计算方法 1插值方法
第6讲(1)插值
8
其中 Ai 为待定系数，利用li ( xi ) = 1可解得：
Ai = ( xi − x0 )
1 ( xi − xi−1 )( xi − xi+1 )
(xi − xn )
从而
∏ li ( x) =
j≠i
x − xj xi − x j
基本插值函数 (插值基函数)
9
2-2 Lagrange 插值多项式
数类，插值函数 P( x) 满足 P( xi ) = yi (i = 0, , n) ， 即
a0ϕ0 ( xi ) + a1ϕ1 ( xi ) + + anϕn ( xi ) = yi , i = 0, , n
6
若插值基函数{ϕ
i
(
x
)}n i=
0
线性无关，则上述方程组
有唯一的解{ai
}n i=
0
(3)
P(xk ) = I1,
,n ( xk
)
xk x1
− xn+1 − xn+1
+
I2,
,n+1 ( xk
)
xk − x1 xn+1 − x1
=
f
( xk
)
xk x1
− −
xn +1 xn +1
+
f
( xk
)
xk − x1 xn+1 − x1
=
f (xk )
(2 ≤ k ≤ n)
23
注 由上述性质可知， P(x) 是 f (x) 的关于节点 x1, , xn+1的 n 次插值多项式. 它实质上是对两个 n −1次的插值多项式，再经过线性插值求出的.
[转载]插值算法（一）：各种插值方法比较
![[转载]插值算法（一）：各种插值方法比较](https://img.taocdn.com/s3/m/807a27741fd9ad51f01dc281e53a580216fc500f.png)
[转载]插值算法（⼀）：各种插值⽅法⽐较原⽂地址：插值算法（⼀）：各种插值⽅法⽐较作者：稻草⼈确定性随机性确定性随机性趋势⾯（⾮精确）回归（⾮精确）泰森（精确）克⾥⾦（精确）密度估算（⾮精确）反距离权重（精确）薄板样条（精确）整体拟合利⽤现有的所有已知点来估算未知点的值。
局部插值使⽤已知点的样本来估算位置点的值。
确定性插值⽅法不提供预测值的误差检验。
随机性插值⽅法则⽤估计变异提供预测误差的评价。
对于某个数据已知的点，精确插值法在该点位置的估算值与该点已知值相同。
也就是，精确插值所⽣成的⾯通过所有控制点，⽽⾮精确插值或叫做近似插值，估算的点值与该点已知值不同。
1、反距离加权法（Inverse Distance Weighted）反距离加权法是⼀种常⽤⽽简单的空间插值⽅法，IDW是基于“地理第⼀定律”的基本假设:即两个物体相似性随他们见的距离增⼤⽽减少。
它以插值点与样本点间的距离为权重进⾏加权平均，离插值点越近的样本赋予的权重越⼤，此种⽅法简单易⾏，直观并且效率⾼，在已知点分布均匀的情况下插值效果好，插值结果在⽤于插值数据的最⼤值和最⼩值之间，但缺点是易受极值的影响。
2、样条插值法（Spline）样条插值是使⽤⼀种数学函数，对⼀些限定的点值，通过控制估计⽅差，利⽤⼀些特征节点，⽤多项式拟合的⽅法来产⽣平滑的插值曲线。
这种⽅法适⽤于逐渐变化的曲⾯，如温度、⾼程、地下⽔位⾼度或污染浓度等。
该⽅法优点是易操作，计算量不⼤，缺点是难以对误差进⾏估计，采样点稀少时效果不好。
样条插值法⼜分为张⼒样条插值法（Spline with Tension）规则样条插值法（Regularized Spline）薄板样条插值法 (Thin-Plate Splin)3、克⾥⾦法（Kriging）克⾥⾦⽅法最早是由法国地理学家Matheron和南⾮矿⼭⼯程师Krige提出的，⽤于矿⼭勘探。
这种⽅法认为在空间连续变化的属性是⾮常不规则的，⽤简单的平滑函数进⾏模拟将出现误差，⽤随机表⾯函数给予描述会⽐较恰当。
计算方法 插值法
例见 P.74 例 1。 (2) 差商与牛顿基本插值多项式 考虑到拉格朗日插值的缺点：增加新的结点，需重新计算，工作量较大！ 改进的方向：选取形式： a 0 + a1 ( x − x0 ) + a 2 ( x − x0 )( x − x1 ) + L + a n ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − xn −1 ) ； （称之为 n 次牛顿插值多项式） 记 N n ( x) = a 0 + a1 ( x − x0 ) + a 2 ( x − x0 )( x − x1 ) + L + a n ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − x n −1 ) 为了给出 a i 简明计算表达式，引入差商（或均差）概念。 定义 1.
第二章 插值与拟合
§1.插值概念与基础理论
(1) 提法： 给定函数表 x y = f ( x) x0 y0 x1 y1
K K
xn yn
其中假定 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，设 x0 , x1 , L, x n 为区间 [a, b] 上 n + 1 个互不相同的 点，要求在一个性质优良、便于计算的函数类 {P ( x)} 中，选一个使 P ( xi ) = y i (i = 0,1,L, n) L (*) 的函数 P( x) 作为 f ( x) 的近似，这就是最基本的插值问题。 [a, b] 称为插值区间； x0 , x1 , L, x n 为插值节点； {P ( x)} 称为插值函数类；（*）称为插 值条件； P( x) 称为插值函数；求插值函数 P( x) 的方法称为插值法。 本章取 Pn ( x) = a 0 + a1 x + L + a n x n ，其中 a 0 , a1 , L, a n 为实数， Pn ( x) 为次数不超 过 n 的插值代数多项式，相应的插值问题称为 n 次代数多项式插值。
深入理解插值与卷积,1维插值,2维插值
a = 0.25 (a~c)
a = 1 (d~f)
a = 1.75 (g~i)
a = 0.5(j~l)
不同的a取值对于三次插值的效果。
•16.3.3 二维插值 •基本思想：先在某一维上进行一维插值，然后对这个中间结果的另外 一维进行一维插值。 •二维最近邻插值 •通过对x和y坐标分别取整，可以得到举例给定的连续点(x0,y0)最近的像 •素。
•16.3.2 以卷积方式描述插值 •对连续信号的重建可以描述为线性卷积运算。一般地，可以将插值表达 为给定离散函数g(u)和一连续插值内核w(x)的线性卷积。
• 可以理解为对离散函数的线性求和。 • 一维最近邻内插的插值内核为：
Байду номын сангаас
•线性插值的插值内核为：
最近邻插值(a-c)
线性插值(d-f)
•立方插值的插值内核为：
16.3 插值
•插值是估计采样函数或者信号在连续位置处的值，或者试图从一离散样 本集合重建原始连续函数的方法。 •16.3.1 一维插值方法 •为了更好地说明问题，首先处理一维情况，如下图所示。
•有一些简单的函数可以用来对离散函数在任意的连续位置处进行插值。
•最近邻插值 •将连续坐标x近似为最近的整数值u0，并且用样本值g(u0)作为估计的函 数值。下图(a)为其示例。
•线性插值 •连续坐标x的估计值为最近两个样本g(u0)和g(u0+1)的加权求和的形式。 •下图(b)是其示例。
•数值计算中的三次Hermite插值 •给定离散点处的导数值和离散点处的函数值，可以在该离散点之间进行 插值，从而得到一个分段插值函数。该函数满足c1连续。这种插值方式 称为Hermite插值。以多项式构造插值函数则该多项式最多为3次。 •将该多项式写为 • f(x) =ax3 +bx2 + cx + d •例：求离散点0和离散点1之间的插值函数值： •1：约束条件 • f(0)= d; f(1)= a + b + c + d; • f’(0)=c； f’(1)=3a + 2b + c •2：求解上述四个方程，可以得到a,b,c,d的值从而求得插值函数 •三次插值（立方插值） •三次插值（立方插值）与Hermite插值之间的差别在于离散点处的导数 •值并不是事先已知的，而是通过相邻离散点之间的差分得到,如下式所 示 •f‘(0) = α[f(1)-f(-1)]，f'(1) = α[f(2)-f(0)] •在上式中α是参数， α控制边缘处的锐化程度。当α =0.5时该插值又称为 •Catmull-Rom插值。
计算方法与数值计算(2-1插值与逼近)
800 1:42.58 罗达尔
1000
1500 3:32.07 恩格尼
是否能建立竞赛距离与纪录时间之间的 函数关系，并测算男子1000米纪录。
4
200
150
100
400
600
800
1000
1200
1400
散点图
5
引例2 设f ( x) ln x，并假定已给出下列三 点 处的函数值，试近似计 算 ln11.75的值。
30
f ( n1) ( ) n Rn ( x) (x x j ) (n 1)! j 0
不能确定，实际计算时，
在[a, b]上，若有 f ( n1) ( x) M，则
n f ( n1) ( ) n M Rn ( x) ( x x j ) (n 1)! ( x x j ) (n 1)! j 0 j 0
已知函数f(x)在n+1个互异节点ax0<x1 <……< xn b
处的函数值yi = f(xi) (i=0,1,2,……，n)，
则存在唯一一个次数不超过n次的多项式： Pn(x)=a0+a1x+……+anxn 满足条件Pn (xi) = yi = f(xi) 。
11
证明：设所要构造的插值多项式为：
y1 y=P1(x)
y0
x0
线性插值
18
x1
x
L1(x)= l0(x)y0 + l1(x)y1
其中
x x1 l0 ( x ) x0 x1
x x0 , l1 ( x) x1 x0
l0(x)：点x0的一次插值基函数， l1(x)：点x1的一次插值基函数。
实验一-插值方法实验
《计算方法》实验报告学院：信息学院专业：计算机科学与技术指导教师：班级学号：姓名：计算机科学与工程系实验一 插值方法一. 实验目的（1）熟悉数值插值方法的基本思想，解决某些实际插值问题，加深对数值插值方法的理解。
（2）熟悉Matlab 编程环境，利用Matlab 实现具体的插值算法，并进行可视化显示。
二. 实验要求用Matlab 软件实现Lagrange 插值、分段线性插值、三次Hermite 插值、Aitken 逐步插值算法，并用实例在计算机上计算和作图。
三. 实验容1. 实验题目（1）已知概率积分dx ey x x ⎰-=022π的数据表构造适合该数据表的一次、二次和三次Lagrange 插值公式，输出公式及其图形，并计算x =0.472时的积分值。
（2）将区间[-5,5]分为10等份，求作211)(xx f +=的分段线性插值函数，输出函数表达式及其图形，并计算x =3.3152时的函数值。
（3）仿照附录C 中“文件1.2 逐步插值”程序（Neville 算法，课本227页）编写相应的Aitken 逐步插值算法的程序，根据下表所给数据分别利用上述两种算法求正弦积分⎰∞-=xdt ttx f sin )(在x =0.462的值，并比较它们的结果。
（4）运行C 中“文件1.3 分段三次Hermite 插值”程序（课本228页），要求自行选择实验数据2. 设计思想（1）Lagrange 插值：Lagrange 具有累加的嵌套结构，容易编制其计算程序。
事实上，在逻辑上表现为二重循环，循环（j循环）累乘求得系数，然后再通过外循环（i循环）累加得出插值结果y。
（2）分段线性插值：分段插值是将被插值函数逐步多项式化。
分段插值的处理过程分两步，将区间分成几个子段，并在每个子段上构造插值多项式装配在一起，作为整个区间的插值函数。
在分化的每个节点给出数据，连接相邻节点得一折线，该折线函数可以视作插值问题的解。
第1章插值方法
3.一般情况 一般情况 一般情况 我们看到， 我们看到 ， 两个插值点可求出一次插值多项 式p1(x)，而三个插值点可求出二次插值多项式 2(x)。 ，而三个插值点可求出二次插值多项式p 。 当插值点增加到n+1个时 ， 我们可以利用 个时， 当插值点增加到 个时 我们可以利用Lagrange 插值方法写出n次插值多项 插值方法写出 次插值多项 式pn(x)，如下所示： ，如下所示：
［例６］ 给定
(x∈［-5,5］)。 ∈ ］。
取等距节点x 取等距节点 i=-5+i(i=0,1,…,10), 试建立插值多项式 L10(x), 并作图形 观察 10(x)对f(x)的逼近效果。 并作图形, 观察L 的逼近效果。 对 的逼近效果
图1-3 例6的图形 的图形
1.6 分段三次埃尔米特插值
Aitken插值算法为二重循环。外循 插值算法为二重循环。 插值算法为二重循环 环为k循环 ， 用于计算Aitken插值表中 环为 循环， 用于计算 循环 插值表中 的第k列 内循环为 循环 循环， 的第 列 ； 内循环 为 i循环 ， 用于计算 Aitken插值表中的第 列中的第 个元素。 插值表中的第k列中的第 个元素。 插值表中的第 列中的第i个元素
Newton插值算法中的 循环由 插值算法中的j循环由 三部分组成： 计算(x-xj)的累积 ， 存 的累积， 三部分组成 ： 计算 的累积 单元； 入t单元；内套一个 循环用来依次计 单元 内套一个i循环用来依次计 算差商表中的各阶差商，存入y 单元； 算差商表中的各阶差商，存入 i单元； y单元用于存放 单元用于存放Newton公式中各项累 单元用于存放 公式中各项累 加之和。 加之和。
1.2 牛顿插值公式
差商表
计算方法 插值方法-1-课堂教学版
0 h0
1 h1
…… ……
23 h23
1:30 和 4:45 时刻的水位高度？
3
一．问题的提出
思路：将f “简单化”，即构造一个简单且便于计算的连续
函数g 近似代替f 。 f(x) ≈ g(x)
办法：
第一步：数据采样
x y
x0 y0
x1 y1
…… ……
xn yn
第二步：构造替代函数g
•限定g(xi) = f (xi), i=0,1,…,n，即“过点”——插值方法
一．问题的提出
如果两个变量 x , y 之间具有某种内在关系， 一般表示为：
y = f (x )
x f y
1
一．问题的提出
实际应用中，经常遇到以下两种情况： 1．f 的数学表达式已知，但不是有理函数，不能表示为 有限次四则运算，不能在计算机上表现其计算过程；
y
2
x
0
e
u2
du
y = ln x
f ( x0 ) 解：p1 ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) p2 ( x ) p1 ( x ) 2 ( x x0 )2 2 5 x ( x 100 ) 20 p1 ( x ) 8000
在x0=100的一次和二次泰勒多项式，利 用它们计算 115 的近似值并估计误差。
8
三．泰勒插值
f(x) =sin x，在x0=0处的三阶泰勒多项式为：
x3 t3 ( x) x 6
9
三．泰勒插值
定理1（泰勒余项定理） 设f(x) 在[a,b]内有直到n+1阶导
数，则当x∈[a,b]时，存在ξ∈[min(x0, x), max(x0, x)] ，使得 下式成立
数值分析 第1章 插值方法讲解
f (n1) ( )
(n 1)!
n k 0
(x
xk ),
ξ [a,b]
第1章 插值方法
例题1: 令x0=0, x1=1. 写出y=f(x)=e-x的一次插值多项式 P1(x), 并估计误差.
解: x0=0, y0=1; x1=1, y1=e-1.
P1(x) y0l0 (x) y1l1(x)
0, j k lk (x j ) 1, j k
lk (x)
n j 0
x xj xk x j
jk
插值基函数
Pn (x)
n k 0
yklk (x)
n k 0
n
yk (
j0
x xj ) xk x j
jk
第1章 插值方法
§3 插值余项
1.拉格朗日余项定理
l0 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
;
l2 (x)
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
.
插值基函数
第1章 插值方法
3.一般情形 问题的解(插值公式):
第1章 插值方法
f (x) Pn (x)
f
'
' (
2
)
(
x
x0
)(x
x1
)
1 e- (x 0)(x 1), ξ [0,1] 2
max
0 x1
f (x) Pn (x)
1 max e- 2 0x1
第一章 插值方法
(100 121)(100 144)
(121 100) (121 144)
(115 100)(115 121) 12 (144 100)(144 121)
10.7228
例子插值精度分析
线性插值
(100,10), (121,11)得到
10.71428 误差-0.009525
(121,11),(144,12)
(x 121)(x 144) (100 121)(100 144)
10
(x 100)(x 144) (121 100) (121 144)
11
(x 100)(x 121) 12 (144 100)(144 121)
(115 121)(115 144) 10 (115 100)(115 144) 11
如何解决？
埃特金插值公式
埃 特 金 (Aitken) 插 值 公 式 的 构 造 是 基于这样的直观想象：平面上的两个点 可以连成一条直线, 对应一个线性函数； 把线性函数看作形式点, 经线性组合, 可构成二次函数；把二次函数再看作形 式点, 经线性组合, 可构成三次函数。
Aitken 插值表
x f(x)
点个不n次同插）值，多譬项如式选p取n(2x) (1x, )…。,由xn上,x述n+1定，理再，构我造们一有
f ( x) pn(1) ( x)
f (n1) (n
(1)
1)!
(
x
x0
)(
x
x1)(
x
xn
)
f ( x) pn(2) ( x)
f
( ( n 1) 2
(n 1)!
)
(
x
x1)(
x
近似值：p3(0.6)=-0.509975， 真 误 差 ： ln(0.6)-p3(0.6)=-0.000851 ，
第1章 插值方法
第一章 插值方法 本章介绍主要内容：
Lagrange插值 Neville插值 Newton插值 Hermite插值 分段插值 样条插值
1.1 插值问题的提出 1.1.1 什么是插值
计 算 方 法
在初等微积分中，我们用函数 y=f(x) 来描述一个平 面曲线，但在实际问题中，函数 y=f(x) 往往是通过实 验观测得到的一组数据来给出的，即在某个区间 [a,b]
x x x x 1 0 ( x ) , ( x ) 0 1 x x x x 0 1 1 0
因此有 L (x ) (x )y (x )y 1 0 0 1 1 xx xx 1 0 y y 0 1 x x x x 0 1 1 0
即多项式pn(x)的系数a0,a1,a2,· · · ,an满足方程组：
2 n a a x a x a x y 0 1 0 2 0 n 0 0 2 n a a x a x a x y 0 1 1 2 1 n 1 1 2 n a a x a x a x y 0 1 n 2 n n n n
计 算 方 法
(3)
上述方程组系数行列式为n+1阶Vandermond行列式：
1 x x x 0 0 0
2 n 2 n x x n 1 n 1 x x x 1 1 1 V ( x x ) 0 (4) j i 0 j i 1 i
i j
2 n 1 x x x n n n
计 算 方 法
L1(x0)= 0(x0) y0 + 1(x0) y1 = y0 L1(x1)= 0(x1) y0 + 1(x1) y1 = y1 令0(x)和1(x)满足如下的条件：
第2章 插值法(1)
现要构造一个二次函数
φ(x)=P2(x)=ax2+bx+c 近似地代替f(x),并满足插值原则(4―2)
《 数 值 分 析 》
(2―6) (2―7)
P2(xi)=yi, i=0,1,2,… 由(2―7)式得
2 ax0 bx0 c y0 2 ax1 bx1 c y1 ax 2 bx c y 2 2 2
(2―5)
第2章 插值法
2.2 二次插值
二次插值又称为抛物线插值,也是常用的代数多项 式 插 值 之 一 。 设 已 知 函 数 f(x) 的 三 个 互 异 插 值 基 点
《 数 值 分 析 》
x0,x1,x2的函数值分别为y0,y1,y2,见下表所示:
x y
xo y0
x1 y1
x2 y2
第2章 插值法
(2―15)
第2章 插值法
显然
0, j i li ( x j ) , i, j 0,1,2, 1, j i
,n
《 数 值 分 析 》
(2―14)式的Pn(x)是n+1个n次多项式li(x)(i=0,1,2,…,n)的 线性组合,因而Pn(x)的次数不高于n。我们称形如多项式 (2―14)的Pn(x)为拉格朗日插值多项式。Pn(x)还可以写成下 列较简单的形式:
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n!
第2章 插值法
取前n+1项的部分和Pn(x)作为f(x)的近似式,也即
Pn ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
《 数 值 分 析 》
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n!
计算方法-第2章-1、插值法(拉格朗日插值)
2019/1/15
26
证明：假设在区间[a,b]上f(x)的插值多项式为 Ln ( x) 令
Rn ( x) f ( x) Ln ( x)
显然在插值节点为 xi (i 0,1,, n)上 Rn ( xi ) f ( xi ) Ln ( xi ) 0 , i 0,1,, n 因此Rn ( x)在[a, b]上至少有n 1个零点
(k 0,1,2,, n)
且
n1 ( x) Ln ( x) yk ' ( x x ) k 0 k n 1 ( xk )
n
2019/1/15
18
总 结
于是, y f ( x)在节点xi (i 0 ,1, , n)上, 以l j ( x) (i 0 ,1, , n) 为插值基函数的插值多 项式(记为Ln ( x))为
本章只讨论多项式插值与分段插值
2019/1/15 7
§ 2.2
拉格朗日插值
• 此插值问题可表述为如下： • 问题 求作次数 n 多项式 Ln ( x) ，使满足条件
Ln x yi , (i 0,1,, n)
• 这就是所谓的拉格朗日（Lagrange）插值。
2019/1/15
8
§ 2.2.1
线性插值的局限性
2019/1/15
12
三、抛物插值
问题 求作二次式 L2 ( x) ，使满足条件
L2 ( x j ) y j
( j k 1, k , k 1)
二次插值的几何解释是用通过三个点
的抛物线来近似考察曲线，故称为拋物插值。类似于线性 插值，构造基函数，要求满足下式：
L2(x) yk 1lk 1 ( x) yklk ( x) yk 1lk 1 ( x)
设计费插值法计算公式(一)
设计费插值法计算公式(一)设计费插值法计算公式1. 什么是设计费插值法设计费插值法是一种用于计算设计费用的方法，通过根据项目的不同特点，结合相关参数，利用数学计算公式得出设计费用的估算值。
该方法可以较为准确地预测设计项目的费用，并为设计师和客户提供一个参考依据。
2. 计算公式设计费插值法的计算公式可以根据具体的项目需求和参数进行调整，以下是一些常见的设计费插值法计算公式：单位比例法该方法通过定义设计师的工作量和设计项目的规模之间的比例关系来计算设计费用。
具体的计算公式如下：设计费用 = 设计师工作量 × 单位费用其中，设计师工作量指的是完成设计项目所需的工作时间或工作量，单位为小时或人日；单位费用是指设计师每小时或每人日的费用。
例子：假设设计师工作量为100小时，单位费用为500元/小时，则设计费用 = 100小时× 500元/小时 = 50000元。
项目复杂度法该方法通过考虑设计项目的复杂度来计算设计费用，复杂度可以根据项目的难度、创新性等因素来确定。
具体的计算公式如下：设计费用 = 基础费用 × 复杂度系数其中，基础费用指的是设计项目的基本费用，可以根据项目的常规要求来确定；复杂度系数是一个根据设计项目的具体复杂程度而调整的系数。
例子：假设基础费用为10000元，复杂度系数为，则设计费用 = 10000元× = 15000元。
面积插值法该方法适用于建筑设计等需要根据实际面积来计算费用的项目。
具体的计算公式如下：设计费用 = 单位面积费用 × 设计项目面积其中，单位面积费用指的是每平方米的设计费用，可以根据市场行情或协商来确定；设计项目面积为实际需要设计的项目面积。
例子：假设单位面积费用为100元/平方米，设计项目面积为200平方米，则设计费用 = 100元/平方米× 200平方米 = 20000元。
3. 结论设计费插值法是一种常用的计算设计费用的方法，通过合理选择适用的计算公式，可以较为准确地估算设计项目的费用。
计算方法插值法(一)
高次插值通常优于 低次插值
19
2.1.2 拉格朗日n次插值多项式
线性插值
L1(x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
二次插值
L2 (x)
(x ( x0
x1)( x x2 ) x1)( x0 x2 )
助教：赵渊明
上机实习作业
１.提交时间：作业布置下来两周内（如无特殊情况，晚交的作业做 零分处理。有特殊情况的，需要提前得到授课老师许可，一事一议） （一般是周三）。 ２.提交内容：书面报告、源代码、源代码流程图及运行结果截图 ３.源代码要求：简洁、清楚、有较好的注释（助教能够运行程序并 复制结果）。 ４.完成作业要求：鼓励同学之间讨论、合作完成作业，但最终程序、 报告需要自己独立完成。如和别的同学交流过，请在上交作业中列 出一起合作交流过的同学名字。如发现上交作业雷同，雷同作业做 零分处理。 5. 编程语言：尽量选择Fortran或C语言，不建议使用Matlab。
y0
(x ( x1
x0 )( x x2) x0 )( x1 x2 )
y1
(x ( x2
x0 )( x x1) x0 )( x2 x1)
y2
n次插值
Ln (x)
(x x1)( x x2)(x xn ) (x0 x1)( x0 x2 )(x0 xn )
y0
(x x0)( x x2)(x xn ) (x1 x0 )( x1 x2 )(x1 xn )
教学安排
1、1-18周，每周五课堂教学，逢双周五上机实习。 2、最终成绩由期中考试(30%)、期末考试(30%)、上机作业（8次） ＋课堂出勤率(40%)三部分组成。 3、上机作业及考试通知等发到公邮中。
一阶拉格朗日插值算法
一阶拉格朗日插值算法是一种数学方法，用于通过已知的离散数据点来构造一个插值多项式。
这种方法在数值分析、计算几何和工程等领域有广泛应用。
假设我们有一组有序的已知数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，我们想要找到一个多项式P(x)，使得P(xi) = yi，对于i = 0, 1, ..., n。
一阶拉格朗日插值算法的步骤如下：
1. 初始化：令多项式P(x) = 0。
2. 对于i = 0, 1, ..., n，执行以下步骤：
a. 计算拉格朗日基函数Li(x) = (x - xi) / (x - xi)。
注意，当x = xi 时，Li(x) 是未定义的，因此在实际应用中需要处理这种情况。
b. 将Li(x) 乘到P(x) 上，即P(x) = P(x) + y*Li(x)。
3. 返回P(x) 作为插值多项式。
下面是一个使用Python 实现的一阶拉格朗日插值算法的示例代码：
例如，假设我们有三个已知数据点(1, 2), (2, 3), (3, 4)，我们可以调用`lagrange_interpolation([1, 2, 3], [2, 3, 4])` 来得到插值多项式函
数。
然后，我们可以使用这个函数来计算任意x 值对应的插值y 值，例如`lagrange_interpolation([1, 2, 3])(2.5)` 将返回约2.75。
等高线首曲线,计曲线,间曲线颜色表示-概述说明以及解释
等高线首曲线,计曲线,间曲线颜色表示-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述等高线首曲线、计曲线和间曲线颜色表示是地理信息系统和地理空间分析领域中常见的概念和技术。
这些概念和技术在地图绘制、地形分析、地质研究、环境规划等领域具有重要的应用价值。
等高线首曲线是指地形表面上的等高线线条中的第一条曲线，也被称为等高线系统中的首条等高线。
它与地形表面的变化规律密切相关，通常被用来表示地势的起伏、地表的曲率等信息。
绘制等高线首曲线可以帮助人们更好地了解地势，对于地形分析和地貌研究具有重要意义。
计曲线是指在等高线图上表示某个地区的平均地球曲率半径的曲线。
通过计算曲线的位置和形状，可以推测出该地区的地球曲率差异和地形变化。
计曲线常用于地质勘探、地震监测等领域，对于判断地下结构和寻找地震活动的异常现象具有重要作用。
间曲线颜色表示是一种基于颜色编码的地图表达技术。
通过在等高线图中使用不同颜色来表示地形高度或其他属性的变化，可以使地图更加直观和易于理解。
这种颜色编码方法可以应用于地理空间数据的可视化、环境研究、城市规划等领域，为决策者提供有关地形和地貌特征的信息。
本文将详细介绍等高线首曲线、计曲线和间曲线颜色表示的定义、绘制方法和应用领域。
通过对这些概念和技术的深入探讨，希望能够提高读者对地理信息系统和地理空间分析的理解，为相关领域的研究和实践提供指导和参考。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为五个主要部分来讨论等高线首曲线、计曲线和间曲线颜色表示的相关内容。
每个部分将重点关注不同的方面，以帮助读者全面了解这些概念、方法和应用。
第一部分是引言，我们将在这里简要介绍等高线首曲线、计曲线和间曲线颜色表示的背景和重要性。
我们还将提供本文的目的，即通过深入研究和讨论这些概念，帮助读者更好地理解和应用它们。
第二部分将详细介绍等高线首曲线。
我们将给出它的定义和特点，并讨论绘制等高线首曲线的方法。
此外，我们还将探讨等高线首曲线在不同应用领域中的作用和意义。
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1. 插值问题 函数y=f(x)给出一组函数值 yi f ( xi ) ,
x: y: x0 x1 x2 …… xn y0 y1 y2 …… yn
i 0,1,, n
其中x0 ,x1,x2 ,…,xn是区间[a,b]上的互异点，要构造一个简 单的函数 p(x) 作为f (x)的近似表达式，使满足 p(xi ) yi , i 0,1, ,n (插值原则、插值条件 ) 这类问题称为插值问题。 p(x)-----f (x)的插值函数, f (x) -----被插值函数 x0 ,x1,x2 ,…,xn -----插值节点 求插值函数的方法称为插值法。 若x∈[a,b]，需要计算f (x) 的近似值p(x),则称 x为插值点。
同理可得
( x x0 )( x x2 ) l1 ( x ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
( x x0 )( x x1 ) l2 ( x) ( x2 x0 )( x2 x1 )
于是求得
p2 ( x) y0 l0 ( x) y1l1 ( x) y2 l2 ( x)
1 线性插值----n=1时的代数多项式插值
已知f(x0 )=y0 ，f(x1)=y1 , x0≠x1 要构造线性函数 p1(x) ,使它满足插值条件 p1(x0)=y0 , p1(x1)=y1 .
x y x0 y0 x1 y1
y1 y0 p1 ( x ) y0 ( x x0 ) （线性插值多项式） x1 x0 x x0 x x1 p1 ( x ) y0 y0 y0 l0 ( x ) y1 l1 ( x ) x0 x1 x1 x （拉格朗日线性插值多项式）
且lj (x) (j=0,1,2)，是一个二次函数.
先构造l 0(x)因它有两个零点x1 及x2故可表为
l0 (x ) c( x x1 )( x x2)
其中c为待定系数，由条件l0(x 0)=1, 求得
1 c ( x0 x1)( x0 x2 )
于是，得
( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) ( x0 x1 )( x0 x2 )
当选择代数多项式作为插值函数时，称为代数多项式 插值问题:
代数多项式插值问题:
设函数y=f(x)在[a,b]有定义, 且已知在n+1个点 a≤x0<x1<……<xn≤b上的函数值y0, y1,……,yn.,要求一 个次数不高于 n的多项式 pn ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n 使满足插值原则 p ( x ) y , i 0,1,, n 称 pn(x)为f (x)的 n次插值多项式。
10.71428
115 的精确值为10.723805…,
与精确值比较，这个结果有3位有效数字.
基函数的性质
li ( xi ) 1 , li ( x j ) 0 ( j i ) , i , j 0,1
2 抛物插值----n=2时的代数多项式插值 已知f (x)在三个互异节点x0 ,x1 ,x2的函数值y0 ,y1 ,y2 要构造次数不超过二次的多项式 p2(x) 使满足插值条件
n i i
本章只讨论多项式插值与分段插值。因为多项式具有一些很 好的特性，如它具有各阶导数，计算多项式的值比较方便，多项 式四则运算后仍是多项式等等。
2 插值多项式的存在唯一性 定理2 在n+1个互异基点处满足插值原则且次数不超过n的 证 多项式 pn(x)是存在并唯一的。
由 pn ( xi ) yi , i 0,1,, n 得
（拉格朗日二次插值多项式 ） 显然，它满足
p2 ( x j ) y j , ( j 0,1,2)
例2 利用100,121和144的开方值求
x y 100 12)(115 144) (115 100)(115 144) 11 p2 (115) 10 ( 121 100 )( 121 144 ) (100 121)(100 144)
其系数行列式
a0 a1 x0 a 2 x0 2 a n x0 n y0 2 n a0 a1 x1 a 2 x1 a n x1 y1 2 n a a x a x a x 1 n 2 n n n yn 0
2 1 x0 x0 n x0
2 n 1 x x x 1 1 1 V ( x0 , x1 ,, xn ) ( xi x j ) 0 0 j i n
1 xn
2 n xn xn
因此方程组存在唯一的解a0 , a1 ,, an ，因此 pn(x)存在并唯一。
1.2 拉格朗日插值多项式 1 线性插值 2 抛物插值 3 一般情形
x x0 l1 ( x ) （线性插值基函数） x1 x0
公式的结构：它是两个一次函数的线性组合
x x1 l0 ( x ) , x0 x1
例1 已知
x y
100 10, 121 11, 求 115
100 121 10 11
解
p2 (115) 115 121 115 100 10 11 121 100 100 121
(115 100)(115 121) 12 (144 100)(144 121)
x
y
x0
y0
x1
y1
x2
y2
p2 ( x j ) y j , ( j 0,1,2)
公式的构造： 采用基函数方法构造 p2(x)，先构造三个 二次插值基函数 lj (x)(j=0,1,2)，使满足
l 0 (x0 ) 1 , l 0 (x1 ) l 0 ( x2 ) 0 l1 (x1 ) 1 , l1 (x0 ) l1 ( x2 ) 0 l (x ) 1 , l (x ) l 2 ( x1) 0 2 0 2 2