二次函数典型例题解析与习题训练

又∵y=x 2－x+m=[x 2－x+（12）2]－ 14+m=（x －12）2+414

m - ∴对称轴是直线x=12，顶点坐标为（12，41

4

m -）．

（2）∵顶点在x 轴上方， ∴顶点的纵坐标大于0，即41

4

m ->0 ∴m>

14 ∴m>1

4

时，顶点在x 轴上方．

（3）令x=0，则y=m ．

即抛物线y=x 2－x+m 与y 轴交点的坐标是A （0，m ）． ∵AB ∥x 轴

∴B 点的纵坐标为m ．

当x 2－x+m=m 时，解得x 1=0，x 2=1． ∴A （0，m ），B （1，m ）

在Rt △BAO 中，AB=1，OA=│m │． ∵S △AOB =1

2

OA ·AB=4． ∴

1

2

│m │·1=4，∴m=±8 故所求二次函数的解析式为y=x 2－x+8或y=x 2－x －8．

【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a ，b ，c 的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处．

例2 已知：m ，n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m

（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点

为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；

（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．

【分析】（1）解方程求出m，n的值．用待定系数法求出b，c的值．

（2）过D作x轴的垂线交x轴于点M，可求出△DMC，梯形BDBO，△BOC的面积，用割补法可求出△BCD的面积．

（3）PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能：①EH=3

2EP，②EH=2

3

EP．

【解答】（1）解方程x2－6x+5=0，

得x1=5，x2=1．

由m

所以点A，B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=－x2+bx+c，

得

10,

5

b c

c

-++=

⎧

⎨

=

⎩

解这个方程组，得

4,

5

b

c

=-

⎧

⎨

=

⎩

所以抛物线的解析式为y=－x2－4x+5．

（2）由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0．

解这个方程，得x1=－5，x2=1．

所以点C的坐标为（－5，0），由顶点坐标公式计算，得点D（－2，9）．过D作x轴的垂线交x轴于M，如图所示．

则S△DMC=1

2×9×（5－2）=27

2

．

S梯形MDBO=1

2

×2×（9+5）=14，

S△BDC =1

2×5×5=25

2

．

并不难解决．

课堂习题

一、填空题

1．右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图

像，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．

2．已知抛物线y=a2+bx+c经过点A（－2，7），B（6，7），

C（3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是_______．

3．已知二次函数y=－x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点（m，0），则m的值为______．4．若二次函数y=x2－4x+c的图像与x轴只有1个交点，则c=_______

5．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，2）与（－1，4），则a+c的值是______．6．甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平

距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=－1

12s2+2

3

s+3

2

．如下左图

所示，已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为9

4

m，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是______．

7．二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为______．

8．杭州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/m2）随楼层数x （楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知点（x，y）都在一个二次

函数的图像上（如上右图），则6楼房子的价格为_____元/m2．

二、选择题

9．二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，•则下列关系式不正确的是（）A．a<0 B．abc>0 C．a+b+c<0 D．b2－4ac>0

(第9题) (第12题) (第15题)

10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列结论中正确的是（）

A．y1

11．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，且经过点P（3，0），则a+b+c的值为（）

A．－1 B．0 C．1 D．2

12．如图所示，抛物线的函数表达式是（）

A．y=x2－x+2 B．y=－x2－x+2 C．y=x2+x+2 D．y=－x2+x+2 13．抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2，平移方法是（）A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位

B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位

C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位

D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位