贵州省毕节地区纳雍县百兴中学九年级数学上学期期中试卷(含解析) 新人教版

2016-2017学年贵州省毕节地区纳雍县百兴中学九年级（上）期中数
学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是（）厘米．A．8 B．5 C．10 D．4.8
2．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中四边形的三个角都为直角
3．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（）
A．22.5°B．25° C．23° D．20°
4．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）
A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm
5．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
6．下列方程①3x2﹣x=0；②；③；④2x2﹣1=（x﹣1）（x﹣2）；⑤（5x ﹣2）（3x﹣7）=15x2，其中一元二次方程有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少设数学兴趣小组人数为x 人，则可列方程为（）
A．x（x﹣1）=90 B．x（x﹣1）=2×90 C．x（x﹣1）=90÷2 D．x（x+1）=90
8．小王家新锁的密码是6位数，他记得前两位数是23，后两位数是32，中间两位数忘了，那么他一次按对的概率是（）
A．B．C．D．
9．在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，能判定这个四边形是正方形的是（）
A．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD B．AB∥CD，AC=BD
C．AO=BO，∠A=∠C D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
10．若实数a，b（a≠b）分别满足方程a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，则的值为（）A．B．C．或2 D．或2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．矩形的一边长是3.6cm，两条对角线的夹角为60°，则矩形对角线长是．
12．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是cm2．
13．如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF 的面积为．
14．第三届全国智力运动会将于2015年10月在山东枣庄隆重举行，届时滕州某初中学校将从小记者团内负责体育赛事报道的3名同学（2男1女）中任选2名前往采访，那么选出的2名同学恰好是一男一女的概率是．
15．若△ABC的一边为4，另两边分别满足x2﹣5x+6=0的两根，则△ABC的周长为．16．如图，正方形ABCD中，AB=3，延长BC至E，使BE=BD，则△BDE的面积为．
三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）
17．（6分）解方程：3x2﹣6x+1=0．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程：（m﹣1）x2+2mx+m+3=0有实数根，求m的取值范围．
四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD 相交于点N，连接BM，DN．
求证：四边形BMDN是菱形．
20．（8分）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．
（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出只粽子，利润为元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？
21．（8分）某教室的开关控制板上有四个外形完全相同的开关，其中两个分别控制A、B 两盏电灯，另两个分别控制C、D两个吊扇．已知电灯、吊扇均正常，且处于不工作状态，开关与电灯、电扇的对应关系未知．
（1）若四个开关均正常，则任意按下一个开关，正好一盏灯亮的概率是多少？
（2）若其中一个控制电灯的开关坏了，则任意按下两个开关，正好一盏灯亮和一个扇转的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明．
22．（8分）如图，AC是正方形ABCD的对角线，点O是AC的中点，点Q是AB上一点，连接CQ，DP⊥CQ于点E，交BC于点P，连接OP，OQ；
求证：
（1）△BCQ≌△CDP；
（2）OP=OQ．
23．（8分）如图，两张宽为1cm的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分部分是四边形ABCD，（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由
（2）若∠BAD=30°，求重叠部分的面积．
2016-2017学年贵州省毕节地区纳雍县百兴中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是（）厘米．A．8 B．5 C．10 D．4.8
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的面积公式可得菱形的另一对角线长，再根据菱形的对角线互相垂直平分利用勾股定理可求出边长．
【解答】解：设菱形的另一对角线长为xcm，
×6×x=24，
解得：x=8，
菱形的边长为： =5（cm），
故选：B．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握菱形的对角线互相垂直、平分．
2．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中四边形的三个角都为直角
【考点】矩形的判定．
【分析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
【解答】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故选D．
【点评】本题考查的是矩形的判定定理，难度简单．
3．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（）
A．22.5°B．25° C．23° D．20°
【考点】正方形的性质．
【分析】根据正方形的性质，易知∠CAE=∠ACB=45°；等腰△CAE中，根据三角形内角和定理可求得∠ACE的度数，进而可由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=∠BCA=45°；
△ACE中，AC=AE，则：
∠ACE=∠AEC=（180°﹣∠CAE）=67.5°；
∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°．
故选A．
【点评】此题考查了正方形的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意特殊图形的性质．
4．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）
A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm
【考点】矩形的性质．
【分析】根据已知条件以及矩形性质证△ABE为等腰三角形得到AB=AE，注意“长和宽分别
为15cm和10cm”说明有2种情况，需要分类讨论．
【解答】解：∵矩形ABCD中，BE是角平分线．
∴∠ABE=∠EBC．
∵AD∥BC．
∴∠AEB=∠EBC．
∴∠AEB=∠ABE
∴AB=AE．
当AB=15cm时：则AE=15cm，不满足题意．
当AB=10cm时：AE=10cm，则DE=5cm．
故选B．
【点评】此题考查了矩形的性质与等腰三角形的判定与性质．注意出现角平分线，出现平行线时，一般出现等腰三角形，需注意等腰三角形相等边的不同．
5．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】由一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，将x=0代入方程得到关于a 的方程，求出方程的解得到a的值，将a的值代入方程进行检验，即可得到满足题意a的值．【解答】解：∵一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，
∴将x=0代入方程得：a2﹣1=0，
解得：a=1或a=﹣1，
将a=1代入方程得二次项系数为0，不合题意，舍去，
则a的值为﹣1．
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
6．下列方程①3x2﹣x=0；②；③；④2x2﹣1=（x﹣1）（x﹣2）；⑤（5x ﹣2）（3x﹣7）=15x2，其中一元二次方程有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】一元二次方程必须满足三个条件：
（1）整式方程；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）二次项系数不为0．
【解答】解：①符合一元二次方程的条件，故正确；
②是无理方程，故错误；
③是分式方程，故错误；
④可化为x2+3x﹣3=0，符合一元二次方程的条件，故正确；
⑤可化为﹣41x+14=0，含一个未知数，是一元一次方程，故错误；
故是一元二次方程的只有①④．
故选B．
【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a ≠0的条件．判断是否是一元二次方程，应先化为一般形式再判断．
7．元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少设数学兴趣小组人数为x 人，则可列方程为（）
A．x（x﹣1）=90 B．x（x﹣1）=2×90 C．x（x﹣1）=90÷2 D．x（x+1）=90
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】如果设数学兴趣小组人数为x人，每名学生送了（x﹣1）张，共有x人，则一共送了x（x﹣1）张，再根据“共互送了90张贺年卡”，可得出方程为x（x﹣1）=90．
【解答】解：设数学兴趣小组人数为x人，
每名学生送了（x﹣1）张，
共有x人，
根据“共互送了90张贺年卡”，
可得出方程为x（x﹣1）=90．
故选A．
【点评】读清题意，找准数量关系，列出方程．
8．小王家新锁的密码是6位数，他记得前两位数是23，后两位数是32，中间两位数忘了，那么他一次按对的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】用列表法列举出可能出现的所有情况，让1除以总情况数即为所求的概率．
【解答】解：中间两位数的可能组合如图，共100种情况，故他一次按对的概率是．故选D．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
9．在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，能判定这个四边形是正方形的是（）
A．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD B．AB∥CD，AC=BD
C．AO=BO，∠A=∠C D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
【考点】正方形的判定．
【分析】根据正方形的判定对各个选项进行分析从而确定最后答案．
【解答】解：A，能，因为对角线相等且互相垂直平分；
B，不能，只能判定为等腰梯形；
C，不能，不能判定为特殊的四边形；
D，不能，只能判定为菱形；
故选A．
【点评】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
10．若实数a，b（a≠b）分别满足方程a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，则的值为（）A．B．C．或2 D．或2
【考点】根与系数的关系．
【分析】由实数a，b满足条件a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，可把a，b看成是方程x2﹣7x+2=0的两个根，再利用根与系数的关系即可求解．
【解答】解：由实数a，b满足条件a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，
∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2=0的两个根，
∴a+b=7，ab=2，
∴====．
故选A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．矩形的一边长是 3.6cm，两条对角线的夹角为60°，则矩形对角线长是7.2cm或cm ．
【考点】矩形的性质．
【分析】分两种情况：①边长3.6cm为短边时；②边长3.6cm为长边时；由矩形的性质和等边三角形的性质以及三角函数求出AB，即可得出结果．
【解答】解：分两种情况：
①边长3.6cm为短边时，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OB，
∵两对角线的夹角为60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA=OB=AB=3.6cm，
∴AC=BD=2OA=7.2cm；
②边长3.6cm为长边时，
∵四边形ABCD为矩形
∴OA=OB，
∵两对角线的夹角为60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA=OB=AB，BD=2OB，∠ABD=60°，
∴OB=AB===（cm），
∴BD=cm．
综上所述：对角线的长度为7.2cm或cm．
【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
12．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是 3 cm2．
【考点】菱形的性质．
【分析】由知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求得答案．
【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，
∴它的面积是：×2×3=3（cm2）．
故答案为：3．
【点评】此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线乘积的一半．
13．如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF 的面积为 2 ．
【考点】正方形的性质．
【分析】设正方形CEFH边长为a，根据S△BDF=S正方形ABCD+S正方形CEFH﹣S△ABD﹣S△DHF﹣S△BEF求解即可．【解答】解：设正方形CEFH的边长为a，根据题意得：
S△BDF=S正方形ABCD+S正方形CEFH﹣S△ABD﹣S△DHF﹣S△BEF
=4+a2﹣×4﹣a（a﹣2）﹣a（a+2）
=2+a2﹣a2+a﹣a2﹣a
=2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了正方形的性质，正确的列出阴影部分的面积式子是解本题的关键．
14．第三届全国智力运动会将于2015年10月在山东枣庄隆重举行，届时滕州某初中学校将从小记者团内负责体育赛事报道的3名同学（2男1女）中任选2名前往采访，那么选出的2名同学恰好是一男一女的概率是．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2名同学恰好是一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，选出的2名同学恰好是一男一女的有4种情况，
∴选出的2名同学恰好是一男一女的概率是： =．
故答案为：．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15．若△ABC的一边为4，另两边分别满足x2﹣5x+6=0的两根，则△ABC的周长为9 ．【考点】根与系数的关系．
【分析】设x2﹣5x+6=0的两个根分别为x1、x2，由根与系数的关系可得出x1+x2=5，再加上三角形的另外一边长度即可得出结论．
【解答】解：设x2﹣5x+6=0的两个根分别为x1、x2，
则有x1+x2=﹣=﹣=5，
△ABC的周长为x1+x2+4=5+4=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及三角形的周长，解题的关键是找出三角形的两边之和．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根与系数的关系得出两根之和，再结合三角形的周长公式即可解决问题．
16．如图，正方形ABCD中，AB=3，延长BC至E，使BE=BD，则△BDE的面积为．
【考点】正方形的性质．
【分析】根据正方形的性质得出BD=，进而根据BE=BD得出CE=，得出△DCE
的面积，再计算出△BCD的面积，两面积相加即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=3，
∴BD=BE=，
∴CE=BE﹣BC=，
∴△DCE的面积=，
∵△BCD的面积=，
∴△BDE的面积=△DCE的面积+△BCD的面积
=，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，三角形面积的计算，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）
17．解方程：3x2﹣6x+1=0．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】利用配方法解方程的步骤，①移项，②二次项系数化1，③配方，方程两边加一次项系数一半的平方，④开平方，得出方程的根．
【解答】解：3（x2﹣2x）=﹣1．
3（x2﹣2x+1﹣1）=﹣1，
3（x﹣1）2=﹣1+3，
x﹣1=±，
x1=1+，x2=1﹣；
【点评】此题主要考查了配方法解一元二次方程，配方过程中应注意，二次项系数化一各项都要除以二次项系数，以及方程两边应同时加一次项系数一半的平方．
18．已知关于x的一元二次方程：（m﹣1）x2+2mx+m+3=0有实数根，求m的取值范围．【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且△=4m2﹣4（m﹣1）•（m+3）
≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且△=4m2﹣4（m﹣1）•（m+3）≥0，
解得m≤且m≠1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）
19．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．
求证：四边形BMDN是菱形．
【考点】菱形的判定．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OB=OD，根据两直线平行，内错角相等可得∠OBN=∠ODM，然后利用“角边角”证明△BON和△DOM全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=MD，从而求出四边形BMDN是平行四边形，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得MB=MD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】证明：∵MN是BD的垂直平分线，
∴OB=OD，∠BON=∠DOM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠OBN=∠ODM
在△BON和△DOM中，
，
∴△BON≌△DOM（ASA），
∴BN=MD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN是BD的垂直平分线，
∴MB=MD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，主要利用了矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
20．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．
（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出300+100×只粽子，利润为（1﹣m）（300+100×）元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；利润等于销售量乘以单价即可得到；
（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．
【解答】解：（1）300+100×，
（1﹣m）（300+100×）．
（2）令（1﹣m）（300+100×）=420．
化简得，100m2﹣70m+12=0．
即，m2﹣0.7m+0.12=0．
解得m=0.4或m=0.3．
可得，当m=0.4时卖出的粽子更多．
答：当m定为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来．
21．某教室的开关控制板上有四个外形完全相同的开关，其中两个分别控制A、B两盏电灯，另两个分别控制C、D两个吊扇．已知电灯、吊扇均正常，且处于不工作状态，开关与电灯、电扇的对应关系未知．
（1）若四个开关均正常，则任意按下一个开关，正好一盏灯亮的概率是多少？
（2）若其中一个控制电灯的开关坏了，则任意按下两个开关，正好一盏灯亮和一个扇转的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）根据概率的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率．
（2）用列表法或树状图法列举出所以可能，再利用概率公式解答即可．
【解答】解：（1）P（正好一盏灯亮）=．（2分）
（2）不妨设控制灯A的开关坏了．
画树状图如下：
所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有4种．
∴P（正好一盏灯亮和一个扇转）=．（6分）
方法二
列表格如下：
A B C D
A A、
B A、
C A、D
B B、A B、
C B、D
C C、A C、B C、D
D D、A D、B D、C
所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有4种．
∴P（正好一盏灯亮和一个扇转）=．（6分）
由此可知P（正好一盏灯亮和一个扇转）=．（8分）
【点评】本题主要考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
22．如图，AC是正方形ABCD的对角线，点O是AC的中点，点Q是AB上一点，连接CQ，DP ⊥CQ于点E，交BC于点P，连接OP，OQ；
求证：
（1）△BCQ≌△CDP；
（2）OP=OQ．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据正方形的性质和DP⊥CQ于点E可以得到证明△BCQ≌△CDP的全等条件；（2）根据（1）得到BQ=PC，然后连接OB，根据正方形的性质可以得到证明△BOQ≌△COP 的全等条件，然后利用全等三角形的性质就可以解决题目的问题．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD，（2分）
∴∠2+∠3=90°，
又∵DP⊥CQ，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3，
在△BCQ和△CDP中，
．
∴△BCQ≌△CDP．
（2）连接OB．
（6分）
由（1）：△BCQ≌△CDP可知：BQ=PC，（7分）
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
而点O是AC中点，
∴，（9分）
在△BOQ和△COP中，．
∴△BOQ≌△COP，
∴OQ=OP．（10分）
【点评】解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用它们构造证明全等三角形的条件，然后通过全等三角形的性质解决问题．
23．如图，两张宽为1cm的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分部分是四边形ABCD，
（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由
（2）若∠BAD=30°，求重叠部分的面积．
【考点】菱形的判定与性质．
【分析】（1）考查菱形的判定，四条边相等的四边形即为菱形；
（2）要求重叠部分的面积，根据面积公式，求出底和高即可．可以通过作辅助线求得．【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，
理由是：如图1所示：
∵依题意可知AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
分别作CD，BC边上的高为AE，AF，
∵两纸条相同，
∴纸条宽度AE=AF，
∵平行四边形的面积为AE×CD=BC×AF，
∴CD=BC，
∴平行四边形ABCD为菱形；
（2）如图2所示，过B、D两点分别作BE⊥AD、DF⊥AB，垂足分别为E、F，
∵宽为1cm，
∴BE=DF=1cm，
∵∠BAD=30°，
∴AB=2cm，
∴重叠部分的面积为DF×B=1×2=2cm2．
【点评】本题考查了菱形的性质和判定，面积公式的综合运用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
21。