初等数论《完全平方数》 习题集(1)
第六节 完全平方数(含答案)-
第六节完全平方数内容讲解完全平方数在有理数范围内是指0.25=0.52，19=（13）2，…等，在实数范围内是指2=）2•，12=（2，…等一类的数．我们现在研究的完全平方数是指自然数范围内的平方数．如0=02，1=12，4=22，9=32，…，完全平方数用n2表示（n是自然数）．从完全平方数的末位数字看，只可能是0，1，4，5，6，9这6个数字；•而个位数字是2，3，7，8的数，一定不是完全平方数．这可以作为判断完全平方数的一种方法．在自然数范围内，完全平方数还有如下一些性质，也可以作为判断完全平方数的依据．（1）平方数的约数个数只能是奇数；反之，一个正整数的约数个数是奇数，则这个正整数一定是完全平方数．（2）形如4k+2或4k+3的数，不是完全平方数．即任何一个完全平方数必定是4的倍数，或被4除余1的数．（3）两个连续自然数的平方之间，没有完全平方数．即自然数a满足n2<a<（n+1）2，则a不是完全平方数．（4）任何大于4的完全平方数，必可表示成两个自然数的平方差的形式．例题剖析例1 已知a是自然数，试说明5（a2+3）不是完全平方数．分析：由完全平方数的个位数字只可能是0、1、4、5、6、9，只要说明a2+3的个位数字，不可能是0或5即可．解：∵a是自然数，a2的个位数字只能是0、1、4、5、6、9．∴a2+3的个位数字只能是2、3、4、7、8、9．也就是说，a2+3的个位数字，不可能是0或5，a2+3中不含因数5．即可得知5（a2+3）不是完全平方数．评注：用个位数字来判断一个数是否完全平方数，是判断完全平方数的基本方法．例2 若a是正整数，说明a（a+1）不是完全平方数．分析：a2与（a+1）2是两个连续的正整数的平方数，只要说明a（a+1）是介于a2与（a+1）2之间的数即可．解：∵a2<a2+a<a2+2a+1．（a为正整数）即a2<a（a+1）<（a+1）2．∴a（a+1）不是完全平方数．评注：利用完全平方数的性质（3），来判断一个数是否完全平方数，也是常用的一种判断方法．例3一个自然数，如果加上100是一个完全平方数，如果加上73是另一个完全平方数，求这个自然数．分析：设所求的自然数为n，由已知条件可列出n+100=a2，n+73=b2，再解方程组得a、b的值，然后求出这个自然数．解：设所求的自然数为n，依题意，得n+100=a2，n+73=b2两式相减，得a2-b2=27，∴（a+b）（a-b）=27．又∵27=1×27=3×9，且a+b>a-b．可解9,27,3; 1.a b a ba b a b+=+=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩或得a=6，b=3；（不合题意，舍去）．而a=14，b=13．则n=142-100=132-73=96．评注：利用质因数分解，来得到方程组，求出符合条件的自然数．分解质因数时，要考虑到所有可能的分解．例4已知一个自然数的平方的十位数字是7，求这个自然数的个位数字．分析：设这个自然数N的末两位数为ab，那么（10a+b）2=100a2+20ab+b2．知道N2的十位数字为7，就可求出个位数字．解：设所求自然数为N，十位数字为a，个位数字为b．且（10a+b）2=100a2+20ab+b2=100a2+2ab×10+b2．∵N2的十位数字为7，而2ab是偶数，所以b2必进位，且所进位的数是奇数．∵只有42=16，62=36，进到十位上的数才是奇数1、3，∴b只能是4或6．评注：一个整数的平方数的末两位数字，只能由这个整数的末两位数字确定．•因此，本例只关心该自然数的末两位数的末两位数字组成的数的平方．巩固练习1．填表（第1列填自然数N的个位数字，每空填2个；第2列填上对应的N的个位数字）：N2的个位数字有_______个，它们是________．2．选择题：（1）自然数从小到大排列0、1、2、3，…，其中一个自然数是n的完全平方，•则它前面的一个完全平方数是（）（A）n-1（B）n2-1 （C）n2-2n+1 （D）n2+2n+1（2）下列四个数中，只有一个是完全平方数，它是（）（A）513231 （B）121826 （C）122530 （D）625681（3）2、9、8、0四个数中，完全平方数、偶数、合数、质数的个数依次是（）（A）2，3，2，1 （B）1，2，3，1 （C）2，3，1，2 （D）1，3，2，1 3．一个自然数如果加上60，则为一完全平方数，如果加上43，•则为另一完全平方数，求这个自然数．4．求一个能被180整除的最小完全平方数．5．一个两位数与它的反序数（个位数字与十位数字交换）的和是一个完全平方数，求这样的两位数．6．求一个四位数，使它前两位数字相同，后两位数字也相同，•且这个四位数是完全平方数．7．正整数的平方按大小排成149****3649…，那么第85•个位置上的数字是几？8．已知a是正整数，且a2+2004a是一个正整数的平方，求a的最大值．答案:1．N2的个位数字只有0，1，4，5，6，9，共6个．2．（1）C；（2）D；（3）A3．所求自然数为214．9005．29与92，38与83，47与74，56与656．77447．322=1024，第85个位置上的数字刚才是1024的个位4．8．设a2+2004a=m2，m是正整数，配方得（a+1002）2-m2=10022=22×32×1672，a+1002+m、a+1002-m都是偶数，且a+1002+m>a+1002-m>0，再解22100223167,1002 2.a ma m⎧++=⨯⨯⎨+-=⎩得m=251000，a=250000．。
小学奥数 完全平方数 知识点+例题+练习 (分类全面)
11112=1234321
一、“平方族”成员典型特征一：个位是0，1，4，5，6，9。
例：下面是一个算式：1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6。这个算式的得数能否是某个数的平方。
巩固、一天，一个小骗子在街上招摇撞骗，声称自己是完全平方数，只见此人长得这个模样：A＝1＋1×2＋1×2×3＋…＋1×2×3×…×100，小帅侠偶指奇约一眼就瞅出了这家伙的可疑之处，你发现了吗？
五、平方差公式的运用
例1、一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
巩固、能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
1、1＋1×2＋1×2×3＋…＋1×2×3×…×50是不是一个完全平方数
2、 是由2000个“4”组成的多位数， 是不是某个自然数 的平方？如果是，写出 ；如果不是，请说明理由．
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
3、一个数减去14，加上17都是一个完全平方数，求这个数
4、22+42+62+82+102+122+142+……2002除以4的余数是
5、12+22+32+42+52+62+72+……2002除以3的余数是
6、1234321×81是的平方
小学奥数 完全平方数 知识点+例题+练习 (分类全面)
二、完全平方数的等价条件：奇数个因数
注：计算一个数的因数先把这个数分解质因数，然后把不同质因数的个数加1以后再相乘所得的乘积就是因数的个数
例如:12=2×2×3
12的质因数2有2个,质因数3有1个因数个数:(2+1)×(1+1)=6个
180=2×2×3×3×5
2．完全平方数的约数一定有奇数个；有奇数个约数的数一定是完全平方数。
3. 奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数
完全平方数除以3的余数只可能为为0或1；
完全平方数除以4的余数只可能为为0或1；
偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1。
（二）一些推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
巩固、已知m，n都是自然数，且n2 126m，则n的最小值为。
四、“平方族”成员典型特征二：除以3或4只能余0或1
注：奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除
例1、形如11，111，1111，11111，…的数中有没有完全平方数？
巩固、A是由2018个“4”组成的多位数，即444444……（2018个4），A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．
961、 3364、1111111、1521、 1234321、 1849、 89234
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
完全平方数奥数题目
完全平方数奥数题目摘要：一、完全平方数的定义和性质1.完全平方数的定义2.完全平方数的性质二、完全平方数的应用1.求解完全平方数2.完全平方数与勾股定理3.完全平方数与概率论三、完全平方数的奥数题目1.判断一个数是否为完全平方数2.求一个数的平方根3.求两个完全平方数的和正文：完全平方数是一个数学概念，它指的是一个数可以表示为某个整数的平方。
例如，4、9、16 等都是完全平方数，因为它们可以表示为2^2、3^2、4^2 的形式。
完全平方数具有一些有趣的性质，例如，如果一个数是完全平方数，那么它的因数一定是成对出现的。
在数学中，完全平方数有着广泛的应用。
例如，在求解完全平方数时，我们可以使用公式：如果一个数的平方根是整数，那么这个数就是完全平方数。
此外，完全平方数还与勾股定理有着密切的关系。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
因此，如果一个数是完全平方数，那么它一定可以表示为两个整数的平方和。
在概率论中，完全平方数也有着重要的应用。
例如，假设有一个袋子，里面有若干个红球和白球，我们想要取出一个红球。
如果我们随机地从袋子中取出一个球，那么取出红球的概率就等于红球的个数除以球的总数。
如果我们想要计算这个概率的平方，那么我们就需要计算所有可能的取球方式的概率，这些概率可以表示为完全平方数。
在奥数比赛中，完全平方数也是一个常见的考点。
例如，可能会给出一个数，要求我们判断它是否为完全平方数。
或者，可能会给出两个数，要求我们求它们的平方和。
对于这类题目，我们需要熟悉完全平方数的性质，并且能够灵活运用它们来解决问题。
总的来说，完全平方数是一个有趣的数学概念，它在数学和概率论中都有着广泛的应用。
六年级下册数学试题-完全平方数(含部分答案)全国通用
完全平方数完全平方数的定义一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
完全平方数的一般性质①完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9；②奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数；③如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数；⑤平方数除以3余0或者余1；⑥平方数除以16余0或者余1或者余4或者余9；⑦平方数除以余0或者1或者4；⑧在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数；⑨一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是有奇数个因数(包括1和n本身)。
例1如从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？例2有一个四位数的个位数字与千位数字相等，且正好等于其十位数字的5倍与1的和的完全平方，求这个四位数。
例3在2500以内所有完全平方数中，能被9整除的有多少个？例4(04浙江五年级夏令营)袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球…依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下( )个球。
能不能找到一个自然数n ，是完全平方数，且n ＋1999也是完全平方数？有两个两位数，它们的差是56，它们的平方数末两位数字相同，这两个两位数分别是( )。
测试题1．从1到2000的所有正整数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？2．请说明任意两个相邻的正整数的积不是平方数。
3．有一个由不同数字组成的四位数A ，2A B ；已知A 的千位数字是2，十位数字是1，且A 各个位数上的数字相加的和为3的倍数。
那么这个四位数是几？4．所有六位数中，末四位是2004的完全平方数有多少个?它们的和是多少？答案1．【解析】因为327223=⨯，而根据一个完全平方数的分解质因数形式中所有质因数的个数都必须是偶数的特征，可以得出与72相乘的这个正整数一定是2的倍数，还要再乘以一个完全平方数，这样得到的结果还是完全平方数，乘数应该是221⨯、222⨯、223⨯、、22n ⨯。
小升初_完全平方数_D_1
小升初-完全平方数-D-1一．填空题1.一个十位数3333333333的平方数中有个数字是奇数．2.有个五位数，加上2003后为完全平方数．3.有三个连续的四位正整数，中间一个为完全平方数，且三个数的和能被15整除，则中间的数的最小值是．4.有一个自然数，它与160的和等于某一个数的平方，它与84的和又等于另一个数的平方．那么这个自然数是．5.（2012•东城区模拟）某校2001年的学生人数是个完全平方数，2002年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是一个完全平方数．该校2002年的学生人数是．二．解答题6.是否存在自然数n，使得23n+3与13n+5的差为完全平方数？7.03年101中学招生人数是一个平方数，04年由于信息发布及时，04年的招生人数比03年多了101人，也是一个平方数，问04年的招生人数？8.有一个正整数分别加上15和减去4后，都是完全平方数，试求此数．9.如果n减58是一个完全平方数，n加31也是一个完全平方数，那么n是多少？10.试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同．11.（2014•台湾模拟）有一个自然数的平方，它的最后三位数字相同但不为零，试求满足上述条件的最小数．12.（2014•台湾模拟）a、b均为正整数，a≠b，且（90a+102b）正好是一个完全平方数，那么，（a+b）的最小值为多少？13.（2002•北京校级自主招生）已知382=1444，像1444这样能表示为某个自然数的平方，并且末3位数字为不等于0的相同数字，我们就定义为“好数”．（1）请再找出一个“好数”．（2）讨论所有“好数”的个位数字可能是多少？（3）如果有一个好数的末4位数字都相等，我们就称之为“超好数”，请找出一个“超好数”，或者证明不存在“超好数”．14.已知一个四位数平方之后，后四位与原来的四位数相同，那么原来那个四位数是．15.一个两位数N，在它的左边添上适当的两个数码变成四位数时恰是原数N的平方，试求所有这样的两位数．16.有这样的两位数，交换该数数码所得到的两个位数与原数的和是一个完全平方数．例如，29就是这样的两位数，因为29+92=121=112，请你找出所有这样的两位数．17.甲乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去．为了平均分配，甲应该补给乙多少元？。
小升初数学思维拓展专项训练 专题11完全平方数性质
专题11-完全平方数性质小升初数学思维拓展数论问题专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、完全平方数定义：完全平方即用一个整数乘以自己例如1×1，2×2，3×3等等，依此类推．若一个数能表示成某个自然数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．2、性质。
性质1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9．性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数．性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数．性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1．性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n 或8n+4型．性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k，3k+1．性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k 型．性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m，16m+1，16m+4，16m+9．性质9：完全平方数的数字之和只能是0，1，4，7，9．【典例一】：一个整数a 与1080的乘积是一个完全平方数．则a 的最小值是（）A、30B、20C、120D、60【分析】一个整数a 与1080的乘积是一个完全平方数，所以将1080×a 的乘积分解质因数后，其质数的指数一定全为偶数，据此分析解答即可．【解答】解：因为1080×a 是一个完全平方数，所以乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数；而1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，所以，a 必含质因数2、3、5，因此a 最小为2×3×5=30．故选：A．【点评】明确完全平方的数的质因数的指数为一定全为偶数是完成本题的关键．【典例二】a 、b 均为正整数，a b ≠，且(90102)a b +正好是一个完全平方数，那么，()a b +的最小值为多少？【分析】因为(90102)a b +是完全平方数，且有因数3，所以必有因数23，由2901023(1034)3b a b a +=⨯+⨯，推知b 是3的倍数；由此可知：(1034)3b a +⨯也是一个完全平方数，然后假设3b =，推出a 的值，进而得出结论．【解答】解：(90102)a b +是完全平方数，且有因数3，所以有因数232901023(1034)3b a b a +=⨯+⨯，推知b 是3的倍数；由此可知：(1034)3b a +⨯也是一个完全平方数，当3b =，11a =时，2(1034)144123b a +⨯==，即()a b +的最小值为：11314+=；答：()a b +的最小值为14．【点评】结合题意，把原式进行提取，变形，得出：(1034)3b a +⨯也是一个完全平方数，是解答此题的关键．【典例三】有这样的两位数，交换该数数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数．例如，29就是这样的两位数，因为2299212111+==，请你找出所有这样的两位数．【分析】设原来的两位数是10a b +，交换之后是10b a +，它们之和为10111()121a b b a a b +++=⨯+=；只需要a b +等于11就可以了，据此可以列举出来．【解答】解：设原来的两位数是10a b +，交换之后是10b a +，它们之和为：101011()121a b b a a b +++=⨯+=；所以1211111a b +=÷=，因为29384756a b +=+=+=+=+，所以：2299212111+==，2388312111+==，2477412111+==，2566512111+==，答：这样的两位数是56，47，38，29，65，74，92，83．【点评】解答此题紧紧抓住完全平方数的性质，即211121=，把两个数的和写成11()121a b ⨯+=的形式，推出a b +的和为11即可．一．选择题（共5小题）1．下面的数中，()是完全平方数．A．8B．9C．62．有一堆草莓，比40个多，比50个少，分的份数与每份的个数同样多，这堆草莓有()个．A．42B．45C．493．6的因数有1、2、3、6，这几个因数之间的关系是：1236++=．像这样的数叫完全数．下面的数中，()是完全数．A．8B．18C．284．一个数与它自身的乘积称为这个数的平方，各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有()个．A．15B．18C．20D．215．假如有一个数，唯一能整除它的平方数是1，则我们称此数为“无平方”数．例如，6是个“无平方”数而12则不是．请问在从90到100（包括90和100)共有()个“无平方”数．A．4B．5C．6D．7E．8二．填空题（共11小题）6．某校2001年的学生人数是个完全平方数，2002年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是一个完全平方数．该校2002年的学生人数是．7．自然数a 乘294，正好是另一个自然数的平方，则a 的最小值是．8．若245a b b =⨯，则a 、b 的最小值分别是a =，b =．9．1、4、9完全平方数，18、27完全立方数，2、3、5、6、7、10、11、12⋯非平方也非立方数列，数列中第99个是．10．6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1236++=，像6这样的数，叫作完全数（也叫作完美数）。
小学奥数完全平方数练习题及答案【三篇】
【导语】芬芳袭⼈花枝俏，喜⽓盈门捷报到。
⼼花怒放看通知，梦想实现今⽇事，喜笑颜开忆往昔，勤学苦读最美丽。
在学习中学会复习，在运⽤中培养能⼒，在总结中不断提⾼。
以下是为⼤家整理的《⼩学奥数完全平⽅数练习题及答案【三篇】》供您查阅。
【第⼀篇】⼀个⾃然数减去45及加上44都仍是完全平⽅数，求此数。
解答：设此⾃然数为x，依题意可得 x-45=m^2; (1) x+44=n^2 (2) (m,n为⾃然数) (2)-(1)可得 : n^2-m^2=89或： (n-m)(n+m)=89 因为n+m>n-m ⼜因为89为质数， 所以：n+m=89; n-m=1 解之，得n=45。
代⼊(2)得。
故所求的⾃然数是1981。
【第⼆篇】求证：四个连续的整数的积加上1，等于⼀个奇数的平⽅ 解答：设四个连续的整数为，其中n为整数。
欲证 是⼀奇数的平⽅，只需将它通过因式分解⽽变成⼀个奇数的平⽅即可。
证明设这四个整数之积加上1为m，则 m为平⽅数 ⽽n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数;⼜因为2n+1是奇数，因⽽n(n+1)+2n+1是奇数。
这就证明了m是⼀个奇数的平⽅。
【第三篇】求满⾜下列条件的所有⾃然数： (1)它是四位数。
(2)被22除余数为5。
(3)它是完全平⽅数 解答：设，其中n,N为⾃然数，可知N为奇数。
11|N - 4或11|N + 4 或 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 所以此⾃然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
【小升初专项训练】8 完全平方数性质
第12讲完全平方数性质第一关完全平方数的判断【例1】**45,19*8,23*1,3*49是四个四位数，其中“*”代表不能辨认的数字，若其中有一个数是完成平方数，那么这个数是___________.【答案】3*49【例2】有一个1000位的数，它由888个1和112个0组成，这个数是否是完全平方数？【答案】否【例3】一个一百位数由1个1，2个2，3个3，4个4，5个5，6个6，7个7，及72个0组成．问这个百位自然数有可能是完全平方数吗？【答案】不可能【例4】用3个1，5个3，2个9，1个5，1个4，和若干个0组成的数可不可能是完全平方数？【答案】可能【例5】小泉投掷两颗骰子，他投掷一次，出现的两个点数构成的两位数正好是一个完全平方数的概率是多少？【答案】2 9第二关求完全平方数【知识点】1．完全平方数定义：完全平方即用一个整数乘以自己例如1×1，2×2，3×3等等，依此类推．若一个数能表示成某个自然数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．2．性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9．性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数．性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数．性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1．性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型．性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k，3k+1．性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型．性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m，16m+1，16m+4，16m+9．性质9：完全平方数的数字之和只能是0，1，4，7，9．【例6】下面是一个算式：1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6，这个算式的得数能否是某个数的平方？【答案】否【例7】1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+l）是哪个数的平方？【答案】7777777【例8】一个整数a与108的乘积是一个完全平方数，这个平方数是多少？【答案】324【例9】360与一个三位数的乘积是完全平方数，这个三位数最小是多少？【答案】160【例10】一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数．则a的最小值是多少？【答案】30【例11】自然数n乘以3960，所得的乘积正好是m的平方．n的最小值是多少？【答案】110【例12】已知14，37，75和a四个数的乘积是一个数的平方，则a最小是多少？【答案】1554【例13】一个大于0的整数A加上一个大于1的整数B后，是一个完全平方数，A+B2后仍是一个完全平方数，当满足条件的B最小时，A是多少？【答案】11【例14】已知自然数n满足：12除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是多少？【答案】3【例15】自然数N是一个不超过100的完全平方数，它减去13或加上15后，得到的数都是完全平方数，求N。
完全平方例题10道
完全平方例题10道概括起来，完全平方数是一类特定的数，它以式子形式表示，可以在形式上作为一个“正方形”交叉的数字，解决的方法是可以直接检索其对应的平方根求值，以找出这个数字的本质结构，仮式上可以称为“平方”，以便在数学计算中把它们归类到更特别的范畴之中。
以下就是10道完全平方计算题供您实践：1、平方根是多少？if √81=？答案：9。
2、平方根是多少？If √100=?答案：10。
3、平方根是多少？If √225=?答案：15。
4、平方根是多少？If √361=?答案：19。
5、平方根是多少？If √484=? 答案：22。
6、平方根是多少？If √529=? 答案：23。
7、平方根是多少？If √676=? 答案：26。
8、平方根是多少？If √784=? 答案：28。
9、平方根是多少？If √841=? 答案：29。
10、平方根是多少？If √900=? 答案：30。
完全平方数是数学中的一类特殊数，表示为形式的平方a^2，它的本质结构可以表示为a*a，即a平方。
这样就可以把它们抽象为一个完全可以自己“跳出象限”的矩形解决方案。
定义它们作为特殊模式，自然也就提出了一番解决完全平方数的方法。
若要找出它们的平方根，最简单直接的方法便是直接检索其对应的平方根，这也正是上面题目中提出的例题所要求的。
完全平方具有广泛的应用，几乎涵盖了整个数学世界，因此，熟练掌握它们的特性，有助于我们的数学计算范围的不断扩大。
上面的10道完全平方题能够帮助您更好地理解完全平方数的特性，以提高我们数学计算的能力和熟练程度。
总之，完全平方是一类特殊、值得我们研究的数字，它们被广泛应用于许多数学领域，如几何和代数等。
小学奥数数论问题完全平方数练习题及答案【六篇】
小学奥数数论问题完全平方数练习题及答案【六篇】导读：本文小学奥数数论问题完全平方数练习题及答案【六篇】，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
【第一篇】一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解答：设此自然数为x，依题意可得x-45=m^2; (1)x+44=n^2 (2)(m,n为自然数)(2)-(1)可得:n^2-m^2=89或：(n-m)(n+m)=89因为n+m>n-m又因为89为质数，所以：n+m=89; n-m=1解之，得n=45。
代入(2)得。
故所求的自然数是1981。
【第二篇】求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方解答：设四个连续的整数为，其中n为整数。
欲证是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明设这四个整数之积加上1为m，则m为平方数而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数;又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。
这就证明了m是一个奇数的平方。
【第三篇】求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数解答：形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即或在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
证明若，则因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
若，则因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
综上所述，不可能是完全平方数。
【第四篇】求满足下列条件的所有自然数：(1)它是四位数。
(2)被22除余数为5。
(3)它是完全平方数解答：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。
11|N - 4或11|N + 4或k = 1k = 2k = 3k = 4k = 5所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
【第五篇】甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。
小学奥数：完全平方数及应用(一).专项练习
1. 学习完全平方数的性质；2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程3. 掌握完全平方数的综合运用。
一、完全平方数常用性质1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。
2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
完全平方数练习题
完全平方数练习题完全平方数练习题例1一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解：设此自然数为x，依题意可得x-45=m⑴x+44=n⑵⑵-⑴可得 :因为n+m>n-m又因为89为质数，所以：n+m=89; n-m=1解之，得n=45。
代入⑵得。
故所求的自然数是1981。
例2求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方。
解：设四个连续整数分别为n-1、n、n+1、n+2.这时，n+1=…①易知该式可被分解为两个二次因式的乘积，设为得ad=1,ae+bd=2,af+be+cd=-1,bf+ce=-2,cf=1，解得a=d=e=b=1,c=f=-1 故①可被分解为，因为n与n+1是连续两个整数，故n为偶数，所以[n-1]为奇数，即n+1为一个奇数的平方。
例3求证：11,111,1111，11111……这串数中没有完全平方数。
可得，这串数除以四余数为3，矛盾，所以这串数中没有完全平方数。
例4用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600 3|600 ∴3|A此数有3的因数，故9|A。
但9|600，∴矛盾。
故不可能有完全平方数。
例5试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同。
解：设该四位数为1000a+100a+10b+b，则1000a+100a+10b+b=1100a+11b =11故100a+b必须被11整除=>a+b被11整除，又因为≤18所以a+b=11，带入上式得四位数=11×）=11× =11×11×，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积。
解：设千位与百位的数字为A,十位与个位数字为B则该四位数为：1000A+100A+10B+B=11*且为完全平方数所以100A+B能被11整除=>A+B能被11整除，又因为A+B≤18故A+B=11易知100A+B除以11后得数为完全平方数,且各个数位之和为10 验证得该数64所以A=7,B=4，则四位数是7744完全平方数专项练习题1.一个两位数等于它个位数字的平方与十位数字之和，这个两位数是多少？2.把一个一个两位数的个位与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来数加起来恰好是某个自然数的平方，这个和是多少？3.哥哥对弟弟：“到21世纪的x 年，我恰好是x岁。
完全平方练习题
完全平方练习题完全平方是数学中一个重要的概念，它在代数和几何中都有广泛的应用。
完全平方的概念很简单，就是一个数的平方根是一个整数。
在这篇文章中，我们将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用完全平方的概念。
1. 练习题一：判断完全平方数请判断以下数字是否为完全平方数：4，9，15，25，36，42。
解答：4和9都是完全平方数，因为它们的平方根分别是2和3。
15不是完全平方数，因为它的平方根不是整数。
25和36都是完全平方数，它们的平方根分别是5和6。
42不是完全平方数，因为它的平方根也不是整数。
2. 练习题二：找出完全平方数请找出100以内的所有完全平方数。
解答：我们可以从1开始逐个尝试，看看哪些数字的平方根是整数。
在100以内，完全平方数有1，4，9，16，25，36，49，64和81。
3. 练习题三：完全平方数的性质完全平方数有一些有趣的性质。
请回答以下问题：a. 两个连续的完全平方数之间的平方根差是多少？b. 两个完全平方数之和还是完全平方数吗？解答：a. 两个连续的完全平方数之间的平方根差始终为1。
例如，4和9之间的平方根差是3-2=1。
b. 两个完全平方数之和不一定是完全平方数。
例如，4+9=13，13不是完全平方数。
4. 练习题四：完全平方数的应用完全平方数在几何中有广泛的应用。
请思考以下问题：a. 一个正方形的面积是完全平方数，它的边长是多少？b. 一个长方形的面积是完全平方数，它的长和宽分别是多少？解答：a. 一个正方形的面积是完全平方数，那么它的边长也是完全平方数的平方根。
例如，面积为16的正方形的边长是4。
b. 一个长方形的面积是完全平方数，那么它的长和宽分别是两个不同的完全平方数的平方根。
例如，面积为36的长方形的长和宽可以是4和9。
通过以上练习题的讨论，我们可以更好地理解和应用完全平方的概念。
完全平方数在数学中有着重要的地位，它们不仅在代数和几何中有应用，还在其他领域中有着广泛的应用，如密码学和计算机科学等。
有关完全平方数平方数数论训练题
有关完全平方数平方数数论训练题
现在的奥数，其难度和深度远远超过了同级的义务教育教学大纲。
而相对于这门课程，一般学校的数学课应该称为“普通基础数学”。
1、快乐小学为庆祝“六一”儿童节排练学生团体操，团体操要求全体参加排练的学生恰好能排成一个正方形队列，也能变成一个三角形队列。
参加排练的学生至少要有人。
2、某人今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，组成四位数与六位数的10个数字正好是0到9这10个数字。
此人今年岁。
3、一个整数若能表示为两个整数的.平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=5—3，16就是一个“智慧数”。
那么，从1开始的自然数列中，第20__3个“智慧数”是。
4、将1，2，3，……n(n为大于4的整数)这n个数分成两组，使每组中任意两数之和都不是完全平方数，整数n可以取得的最大值是，并给出一种分组方法。
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初等数论《完全平方数》习题集(1)
一完全平方数
自然数 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …完全平方数 N2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 …
二完全平方数的特征
1 末位数字为：0、1、4、5、6、9的，可能是完全平方数，如
100 81 64 225 36 169等等。
但有的不是完全平方数，如
200 181 464 325 56 189 等等。
2 末位数为：2、3、7、8的整数，肯定不是完全平方数。
如22222、12
3 167 38 等等，
3 偶数的平方是4N型的偶数。
个位数字是偶数0、
4 、6，十位数字有奇有偶。
它们只能是
00 04 24 44 64 84、16 36 56 76 96
4 奇数的平方是4N+1型的奇数。
个位数字是奇数1、9 ，十位数字有奇有偶。
即只能是
01 21 41 81 09 29 49 69 89
5 尾数为25的数，可能是完全平方数。
如225 625等等，
但有的不是完全平方数，如125 325 7125等等。
6 3k或3k+1型的数，可能是完全平方数。
如144=3×48 、121=3×40+1等，
但有的不是完全平方数，如156 =52×3、244=81×3+1等等。
7 完全平方数的数字之和，只能是0,1,4,7,9。
数字和是2,3,5,6,8的，肯定不是
完全平方数。
8 如果质数p能整除A，但p的平方不能整除A，则A不是完全平方数。
如：
7︱196 49︱ 196 A=196 是完全平方数
7︱119 49ト119 A=119 不是完全平方数
9 相邻整数的平方数之间，不可能有别的平方数。
如72=49、82=64之间，不
可能有别的平方数。
总之，以上的判别法，只判别可能是完全平方数，但不能肯定是完全平方数。
实质上只适合判别非完全平方数。
10 判别完全平方数的必要充份条件是：因数一定是偶次方，因数个数一定是奇
数。
最直接的方法是质因数分解。
例如144=122=24×32
11 平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
12 完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2
13 完全平方差公式：（X-Y）2= X2-2XY+Y2
14 p=4n+1型的素数，都能表示为两个整数的平方和，如n=7时，p=29=22+52等等
p=4n+3型的素数，不能表示为两个整数的平方和，如n=7时，p=31≠x2+y2等等
15 两个奇数的平方和，一定不是完全平方数。
如32+52=34≠y2、92+152=306≠y2等等
15 两个质数的平方和，一定不是完全平方数。
如22+32=13≠x2 、 32+52=34≠y2等等
可见，两个质数的平方和，可能是质数，也可能是合数，但肯定不是完全平方数。
17拉格朗日四平方和定理：任何一个正整数都可以表示为不超过四个整数的平方之和。
如 7=22+12+12+12 34=52+32+02+02、 87=72+52+32+22=72+62+12 +12=92+22+12+12 等等
三习题
1在十进制中，各位数字全由奇数组成的完全平方数共有多少个？
答：2个，即1、9。
解：奇数的平方是4N+1型奇数。
一位数字为奇数的，只有 1、9 。
二位
数字以上的完全平方数，末两位尾数不是奇偶就是偶偶，没有奇奇的，所以二位以上的完全平方数，没有全是奇数的。
例如11 11111、
13579、315351 9999999等全奇数，都不可能是完全平方数。
2下列四个数中：513231121826122530625681有多少个完全平方数。
答：只有625681是完全平方数。
解：根据尾数判别法，完全平方数的末两位尾数只能是：
00 04 24 44 64 84、
16 36 56 76 96 25 01 21 41 81 09 29 49 69 89
只有625681 的尾是81，可能是完全平方数。
但还要作充份条件的判别：完全平方数的必要、充份条件是：它的各因数一定是偶次方。
最直接的方法是质因数分解。
625681=72×1132，合符充份条件，所以625681是完全平方数
3证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数．
奇数为2n+1，则它的平方为4n2+4n+1，显然除以4余1．现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．且奇数的平方，十位数字必是偶数，而11、111 等，十位上的数字为1，所以不是完全平方数。
4证明39个5和4个0组成的数，不可能是完全平方数
证：
555…550000 的数字和为39*5=195 ，195的数字和为1+9+5=15，15的数字和为6。
但完全平方数的数字之和，只能是0,1,4,7,9。
所以它不可能是完全平方数
5一个自然数X加上60,为一完全平方数。
如果加上43,则为另一完全平方数。
求X。
答：X=21
解：有X+60=A2及X+43=B2，两式相减：A2－B2 = 60－43=17= (A+B)(A-B)=17*1 →(A+B)=17、 (A-B)=1 →2A=18 A=9 → B=8 X= A2－60=81-60=21 或 X= B2－43=64-43=21
6一个自然数X减去45及加上44都仍是完全平方数，求此X。
答：X=1981
解：有X－45=A2及 X＋44=B2，两式相减：B2－A2 = 44＋45=89= (B+A)(B-A)=89*1，两因数同奇，有整数解 (B+A)=89、(B-A)=1
→ 2B=90 B=45 B2 =2025 X= B2－44=2025-44=1981
或 A=44 A2 =1936 X= A2＋45=1936+45=1981
7求一个能被180整除的最小完全平方数X2
答：该最小完全平方数是900
解：X2应有因数180与A，即应有X2=180*A 。
180分解后有，X2=62×5×A 完全平方数中各因数的指数都应等于偶数，现在5的指数为1，所以最小取A=5，才合要求。
这样，
X2=62×52 =302 =900
8一个两位数与它的反序数(个位数字与十位数字交换)的和，是一个完全平方数,
求这样的两位数.
答：这样的两位数是29384756
解：设这样的两位数是AB ，题意AB＋BA＝X2，即10A+B+10B+A= X2
→ 11 (A+B)＝X2，可见A+B应=11 。
若A=2 则B=9 …等等。
检算如下：
A B A B B A A B＋B A 是否是完全平方数
2 9 29 92 121 是11的平方
3 8 38 83 121 是11的平方
4 7 47 74 121 是11的平方
5 6 56 65 121 是11的平方
6 5 65 56 121 重复了
9若自然数X2是一个完全平方数，则下一个完全平方数是多少？
答：是X2+2X+1。
解：
X的下一个数是X+1，它的完全平方数是 (X＋1) 2 =X 2+2X+1
例如 42=16 ，4+1=5 52=16+8+1=25
10相邻自然数之差是1。
相邻自然数平方之差是(N+1)2－N2＝2N+1列表N 0 1 2 3 4 5 6 7 100 100000 …( N+1) 1 2 3 4 5 6 7 8 101 100001 …( N+1)2－N2 1 3 5 7 9 11 13 15 201 200001 2N+1待续。