网络背景下地谣言传播模型

网络背景下的谣言传播模型
摘要
谣言的传播在现实生活中是一个很普遍的现象，随着网络和信息媒介时代的到来，谣言的产生更加具有主观性和攻击性，谣言的传播速度更是以指数函数的形式在我们的生活空间中弥漫。

谣言总是给人们的生活带来干扰和误导，因此对谣言的传播机制及控制恶意谣言的传播的研究更加有学术和人文意义。

本文基于传统的传染病模型，以微分方程作为理论依据，结合马氏链模型和MATLAB编程，最终刻画出谣言的传播机制和新媒体时代谣言传播的特点。

谣言传播模型虽与传染病模型类似，但谣言传播模型由于它的随机性和可变性更加错综复杂，本篇论文采取分步建立模型的方式，共建立了4个模型，分别为：SI模型，SIS模型和两种SIR模型。

通过对所做假设的准确分析和适当修改，最终得出结论：模型四可以较为合理的模拟谣言在网络时代的背景条件下的传播机制，并给出了“免疫者”和“传播者”的人数比例随“传染率”a的变化趋势图。

我们从网络中搜查了数据，对网络中所提供的数据进行了筛选，去除异常数据,对残缺数据进行适当补充,并从中随机抽取了3组数据（每组8个采样）对理论结果进行了数据模拟，结果显示，理论结果与数据模拟结果吻合。

通过对所建数学模型的分析，我们发现：从源头上解决谣言传播问题基本是不太可能的，所以遏制恶意谣言的传播的有效方法还是得从传播的过程中解决这个棘手的问题。

主要有以下三个建议，第一，提高大众的认知度是有必要的，这有助于“传染率”a的大大降低；第二，政府和媒体应起到中流砥柱的作用，政府应对恶意谣言有及准确的关注，并以良好的公信力及时澄清事实，而媒体应有
自己的职业道德，不要因为经济利益而盲目地炒作不良信息，造成社会不良风气的形成；第三，社会的每一个层面都应有自己的防火墙，建立属于自己的谣言防御机制，抑制谣言的扩散。

关键词：
谣言传播网络时代传染病模型微分方程几点建议
一：问题重述
1.1 问题背景
众所周知，每一则谣言都与环境危机，社会动荡，信任缺失有关，这些因素往往使人产生恐慌心理，同时也只有谣言才是治愈人们恐慌的良药。

1.2问题提出
本题基于中国目前的社会特点，要求通过建立数学模型来刻画在网络和新媒体时代的背景下谣言的传播过程及如何遏制谣言的传播，题目内容如下：
形成谣言的主要因素有两个：关注度和模糊度。

没人关注的东西不会成为谣言的范本，人们也不会传播自己不相信的事情，同时大多数人都相信的东西也不会成为谣言，同一件事对不同的人的关注度不同，同一件事对不同的人的模糊度也不同，事情发生时，当你是直接或间接的当事人，或是直接或间接的见证人，或是你从报纸，电视，网络等媒体上获得消息时，你对它们的认知度是不同的。

特别地，若某谣言涉及科学常识，不同科学素养的人群对它的认知也不同。

在最理想的条件下，所有假设条件都一致，但然是有主观性的，有人愿意成为传播谣言的实施者，有人不愿意。

请你结合中国目前的社会特点，用数学模型刻画网络背景下恶意谣言的传播过程，并提出几点有关如何遏制谣言传播的建议。

二：问题分析
2.1中国目前的社会特点
当代中国社会无论是从宏观，中观还是微观都有对谣言的产生，传播和影响提供了有利条件。

首先，在自然环境方面，环境恶化已经成为全球化的热议话题，地震，海啸，
洪水，干旱，沙尘暴等极端恶劣天气在世界各地频繁发生。

灾难的发生一部分要归结于不可抗的自然因素，还有一部分是人类对自然的迫害，天灾使得人们焦虑不安，人祸使得人们愤愤不平，这些都为人们制造谣言提供了舆论基础，加之网络时代背景下，每人都是评论员，谣言也自然而然地成为人们宣泄心中不满和恐慌的隐形“扩声器”。

其次，在社会层面，由于当代中国发展过快，很多问题还没得到充分的解决，但在大时代要求的“快速前进”的目标下，不得不追求下一个社会目标，这就导致了社论矛盾的日益激化，社会问题丛生，总有一群人成为社会变革的弱势群体，而谣言成为了他们保护自己的武器。

最后信息时代的技术革新使得新媒体时代的快速到来，新媒体时代和网络时代的完美融合使得每个中国成为世界上最大的信息大国。

4G手机，社交软件，主流媒体的公众号等等都使得人与人，人与社会，人与国家达到了抽象意义上的“零距离”，每个人都成为了时代的评论员。

网络时代所搭建的非正式话语空间，为谣言的产生，传递及其影响创造了无限的可能性。

2.2具体形势的分析
结合实际的谣言传播，它分成了孕育期，传播期和控制期，本题是通过建立数学模型刻画网络时代背景下谣言的传播机制。

通过对本题的深入分析，考虑将谣言传播过程比作传染病传播的过程。

基于网络时代的背景下谣言的传播过程错综复杂，影响因素较多，可以先建立较为简单的数学模型，再通过进一步地修改假设，针对不同情况，加强相应的约束条件，确立最终的数学模型。

三：符号说明
N: 总人数
S: 不知者占总人数的比重
I: 传播者占总人数的比重
R: 免疫者占总人数的比重
a: 每个传播者在单位时间内的传播率
b: 每个传播者在单位时间内转变为免疫者的转换率
四：模型假设
1：谣言传播的过程中社会发展稳定
2：第一个人还会参加第二次谣言传播
3：谣言会传播给已经了解过这则谣言的人
4：相信谣言的人在单位时间内传播的平均人数正比于当时尚未了解此谣言的人的个数比恒定不变
五：模型的建立及求解
5.1刻画谣言传播过程的模型及求解
5.11 模型1（SI模型）
符号给定
N: 总人数
S(t):时刻t未了解谣言的人所占比例
i(t):时刻t传播谣言的人所占的比例
λ：每个传播谣言的人与不了解谣言的人的日接触率
假设条件：
每个谣言传播者单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数呈正比；
根据假设每个传播者每天可使λs(t)个无知者变为传染者，因为谣言传播者的人
数为i(t),所以每天有λNS(t)i(t)个无知者被传播，于是λNSi 就是谣言传播者人数i 的增加率即
si dt
di λ= (1-1) 又因为S(t)+i(t)=1 (1-2)
计初始时刻（t=0）谣言传播者的人数为0i 则
)1(i i dt di
-=λ
(1-3) 分离变量得
t
e i t i λ--+=)11
(11)(0
(1-4) i(t)~t 和dt di
~i 的图示如下
i
i0 1 0
t
i di/dt O 1 1/2
tm m dt di 1/2
图1： SI 模型的i~t 曲线 图2：SI 模型
dt di ~i 曲线
由图1和图2可知，当i=
21时，dt di 达到最大值m dt di )(，此时对应的时刻为)11ln(10
-=i t m λ，即这时谣言传播者增加得最快，也预示着谣言传播期的到来。

由于网络时代传播速度快，涉及面广，影响力大，如果谣言的社会影响恶劣，则m t 应是官方及主流媒体应该开始密切关注的时刻。

在网络时代的背景下，谣言的传播期相较于传统时期的谣言传播期会提前来临。

但从上面两幅图中可看出，当时间无限延长时，所有人都变成谣言的传播者这显然不符合实际情况，其原因是谣言的的传播者有可能成为谣言的免疫者。

为了修正上述结果，必须重新对某些假设进行强化，以下三个模型都考虑了谣言的传播者会转化为谣言的免疫者的情形。

5.1.2 模型2（SIS 模型）
假设条件为：
谣言传播者I 转化为谣言免疫者R 的转化率与谣言传播者I 成正比，基于这个假设可得出模型的以下微分方程组
)32()22()12(-=--=--=bI dt
dR bI aS dt
dI aS dt
dS
(2-1): 无知者变化率=—无知者人数*日传染率；
(2-2): 谣言传播者变化量=无知者变为谣言传播者—谣言传播者转化为谣言免疫者
(2-3): 谣言免疫者人群变化量=谣言传播者转化为谣言免疫者的人数
其中a,b都是以是为参变量的函数，以下为三类人群的转化状态图
1-a 1-b
S I
R
1
b
根据Markov Chain理论，我们可以的得出一个矩阵A
1-t a 0 0
A= t a 1-t b 0
0 t b 1
其中t a 表示就是当天无知者S 变为谣言传播者I 的日传播率，t b 表示当天传播者I 转化为谣言免疫者R 的转化率，（t a ,t b 分别表示a(t),b(t)，某一天的值）
设初始值X={N,0,0},于是可以由X 和A 的转置相乘一次就可以得到一天的无知者，传播者，免疫者，再由该人数与A 的转置相乘一次就可以得到两天的各类人群的书目，由此递推下去，可以得到第t 天各类人群的数目，即可以推得任意一天各类人群的数目，于是可以得出任何一天各类人群的数目的初步模型即 A X X t t *1=+
由于A 是由a,b 确定的，所以必须得出a(t),b(t),而他们只能通过实际的谣言传播过程统计数据得到，上述模型无法求出模型的解析的，但可以通过MATLAB 进行数值计算，可得到图3和图4
图3： 传播者（I ）比例随转化率变化图（a=1）
图4免疫者（R）比例随转移率变化图（注：1
a=）
结合图3和图4谣言的传播者和免疫者最后经过谣言的衰退期都达到了比较合理的比例，但期间没有经历谣言的孕育期，直接过度到了传播期，这有实际情况不符，还需对模型的假设进一步强化。

5.1.3模型3（SIR模型）
在模型2的基础上对其进行修改优化并作出以下假设：
(1)谣言传播者I的增长率和传播者I与无知者S的乘积成正比的；
(2)传播者I到免疫者R的变化率时与传播者I成正比；
基于两个假设可得无知者变化为
+∆-=-∆
()()
S t t S t aSI t
可得微分方程的模型为
dS (31)dt bI
(3-2)dR (33)
dt aSI
dI aSI dt
bI ⎧=--⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩ 再记初始时刻的无知者和传播者的比例分别是0S 和0I （两者均大于零），SIR 模型可以写为
00S ,S(0)=S t bI,(0)d aSI d dI aSI I I dt =-=-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(3-4)
由于该模型无法求得()S t 和()I t 的解析解，故转为相对平面对接的性质进行讨论。

引入参数a b
σ=，则b a 1σ=（称为相对转移率），为了讨论方便，假设人口总数N =1，即总体。

相轨线的定义域(,)S I D ∈, 其中{}(,)|0,0,1D S I S I S I =≥≥+≤
对于方程组（3-4）中消去dt 并注意到σ的定义，可得 0011|S S dI dS S I I σ=⎧=-⎪⎨⎪=⎩
易得该方程的解为000
1
()ln S I S I S S σ=+-+ 在定义域D ,以下图5表示的曲线为相轨线，如图所示，其中箭头表示了随时间t 的增加()S t 和()I t 的变化趋势
定义：如果仅当传播者比例()I t 有一段增长的时期才认为谣言在传播，那么1σ
是一个阈值。

阈值定理：设()S t 和()I t 是方程（3-4）的解，如果01S σ<，那么当t →+∞时，()I t 单调减少趋于零。

如果01S σ>，那么当t →+∞时，()I t 先增加达到最大值01
1
1ln()S σσσ--，此时1
S σ=,而后单调减少趋于零，()S t 是一个单调减少
的函数，并且其极限
lim ()()t S t S →∞=+∞ 是方程0001()()()ln()0S t S I S t S σ+-+=在1(0,)σ
内的根。

下面根据方程（3-4）与其解以及图4分析t →+∞时(),()S t R t 和()I t 的变化情况：
①最终未被谣言传播的无知者的比例是()S +∞，根据阈值定理，()S +∞是方程0001()()()ln()0S t S I S t S σ
+-+=在1(0,)σ内的单根。

在图4中()S +∞是相轨线与s 轴在1(0,)σ
内交点的横坐标； ②无论初始条件(0)S 和(0)I 如何，最终谣言的传播者将消失，即()0I +∞=,
在图4上的表述为不论哪条线上出发，它终将与s 轴相交；
③由阈值定理，若01
S σ>，则()I t 先增加，当01
S σ=，()I t 达到最大值
max 0001()(1ln )I S I S σσ=+-
+,然后传播者()I t 减少趋于零，无知者()S t 则单调减
少至()S +∞； ④由阈值定理，若01
S σ≤，传播者()I t 单调减少为零，()S t 单调减少为()S +∞
综上所述，(),()S t R t 和()I t 的变化情况，也就与谣言的传播经历的孕育期、散播期、控制期相对应。

可以看出，如果仅当谣言传播者比例()I t 有一段增长时期
才认为谣言的传播在蔓延，那么
1σ
是一个阈值，当01S σ>时谣言就会蔓延。

而提高阈值1σ，使得01S σ≤，谣言就不会蔓延。

在a b σ=中，人们的认知度的提高，谣言免疫者比率()R t 增大，每个传播者I 在单位时间内传染率a 减少；官方或者有利益关系的当事人出来辟谣，就会将每个传播者I 转为免疫者R 转移率b 增大，所以提高人们的认知度、加大官方或当事人出来辟谣行为时减少谣言传播的有效途径。

可以做出下假设：谣言传播者I 遇到了不明种类人群， 如果不明种类人群是无知者那么它就以传染率a 被谣言蛊惑成为传播者；如果不明种类人群是传播者或者免疫者那么它就以转移率b 成为免疫者。

整个谣言传播的过程中()0S t >而()0R t >也就是说有一部分人从来就没有听说过这个谣言这也和实际的情况相符。

基于这些假设可得出模型的微分方程：
dS dt b (R+)dR ()dt aSI
dI aSI I I dt
bI R I ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=+⎪⎩
（4-1）
方程（4-1）无法求出I 和S 的解析解，故通过MATLAB 编程（程序见附录9.1）进行数值计算，绘出以下图6、图7
图6传播者（I ）比例随转移率变化图（注：1a =）
通过上述图6可知，在转移率的增大，谣言的传播者比例最大值减少，且能够推迟谣言传播的传播期的到来；再者从此图，可以给出各方(官方或者有利益关系的当事人)出来辟谣的最佳时期。

图7免疫者（R）比例随转移率变化图（注：1
a ）
通过上述图7可知，在转移率的增大，谣言的免疫者比例最大值增大，原因是各方(官方或者有利益关系的当事人)出来辟谣，再者也可能是大家的认知度得到了一定的提高，对谣言的判断力得到加强。

综上所述：事实上，整个谣言传播的过程可以简单的概括如下：首先人群里只有少量的传播者，其它都为无知者，免疫者的数量为0 。

随着传播者开始散播，谣言无知者的数量很快减少，传播者的数量急剧增加，随着谣言的进一步扩散，免疫者的数量开始增加，而传播者的数量达到一个峰值，以后开始下降，而人群里就只剩下免疫者和少量的无知者恰恰是这部分人从来没有受到过谣言的骚扰。

5.2结论分析
在传统媒介时代，谣言的传播更多地体现在人与人之间的口口相传，谣言的孕育期在整个谣言传播过程起着决定性的作用，由于谣言传播之初都是在私下进行，因此在谣言爆发期，传统媒介往往不能及时洞察和发布准确的消息，只有在
谣言传播最盛时期才会引起官方的重视及辟谣。

但在网络和新媒体时代，谣言传播的过程中移出率和传播率这两个系数会增大，这是因为在新媒体时代，谣言会随着网络背景下的便利，会飞快地传播，与此同时，也就会更容易引起官方的重视及关注，一但官方发布辟谣消息，辟谣消息也会借助网络的力量迅速扩散，也可以及时地抑制谣言继续扩散。

综合两者来考虑，通过模型(4-1),将传统媒介时代的两个系数分别定义为：a=0.5,b=0.5;新媒体时代的两个系数定义为：a=0.8,b=0.7,运用MATLAB可以刻画出传播者的比例随时间的变化图，（如图8）
图8
通过图8可以明显地看出，网络时代谣言传播者的数量的最大值要比传统媒介时代的传播者数量大，且在网络时代下，到达传播者比例的最大值所需的时间要比传统媒介时代要短。

传播者比例的最大值在一定程度上可以理解为谣言传播对社会的影响，那就说明在网络和新媒体时代，谣言会飞快地传播，并在最很短的时间内在社会层面到达最大的影响。

同时更容易引起相关官方部门的重视，所以打破谣言的传播所需的时间会缩短。

六：模型评价
优点：
1.在建立数学模型刻画谣言传播过程中，运用了分步建立数学模型的步骤，很好地体现了模型与现实情况的贴合，模型的改进，方法的配合。

2.本文运用了微分方程的方法，使得模型更加严谨，可以刻画每个时间段谣言传播情况。

并配以Matlab所得的数据图，使得整个结果更加明显易懂。

3.由于微分方程的解析解是很难求得的，但利用了数值计算和MATLA中拟合的方法后，可得到微分方程的解的大致分布情况，这可以模拟一些真实性不高的谣言的传播的过程。

缺点
1.建立模型的过程中，有些系数是主观定义的。

2.在确定无知者，传播者，免疫者这三类人群的关系时，也是主观定义的，无法找到数据进行佐证。

3.由于网络是一个虚拟空间，它的随机性和不定性是无法掌握的，本文是基于和谐的网络背景下建立的，符合大部分网络谣言的传播过程。

七：模型推广
本模型针对网络和新媒体时代背景下，较为合理地刻画了谣言传播的过程及对相对官方部门如何抑制谣言提出了几点建议。

这个模型可以推广日常生活中网络谣言，流言，社交软件推送的消息等的传播过程。

八：参考文献
[1]姜起源，谢金星，叶俊，数学模型[M],北京，高等教育出版社，2012.
[2]寿纪麟，数学建模方法及案例[M],西安，西安交通大学出版社，2011.
[3]叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材[M],湖南，湖南教育出版社，2001.
[4]类功炎，数学模型讲义，北京，北京大学出版社，2009。