【解析】广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2020届高三8月开学联考数学(文)试题

2019—2020学年第一学期高三8月开学广雅、执信、六中、深外
四校联考试卷 文科数学
试卷类型：A
本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案：不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知全集{}2,3,4,5,6,7U =，集合{}4,5,7A =，{}4,6B =，则()U A C B =I （ ） A. {}5 B. {}2 C. {}2,5 D. {}5,7
【答案】D
【详解】由题意知{}2,3,5,7U C B =，所以(){}{}{}4,5,72,3,5,75,7U A C B ⋂=⋂=，故选D.
2.设i 是虚数单位，若复数()10
3a a R i
-∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A. -3 B. -1
C. 1
D. 3
【答案】D
【详解】因
,
故由题设,
故
,故选D ．
考点：复数的概念与运算.
3.若向量,,a b c r r r ，满足//a b r r 且a c ⊥r r
，则()
2c a b ⋅+=r r r （ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 0
【答案】D 【分析】
先证明b c ⊥r r ，可得0a c b c ⋅=⋅=r r r r
，利用数量积的运算法则求解即可.
【详解】Q 向量,,a b c r r r 满足//a b r r 且a c ⊥r r
，b c ∴⊥r r ，
0a c b c ∴⋅=⋅=r r r r
，
()
22000c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅=+=r r r r r r r
，故答案为0.
【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算法则以及向量垂直的性质，属于基础题.
4.为了测试小班教学的实践效果，王老师对A 、B 两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A 、B 两班学生的平均成绩分别为A x ，B x ，A 、B 两班学生成绩的方差分别为2
A s ，2
B s ，则观察茎叶图可知
A. A x ＜B x ，2A s ＜2
B s B. A x ＞B x ，2A s ＜2
B s C. A x ＜B x ，2
A s ＞2
B s
D. A x ＞B x ，2
A s ＞2
B s
【答案】B 【分析】
根据茎叶图中数据的分布可得，A 班学生的分数多集中在[]70,80之间，B 班学生的分数集中在[]50,70之间，A 班学生的分数更加集中，B 班学生的分数更加离散，从而可得结果. 【详解】A 班学生的分数多集中在[]70,80之间，B 班学生的分数集中在[]50,70之间，故
>A B x x ；相对两个班级的成绩分布来说，A 班学生的分数更加集中，B 班学生的分数更加离
散，故22
A B s s <，故选B.
【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意 平均数、中位数、众数描述其集中趋势, 方差和标准差描述其波动大小. 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平;方差反映了 随机变量稳定于均值的程度, 它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方取舍的重要的理论依据，가般先比较均值, 若均值相同再用方差来决定.
5.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数()y f x =的图象大致为
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】根据题意，函数解+析式为 y=1.104x ，（x ＞0）函数为指数函数，底数1.104＞1，递增，
故选B
6.在ABC ∆中，若3
A π
=，5sin 3sin B C =，
且ABC ∆的面积4
S =，则ABC ∆的边BC 的长为（ ）
C. D. 4
【答案】B 【分析】
设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，由5sin 3sin B C =得出53b c =，再由三角形的面积求出b 、c 的值，再利用余弦定理可得出BC a =的长.
【详解】设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，由于5sin 3sin B C =得出
53b c =，
35b c ∴=，由三角形的面积公式可得113sin 225S bc A c c ==⨯⨯==
， 解得5c =，3b ∴=，由余弦定理得2
2
2
2
2
1
2cos 35235192
a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，
因此，ABC ∆的边BC B.
【点睛】本题考查三角形的面积公式的应用以及利用余弦定理解三角形，要熟悉正弦定理和余弦定理解三角形的对三角形已知元素类型的要求，考查运算求解能力，属于中等题.
7.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金
分割比例为
1
0.6182
≈，这一数值也可以表示为2sin18m =︒。

若24m n +=，则
2
2cos 271
=︒-( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C 【分析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求24cos 18n =︒，利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解． 【详解】解：2sin18m =︒Q ，若24m n +=，
2222444sin 184(1sin 18)4cos 18n m ∴=-=-︒=-︒=︒，
∴2
2sin184sin18cos18222711cos541sin 36cos ︒︒===︒-+︒-︒
． 故选：C ．
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
8.已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若21log 5a f ⎛
⎫ ⎪⎝-⎭
=，()2log 4.1b f =，()
0.8
2c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A. a b c >>
B. b a c >>
C. c b a >>
D.
c a b >>
【答案】A 【分析】
由奇函数的性质得出()2
21log 5log 5f a f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
=-，利用中间值法和对数函数的单调性比较出2log 5、2log 4.1、0.82三个数的大小关系，再利用函数()y f x =在R 上的单调性可得出a 、
b 、
c 的大小关系.
【详解】Q 函数()y f x =在R 上是奇函数，()22211log log log 555a f f f ⎛⎫⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
又函数()y f x =在R 上是增函数，且0.8
222log 5log 4.1log 422
>>=>，
()()()0.822log 5log 4.12f f f ∴>>，a b c ∴>>，故选：A ．
【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小，同时也考查了利用中间值法比较大小，考查推理能力，属于中等题.
9.函数()sin()f x x ωϕ=+（其中2
π
ϕ<）的图象如图所示，为了得到()sin g x x ω=的图象，
则只要将()f x 的图象
A. 向右平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向左平移
个单位长度
【答案】A
【详解】试题分析：由图象可知，该函数的A=1，周期为74(
),2123πππω-=∴=，代入7(,1)12
π
-可得3
π
ϕ=
,所以函数为()sin(2)3f x x π
=+，而将函数图象向右平移6π个单位长度后得到函数
()sin[2()]sin 263
f x x x ππ
=-+=.选A.
考点：本小题主要考查三角函数的性质和三角函数图象的平移.
点评：解决此类问题时，要特别注意图象左右平移的单位是相对于x 说的.
10.在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线1A O ，下列说法正确的是（ ） A. 11//AO D C B. 1A O BC ⊥ C. 1//A O 平面11B CD D. 1A O ⊥平面11AB D
【答案】C 【分析】
设1111A C B D M =I ，证明出1//AO CM ，可判断出选项A 、C 的正误；由BCM ∆为等腰三角形结合1//AO CM 可判断出B 选项的正误；证明1A C ⊥平面11AB D 可判断出D 选项的正误.
【详解】如下图所示，设1111A C B D M =I ，则M 为11A C 的中点，
在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，则四边形11AAC C 为平行四边形，
11//AC A C ∴. 易知点O 、M 分别为AC 、11A C 的中点，1//A M OC ∴，
则四边形1A MCO 为平行四边形，则1//AO CM ，由于过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则A 选项中的命题错误；
1//A O CM Q ，1
AO ⊄平面11B CD ，CM ⊂平面11B CD ，1//AO ∴平面11B CD ，C 选项中的命题正确；
易知BM CM =，则BCM ∆为等腰三角形，且BC 为底，所以，BC 与CM 不垂直，由于
1//AO CM ，则1A O 与BC 不垂直，B 选项中的命题错误； Q 四边形1111D C B A 为正方形，则1111B D A C ⊥，
在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，
111B D CC ∴⊥，1111AC CC C =Q I ，11B D ∴⊥平面11A CC ，
1A C ∴⊂平面11A CC ，1
11AC B D ∴⊥，同理可证11A C AB ⊥，且1111AB B D B =I ， 1A C ∴⊥平面11AB D ，则1A O 与平面11AB D 不垂直，D 选项中的命题错误.故选：C.
【点睛】本题考查线线、线面关系的判断，解题时应充分利用线面平行与垂直等判定定理证明线面平行、线面垂直，考查推理能力，属于中等题.
11.己知1F ，2F 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左，右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P ，Q
两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则△12PF F 与△12QF F 的面积之比为（ ） A. 23- B. 21-
C. 21-
D. 23+
【答案】D 【分析】 可设111,
22PF t QF PF t ===，运用椭圆的定义可得222,22PF a t QF a t =-=-，
结合勾股定理和三角形的面积公式，计算可得所求比值.
【详解】
设111,22PF t QF PF t ===，由椭圆的定义可得222,
22PF a t QF a t =-=-，
|PQ|=4a-3t ，由2
2
211||PQ PF QF +=，即222(43)4a t t t -+=，即有433a t t -=，解得33t =
+，则△12PF F 与△12QF F 的面积之比为：
1212142231
3233332
2311823231sin 30223333
a a PF PF PF QF a a ︒+⋅⋅⋅++===+--⋅⋅⋅⋅++故选D.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义，勾股定理，面积公式等，较综合，意在考查学生的计算能力，分析能力，难度较大.
12.已知函数()ln ,01,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩
，若12x x ≠且()()12f x f x =，则12x x -的最大值为（ ）
A. 2
B. 2
2
D. 1
【答案】B
【分析】
设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线1y x =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，计算出直线l 的倾斜角为
4
π
，可得出122x x d -=，于是当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，从而12x x -取到最大值. 【详解】如下图所示：
设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线1y x =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，122x x d -， 由图形可知，当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，
当0x >时，()ln f x x x =，令()ln 11f x x '=+=，得1x =，切点坐标为()1,0， 此时，101
22
d -+=
=12max 222x x ∴-==，故选：B.
【点睛】本题考查函数零点差的最值问题，解题的关键将问题转化为两平行直线的距离，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于难题.
第二部分非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷的相应位置． 13.已知函数()()()1,x
f x bx e a a b R =-+∈.若曲线()y f x =在点()()
00f ，处的切线方
程为y x =，则a b +=___________. 【答案】3 【分析】
求出导数，利用曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，建立方程，求得,a b 的值，进而得到所求和，得到答案.
【详解】由题意，函数()(1)x
f x bx e a =-+，得()(1)x
f x e bx b '=⋅+-，
曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，即()()01,00f f ='=， 即11,10b a -=-+=，解得1,2a b ==，所以3a b +=.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
14.等比数列{}n a 的前n 项和为11,2n S a =-，若63
78S S =，，则24a a •=__________． 【答案】1
64
【分析】
求出等比数列的公比后可计算24164
a a =． 【详解】设等比数列的
公比为q ，
若1q =，则6
3
2S S =，不合题意；故1q ≠． 又
()
()613
63311711811a q S q q S a q q
--==+=--，所以12
q =-， 所以2
4
24111141664a a a q ==
⨯=，填1
64
． 【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求
解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．
15.已知1F ，2F 是双曲线的两个焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于A ，
B ，
C ，
D 四个点，若这四个点与1F ，2F 两点恰好是一个正六边形的顶点，则该双曲线的离
心率为________． 【答案】2．
【
分析】
分析双曲线的焦点位置，由正六边形的性质得出可得出3b a =，再由公式2
1c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
可计算出双曲线的离心率.
【详解】由正六边形的图形特征知，若双曲线焦点在x 轴上，且2F 为双曲线的右焦点， 以12F F 为直径的圆与渐近线在第一象限的交点为A ，则2OAF ∆为等边三角形，
则双曲线斜率为正的渐近线的倾斜角为3π
，tan 33
b a π∴==， 此时，双曲线的离心率为2
12c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭
；
综上所述，双曲线的离心率为2，故答案为：2.
【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，解题的关键就是要分析几何图形的特征，求出渐近线的斜率，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
16.把平面图形M 上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M '称为图形M 在这个平面上的射影．如图，在长方体ABCD EFGH -中，5AB =，4=AD ，3AE =．则EBD ∆在平
面EBC 上的射影的面积是________．
【答案】2
34 【分析】
连接CH ，过点D 在平面CDHG 内作DM CH ⊥，垂直为点M ，可证明出DM ⊥平面
BCHE ，可得出EBD ∆在平面EBC 上的射影为MBE ∆，然后计算出MBE ∆的面积即可得
出结果.
【详解】连接HC ，过D 作DM CH ⊥，连接ME 、MB ，因为BC ⊥平面HCD ， 又DM ⊂平面HCD ，所以DM BC ⊥，
因为BC HC C ⋂=，所以DM ⊥平面HCBE ，
即D 在平面HCBE 内的射影为M ，所以EBD ∆在平面HCBE 内的射影为EBM ∆， 在长方体中，HC BC ⊥，所以MBE ∆的面积等于CBE ∆的面积， 所以EBD ∆在平面EBC 上的
射影的面积为
1
92542342
+=234【点睛】本题考查射影面积的计算，解题的关键就是构造出线面垂直，找出射影，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足312S =，530S =． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列()()111n n a a ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭
的前n 项和n S ．
【答案】（1）(
)*
2n a n n N =∈（2）()
*21
n
n
S
n N n =
∈+.
【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，利用已知条件建立1a 和d 的方程组，解出这两个量，然
后利用等差数列的通项公式可求出数列{}n a 的通项公式； （2）将数列()()1
11n n a a ⎧⎫⎪
⎪
⎨
⎬-+⎪⎪⎩⎭
的通项裂项为()()11111122121n n a a n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭，然后利
用裂项法求出数列()()111n n a a ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭
的前n 项和n S .
【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由312S =，530S =得11
3312
51030a d a d +=⎧⎨+=⎩，
解得：12a =，2d =，因此，()()
*
112n a a n d n n N =+-=∈；
（2）因为()()
()()1
1
11111212122121n n a a n n n n ⎛⎫=
=- ⎪-+-+-+⎝⎭
，
所以
()()
1111
1335572121n S n n =
++++⨯⨯⨯-⋅+L 1111111111112133557212122121
n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L . ()
*21
n n
S n N n ∴=
∈+.
【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，以及裂项求和法，解题时要了解裂项求和法对数列通项结构的要求，并熟悉裂项求和法的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题.
18.每年的9月20日是全国爱牙日，为了迎接这一节日，某地区卫生部门成立了调查小组，调查“常吃零食与患龋齿的关系”，对该地区小学六年级800名学生进行检查，按患龋齿的不患龋齿分类，得汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有60名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患齲齿的学生有140名．
（1）完成答卷中的22⨯列联表，问：能否在犯错率不超过0.001的前提下，认为该地区学生的常吃零食与患龋齿有关系？
（2）4名区卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理，求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．
附：()
()()()()2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++
【答案】（1）填表见解+析,能在犯错率不超过0.001的前提下，认为该地区学生的常吃零食与患龋齿有关系（2）1
3
【分析】
（1）根据题中信息完善22⨯列联表，并计算出2K 的观测值，并将观测值与10.828进行大小比较，可对题中结论的正误进行判断；
（2）将所有可能分组的情况列举出来，确定全部的分组数，并确定事件“工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组”所包含的组数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】（1）由题意可得列联表：
()2
2
8006050010014016.66710.828160640200600
K ⨯-⨯∴=≈>⨯⨯⨯，
故能在犯错率不超过0.001的前提下，认为该地区学生的常吃零食与患龋齿有关系； （2）设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况如下表：
小组 1
2
3
4
5
6
收集数据 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁 处理数据 丙丁
乙丁
乙丙
甲丁
甲丙
甲乙
分组的情况总共有6种，
工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占2组，分别是第2组和第3组. 所以工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率2163
P =
=. 【点睛】本题考查独立性检验基本思想的应用，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，考查收集数据和处理数据的能力，考查计算能力，属于中等题.
19.如图1，在梯形ABCD 中，//AD BC ，1
12
AB BC AD ==
=，E 为AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 翻折到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -．
（1）求证：1CD A C ⊥； （2）当2BE =
，11A C =时，求D 到平面1A OC 的距离．
【答案】（1）见解+析；（22. 【分析】
（1）在图1中，证明四边形ABCE 为菱形，可得出AC BE ⊥，由翻折的性质得知在图2中，
OA BE ⊥，OC BE ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理证明出BE ⊥平面1A OC ，可得出
1BE A C ⊥，并证明出四边形BCDE 为平行四边形，可得出//CD BE ，由此得出1CD A C ⊥；
（2）解法一：由（1）可知BE ⊥平面1A OC ，结合//CD BE ，可得出CD ⊥平面1A OC ，由此得出点D 到平面1A OC 的距离为CD 的长度，求出CD 即可；
解法二：证明出1A O ⊥平面OCD ，可计算出三棱锥1A OCD -的体积，并设点D 与面1A OC 的距离为d ，并计算出1A OC ∆的面积，利用三棱锥1A OCD -的体积和三棱锥1D A OC -的体积相等计算出d 的值，由此可得出点D 到平面1A OC 的距离. 【详解】（1）图1中，在四边形ABCE 中，//BC AE ，1BC AE ==，
∴四边形ABCE 为平行四边形.
又1AB BC ==Q ，∴四边形ABCE 为菱形，AO BE ∴⊥，CO BE ⊥，
∴在图2中，1A O BE ⊥，CO BE ⊥，又1AO CO O ⋂=，BE ∴⊥面1A OC ．
1A C ⊂Q 平面1A OC ，1BE A C ∴⊥.
又在四边形BCDE 中，//BC DE ，1BC DE ==，
∴四边形BCDE 为平行四边形，//BE CD ∴，1CD A C ∴⊥；
（2）法一：由（1）可知BE ⊥面1A OC ，且//CD BE ，CD \^平面1A OC ，
CD 的
长度即为点D 到平面1A OC 的距离，
由（1）已证四边形BCDE 为平行四边形，所以2CD BE ==，
因此，点D 到平面1A OC 的距离为2； 解法二：连接OD ，11A B =Q ，12
2BO BE =
=
，AO BE ⊥，
2221
12AO AB BO ∴=-=，12A O CO ∴==，222
11A O CO A C ∴+=，1A O OC ∴⊥. 又BE CO O ⋂=，1A O ∴⊥平面OCD ．
设点D 与面1A OC 的距离为d ，11A OCD D A OC V V --=Q ，
即1
112A OCD OCD V S A O -=⋅=V 1113D A OC A OC V S d -=⋅V ，114A OC
S =V ，d ∴=． 【点睛】本题考查直线与直线垂直的证明，同时也考查了点到平面的距离的计算，解题时要充分利用题中的垂直关系，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
20.在平面直角坐标系xOy 中，过定点()0,C p 作直线与抛物线()2
20x py p =>相交于A 、
B 两点．
（1）已知1p =，若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB ∆面积的最小值； （2）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．
【答案】（1）（2）满足条件的直线l 存在，其方程为2
p
y =，详见解+析. 【分析】
（1）先得出点N 的坐标为()0,1-，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为1y kx =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式求出ABN ∆的面积关于k 的表达式，由此可得出ABN ∆面积的最小值；
（2）解法一：假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，求出线段AC 的中点O '的坐标，并计算出点O '到直线l 的距离以及以AC 为直径的圆O '的半径长，然后利用勾股定理可计算出l 截以AC 为直径的圆所得弦长，结合弦长的表达式得出当02
p
a -=时，弦长为定值，从而得出直线l 的方程；
解法二：假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，求出以AC 为直径的圆的方程，将直线l 的方程与圆O '的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出l 截以AC 为直径的圆所得弦长，结合弦长的表达式得出当02
p
a -
=时，弦长为定值，从而得出直线l 的方程. 【详解】（1）依题意，点N 的坐标为()0,1N -，
可设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为1y kx =+，
由221
x x y kx ⎧=⎨=+⎩得2220x kx --=． 由韦达定理得122x x k +=，122x x =-．
于是12ABN BCN ACN S S S x x ∆∆∆=+=-=
=
∴当0k =时，()min
ABN S ∆=；
（2）解法一：假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P 、Q ，PQ 的中点为H ，则O H PQ '⊥，
O '点的坐标为11,2
2x y p +⎛⎫ ⎪⎝⎭，2
112x py =．
因为12O P AC '=
== 111
222
y p O H a a y p +'=-
=--，()
()()2
2
2
222111112442p PH O P O H y p a y p a y a p a ⎛
⎫''=-=
+---=-+- ⎪⎝
⎭， ()
()2
21242p PQ PH
a y a p a ⎡⎤
⎛⎫==-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，
令02p a -
=，得2
p
a =，此时PQ p =为定值， 故满足条件的直线l 存在，其方程为2
p
y =
，即抛物线的通径所在的直线； 解法2：假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，设以AC 为直径的圆上任意一点为：
(),M x y ，()0,A p ，()11,B x y ，2112x py =，则0AM BM ⋅=u u u u r u u u u r
，
则以AC 为直径的圆方程为：()()110,,0x y p x x y y --⋅--=， 化简为：()()2
110x x x y p y y -+--=，
直线方程y a =代入上述方程得()()2
110x x x a p a y -+--=
则()()()2
1114402p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫∆=----
+-> ⎪⎢⎥⎝⎣⎦
=⎭ 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为()33,P x y ，()44,Q x y ，则有
34PQ x x =-=
=令02p a -
=，得2
p
a =，此时PQ p =为定值． 故满足条件的直线l 存在，其方程为2
p
y =
，即抛物线的通径所在的直线． 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查三角形面积的最值以及直线截圆所得弦长的计算，同时也考查了韦达定理设而不求法在直线与抛物线综合问题中的应用，综合性较强，计算量大，属于难题.
21.已知函数sin ()a x
f x x
-=
，0πx <<． （Ⅰ）若0x x =时，()f x 取得极小值()0f x ，求实数a 及()0f x 的取值范围； （Ⅱ）当a π=，0m π<<时，证明：()ln 0f x m x +>． 【答案】（Ⅰ）000sin cos a x x x =-；()()01,1f x ∈-（Ⅱ）见证明 【分析】
（Ⅰ）根据0x x =时，()f x 取得极小值()0f x ，可得()00f x '=，解方程得
000sin cos a x x x =-，将a 代入()0f x 进一步求出()0f x 的范围；
（Ⅱ）证明()ln 0f x m x +>成立，即证明ln sin mx x x π>-成立，构造函数
()ln g x mx x =，()sin h x x π=-，利用导数求得()g x 的最小值，结合(),1(]
h x ππ∈--即可证得该不等式成立． 【详解】解：（Ⅰ）由函数sin ()a x
f x x
-=
，0πx <<，得 2
cos sin ()x x a x
f x x
--+'=
，
∵当0x x =时，()f x 取得极小值()0f x ， ∴()00f x '=，∴000sin cos a x x x =-， ∴()00
000
cos cos x x f x x x -=
=-， ∵0πx <<，∴()0cos 1,1x ∈-， ∴()()01,1f x ∈-，
即()0f x 的取值范围为：()1,1-． （Ⅱ）当a π=时，sin ()(0)x
f x x x
ππ-=<<，
要证sin ()ln ln 0x
f x m x m x x
π-+=
+>成立，
即证ln sin mx x x π>-成立，
令()ln g x mx x =，()sin h x x π=-，则
()()ln 1g x m x '=+，()si ,(n 1]h x x πππ=-∈--，
令()0g x '=，则1x e
=， ∴当1
0x e
<<时，()0g x '< ，此时()g x 递减； 当
1
x e
π<<时，()0g x '>，此时()g x 递增， ∴min 1()m g x g e e
⎛⎫==- ⎪⎝⎭
， 显然0,()m π∀∈，1m
e
π-
>-， ∴0m π<<时，ln sin mx x x π>-成立。

即0m π<<时，()ln 0f x m x +>
【点睛】本题主要考查了极值与导数的关系及方程思想，还考查了利用导数求函数的最值，考查转化能力及计算能力，属于难题。

选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分．
22.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆的方程为：22
12012
x y +=，动点P 在椭圆上，O 为原点，线段OP 的中点为Q .
（1）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点Q 的轨迹的极坐标方程；
（2）设直线l
的参数方程为1,2,x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），l 与点Q 的轨迹交于M 、N 两点，求弦长MN .
【答案】（1）22(32sin )15ρθ+=（2
）MN =
【分析】 (1)先由相关点法求出点Q 的轨迹方程，再由极坐标与直角坐标转化的公式，即可得出结果；
(2)将直线的参数方程代入点Q 的普通轨迹方程，得到关于t 的一元二次方程，由韦达定理和12MN t t =-即可求出弦长.
【详解】（1）设点Q 的坐标为(),x y ，Q Q 为线段OP 的中点，
∴点P 的坐标为()2,2x y ．
由点P 在椭圆上得()()222212012x y +=，
化简得点Q 的轨迹的直角坐标方程为22
153
x y +=① 将cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入①得
2222cos sin 153ρθρθ+=， 化简可得点Q 的轨迹的极坐标方程为()2232sin 15ρθ+=．
（2）（法一）把直线l
参数方程1,2,x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数)代入①得22344153t t +=， 化简得：2103
t =
12t t ∴== 设M 、N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，由直线参数方程t 的几何意义得
弦长12MN t t =-=． （法二）由直线l
参数方程1,2,x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数)知，直线l 过极点，倾斜角为3π， ∴直线l 的极坐标方程为()3R π
θρ=∈． 由()
22,332sin 15,πθρθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩
解得：1,3πθρ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
和2,3πθρ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴
弦长12MN ρρ=-=． （法三）由直线l
参数方程1,2,x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数)知， 直线l
的普通方程为y =，
联立22153y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，，
解得116x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
和226x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 弦长
MN =
=．
【点睛】本题第一问主要考查点的轨迹方程的求法，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，记公式即可；第二问主要考查参数的方法求弦长，只需将直线的参数方程代入曲线的普通方程，再由韦达定理即可求解，属于常规题型.
23.已知a 和b 是任意非零实数．
（1）求22a b a b a ++-的最小值．
（2）若不等式22(22)a b a b a x x ++-≥++-恒成立，求实数x 的取值范围．
【答案】（1）4；（2）22x -≤≤
试题分析：
（1）利用绝对值不等式的性质可得 22224a b a b a b a b a ++-≥++-=,所以22a b a b
a ++-的最小值等于4；（2）由（1）转化为有x 的范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4的解集，解绝对值不等式求得实数x 的取值范围．
试题详细分析：（1）∵22224a b a b a b a b a ++-≥++-=对于任意非零实数a 和b 恒成立，当且仅当(2)(2)0a b a b +-≥时取等号，∴22a b a b a ++-的最小值等于4.
（2）∵2222a b a b
x x a
++-++-≤恒成立， 故22x x ++-不大于22a b a b
a ++-的最小值
由（1）可知22a b a b a ++-的最小值等于4
实数x 的取值范围即为不等式224x x ++-≤的解.
解不等式得22x -≤≤，[2,2]x ∈-.。