遵化市第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

遵化市第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
一、选择题
1． 设曲线在点处的切线的斜率为，则函数的部分图象2
()1f x x =+(,())x f x ()g x ()cos y g x x =可以为（
）
A ．
B ． C. D ．
2． 定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b=a ；当a ＜b 时，a ⊕b=b 2，则函数f （x ）=（1⊕x ）x ﹣（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]
的最大值等于（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．6
D ．12
3． 函数f （x ）=ax 2+bx 与f （x ）=log x （ab ≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．D
．
4． 函数y=x 3﹣x 2﹣x 的单调递增区间为（ ）A ．
B ．
C ．
D
．
5． 设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若＝3＋b i ，则a －b 为（
）
2＋a i 1＋i
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
6． 设f （x ）与g （x ）是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若函数y=f （x ）﹣g （x ）在x ∈[a ，b]上有两个不同的零点，则称f （x ）和g （x ）在[a ，b]上是“关联函数”，区间[a ，b]称为“关联区间”．若f （x ）=x 2﹣3x+4与g （x ）=2x+m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为（ ）
A ．（﹣，﹣2]
B ．[﹣1，0]
C ．（﹣∞，﹣2]
D ．（﹣，+∞）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
7． 等比数列{a n }中，a 4=2，a 5=5，则数列{lga n }的前8项和等于（ ）
A ．6
B ．5
C ．3
D ．4
8． 过点（﹣1，3）且平行于直线x ﹣2y+3=0的直线方程为（ ）
A ．x ﹣2y+7=0
B ．2x+y ﹣1=0
C ．x ﹣2y ﹣5=0
D ．2x+y ﹣5=0
9． 已知等差数列{a n }满足2a 3﹣a +2a 13=0，且数列{b n } 是等比数列，若b 8=a 8，则b 4b 12=（
）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
10．数列中，，对所有的，都有，则等于（ ）
{}n a 11a =2n ≥2
123n a a a a n =g
g L 35a a +A ．
B ．
C ．
D ．
25
9
25
16
61
16
3115
11．复数z=在复平面上对应的点位于（
）A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
12．若命题p ：∃x ∈R ，x ﹣2＞0，命题q ：∀x ∈R ，＜x ，则下列说法正确的是（
）
A ．命题p ∨q 是假命题
B ．命题p ∧（￢q ）是真命题
C ．命题p ∧q 是真命题
D ．命题p ∨（￢q ）是假命题
二、填空题
13．已知tan β=，tan （α﹣β）=，其中α，β均为锐角，则α= ．14．直线ax ﹣2y+2=0与直线x+（a ﹣3）y+1=0平行，则实数a 的值为 ．
15．已知数列的前项和为，且满足，（其中，则 .
}{n a n n S 11a =-12n n a S +=*
)n ∈N n S =16．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个
房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：
那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元．17．已知椭圆+
=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=θ
，且θ∈[
，
]，则该椭圆离心率e 的取值范围为 ．
18．x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是 ．
三、解答题
19．在正方体中分别为的中点.1111D ABC A B C D -,,E G H 111,,BC C D AA （1）求证：平面；
EG P 11BDD B （2）求异面直线与所成的角]
1B H EG
20．在直角坐标系xOy中，过点P（2，﹣1）的直线l的倾斜角为45°．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l和曲线C的交点为A，B．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求|PA|•|PB|．
21．如图，已知椭圆C：+y2=1，点B坐标为（0，﹣1），过点B的直线与椭圆C另外一个交点为A，且
线段AB的中点E在直线y=x上
（Ⅰ）求直线AB的方程
（Ⅱ）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，证明：OM•ON 为定值．
22．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x ≤200时，求函数v （x ）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f （x ）=x •v （x ）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．　
23．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数（,是自然对数的底数）.
（1）若函数在区间上是单调减函数,求实数的取值范围；
（2）求函数的极值；
（3）设函数
图象上任意一点处的切线为，求在轴上的截距的取值范围．
24．（本小题12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，
5313a b +=.111]
（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{
}n
n
a b 的前项和n S .
遵化市第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A 【解析】
试题分析：，为奇函()()()()()2,cos 2cos ,,cos cos g x x g x x x x g x g x x x ==-=--=g
g ()cos y g x x ∴=数，排除B ，D ，令时，故选A. 10.1x =0y >考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法.2． 【答案】C 【解析】解：由题意知
当﹣2≤x ≤1时，f （x ）=x ﹣2，当1＜x ≤2时，f （x ）=x 3﹣2，
又∵f （x ）=x ﹣2，f （x ）=x 3﹣2在定义域上都为增函数，∴f （x ）的最大值为f （2）=23﹣2=6．故选C ．
3． 【答案】 D
【解析】解：A 、由图得f （x ）=ax 2+bx 的对称轴x=﹣＞0，则
，不符合对数的底数范围，A 不正确；
B 、由图得f （x ）=ax 2+bx 的对称轴x=﹣＞0，则，不符合对数的底数范围，B 不正确；
C 、由f （x ）=ax 2+bx=0得：x=0或x=，由图得
，则
，所以f （x ）=log
x 在定义域上是增
函数，C 不正确；
D 、由f （x ）=ax 2+bx=0得：x=0或x=，由图得
，则
，所以f （x ）=log
x 在定义
域上是减函数，D 正确．
【点评】本题考查二次函数的图象和对数函数的图象，考查试图能力．　
4． 【答案】A
【解析】解：∵y=x 3﹣x 2﹣x ，∴y ′=3x 2﹣2x ﹣1，令y ′≥0
即3x 2﹣2x ﹣1=（3x+1）（x ﹣1）≥0 解得：x ≤﹣或x ≥1故函数单调递增区间为，
故选：A ．
【点评】本题主要考查导函数的正负和原函数的单调性的关系．属基础题．　
5． 【答案】
【解析】选A.由
＝3＋b i 得，2＋a i
1＋i
2＋a i ＝（1＋i ）（3＋b i ）＝3－b ＋（3＋b ）i ，∵a ，b ∈R ，
∴，即a ＝4，b ＝1，∴a －b ＝3（或者由a ＝3＋b 直接得出a －b ＝3），选A.{2＝3－b a ＝3＋b
)
6． 【答案】A
【解析】解：∵f （x ）=x 2﹣3x+4与g （x ）=2x+m 在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣5x+4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，
故有，即
，解得﹣＜m ≤﹣2，
故选A ．
【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．　
7． 【答案】D
【解析】解：∵等比数列{a n }中a 4=2，a 5=5，∴a 4•a 5=2×5=10，
∴数列{lga n }的前8项和S=lga 1+lga 2+…+lga 8=lg （a 1•a 2…a 8）=lg （a 4•a 5）4=4lg （a 4•a 5）=4lg10=4故选：D ．
【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，基本知识的考查．　
8． 【答案】A
【解析】解：由题意可设所求的直线方程为x ﹣2y+c=0∵过点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7∴x ﹣2y+7=0故选A ．
【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x ﹣2y+c=0．　
9． 【答案】D
【解析】解：由等差数列的性质可得a 3+a 13=2a 8，即有a 82=4a 8，解得a 8=4（0舍去），
即有b 8=a 8=4，
由等比数列的性质可得b 4b 12=b 82=16．故选：D ．　
10．【答案】C 【解析】
试题分析：由，则，两式作商，可得，所以2
123n a a a a n =g g L 2
1231(1)n a a a a n -=-g g L 2
2
(1)n n a n =
-，故选C ．
2235223561
2416
a a +=+=考点：数列的通项公式．11．【答案】A
【解析】解：∵z=
=
=+i ，
∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．故选A ．
【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．　
12．【答案】 B
【解析】解：∃x ∈R ，x ﹣2＞0，即不等式x ﹣2＞0有解，∴命题p 是真命题；x ＜0时，＜x 无解，∴命题q 是假命题；
∴p ∨q 为真命题，p ∧q 是假命题，￢q 是真命题，p ∨（￢q ）是真命题，p ∧（￢q ）是真命题；
故选：B ．
【点评】考查真命题，假命题的概念，以及p ∨q ，p ∧q ，￢q 的真假和p ，q 真假的关系．　
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：∵tan β=，α，β均为锐角，
∴tan （α﹣β）==
=，解得：tan α=1，
∴α=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了两角差的正切公式，掌握公式是关键，属于基础题．
14．【答案】1
【解析】
【分析】利用两直线平行的条件，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得实数a 的值．【解答】解：直线ax ﹣2y+2=0与直线x+（a ﹣3）y+1=0平行，∴
，解得 a=1．
故答案为 1．15．【答案】1
3
n --【解析】∵，∴，12n n a S +=12n n n S S S +-=∴∴，．
13n n S S +=1
1133n n n S S --=⋅=16．【答案】1464
【解析】【知识点】函数模型及其应用
【试题解析】显然，面积大的房间用费用低的涂料，所以房间A 用涂料1，房间B 用涂料3，房间C 用涂料2，即最低的涂料总费用是元。

故答案为：146417．【答案】　[，
﹣1]　．
【解析】解：设点A （acos α，bsin α），则B （﹣acos α，﹣bsin α）（0≤α≤）；
F （﹣c ，0）；∵AF ⊥BF ，∴
=0，
即（﹣c ﹣acos α，﹣bsin α）（﹣c+acos α，bsin α）=0，故c 2﹣a 2cos 2α﹣b 2sin 2α=0，cos 2α==2﹣，
故cos α=，
而|AF|=，|AB|==2c ，
而sin θ=
==
，
∵θ∈[
，
]，∴sin θ∈[，]，
∴≤
≤
，
∴≤+≤，
∴，
即，
解得，≤e≤﹣1；
故答案为：[，﹣1]．
【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用．
18．【答案】　[1，）∪（9，25]　．
【解析】解：∵集合，
得（ax﹣5）（x2﹣a）＜0，
当a=0时，显然不成立，
当a＞0时，原不等式可化为
，
若时，只需满足
，
解得；
若，只需满足
，
解得
9＜a≤25，
当a＜0时，不符合条件，
综上，
故答案为[1，）∪（9，25]．
【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．　
三、解答题
19．【答案】（1）证明见解析；（2）．90o
【解析】
（2）延长于，使,连结为所求角.DB M 1
2
BM BD =
11,,B M HM HB M ∠
设正方体边长为,则,111cos 0B M B H AM HM HB M =
===∴∠=与所成的角为.
1B H ∴EG 90o 考点：直线与平行的判定；异面直线所成的角的计算.
【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定与证明、空间中异面直线所成的角的计算，其中解答中涉及到平行四边形的性质、正方体的结构特征、解三角形的相关知识的应用，着重考查了学生的空间想象能力以及学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中根据异面直线所成的角找到角为异面直线所成的1HB M ∠角是解答的一个难点，属于中档试题.20．【答案】
【解析】（1）∵ρsin 2θ=4cos θ，∴ρ2sin 2θ=4ρcos θ，…
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x …
（2）∵直线l过点P（2，﹣1），且倾斜角为45°．∴l的参数方程为（t为参数）．…
代入y2=4x 得t2﹣6t﹣14=0…
设点A，B对应的参数分别t1，t2
∴t1t2=﹣14…
∴|PA|•|PB|=14．…
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：设点E（t，t），∵B（0，﹣1），∴A（2t，2t+1），
∵点A在椭圆C上，∴，
整理得：6t2+4t=0，解得t=﹣或t=0（舍去），
∴E（﹣，﹣），A（﹣，﹣），
∴直线AB的方程为：x+2y+2=0；
（Ⅱ）证明：设P（x0，y0），则，
直线AP方程为：y+=（x+），
联立直线AP与直线y=x的方程，解得：x M=，
直线BP的方程为：y+1=，
联立直线BP与直线y=x的方程，解得：x N=，
∴OM•ON=|x M||x N|
=2•||•||
=||
=||
=||
=．
【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b
再由已知得，解得
故函数v（x）的表达式为．
（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得
当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200
当20≤x≤200时，
当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．
所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．
综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式
（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
23．【答案】（1）（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（1）由题意转化为在区间上恒成立，化简可得一次函数恒成立，根据一次函数性质得不等式，解不等式得实数的取值范围；（2）导函数有一个零点，再根据a的正负讨论导函数符号变化规律，确定极值取法（3）先根据导数得切线斜率再根据点斜式得切线方程，即得切线在x轴上的截距，最后根据a的正负以及基本不等式求截距的取值范围．
试题解析：（1）函数的导函数，
则在区间上恒成立，且等号不恒成立，
又，所以在区间上恒成立，
记，只需，即，解得．
（2）由，得，
①当时，有；，
所以函数在单调递增，单调递减，
所以函数在取得极大值，没有极小值．
②当时，有；，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以函数在取得极小值，没有极大值．
综上可知: 当时，函数在取得极大值，没有极小值；
当时，函数在取得极小值，没有极大值．（3）设切点为，
则曲线在点处的切线方程为，
当时，切线的方程为，其在轴上的截距不存在．当时，令，得切线在轴上的截距为
，
当时，
，
当且仅当，即或时取等号；
当时，
，
当且仅当，即或时取等号.
所以切线在轴上的截距范围是
.
点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.
（2）已知函数求极值.求→求方程
的根→列表检验
在
的根的附近两侧的符号→下结
论.
（3）已知极值求参数.若函数在点
处取得极值，则
，且在该点左、右两侧的导数值符号相
反.
24．【答案】（1）2,2==q d ；（2）1
2
3
26-+-=n n n S .【解析】
（2）121
2--=n n n n b a ，………………6分12212
1
223225231---+-++++=n n n n n S ，①
n
n n n n S 21
2232252321211321-+
-++++=- .②……………8分①-②得n
n n n n S 2
122222222212`1221--+++++=-- 2311222221
1222222n n n n S --=++++-L ，…………10分
所以1
23
26-+-
=n n n S .………………12分考点：等差数列的概念与通项公式，错位相减法求和，等比数列的概念与通项公式.
【方法点晴】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式以及数列的求和，通过设}{n a 的公差为d ，}{n b 的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，联立方程求得d 和，进而可得}{n a ，}{n b 的通项公式；（2）数列}a {
n
n
b 的通项公式由等差数列和等比数列对应项相乘构成，需用错位相减法求得前项和n S .。