山东省潍坊市诸城一中2011届高三12月阶段测试数学试题(理)

潍坊市诸城一中2011届高三阶段测试
数学试题（理科）
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用铅笔涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如果需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上.
3.考试结束后，考生将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.在四边形ABCD 中， AB DC =，且｜AB ｜=｜BC ｜，那么四边形ABCD 为 A.平行四边形
B.菱形
C.长方形
D.正方形
2.154π
,)4
a a a a a a ++=+=n 96在等差数列{}中,若则tan(
A.
3
C.1
D.-1
3.1,{21},{()1},2
x
U R A x x B y y A B ==-≤==+ U 已知则()=ð
A.[3,+∞）
B.（3，+∞）
C.[1，3]
D.（1，3）
4.设f(x)=cos 2
2x ，则f ′（π8
）=
A.2
C.-1
D.-2
5.1
:1,:1,p x q p q x
≤<⌝已知条件条件则是成立的 A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
6.a,b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题成立的是 A.2
2
a b <
B.22
a b ab <
C.
2211
ab a b
<
D.
b a a b
< (,1),(2,),(4,5),,A a B b C O OA OB OC a b 7.设为坐标平面内三点,为坐标原点若与在方向上的投影相同,则满足的关系式为
A.4a-5b =3
B.5a-4b =3
C.4a+5b =14
D.5a+4b =14
8.已知函数y=A sin(ωx+ϕ)+b 的一部分图象如图所示， 如图A ＞0，ω＞0，｜ϕ｜＜
π
2，则 A.A =4 B.b=4 C.ω=1
D.ϕ=
π6
9.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ≠1，若S 5=3a 4+1，S 4=2a 3+1，则q 等于 A.2
B.-2
C.3
D.-1
10.111,1,ln ,,ln 44
x y x y xy >>已知且成等比数列,则
A.有最大值e
B. C.有最小值e
D.
11.已知对数函数f(x )=log a x 是增函数，则函数y=f （｜x ｜+1)的图象大致是
12.设a ∈R ，函数f(x)=e x
+a ·e -x
的导函数是f ′（ x ），且 f ′（ x ）是奇函数，若曲线y=f （x )的一条切线的斜率是
3
2
，则切点的横坐标为 A.ln 2
2
-
B.-ln2
C.
ln 2
2
D.ln2
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．设向量a 与b 的模分别为6和5，夹角为120°，则｜a b +｜等于 .
14．已知命题p ：“ []0,1,x
x a e ∀∈≥”，命题q ：“2R ,40x x x a ∃∈
++=”，若命题“p
∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是 .
15．设x ，y 满足约束条件3
123
x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，若目标函数x y z a b =+（a ＞0,b ＞0）的最大值
为10，则5a+4b 的最小值为 .
16．定义：F （x ，y ）=y x
(x ＞0,y ＞0)，已知数列{a n }满足：a n =
(,2)(2,)
F n F n (n ∈N *
)，若对任
意正整数n ，都有a n ≥a k (k ∈N *)成立，则a k 的值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数
2π
cos cos(2)cos .3
x x x x -+
- （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）若函数f(x)的图像向右平移m(m ＞0)个单位后，得到的图像关于原点对称，求实数m 的最小值.
18．（本小题满分12分）
数列{a n }中a 1 =3,已知点（a n ，a n+1）在直线y=x+2上， （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若b n =a n ·3n
，求数列{b n }的前项和T n .
19．（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c.设向量
(s i n ,c o s ),(c o s
m A B n A B == （Ⅰ）若m ∥n ，求角C ；
（Ⅱ）,15,m n B a c ⊥=︒=+若求.
20．（本小题满分12分）
已知数列{a n }和{b n }满足1124
39
,,.n n n n n a m a a n b a λ+==+=-
+
（Ⅰ）当m=1时，求证：对于任意的实数,n a λ{}一定不是等差数列； （Ⅱ）当1
2
λ=-时，试判断{b n }是否为等比数列．
21．（本小题满分12分）
设函数x
x
f x ka a -=-()（a ＞0且a ≠1）是定义域为R 上的奇函数；
（Ⅰ）若f(1)＞0，试求不等式f(x 2
+2x)+f(x-4) ＞0的解集； （Ⅱ）若f(1)=32
,且g(x)=a 2x +a -2x
-4f(x)，求g(x)在［1，+∞］上的最小值.
22．（本小题满分14分）
(1)
()ln a x f x x x
-=-
函数（x ＞0，a ∈R ）. （Ⅰ）试求f x ()的单调区间；
高三数学试题（理科）参考答案及评分标准
三、解答题：
17.解：（Ⅰ）ππcos21
()2(cos2cos sin 2sin )332
x f x x x x +=
--- 1
2cos22
x x =--
π1
2sin(2).62
x =-- (2)
分
∴f(x)的最小正周期T =仔 .………………………………………………………………… 4分 πππ
2π22π262k x k -
≤-≤+当(k∈Z). ππ
ππ(),()63
k x k k Z f x -≤≤+∈即时函数单调递增,
ππ
[π,π]63
k k -+故所求区间为(k∈Z) (7)
分
（Ⅱ）函数f(x)的图像向右平移m(m ＞0)个单位后得 π1
()2sin[2()]62
g x x m =---，………………………………………………………10分
π
(),π6
g x m k =要使的图像关于原点对称只需-2-，………………………………11分
ππ,π.212k m m =
-5
即所以的最小值为12
…………………………………………… 12分
18.解：（Ⅰ）
1,)2n n a a y x +=+点(在直线上,
112,2n n n n a a a a ++∴=+-=即 (2)
分
{}3n a ∴数列是以为首项,以2为公差的等差数列,………………………………………
3分
32(1)21n a n n ∴=+-=+ (5)
分
（Ⅱ）
3,(21)3n n n n n b a b n =⋅∴=+⋅
331335373(21)3(21)3n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯+
+-⋅++⋅ ①………………６
分
231133353(21)33(21)3n n n n T n n -+∴=⨯+⨯+
+-⋅++⋅ ② (7)
分
由①-②得
2312332(333)(21)3n n n T n +-=⨯+++
+-+⋅ (9)
分
119(13)
92(21)313
n n n -+-=+⨯-+⋅-
123n n +=-⋅ (11)
分
13n n T n +∴=⋅ (12)
分
19.解：（Ⅰ）由m ∥sin sin cos cos 0cos()0,n A B A B A B ⇒-=⇒+=
0180,90,180()90.A B A B C A B <+<︒+=︒=︒-+=︒因为所以 (4)
分
（Ⅱ）sin cos sin cos 0sin 2sin 20,m n A A B B A B ⊥⇒+=⇒+=由
1
15,sin 2sin300,sin 2,2
B A A =︒+︒==-已知所以
023602330,2210,105.A B A A <<︒-=︒=︒=︒因为所以
1801510560.C =︒-︒-︒=︒……………………………………………………………
8分
sin sin sin 60a c c c A C =⇒=⇒=︒根据正弦定理
sin105sin(4560)︒=︒+︒=
因为…………………………………………11分
c==
所以 (12)
分
20.解（Ⅰ）当m=1时，2
123
11122
,,()
a a a
λλλλλ
==+=++=++…………2分
假设
n
a{}是等差数列，由
132
2,
a a a
+=得2321
λλλ
++=+
() (3)
分
即2103
,
λλ
-+=∆=-＜0，方程无实根 (5)
分
故对于任意的实数,{}
n
a
λ一定不是等差数列 (6)
分
（Ⅱ）当
1
2
λ=-时，
1
124
239
,
n n n n
n
a a n
b a
+
=-+=-+ (7)
分
11
2(1)412(1)412
()
39239239 n n n n
n n n
b a a n a
++
++
=-+=-+-+=-+-
1241
2392
n n
n
a b
=--+=-
()……………………………………………………………………9分
又
1
242
399
b m m
=-+=-
∴当
2
9
m≠时，
n
b{}是以
2
9
m-为首项，
1
2
-为公比的等比数列 (11)
分
当
2
9
m=时，
n
b{}不是等比数列 (12)
分
21.解：∵f（x）是定义域为R上的奇函数，
∴f（0）=0，∴k-1=0，∴k=1 (1)
分
（Ⅰ）∵f(1)＞0，∴
1
a
a
-＞0，又a＞0且1
a≠，
∴a＞1，f（x）=x x
a a-
- (2)
分
∵f ′
（x）=ln ln()ln
x x x x
a a a a a a a
--
+=+＞0
∴f（x）在R上为增函数 (3)
分
原不等式变为：2
(2)f x x +＞(4)f x -………………………………………………………6分
∴2
2x x +＞4,x -即2
34x x +-＞0
∴x ＞1或x ＜-4，∴不等式的解集为{x|x ＞1或
x ＜
-4}………………………………………6分
（Ⅱ）∵313(1)=,2
2
f a a ∴-
= 即2a 2
-3a-2=0，∴a =2或a =-12
（舍去）
22-2-()224(22)=(22)4(22)2x x x x x x x x g x --∴=+-----+……………………………
8分
令22
x
x
t -=-(x≥1)
则t=h(x)在[1，+∞）为增函数（由（Ⅰ）可知），即h(x)≥h(1)=3
2
…………………………10分
∴2
2
342222
y t t t t =-+=--≥
()()
∴当t=2时，min ()2,g x =-此时2log (1x =+…………………………………………12分
22.解：（Ⅰ）f ′（x ）=
221(0)a x a
x x x x
--=>…………………………………………1分 当a≤0时，f ′（x ）＞0，在（0，+∞）上单调递增；………………………………… 2分 当a ＞0时，x∈（0，a ）时，f ′（x ）＜0，在（0，a ）上单调递减；
x∈（a ，+∞）时，f ′（x ）＞0，在（a ，+∞）上单调递增. (3)
分 综上所述，当a≤0时，f （x ）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a ＞0时，f （x ）的单调递增区间为（a ，+∞），单调递减区间为（0，a ）. ………… 4分
（Ⅱ）充分性：a =1时，由（Ⅰ）知，在x=1处有极小值也是最小值， 即f min （x ）=f （1）=0.而在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 在（0，+∞）上有唯一的一个零点x=1. (6)
分
必要性：f （x）=0在（0，+∞）上有唯一解，且a＞0，
由（Ⅰ）知，在x=a处有极小值也是最小值f （a），而f （a）=lna-a+1.
以a为自变量，记函数g（a）=lna-a+1，则g ′（a）=11
1.
a a a
--=
当0＜a＜1时，g ′（a）＞0，在（0，1）上单调递增；当a＞1时，g ′
（a）＜0，在（1，+∞）上单调递减，g max（a）=g（1）=0，g（a）=0只有唯一解a=1.
f （x）=0在（0，+∞）上有唯一解时必有a=1. (9)
分
综上，在a＞0时，f （x）=0在（0，+∞）上有唯一解的充要条件是a=1. (10)
分
（Ⅲ）证明：
111
12,(1)ln2(1)0.
ln12
x x x x
x x
<<∴-<⇔+-->
-
()(1)ln2(1),
F x x x x
=+--∴
令F′
11
()ln2ln1,
x
x x x
x x
+
=+-=+- (1)
2分
由（Ⅰ）知，
1 1()()(1)0,ln10 a f x f x f x
x =∴>=∴+->当时,在(1,2)单调递增,。