四川省内江市威远中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学(文)试题
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（2）由平方关系求出 ，再根据 展开即可求出．
【详解】
（1）因为 ， ，故 ，所以 .
.
（2）因为 ， ，所以 .
又因为 ，所以 .
．
19．（1）见解析；（2） .
【分析】
（1）将条件取倒数可得 ，从而得证；
（2）利用等差数列先求得 ，从而得解.
【详解】
（1）由 ，得 ，所以 ，
所以数列 为等差数列，首项为1，公差为2.
14．若向量 和 平行，则实数 的值为___________.
15．已知数列 满足 ，且 ， ，则 ____________.
16．如图，测量河对岸的塔高 时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得 ， ， ，并在点C测得塔顶A的仰角为 ，则塔高 _____m．
三、解答题
17．已知向量 .
（1）求向量 与 的夹角的大小；
（2）由（1）可得 ，所以
【点睛】
本题主要考查了利用递推关系求证等差数列，采用了取倒数的方法，属于基础题.
20．（1） ；（2） ．
【分析】
（1）由正弦定理和题设条件，求得 ，进而得到 ，得到 ，即可求解；
（2）由 的面积为 ，利用三角形的面积公式，求得 ，再结合余弦定理，求得 ，即可求得 的周长．
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ， ， ，
， ， ，
所以数列 是周期为6的数列，
所以 ，
故答案为：2
【点睛】
此题考查周期数列的应用，考查由数列的递推式求数列的项，考查计算能力，属于基础题
16．30
【分析】
由正弦定理可得 ，进而可得结果.
【详解】
由题可知 ，由正弦定理可得
所以
故答案为：30
【详解】
（1）由题意，在 中，满足 ．
根据正弦定理可得： ，即 ，
又由 ，可得 ，即 ，
又因为 ，可得 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ．
（2）由 的面积为 ，即 ，
可得 ，解得 ，
又由余弦定理 ，可得 ，
解得 ，
所以 的周长为 ．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
A． B． C． D．
11．在 中，内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ．若 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
12．对于 ，若存在 ，满足 ，则称 为“ 类三角形”．“ 类三角形”一定满足．
A．有一个内角为 B．有一个内角为
C．有一个内角为 D．有一个内角为
二、填空题
13． 的最大值是___________.
17．（1） ；（2）
【分析】
（1）由 ，计算可求出答案；
（2）先求出 ，再根据 ，可得 ，进而可列出方程，即可求出 的值.
【详解】
（1）由题意， .
因为 ，故 .
（2） ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 .
18．（1） ；（2） .
【分析】
（1）先根据平方关系求出 ，从而得到 ，再利用两角和的正切公式即可求出；
所以 .
所以 ，解得λ＝－ .
故选：C．
8．C
【分析】
由等差数列得 ，再由余弦定理结合已知求得 ，从而可得三角形面积．
【详解】
∵ 等差数列，又 ，∴ ，
所以 ，即 ， ，
∴ ．
故选：C．
9．D
【分析】
由正弦定理进行边角互化可得 ，结合三角形的内角和定理和两角和的正弦公式可求出 ，进而可求出角B的大小.
四川省内江市威远中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列 的通项公式为 ，那么9是它的（）
A．第9项B．第4项C．第3项D．第2项
2． （）
A．0B． C．-1D．1
3．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
4．在等差数列 中， ，则 =（）
A． B． C． D．
5．已知 分别是 的内角 的的对边，若 ，则 的形状为（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形
6． 的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】
由对称性，不妨设 和 为锐角，结合同角三角函数关系进行化简求值即可．
【详解】
解：由对称性，不妨设 和 为锐角，则 A， B，
所以： + ＝π﹣（A+B）＝C，
于是：cosC＝sin ＝sin（ + ）＝sinC，即：tanC＝1，解得：C＝45°，
故选B．
【点睛】
本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于中档题．
【详解】
解：由正弦定理可知， ，因为 ，
所以 ，即 ，
解得 ，则 .
故选:D.
【点睛】
本题考查了正弦定理，考查了两角和的正弦公式.本题的关键是进行边角互化.
10．D
【分析】
根据三角函数的诱导公式结合二倍角公式进行化简即可．
【详解】
可得cos =1-2 ,所以 = cos = .故选D.
【点睛】
本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的二倍角公式，诱导公式进行化简是解决本题的关键，属于基础题．
解： 是 的一个内角， ，
由正弦定理可得，
又 ， ，即 为钝角，故选A．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和及诱导公式，两角和的正弦公式，属于基础试题．
6．A
【分析】
直接逆用正切的二倍角公式计算即可得解.
【详解】
.
故选：A.
7．C
【分析】
利用平面向量中的三点共线定理求解．
【详解】
因为A，B，D三点共线，所以存在实数t，使 ，则 ．
（2）若 ，求实数 的值.
18．已知 ， .
（1）求 的值；
（2）若 且 ，求 的值.
19．已知数列 满足 且
（1）求证：数列 为等差数列
（2）求数列 的通项公式
20．在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求角 的值；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长．
21．已知向量 ， ，
（1）求 的最小正周期和单调递增区间；
13．2
【分析】
逆用两角差的正弦公式可得 ，即可求出．
【详解】
因为 ，所以函数 的最大值是2．
故答案为：2．
14．4
【分析】
利用向量共线的坐标形式可求实数 的值．
【详解】
因为向量 和 共线，所以 即 ．
故答案为： ．
【点睛】
如果 ，那么：
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，依次求出 ，从而可得数列 是周期为6的数列，进而可求得结果
可得 ，然后分类讨论即可求解.
【详解】
（1） ，
当 时， ，
因为 ，所以 ；
（2） ，
设 （ ），则 ，
对称轴为 ，开口向上， ， ， ，
1）当 时， ， ，所以 ，
2）当 时， ， ，所以 ，
3）当 时， ， ，所以 ，
综上所述： .
7．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有 ，则λ等于（）
A． B．
C． D．
8．在 中，内角 的对边分别为 ，若 的大小成等差数列，且 ，则 的面积为（）
A． B． C． D．
9． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，则角B的大小为（）
A． B． C． D．
10．已知 ，则 的值为（）
得单调递增区间为
（2）由 ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，即 .
由 的面积为 ，∴ ，∴ .
由余弦定理可得： ，可得： ，
联立解得： ；或 .
∴ .∴ .
∴ .
22．（1） ；（2） .
【分析】
（1）当 时，然后利用二倍角公式进行化简可得 ，然后对其进行配方并结合 进行计算即可得解；
（2） ，设 （ ），
（2）在 中， ， ，且 的面积为 ，求 的值.
22．设函数 ，其中 ．
（1）当 时，求函数 的值域；
（2）记 的最大值为M，求M；
参考答案
1．C
【分析】
根据通项公式解方程即可求出．
【详解】
令 ，解得 ，所以9是它的第3项．
故选：C．
2．A
【分析】
逆用两角和的余弦公式即可求出．
【详解】
．
故选：A．
3．D
21．（1） ，单调递增区间为 ；（2） .
【分析】
（1）根据平面向量数量积的坐标表示，二倍角公式，辅助角公式可求得 的解析式，再根据周期公式以及整体代换法即可解出；
（2）先由 可求出 ，再根据三角形面积公式可求得 ，由余弦定理可求出 ，联立解出 ，然后根据正弦定理即可求解出 ．
【详解】
（1）
所以 ，由 ，
11．D
【分析】
首先求得外接圆半径，然后结合合分比的性质求解 的值即可.
【详解】
由三角形面积公式可得： ，即 ，解得： ，
结合余弦定理可得： ，则 ，
由正弦定理有： ，
结合合分比定理可得： .
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题解答关键在于求出三角形的外接圆的半径，运用合分比性质求值，属于中档题.
12．B
【分析】
利用正弦定理可求得 的值.
【详解】
由正弦定理可得 ，可得 .
故选：D.
4．B
【分析】
利用等差数列性质求 ，再求 即可.
【详解】
等差数列 中， ，故 ，即 ，
所以 .
故选：B.
5．A
【分析】
由已知结合正弦定理可得 利用三角形的内角和及诱导公式可得， 整理可得 从而有 结合三角形的性质可求
【详解】
【详解】
（1）因为 ， ，故 ，所以 .
.
（2）因为 ， ，所以 .
又因为 ，所以 .
．
19．（1）见解析；（2） .
【分析】
（1）将条件取倒数可得 ，从而得证；
（2）利用等差数列先求得 ，从而得解.
【详解】
（1）由 ，得 ，所以 ，
所以数列 为等差数列，首项为1，公差为2.
14．若向量 和 平行，则实数 的值为___________.
15．已知数列 满足 ，且 ， ，则 ____________.
16．如图，测量河对岸的塔高 时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得 ， ， ，并在点C测得塔顶A的仰角为 ，则塔高 _____m．
三、解答题
17．已知向量 .
（1）求向量 与 的夹角的大小；
（2）由（1）可得 ，所以
【点睛】
本题主要考查了利用递推关系求证等差数列，采用了取倒数的方法，属于基础题.
20．（1） ；（2） ．
【分析】
（1）由正弦定理和题设条件，求得 ，进而得到 ，得到 ，即可求解；
（2）由 的面积为 ，利用三角形的面积公式，求得 ，再结合余弦定理，求得 ，即可求得 的周长．
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ， ， ，
， ， ，
所以数列 是周期为6的数列，
所以 ，
故答案为：2
【点睛】
此题考查周期数列的应用，考查由数列的递推式求数列的项，考查计算能力，属于基础题
16．30
【分析】
由正弦定理可得 ，进而可得结果.
【详解】
由题可知 ，由正弦定理可得
所以
故答案为：30
【详解】
（1）由题意，在 中，满足 ．
根据正弦定理可得： ，即 ，
又由 ，可得 ，即 ，
又因为 ，可得 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ．
（2）由 的面积为 ，即 ，
可得 ，解得 ，
又由余弦定理 ，可得 ，
解得 ，
所以 的周长为 ．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
A． B． C． D．
11．在 中，内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ．若 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
12．对于 ，若存在 ，满足 ，则称 为“ 类三角形”．“ 类三角形”一定满足．
A．有一个内角为 B．有一个内角为
C．有一个内角为 D．有一个内角为
二、填空题
13． 的最大值是___________.
17．（1） ；（2）
【分析】
（1）由 ，计算可求出答案；
（2）先求出 ，再根据 ，可得 ，进而可列出方程，即可求出 的值.
【详解】
（1）由题意， .
因为 ，故 .
（2） ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 .
18．（1） ；（2） .
【分析】
（1）先根据平方关系求出 ，从而得到 ，再利用两角和的正切公式即可求出；
所以 .
所以 ，解得λ＝－ .
故选：C．
8．C
【分析】
由等差数列得 ，再由余弦定理结合已知求得 ，从而可得三角形面积．
【详解】
∵ 等差数列，又 ，∴ ，
所以 ，即 ， ，
∴ ．
故选：C．
9．D
【分析】
由正弦定理进行边角互化可得 ，结合三角形的内角和定理和两角和的正弦公式可求出 ，进而可求出角B的大小.
四川省内江市威远中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列 的通项公式为 ，那么9是它的（）
A．第9项B．第4项C．第3项D．第2项
2． （）
A．0B． C．-1D．1
3．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
4．在等差数列 中， ，则 =（）
A． B． C． D．
5．已知 分别是 的内角 的的对边，若 ，则 的形状为（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形
6． 的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】
由对称性，不妨设 和 为锐角，结合同角三角函数关系进行化简求值即可．
【详解】
解：由对称性，不妨设 和 为锐角，则 A， B，
所以： + ＝π﹣（A+B）＝C，
于是：cosC＝sin ＝sin（ + ）＝sinC，即：tanC＝1，解得：C＝45°，
故选B．
【点睛】
本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于中档题．
【详解】
解：由正弦定理可知， ，因为 ，
所以 ，即 ，
解得 ，则 .
故选:D.
【点睛】
本题考查了正弦定理，考查了两角和的正弦公式.本题的关键是进行边角互化.
10．D
【分析】
根据三角函数的诱导公式结合二倍角公式进行化简即可．
【详解】
可得cos =1-2 ,所以 = cos = .故选D.
【点睛】
本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的二倍角公式，诱导公式进行化简是解决本题的关键，属于基础题．
解： 是 的一个内角， ，
由正弦定理可得，
又 ， ，即 为钝角，故选A．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和及诱导公式，两角和的正弦公式，属于基础试题．
6．A
【分析】
直接逆用正切的二倍角公式计算即可得解.
【详解】
.
故选：A.
7．C
【分析】
利用平面向量中的三点共线定理求解．
【详解】
因为A，B，D三点共线，所以存在实数t，使 ，则 ．
（2）若 ，求实数 的值.
18．已知 ， .
（1）求 的值；
（2）若 且 ，求 的值.
19．已知数列 满足 且
（1）求证：数列 为等差数列
（2）求数列 的通项公式
20．在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求角 的值；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长．
21．已知向量 ， ，
（1）求 的最小正周期和单调递增区间；
13．2
【分析】
逆用两角差的正弦公式可得 ，即可求出．
【详解】
因为 ，所以函数 的最大值是2．
故答案为：2．
14．4
【分析】
利用向量共线的坐标形式可求实数 的值．
【详解】
因为向量 和 共线，所以 即 ．
故答案为： ．
【点睛】
如果 ，那么：
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，依次求出 ，从而可得数列 是周期为6的数列，进而可求得结果
可得 ，然后分类讨论即可求解.
【详解】
（1） ，
当 时， ，
因为 ，所以 ；
（2） ，
设 （ ），则 ，
对称轴为 ，开口向上， ， ， ，
1）当 时， ， ，所以 ，
2）当 时， ， ，所以 ，
3）当 时， ， ，所以 ，
综上所述： .
7．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有 ，则λ等于（）
A． B．
C． D．
8．在 中，内角 的对边分别为 ，若 的大小成等差数列，且 ，则 的面积为（）
A． B． C． D．
9． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，则角B的大小为（）
A． B． C． D．
10．已知 ，则 的值为（）
得单调递增区间为
（2）由 ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，即 .
由 的面积为 ，∴ ，∴ .
由余弦定理可得： ，可得： ，
联立解得： ；或 .
∴ .∴ .
∴ .
22．（1） ；（2） .
【分析】
（1）当 时，然后利用二倍角公式进行化简可得 ，然后对其进行配方并结合 进行计算即可得解；
（2） ，设 （ ），
（2）在 中， ， ，且 的面积为 ，求 的值.
22．设函数 ，其中 ．
（1）当 时，求函数 的值域；
（2）记 的最大值为M，求M；
参考答案
1．C
【分析】
根据通项公式解方程即可求出．
【详解】
令 ，解得 ，所以9是它的第3项．
故选：C．
2．A
【分析】
逆用两角和的余弦公式即可求出．
【详解】
．
故选：A．
3．D
21．（1） ，单调递增区间为 ；（2） .
【分析】
（1）根据平面向量数量积的坐标表示，二倍角公式，辅助角公式可求得 的解析式，再根据周期公式以及整体代换法即可解出；
（2）先由 可求出 ，再根据三角形面积公式可求得 ，由余弦定理可求出 ，联立解出 ，然后根据正弦定理即可求解出 ．
【详解】
（1）
所以 ，由 ，
11．D
【分析】
首先求得外接圆半径，然后结合合分比的性质求解 的值即可.
【详解】
由三角形面积公式可得： ，即 ，解得： ，
结合余弦定理可得： ，则 ，
由正弦定理有： ，
结合合分比定理可得： .
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题解答关键在于求出三角形的外接圆的半径，运用合分比性质求值，属于中档题.
12．B
【分析】
利用正弦定理可求得 的值.
【详解】
由正弦定理可得 ，可得 .
故选：D.
4．B
【分析】
利用等差数列性质求 ，再求 即可.
【详解】
等差数列 中， ，故 ，即 ，
所以 .
故选：B.
5．A
【分析】
由已知结合正弦定理可得 利用三角形的内角和及诱导公式可得， 整理可得 从而有 结合三角形的性质可求
【详解】