2022-2023学年湖北省黄冈市高一下学期第六次阶段性测试数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省黄冈市高一下学期第六次阶段性测试数学试题
一、单选题
1．已知i 是虚数单位，复数z 满足()()2
3i 2i z +=+，则复数z 的共轭复数虚部为（）
A ．
32
B ．1
2
C ．12
-
D ．32
-
【答案】B
【分析】由复数的运算直接求解得到31
i 22
z =
-，再由共轭复数的概念求解即可.【详解】由题知，()()()()()2
253i 53i 5313i (2i)5,i,3i 3i 3i 3122
z z --+=+==
===-++-+∴复数z 的共轭复数为31i,22
z =
+∴复数z 的共轭复数虚部为12，
故选：B.
2．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（）
A ．若,,,m m n n αβαβ∥∥∥∥，则αβ∥
B ．若,,m n m n αβ⊥⊥∥，则αβ⊥
C ．若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥
D ．若,,m n m n αβ⊥⊥∥，则αβ∥【答案】D
【分析】在A 中，α与β相交或平行；在B 中，α与β相交或平行；在C 中，α与β相交或平行；在D 中，由线面垂直，线线平行的性质得//αβ．
【详解】m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，知：在A 中，若//m α，//m β，//n α，//n β，则α与β相交或平行，故A 错误；在B 中，若m n ⊥，//m α，n β⊥，则α与β相交或平行，故B 错误；在C 中，若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则α与β相交或平行，故C 错误；
在D 中，若//m n ，m α⊥，n β⊥，则由线面垂直，线线平行的性质可得//αβ，故D 正确．故选：D ．
3．已知二面角l αβ--的大小为60︒，m ､n 为异面直线，且m α⊥，n β⊥，则m ､n 所成的角为（）
A ．30︒
B ．60︒
C ．90︒
D ．120︒
【答案】B
【分析】由条件m α⊥，n β⊥可知m ，n 所成的夹角与二面角l αβ--所成的角相等或互补，而异
面直线所成角的范围是090θ︒<≤︒，所以m ，n 所成的角为二面角l αβ--所成的角.【详解】解：∵m α⊥，n β⊥，
∴m ，n 所成的夹角与二面角l αβ--所成的角相等或互补.∵二面角l αβ--为60︒，∴异面直线m ，n 所成的角为60︒.故选：B.
4．如图1，在高为h 的直三棱柱容器111ABC A B C -中，2,AB AC AB AC ==^.现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB 于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为11A B C （如图2），则容器的体积为（
）
A ．
42
3
B ．3
C ．
83
D ．6
【答案】D
【分析】设容器体积为V ，水的体积为14V =，无水部分为三棱锥，体积为213
V V =，1
43V V -=，
解得答案.
【详解】设容器体积为V ，水的体积为11
22242
V =⨯⨯⨯=，
无水部分为三棱锥，体积为213
V V =，12
433V V V -==，故6V =.
故选：D
5．已知ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ．若OA AB = ，且20OA AB AC ++=
，则·CACB 等于
A ．3
B ．23
C ．
32
D ．3
【答案】D
【详解】试题分析：因为20OA AB AC ++=
，所以()()0OA AB OA AC +++= ，所以0OB OC += ，O
为BC 的中点，故ABC ∆是直角三角形，角A 为直角.又，故有AOB ∆为正三角形，
3AC = ，1AB = ，CA 与CB
的夹角为30 ，由数量积公式可得选D.
【解析】平面向量的线性运算，平面向量的数量积、模及夹角.6．若π02α<<，02βπ<<，3cos()5αβ+=，π5sin 413β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（
）
A ．
2
2
B ．
32
C ．
5665
D ．
3665
【答案】C
【分析】由已知，结合角的范围，即可得出4sin()5αβ+=，π12cos 413β⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
.然后根据两角差余弦公
式，即可得出答案.【详解】因为π
02α<<
，02
βπ<<，所以0παβ<+<，所以，2
4
sin()1cos ()5
αβαβ+=-+=
.又πππ444β-
<-<，所以2ππ12cos 1sin 4413ββ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.所以，
()ππcos cos 44ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦()()ππcos cos sin sin 44αββαββ⎛⎫⎛
⎫=+-++- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭3124556
51351365
=⨯+⨯=.故选：C.
7．正四棱台上、下底边长为2、22，外接球表面积为20π，则正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为（）
A ．1
B ．3
C ．1或3
D ．1
2或
3
2
【答案】C
【分析】在正四棱台1111ABCD A B C D -中，取截面11AAC C ，设正方形ABCD 、1111D C B A 的中心分别为
O 、1O ，分析可知球心在直线1OO 上，对球心的位置进行分类讨论，求出1OO 的长，利用线面角的
定义可求得结果.
【详解】在正四棱台1111ABCD A B C D -中，设其上底面为正方形ABCD ，下底面为正方形1111D C B A ，
设正方形ABCD 、1111D C B A 的中心分别为O 、1O ，
由正四棱台的几何性质可知，1OO ⊥平面1111D C B A ，取截面11AAC C ，则正四棱台的外接球球心E 在直线1O O 上，分以下两种情况讨论：①E 在AC 、11AC 的同侧，如下图所示：
设球E 的半径为R ，则24π20πR =，可得5R =，由圆的几何性质可知EO AC ⊥，111EO A C ⊥，
且2222AC AB ==⨯=，111122224A C A B ==⨯=，
所以，22512OE EA OA =-=-=，22111
541EO EA AO =-=-=，所以，11211OO EO EO =-=-=，过点A 在平面11AAC C 内作11AF AC ⊥，
因为11//AC A C ，11AF A C ⊥，111OO A C ⊥，1//AF OO ∴，
则四边形1AOO F 为矩形，且11AF OO ==，11O F AO ==，111211A F AO O F =-=-=，因为1//AF OO ，则AF ⊥平面1111D C B A ，则1AA 与平面1111D C B A 所成角为1AA F ∠，且11tan 1AF
AA F A F
∠=
=；②若球心E 在线段1OO 上，如下图所示：
设球E 的半径为R ，则24π20πR =，可得5R =，由圆的几何性质可知EO AC ⊥，111EO A C ⊥，
且2222AC AB ==⨯=，111122224A C A B ==⨯=，
所以，22512OE EA OA =-=-=，22
111
541EO EA AO =-=-=，所以，11213OO EO EO =+=+=，过点A 在平面11AAC C 内作11AF AC ⊥，
因为11//AC A C ，11AF A C ⊥，111OO A C ⊥，1//AF OO ∴，
则四边形1AOO F 为矩形，且13AF OO ==，11O F AO ==，111211A F AO O F =-=-=，因为1//AF OO ，则AF ⊥平面1111D C B A ，则1AA 与平面1111D C B A 所成角为1AA F ∠，且11tan 3AF
AA F A F
∠=
=.综上所述，正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为1或3.故选：C.
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin h
l
θ=
（l 为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a
为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线
面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=
.
8．在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足2cos c b b A -=.若
()()sin cos 3C B C B λ+--<恒成立，则实数λ的取值范围为（
）
A ．(),4-∞
B ．(]
,4∞-C ．53,3⎛⎤-∞ ⎥ ⎝⎦D ．53,3⎛⎫
-∞ ⎪ ⎪⎝⎭
【答案】B
【分析】首先利用正弦定理进行“边化角”，而后通过代换减少变量，利用函数的值域即可解决问题，特别注意这里不满足基本不等式的应用条件.
【详解】由正弦定理可知，2cos c b b A -=⇔sin sin 2sin cos C B B A -=①，又因为A B C π++=，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+②，将②式代入①式可得sin cos sin sin cos A B B B A -=，整理得sin()sin A B B -=，因为(),0,A B π∈，所以A B B -=，即2A B =，又因为A B C π++=，所以3C B π=-，即可得
2
cos()cos(4)cos 4cos 22sin 1
C B B B A A π-=-=-=-=-又有()()sin cos 3C B C B λ+--<恒成立⇔23cos()2sin 2
sin()sin C B A C B A λ+-+<=+恒成立，
又因为ABC 是锐角三角形，所以,,0,2A B C π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,
即022032B B ππ
π⎧
<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩
，解得64B ππ<<，
所以2,32A B ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，故3sin ,12A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭
.设sin t A =，则易知1()f t t t =+在区间3,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递减，故732()6f t <<，所以22sin 217324,sin 3A t A t ⎛⎫
+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故4λ≤，即(],4λ∈-∞.故选：B
二、多选题
9．在ABC 中，已知3a =，2b =，45B = ，则角A 的值可能为（）
A ．30
B ．120
C ．60
D ．150
【答案】BC
【分析】根据正弦定理求出sin A ，再根据a b >可得结果.
【详解】由正弦定理得sin sin a b A B
=，得2
3sin 32sin 22
a B A
b ⨯
===，因为a b >，且0180A << ，所以60A = 或120A =o .故选：BC.
10．下列论断中，正确的有（
）
A ．在ABC 中，若A 为钝角，则sin sin cos cos
B
C B C
+<+B ．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22tan tan a B b A =，则ABC 为等腰三角形C ．已知向量a 是非零向量，则向量a 与向量b 共线⇔存在不全为零的实数12,λλ，使120
a b λλ+=
D ．向量a b c ､､满足a b a c ⋅=⋅
，则0a =或b c
= 【答案】AC
【分析】确定π
2
B C <
-，根据三角函数得到单调性得到sin cos C B <，A 正确，取特殊值排除B ，根据向量的运算知C 正确，当a b ⊥ ，且a c ⊥
时等式成立，D 错误，得到答案.
【详解】对选项A ：π0,2B C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π2B C <-，ππ0,22C ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，π0,2B ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
故πsin sin cos 2B C C ⎛⎫
<-= ⎪⎝⎭，同理sin cos C B <，故sin sin cos cos B C B C +<+，正确；
对选项B ：取π3A =，π6
B =，则
sin 3sin a A
b B
==，满足22tan tan a B b A =，错误；对选项C ：非零向量a
与向量b 共线，则b a λ= ，即存在不全为零的实数12,λλ，
使120a b λλ+=
；
若120a b λλ+=
，20λ≠，12
b a λλ=- ，故向量a 与向量b 共线，正确；
对选项D ：当a b ⊥ ，且a c ⊥ 时，a b a c ⋅=⋅
，错误.
故选：AC
11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，有下列判断，其中正确的是（
）
A ．异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是π0,3⎛
⎤
⎥
⎝⎦B ．三棱锥1D APC -的体积不变C ．平面1PB D ⊥平面1
ACD D ．若1AB =，则1CP PD +的最小值为22+【答案】BCD
【分析】根据P 为1BC 中点时，异面直线1A P 与1AD 所成角为
π
2
判断A ；根据1111111
12
D APC C D AP B C V V AD D C --==
⋅⋅⋅判断B ；证明1B D ⊥平面1ACD 即可判断C ；将平面1BCC 沿1BC 展开使其与平面11ABC D 重合时，再求1D C 的距离即可判断D.
【详解】解：对于A 选项，由正方体的性质易知11//AD BC ，11A BC V 为等边三角形，所以，当P 为1BC 中点时，11BC A P ⊥，
所以11AD A P ⊥，此时，异面直线1A P 与1AD 所成角为
π
2
，故A 选项错误；对于B 选项，由正方体的性质易知AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，侧面11BCC B 为正方形，所以1AB B C ⊥，11B C BC ⊥，由于11,,AB BC B AB BC =⊂ 平面11ABC D ，所以1B C ⊥平面11
ABC D 设C 到平面1D AP 的距离为h ，则11
2
h B C =
，因为11111
2
D AP S AD D C =⋅⋅ ，
所以，三棱锥1D APC -的体积111111111
312
D APC C D AP D AP B C V V S h AD D C --==
⋅=⋅⋅⋅ ，故正确；对于C 选项，由正方体的性质易知11A B ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以11AD DA ⊥，111A B AD ⊥，由于1111A B A D A = ，111,A B A D ⊂平面11A B D ，所以1AD ⊥平面11A B D ，1B D ⊂平面11A B D ，所以11AD B D ⊥，同理证得1AC B D ⊥，由于1AD AC A = ，1,AD AC ⊂平面1AD C ，所以1B D ⊥平面1AD C ，因为1B D ⊂平面1B DP ，
所以平面1PB D ⊥平面1ACD ，故C 选项正确；
对于D 选项，根据题意，将平面11BCC B 沿1BB 展开使其与平面11BDD B 重合时，如图，因为1AB =，所以111111,2AB BC CC C D AD BC ======，1BC CC ⊥，
所以212
12212222C PD CD P ⎛⎫⎛⎫
≥=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭+⎝⎭，故正确；
故选：BCD
12．在正三棱台111ABC A B C -中，111A B =，12AA =，3AB =，2BM MA = ，2CN NA =
，过MN 与1
AA 平行的平面记为α，则下列命题正确的是（
）
A ．四面体11AB
B
C 的体积为
22
B ．四面体11ABB
C 外接球的表面积为12πC ．α截棱台所得截面面积为2
D ．α将棱台分成两部分的体积比为
313
【答案】ABC
【分析】对于A ，利用等体积转换求得结果；对于B ，四面体11ABB C 的外接球即为正三棱台
111ABC A B C -的外接球，找到球心，求其半径即可；对于C ，根据线面平行的判定作出平面α，截
棱台所得截面为长方形11MNC B ，求其面积即可；对于D ，根据棱台与棱柱的体积公式求解.【详解】如图1，O ，1O 分别是正三棱台的底面中心，1OO ⊥平面ABC ，由题意，可得3OC =，1133
=
O C ，
过点1C 作1⊥C H OC 于点H ，由112AA CC ==，23
3
=-=CH OC OH ，
可得棱台的高2
22211126
23233⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭
-=-=h OO C H CC CH .连结1,MN NC ，由2BM MA = ，2CN NA =
，得出,M N 分别为,AB AC 的三等分点，
所以MN BC ∥，又11BC B C ∥，所以11MN B C ，又1
13
=
=MN BC ，11111A B B C ==，所以11=MN B C ，所以四边形11MNC B 为平行四边形.又111==A B AM ，11A B AM ，所以四边形11AMB A 为平行四边形，所以11AA MB ，又1BM ⊂平面11MNC B ，1AA ⊄平面11MNC B ，所以1AA //平面11MNC B ，则α为平面11MNC B .对于A ，由11C N MB ，同理可证1C N //平面11A ABB ，三角形ABN 的面积为
334，1B 到平面ABC 的距离为126
3
OO =.则四面体11ABB C 的体积111111133262
3432
----====⨯⨯=
A B
B
C C ABB N ABB B ABN V V V V ，故A 正确；
对于B ，四面体11ABB C 的外接球，即为正三棱台111ABC A B C -的外接球，设外接球半径为r ，由126
3
OO =
，1133=O C ，3OC =，
2211113=+==OC OO O C OC ，可知球心即为O ，
故3r OC ==，所以外接球表面积24π12π==S r ，故B 正确；
对于C ，如图2，1OO ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1OO BC ⊥，又AO BC ⊥，1= AO O O O ，所以BC ⊥平面11AOO A ，又1AA ⊂平面11AOO A ，所以1AA BC ⊥，所以1B M MN ⊥.
α截棱台所得截面为长方形11MNC B ，故其面积为2，故C 正确；
对于D ，棱台111ABC A B C -体积13339326132344436V ⎛⎫=++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，1113262432AMN A B C V -=
⨯=，()
1111112523::2310
AMN A B C AMN A B C V V V ---==，故D 错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．
（1）在ABC 中，若sin cos 1cos sin A B A B =-，则ABC 一定是三角形.(请填写锐角，
直角，或钝角)
（2）ABC 中，6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos C =
.
（3）已知复数z 满足2z =，则2023
34i z ++的最小值是
.
（4）如图所示，空间四边形ABCD 中，两条对边3AB CD ==，,E F 分别是另外两条对边,AD BC 上的点，且
1
,52
AE BF EF ED FC ===，则异面直线AB 和CD 所成角的大小为.
【答案】直角14
-
390︒
【分析】根据两角和差计算求角判断三角形形状；应用余弦定理计算得余弦值；根据给定条件，利用复数模的几何意义求解作答；取点G ，连接EG 、FG ，可知EGF ∠或其补角即为异面直线AD ，
BC 所成的角，在EFG 中，由余弦定理可得cos EGF ∠，结合角的范围可得答案．
【详解】在ABC 中，sin cos 1cos sin A B A B =-，则
()ππ
sin cos cos sin 1sin 1,,22
A B A B A B A B C +=+=+=
∴=，，则ABC 一定是直角三角形；
在ABC 中，6sin 4sin 3sin 643A B C a b c ==∴== ，
，设64312a b c k ===，22222249161
cos 22234
a b c k k k C ab k k +-+-===-⨯⨯；
因为2z =，所以复数z 对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，又34i z +-的几何意义是表示复数z 对应的点与点(3,4)-之间的距离，其最小值为原点到点(3,4)-之间的距离()2
2345+-=减去圆的半径2，
故34i z -+的最小值为523-=；
取BD 上的点G ，//EG AB ，//FG CD 且2=23EG AB =，1
=13
FG CD =，连接EG 、FG ，
所以EGF ∠或其补角即为异面直线AB ，CD 所成的角，在EFG 中，()
2
222
2
2
5
120222o 1
c s EG FG EF E FG
EG G F +-
+-==
=⨯⨯⨯⨯∠，
所以90EGF ∠=o ，由异面直线所成角的范围为(0,90⎤⎦o o ，可知异面直线,AD BC 所成的角为90 ，
故答案为：直角；1
4
-；3；90︒.
四、解答题
14．在ABC ∆中，已知22sin sin (sin sin )sin .A B A C C -=-（1）求内角B 的大小（2）若3
cos ,3
A =
求sin 2C 的值.【答案】（1）3B π=
；（2）223
6
+．【分析】（1）由题意结合正弦定理和余弦定理求得1
2
cosB =
，据此即可求得内角B 的大小；（2）由题意结合(1)的结论首先确定2sin A ，2cos A 的值，然后结合两角和差正余弦公式求解2sin C 的值即可.
【详解】（1）在ABC ∆中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
由正弦定理
a b c sinA sinB sinC
==及()22
sin A sin B sinA sinC sinC -=-得，222a b ac c -=-，即222a c b ac +-=，
由余弦定理得2221
22a c b cosB ac +-==，
因为0B π＜＜，所以3
B π
=.
（2）因为在ABC ∆中，33
cosA =，所以2613
sinA cos A =-=，所以22
223sin A sinAcosA ==
.221
23
cos A cos A sin A =-=-，
而422233C A A πππ⎛
⎫=--=
- ⎪⎝
⎭,所以444223
22223336sin C sin A sin cos A cos sin A πππ+⎛⎫
=-=-=
⎪⎝⎭
.
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
15．已知(1,0)a = ，(1,3)b = ，设3m a b =-
，2.
n ka b =+ (1)若m n ⊥
，求实数k 的值；
(2)当2k =时，求m
与n 的夹角的余弦值；
(3)是否存在实数k ，使//m n
，若存在k ，求出k 的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)1(2)17
(3)存在，6
k =-【分析】（1）由向量,a b 的坐标，可求向量,a b 的模和数量积，若m n ⊥ ，则0m n ⋅=r r ，利用向量,a b
的模和数量积求实数k 的值；
（2）由向量的夹角公式，利用向量,a b
的模和数量积求m 与n 的夹角的余弦值；
（3）由向量的平行条件，求实数k 的值.
【详解】（1）由题意，向量()1,0a =
，()
1,3
b = ，可得1,2,1a b a b ==⋅=
，
由m n ⊥ ，
得
()()
()22323||62||3680m n a b ka b k a k a b b k k ⋅=-⋅+=+-⋅-=+--=
，解得1k =；（2）2k =时，(
)
2
22
||3969647m a b
a a
b b =-=-⋅+=-+= ，
()
2
22||22484481627n a b
a a
b b =
+=+⋅+++=
，
(
)()
2
3226426482m n a b a b a a b b ⋅=-⋅+=+⋅-=+-= ．
∴21cos ||||
7
,727
m n m n n n =
=
⨯=⋅
，∴m 与n
的夹角的余弦值为17
；
（3）由//m n
，则m n λ= 成立，得
()32a b ka b -=+ λ()0λ≠，
因为,a b
不共线，故3=12k λλ⎧⎨-=⎩，解得126
k λ⎧
=-⎪⎨
⎪=-⎩．∴存在实数6k =-，使得//m n
．
16．如图所示，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE
上的点，且BF ⊥平面ACE .
（1）求证：AE BE ⊥.
（2）若点M 在线段AB 上，且满足2AM MB =，则线段CE 上是否存在一点N ，使得//MN 平面ADE ？若存在，求出点N 的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点N 为线段CE 上靠近点C 的三等分点
【解析】（1）由线面垂直性质可得AE BC ⊥，AE BF ⊥，由线面垂直判定定理可证得⊥AE 平面BCF ，由线面垂直性质可证得结论；
（2）作//MG AE 交BE 于点G ，作//GN BC 交EC 于点N ，由线面平行和面面平行的判定定理可证得平面//MGN 平面ADE ，由面面平行性质知//MN 平面ADE ，根据平行线分线段成比例可确定点N 的位置.
【详解】（1）AD ⊥ 平面ABE ，//AD BC BC ∴⊥平面ABE
又AE ⊂平面ABE
AE BC
∴⊥BF ⊥ 平面ACE ，AE ⊂平面ACE
AE BF ∴⊥又BC BF B = ，,BC BF ⊂平面BCF AE ∴⊥平面BCF
BE ⊂ 平面BCF
AE BE
∴⊥（2）存在满足题意的点N
在ABE ∆中，过点M 作//MG AE 交BE 于点G
在BEC ∆中，过点G 作//GN BC 交EC 于点N ，连接MN
//MG AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE //MG ∴平面ADE
//GN BC ，//BC AD ，GN Ë平面ADE ，AD ⊂平面ADE
//GN ∴平面ADE
又GN MG G = ∴平面//MGN 平面ADE
又MN ⊂平面MGN //MN ∴平面ADE
2AM MB
= 2EG GB ∴=，又//GN BC
2EN NC
∴=∴点N 为线段CE 上靠近点C 的三等分点
【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、存在性问题的求解，涉及到线面垂直的判定与性质定理、线面平行和面面平行的判定与性质定理的应用；证明线线垂直的关键是能够利用线面垂直的性质定理证得结论.
17．如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，PA 是圆柱的母线，PA =3，AD =2AB =2，120BAD ∠=︒，C 是 BD
上的一个动点.
(1)求圆柱的表面积
(2)求四棱锥P ABCD -的体积的最大值【答案】(1)14621
π3
+(2)
934
【分析】（1）利用余弦定理求出BD ，再利用正弦定理求出圆柱底面半径为r ，进而求出结果；（2）利用余弦定理结合基本不等式求出7BC CD ⋅≤，再利用体积公式求出结果.【详解】（1）如图：
连接BD ，在ABD △中，1AB =，2AD =，120BAD ∠=︒，由余弦定理，得2222cos 7BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=，所以7BD =，设圆柱底面半径为r ，由正弦定理，得7221
2sin sin1203
BD r BAD =
==
∠︒，所以213r =，故圆柱的表面积()221π21146212π3π333S r r PA ⎛⎫+=+=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭
圆柱；（2）由（1）知，BCD △中，7BD =，18060BCD BAD ∠=︒-∠=︒，由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD BCD
=+-⋅∠222BC CD BC CD BC CD BC CD BC CD =+-⋅≥⋅-⋅=⋅，即7BC CD ⋅≤，
当且仅当7BC CD ==时，等号成立，
所以1173
sin 7sin 60224
BCD S BC CD BCD =⋅∠≤⨯︒=△，
因为113
sin 12sin120222
ABD S AB AD BAD =
⋅∠=⨯⨯︒=△，又3PA =，所以四棱锥P ABCD -的体积，()111373933333244P ABCD ABCD ABD BCD V S PA S S PA -⎛⎫=
⋅=+⋅≤⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
△△，故四棱锥P ABCD -的体积P ABCD V -的最大值为
93
4
.
18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,AB BC CC AB BC ===
⊥.
(1)求证：11AC B C ⊥；
(2)求1B C 与平面11AAC C 所成的角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)30
【分析】（1）根据直三棱柱111ABC A B C -的性质和各棱长可知，连接1BC ，利用线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面11BB C C ，易知四边形11BCC B 为菱形，可得1B C ⊥平面1ABC ，由线面垂直的性质即可得11AC B C ⊥；
（2）取11AC 的中点E ，连接1,B E CE ，可证明1ECB ∠是1CB 与平面11AAC
C 所成角的平面角，在1Rt CEB 中，易知111,2B E CB ==，11sin 2
ECB ∠=
，即1CB 与平面11AAC C 所成的角的大小为30
.【详解】（1）连接1BC 与1B C 相交于点D ，如下图所示
在直棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面,ABC AB Ì平面ABC ，
1B B A
B ∴⊥，又1,AB B
C BC BB B ⊥⋂=，1,BC BB ⊂平面11BB C C ，所以，AB ⊥平面11BB C C ，
又1B C ⊂ 平面11BB C C ，1AB B C
∴⊥1BC CC = ，∴四边形11BCC B 为菱形，即11
B C BC ⊥又1AB BC D ⋂= ，且1,AB BC ⊂平面1ABC ，
1B C ∴⊥平面1ABC ，又1AC ⊂Q 平面1ABC ，11B C AC ∴⊥.
（2）取11AC 的中点E ，连接1,B E CE .
如下图所示；
111111,A B B C A E EC == ，111
B E A
C ∴⊥又1CC ⊥ 平面1111,A B C B E ⊂平面111A B C ，
11,
CC B E ∴⊥又1111A C CC C =Q I ，且111,AC CC ⊂平面11AAC C ，
1B E ∴⊥平面11AAC C ，
CE ∴是1CB 在面11AAC C 内的射影，1ECB ∠是1CB 与平面11AAC C 所成角的平面角.
在1Rt CEB 中，易知111,2B E CB ==，
1111
sin 2
B E ECB CB ∠∴=
=，130ECB ∠∴=
即1CB 与平面11AAC C 所成的角的大小为30
.
19．“方舱医院”原为解放军野战机动医疗系统中的一种，是可以移动的模块化卫生医疗平台，一般由医疗功能区、病房区等部分构成，具有紧急救治、外科处置、临床检验等多方面功能．某市有一块扇形地块，因疫情所需，当地政府现紧急划拨该地块为方舱医院建设用地．如图所示，平行四边形OMPN 区域拟建成病房区，阴影区域拟建成医疗功能区，点P 在弧AB 上，点M 和点N 分别在线段OA 和线段OB 上，且90OA =米，π
3
AOB ∠=
．记POB θ∠=．
(1)当π
4
θ=
时，求OM ON ⋅ ；(2)请写出病房区OMPN 的面积S 关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，S 取得最大值．【答案】(1)1350(31)-；
(2)ππ27003sin 213503,063S θθ⎛
⎫=+-<< ⎪⎝
⎭，π6θ=.
【分析】（1）利用正弦定理求出,ON OM ，再利用数量积的定义求解作答.
（2）利用正弦定理用θ表示出,ON OM ，再利用三角形面积公式、结合三角恒等变换求解作答.【详解】（1）四边形OMPN 是平行四边形，在OPM 中，π2ππ
,,4312
OPM POB OMP POM ∠=∠=
∠=∠=，90OP =，πππππππ62
sin
sin()sin cos cos sin 124646464
-=-=-=
，由正弦定理得：sin sin sin PM OM OP POM OPM OMP
==∠∠∠，即
90
ππ2πsin sin sin 1243PM OM ==
，于是90626
45(2)433
2
ON PM -==
⨯=-，902306232OM =
⨯=，所以61||cos 30645(2)1350(31)||32
OM ON OM B ON AO =∠=⨯-⨯⋅=- .
（2）四边形OMPN 是平行四边形，在OPM 中，2ππ
,,33
OPM POB OMP POM θθ∠=∠=∠=
∠=-，90OP =，由正弦定理得：sin sin sin PM OM OP
POM OPM OMP
==∠∠∠，即90
πsin 3sin()32PM OM θθ==-，
因此π
603sin(),603sin 3
PM OM θθ=-=，
从而1π3
22sin 603sin()603sin 232POM S S PM OM OMP θθ==⨯⋅∠=-⋅⋅
(
)
2π3154003sin sin 54003cos sin sin 270033sin cos sin 322θθθθθθθθ
⎛⎫⎛⎫
=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
311π
27003(
sin 2cos 2)27003sin(2)13503
2226
θθθ=+-=+-，π03θ<<，显然ππ5π2666θ<+<，因此当ππ
262θ+=，即π6θ=时，πsin(2)16
θ+=，S 取得最大值，
所以ππ27003sin 213503,063S θθ⎛
⎫=+-<< ⎪⎝
⎭，当π6θ=时，S 取得最大值.。