. 而对于一般正态变量 Y~N( , 2) ，如果满足 Y X ，由数学期望的线性性质则可 得到 E(Y) 0 .所以我们可以知道正态分布 N( , 2)的数学期望即为其参数 . 因为u t 2/2 (u)e t /2dt,u ( , )x P(Y x) F Y ( x).1 2/22e即证. 2x 2e x /2dx 1 2x 2 /2 xd( e x/2)Var(X) E(X 2) (E(X))21 2 12 1 2x 2 /2 xe |e x 2 /2dx e x /2dx12 1. 2x /2dx ,F X (x) P(X x) P定理 1.3.2 设随机变量而且X和Y彼此独立，且X ~N( 1, 12),Y~N( 2, 22 ),则有X Y~ N( 1 2, 1222).证明知X , Y服从于正态分布，且它们的密度函数分别是12t222t2X exp(i 1t 1), Y exp(i 2t 2).22又因X,Y 彼此独立，所以X Y (t)X(t)Y(t) exp i(1 2)t ( 1 2 )t.这正是数学期望为 1 2, 方差为1222的正态分布的特征函数，即证！我们同样可以使用连续场合的卷积公式进行证明，详见文献[5] ，此处不再赘述.1.4伽玛分布在讨论伽玛分布之前，我们先来看一下伽玛函数：我们称( )x 1e x dx ( 0) 为伽玛函数，为其参数. 它的性质如下：① (1) 1, (1) ;② ( 1) ( ). 取自然数n 的时候，有(n 1) n (n) n!.1.4.1伽玛分布的定义定义 1.4 如果随机变量X 的密度函数为x 1e x,x 0;p(x) ( )0,x 0,就称作X 服从伽玛分布，记为X ~ Ga( , ), 且, 的值均大于0. 为伽玛分布的形状参数，为其尺度参数.当0 1时，p(x)为严格单调递减的函数，在x 0处取得奇异点；当1时，p(x) 亦严格单调减，且x 0时有p(0) ;当 1 2 时，p(x) 为单峰函数，先上凸然后下凸；当2时，先下凸再上凸，最后下凸. 而且随着的增大，p(x)逐渐接近于正态分布的密度函数.1.4.2伽玛分布的可加性定理 1.4.1 设随机变量X ~Ga( 1, ),Y ~Ga( 2, ), 且X 和Y 彼此独立，则X Y ~ Ga( 1 2, ).证明知X(t) (1 it) 1, Y(t) (1 it) 2,且X 与Y 彼此独立，所以X Y(t) X(t) Y(t) (1 it) ( 1 2),此即为Ga( 1 2)的特征函数，根据惟一性定理则可知X Y ~Ga( 1 2, ).结论得证！概率论中几种具有可加性的分布及其关系如正态分布，对于伽玛分布，我们同样可以利用连续场合的卷积公式对其可加性进 行证明，详见文献 [5];1.5 柯西分布 [4]1.5.1 柯西分布的密度函数柯西分布是几个常见的连续分布之一 . 它的密度函数为1p(x, , ) 2 2 ,x ( , ).(x )1, 0 时的柯西分布密度函数称为标准柯西分布密度函数，即 11p(x) 2 ,x ( , ). 2 dx . (x )2所以 x p(x, , )dx 不收敛，故柯西分布的数学期望与方差均不存在 1.5.2 柯西分布的可加性定理 1.5.1 设随机变量 X ~p( 1, 1),Y~p( 2, 2),且 X,Y 彼此独立，则有X Y~ p( 1 2, 1 2).证明 因 X,Y 均服从于柯西分布，且 X,Y 的特征函数分别是 X (t ) e i 1t 1t,Y(t) e i 2t 2t .又因 X,Y 彼此独立，所以X Y (t) X (t) Y (t) e i( 1 2)t ( 1 2)t.这 恰 好 就 是 参 数 为 1 2 , 1 2 的 柯 西 分 布 的 特 征 函 数 ， 所 以 X Y~ p( 1 2, 1 2).即证！1.6 卡方分布( 2分布)1.6.1 卡方分布( 2分布)的定义及密度函数定 义 1.6 [7] 设 X 1,X 2, X n 独 立同分 布与 标准正态分 布分布 N (0,1),则 称 2 X 12 X 22 X n 2 所服从的分布为自由度为 n 的卡方分布，记为卡方分布的密度函数为1.6.2 卡方分布可加性卡方分布密度函数的图像是一个只取非负值的偏态图像 . 它的图像随着自由度的增 加而逐渐趋于对称，当自由度 n 时，其图像趋于正态分布的图像 . 这也从另一个侧 面告诉我们，卡方分布是由其自由度决定的，不同的自由度对应了不同的卡方分布 .1x为方便起见，往后我们分别记这两类密度函数为 p( , ) 和 p(0,1). 对于柯西分布的数学期望和方差，因12x p(x, , )dx x2 ~ 2(n). 1 np(x) 22(n2)0,x 0.x n 1 e 2x 2 ,x 0;由 1.6.1 ，我们可以知道卡方分布即伽玛分布的一个特例，所以由伽玛分布的可加性我们易知卡方分布亦满足可加性定理，即定理 1.6.1 [5]设 12 ~ 2(m), 22 ~ (n),且 12, 22彼此独立，则有 2 2 212 22 ~ 2(m n).证明 由卡方分布的定义，设2 2 2 2 2 2 2 212X 12 X 22 X m 2, 22 X m12 X m 22 X m n 2,且 X i ~ N (0,1), i 1,2, ,m n, X i ,X j 彼此独立 .则有，2 2 2 2 2 2 2 21 2 X 1 X 2X m X m 1 X m 2X m n ,从从卡方分布的定义，因此 12 22 ~ 2(m n). 即证！2 具有可加性的概率分布间的关系2.1 二项分布的泊松近似 [4]当 n 的取值很大时，二项分布 B （n, p ） 的计算是令人头疼的 . 这里介绍了泊松分布的 一个十分有用的特性，我们可利用泊松分布作为二项分布的一种特殊近似，即二项分布 的泊松近似 . 下面我们来看泊松定理，当 n 取值较大，而 p 取值偏小的情况下使用泊松 定理，可大大减小二项分布的计算量 .定理 2.1 [8]（ Possion 定理） 在n 重伯努利试验中，记事件 A 在每次试验中发生的 概率为 p n ,它与试验发生的次数 n 有关，若当n 0时，有np n,即 lim np n ,则对任意给定的 k （ k 为非负整数），有 nk n kn lim p n （1 p n ） e nk k!lim证明 设 n np n ,则有 p n n, 所以nk n kn(n 1)(n 2) (n k 1) n k n p n (1 p) ( )(1 ) k! n n k 1 2 k 1 n n n k (1 )(1 )(1 ) n (1 n )n kn n n k! n (1 1)(1 2) (1 k 1) n (1 n )n (1n n n k! n lim n ,则对于给定的 k 值，有 lim n k k ;且 nkn) k. n由已知有， 所以有1 2 k 1lim (1 )(1 ) (1 ) 1 ；n n n( n )lim (1 n)nlim (1 n) n nn n nnklim (1 n ) k1. n ne;p nk (1 p n )n kke k! 即证！lim nk 因 Possion 定理的条件之一为 lim np n , 所以在二项分布的计算中， 若 n 值很大， p的值却很小，且 np 的大小适中时（一般认为当 n 100, p 0.1, 且 np 10时），二概率论中几种具有可加性的分布及其关系项分布 B(n, p) 可以使用参数为 的泊松分布来做近似，即有n p n k (1 p n )n k e np,k 0,1,2 , k k!此即为二项分布 B(n, p) 的泊松近似， 而且 n 的值应尽可能的大， 这样计算结果才能更精 确.二项分布 B(n, p) 的泊松近似经常被用于稀有事件 (即每次试验中事件发生的概率很 小)的研究中，大量实例表明，一般情况下概率 p 0.1时，泊松近似非常好用，甚至 n 的取值不必很大 .2.2 二项分布的正态近似定理 2.2 [7](棣莫佛 - 拉普拉斯( De Moivre Laplace )极限定理) 设随机变量 X ~ B(n, p)(0 p 1,n 0,1,2, )，则对任意的实数 x ，有X npn lim Pnp 1 p从于同一参数 p 的两点分布的随机变量 X 1,X 2, ,X n 的和，E(X i ) p,Var ( X i ) p(1 p),i 1,2, 根据 Lindeberg Levy 中心极限定理，有De Moivre Laplace 中心极限定理说明， n 相当大时，服从二项分布 B(n,p) 的随 机变量 X 的概率的计算服从正态分布 N ( np, np(1 p)) 的随机变量的计算 .也就是说，二项分布可以用正态分布来近似计算 .比如 P(X k)的计算量时十分大的 . 根据 De Moivre Laplace 中心极限定理，因 X np近似服np(1 np)从于标准正态分布，或者说是 X 近似服从于 N(np,np(1 p)) 分布，也就是说x 1 t 2/2x e t /2dt (x).2证明 因随机变量 X 服从二项分布 B(n,p) ，所以 X 可看做是 n 个相互独立的且服 n即 X X i , 而且n X i np lim P i 1 nnp(1 p) 2e t /2dt (x ). 定理得证！ p k(1 p)n k，在 n 比较大的时候 k我们只需查一下标准正态分布表， 就可以求出我们需要的相当精确的值 .但是，当 p 较大或者较小时近似效果可能差一些，利用公式时 p 的值最好满足 0.1 p 0.9 .另外，P(X k)nk n k p k (1 p)n k(x np)22np(1 p)2 np(1 p) e对于 P(a X b)p k(1 p)n k,有a k bkP(a 1 X a 2) P( a1 np X np1 2np(1 p) np(1 p) np(1 p)( a 2 np ) ( a 1 np ) np(1 p) np(1 p) np(1 p)k np np(1 p)a2 np )()因二项分布是离散分布，正态分布是连续分布，所以在我们实际的应用中，为减小误差，常常使用a2 0.5 np a1 0.5 npP(a1 X a2 ) ( 2 ) ( 1 )np(1 p) np(1 p)来替换( ) 式.2.3正态分布与泊松分布之间的关系由上面的定理 2.1 和定理 2.2 我们可以知道，二项分布B(n, p)可以用泊松分布来做近似，同样也可以用正态分布来近似. 所以，从某个方面来说，泊松分布与正态分布也具有某种近似的关系，首先我们来看特征函数的连续性定理.定理 2.3.1 [11]分布函数列F n(x) 弱收敛于分布函数 F (x)的充分必要条件是它的相应的特征函数列n(t) 收敛于 F (x)的特征函数(t).Xx2证明知X 服从泊松分布，则X 的特征函数为(t) e (e 1).i tX e 1 i t所以X的特征函数是(t) e .对于任何一个t, 我们有 e 1it t 1,2!所以有t21 i t2t2 xe 2定理 2.3.2 [11]设随机变量X ~ P( ),则有limP Xt2te i因此对于任意的点列 n ,有 lim n (t) e 2 . n nnt 2又知e 2是标准正态分布 N(0,1)的特征函数，因此由连续性定理可以得到， XnxlimPn1 x e t 22dt. 2nX我们来看泊松分布的正态逼近 .定理 2.3.3 [8]对于任意的 a 1 a 2,有k e 1 a limk k! 2 a 1其证明见文献 [8].由前可知， B(n, p) 的正态近似与泊松近似的条件是不同的，当 p 的取值特别小时， 哪怕 n 的值不是太大，用泊松分布来近似二项分布也是可以的 .但在这种情况下，用正 态近似却是不合理的 .我们可以想象，若p 值由 n 的任意性，所以有 lim Px 1x e 2dt 成立.2x 2/2e x / 2dx,其中 a 1 ,a 2概率论中几种具有可加性的分布及其关系肯定不会很大，而由定理 2.3.1 ，我们可知，此时正态分布就不可能很好的进行泊松近 似.2.4 正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布之间的关系 首先来看正态分布与柯西分布的关系 .定 理 2.4.1 设 X ~ N (0,1),Y ~ N (0,1). 且 X 与 Y 独立同分布，记 Z X /Y , 则Z ~ N(0,1).证明 易知 Z 的取值范围是 ( , ) ，所以对于 z ( , ) ，我们利用商的公式， 可以得到1.2(1 z 2) 这正是 0, 1 时的柯西分布的密度函数，所以结论得证！ 正态分布与卡方分布的关系如下： 定理2.4.2 若随机变量 X ~ N (0,1),则 X 2 ~ 2(1). 定理证明见文献 [10]. 这说明了标准正态分布与自由度为 1 的卡方分布之间的关系 若 X i ~ N 0,1,i 1,2,n.且 X i 彼此独立，记 2 X 12 X 22 X n 2，根据卡方分布的定义，我们知 2服从自由度为 n 的卡方分布 .对于伽玛分布，当其参数 n, 1时即为自由度为 n 的卡方分布，记为 22n 1 2Ga( , ) (n).223 小结文章第一部分我们讨论了六种具有可加性的分布以及它们的简单性质， 上述分布的可 加性均可利用卷积公式或者特征函数进行证明 . 正态分布是概率论中最重要的分布，一 般地，如果某个数量指标受到大量随机因素影响，而每一因素起的作用很小，则这个数 量指标就近似服从正态分布 . 在第二部分里研究了二项分布、正态分布与泊松分布的关 系，从此处我们可以知道二项分布不仅可以用泊松分布近似，同样也可由正态分布来近 似. 参考文献[1] 罗建华 . 卷积公式的应用注记 [J]. 中南林业科技大学学报， 2007 年，第 27 卷，第 1 期： 152 页.[2] 李贤平，沈崇生，陈子毅 .概率论与数理统计 [M]. 上海：复旦大学出版社， 2003.5 ：221-231.[3] 唐玲，徐怀 .复合泊松分布和泊松过程的可加性 [J]. 安徽建筑工业学院学报， 2007.05 ：83页.[4] 郭彦. 对柯西分布性质的进一步讨论 [J]. 淮阴工学院学报， 2005.05 ：12 页. [5] 茆诗松，程依明， 濮晓龙 . 概率论与数理统计教程 [M]. 北京：高等教育出版社，p Z (z)p X ( zt) p Y (t ) t dt 1 0 texp 22t 2(1 z 2)2004.7:155-160;[6]王梓坤. 概率论基础及应用[M]. 北京：北京师范大学出版社，1996.3:61-64.[7]宋立新. 概率论与数理统计[M]. 北京：人民大学出版社，2003.9:176-177.[8]于洋. 浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系[J]. 《企业科技与发展》，2008 年第20期：120 页.[9]魏宗舒等. 概率论与数理统计教程[M]. 北京：高等教育出版社，1983.10:208-211.[10]孟凡华. 浅谈几种概率分布之间的相互关系[J]. 信阳农专学报，1992 年第 3 卷第 2 期:63-65.[11]王淑云. 特征函数及其应用[J]. 邯郸学院学报，2008 年第18 卷第 3 期:52-56.。
多元标准正态分布的特征函数
多元标准正态分布的特征函数
本篇文章介绍了多元标准正态分布的特征函数及其相关性质。
首先，我们给出了多元标准正态分布的密度函数，并通过变量代换法将其转化为标准正态分布的密度函数形式。
接着，我们引入了特征函数的概念，并给出了多元标准正态分布的特征函数。
通过对特征函数的分析，我们得到了多元标准正态分布的均值向量和协方差矩阵的表达式。
最后，我们给出了多元标准正态分布的特征函数的一些重要性质，包括可加性、微分性、对称性以及与矩的关系等。
这些性质为多元标准正态分布的统计推断和应用提供了基础。
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(完整版)统计量表汇总
基本公式：（1） 222)()()]([x E x E x E x E x D -=-=）（旧闻梳理：1，泊松分布：{}!k k e X P k λλ-==， k 为正整数；标准正态分布概率：22121)(x ex f -=π正态分布概率为：222)(21)(s x e sx f μπ--=，正态分布的可加性：),(~);,(~),,(~222121222211σσμμσμσμ+±±N Y X N Y N Xe ：⎰=λλe k !kn n e n-=-)1λ（（∞→n ) 泊松公式： 当n 很大，p 很小时，有np k e p p C k kn k k=≈-⋅--λλλ其中,!)1(nGamma 函数： ⎰∞--=Γ01dt e t tββ）（Gamma 分布： 当f(y)的概率密度满足如下公式时，即为Gamma 分布：,)()()(1xe x xf αβαβαβα--Γ==Γ），（ ∞≤≤x 0 ，其中有⎰∞--=Γ01dt e t t ββ）（ Gamma 分布依据k 值的不同，曲线如右。
2，卡方分布： 对于独立的标准正态分布函数X ，函数Z=⎰=kk dk X Z 02满足2χ分布，且有2i 2X ∑=χ，其中X~N(0,1)卡方分布的密度函数为)2,2()(n y f Γ=。
卡方分布的数学期望与方差为：n )1(]0)([)]()([)()(222=∑=+∑=+∑=∑=i i i i X D X E X D X E E χn 2)2(]13[)]()([)()(22422=∑=-∑=-∑=∑=i i X E X E X D D i χ，其中，有 ⎰⎰⎰⎰==-====⋅∑=--kkx x i ix f x x f x dx e x x dx e xdx x f x x f x x E 02032132144443()(3)]([2121)()()(22多次分部积分法）ππ当n 足够大时，有22)12(21)(-+≈n z n ααχ卡方分布的可加性，)(~)()(2122212n n n n ++χχχ3，t 检验需要考虑自由度df ，而Z 检验不需要，因为z 检验时的标准误中的σ是总体参数，与sample 大小n 无关。