贵州省遵义市南白中学2020届高三第六次联考数学(文)试题

贵州省遵义市南白中学2020届高三第六次联考数学（文）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．设集合(){}(){}2,2,,A x y x y B x y y x =+===，则A B =（ ） A ．(){}1,1 B ．(){}2,4- C ．()(){}1,1,2,4- D ．∅2．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数1i +对应的点关于实轴对称，则z i =（ ） A ．1i + B ．1i -+ C ．1i -- D ．1i -3．双曲线2213x y -=的焦点到渐近线的距离是( )A ．1B C D ．2 4．已知3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2x =（ ） A ．2425 B ．2425- C ．725 D ．725- 5．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)6．已知函数()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩若ƒ(-a )+ƒ(a )≤2ƒ(1)，则实数a 的取值范围是A ．[-1，0)B ．[0，1]C ．[-1,1]D ．[-2,2]7．在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+，则λμ+= （ ） A ．13- B ．13 C ．12- D ．128．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）A ．16πB ．8πC ．16πD ．8π9．设,,a b c 为锐角ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足cos cos 3A B C a b a +=，若2b =，则ABC 的面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ． 1210．圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（）A ．m m n +B ．n m n +C ．4m m n +D ．4n m n+ 11．设抛物线22(0)2x pt p y pt⎧=>⎨=⎩（t 为参数）的焦点为F ，准线为l ．过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ．设7(,0)2C p ，AF 与BC 相交于点E ．若2CF AF =，且ACE ∆的面积为p 的值为（ ）AB．C．D． 12．已知函数()1ln b a f x x x =--（0a >，0b e ≤≤）在区间[]1e ，内有唯一零点，则21b a ++的最大为（ ） A ．21e + B ．221e e e +++ C ．1e + D ．22e + 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知圆22:68210C x y x y +--+=，斜率为k 的直线1l 过定点1,0A 且与圆C 相切，则1l 的方程为_________.14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，4727a a =，则63S S =_________． 15．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()1f x +是奇函数，现给出下列4个论断：①()f x 是周期为4的周期函数；②()f x 的图象关于点()1,0对称；③()f x 是偶函数；④()f x 的图象经过点()2,0-；其中正确论断的个数是______________. 三、双空题16．金刚石是碳原子的一种结构晶体，属于面心立方晶胞（晶胞是构成晶体的最基本的几何单元），即碳原子处在立方体的8个顶点，6个面的中心，此外在立方体的对角线的14处也有4个碳原子，如图所示（绿色球），碳原子都以共价键结合，原子排列的基本规律是每一个碳原子的周围都有4个按照正四面体分布的碳原子．设金刚石晶胞的棱长为a ，则正四面体SPQR 的棱长为__________；正四面体SPQR 的外接球的体积是__________．四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：352a a +=，125a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T 取得最大值时n 的值．18．如图，正方形ABCD 的边长为，以AC 为折痕把ACD 折起，使点D 到达点P 的位置，且PA PB =.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PC 的中点，设()01PN PA λλ=<<，且三棱锥A BMN -的体积为89，求λ的值. 19．已知在()2222:10x y C a b a b+=>>上任意一点00(,)M x y 处的切线l 为00221xx yy a b +=，若过右焦点F 的直线l 交椭圆C :22143x y +=于P 、Q 两点，在点,P Q 处切线相交于G ．（1）求G 点的轨迹方程；（2）若过点F 且与直线l 垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆C 于,E H 两点，证明：11PQ EH+为定值． 20．BIM 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当BIM 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BIM 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 我们说身高较高，身高小于170cm 我们说身高较矮．（Ⅰ）已知某高中共有32名男体育特长生，其身高与BMI 指数的数据如散点图，请根据所得信息，完成下述列联表，并判断是否有95%的把握认为男生的身高对BMI 指数有影响．（Ⅱ）①从上述32名男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为0.8 75.9=-y x ．利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求2R （解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值）（保留两位有效数字）；②通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58(kg)．小明重新根据最小二乘法的思想与公式，已算出0.675y x a ∧∧=+，请在小明所算的基础上求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程．参考数据： 2222222(0.1)(0.3)(0.9)( 1.5)(0.5)( 2.3)(0.5)8.95+++-+-+-+-=，168=x ，()821226i i yy =-=∑，0.675168113.4⨯=，参考公式：()()221211n i i i ni i y y R y y ==-=--∑∑，()()()1122211n n i i i i i i n n i i i i x x y yx y nx y b x x x nx ====---⋅==--∑∑∑∑，a y bx =-，i i i e y bx a =--，22(),()()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++．21．已知函数()32113f x x ax bx =+++（a ，b R ∈）． （1）若0b =，试讨论函数()f x 的单调性；（2）若20a b +=，且()f x 有三个不同零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．22．平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos 221sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+． （1）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线:l y kx =与曲线1C 、曲线2C 在第一象限交于P 、Q 两点，且2OQ OP =，点M 的坐标为()2,0，求OMP ∆的面积．23．已知函数()1f x x =-.（1）解不等式()()48f x f x ++≥；（2）若1a <，1b <，0a ≠，试比较()f ab ，b a f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小.参考答案1．C【解析】【分析】首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩，解得方程组的解，从而得到结果. 【详解】首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=⎩， 从而集合{(1,1),(2,4)}AB =-， 故选：C.【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查二元方程组的解法，属于基础题.2．C【解析】【分析】先求出复数z,再求z i得解. 【详解】由题得z=1-i , 所以1i i i 11i 1i z +==---=-. 故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．A【解析】【分析】根据双曲线的方程求出焦点坐标和渐近线方程，由点到直线的距离公式进行解即可．【详解】 双曲线2213x y -=的渐近线为3y x =±， 23a =，21b =，222314c a b =+=+=，即2c =，设一个焦点(2,0)F，渐近线方程为03x y +=， 则焦点F到其渐近线的距离1d ===， 故选：A .【点睛】本题考查双曲线的性质，根据双线的定义求出焦坐渐近线方程以点到直线的距离公式是解决题的关键．4．D【解析】【分析】 对3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭按照两角差的余弦公式进行展开，再平方结合二倍角公式即可得结果. 【详解】 解：由3cos 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭35x x +=， ∴()2219sin sin 2cos 225x x x ++=，即181sin 225x +=， ∴7sin 225x =-， 故选：D.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数间的关系式与二倍角公式、两角和与差的余弦公式的应用，属于中档题. 5．D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D.考点：三角函数的图象与性质. 6．C 【解析】若0x <，则0x ->，2()2()f x x x f x -=-=，若0x >，则0x -<，2()2()-=+=f x x x f x ，故函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，函数()f x 单调递增.∴不等式()()2(1)-+≤f a f a f 等价于2()2(1)≤f a f ，即()(1)≤f a f ∴1a ≤ ∴11a -≤≤ 故选C.点睛：本题考查与分段函数有关的不等式问题.解决与分段函数有关的不等式时，要注意观察分段函数的表达式，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，从而将不等式()()2(1)-+≤f a f a f 等价于2()2(1)≤f a f . 7．A 【解析】 【分析】先根据,2BD DC AP PD ==得到P 为ABC ∆的重心，从而1133AP AB AC =+，故可得1133AP AB AC =+，利用BP AP AB =-可得23BP AB AC =-+，故可计算λμ+的值． 【详解】因为,2,BD DC AP PD ==所以P 为ABC ∆的重心，所以11311,22222AD AB AC AP AB AC =+∴=+, 所以1133AP AB AC =+,所以2133BP AP AB AB AC =-=-+，因为BP AB AC λμ=+，所以211=,,333λμλμ-=∴+=-，故选A ．【点睛】对于ABC ∆，一般地，如果G 为ABC ∆的重心，那么()13AG AB AC =+，反之，如果G 为平面上一点，且满足()13AG AB AC =+，那么G 为ABC ∆的重心． 8．D 【解析】 【分析】 【详解】由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为211142268222πππ⋅⋅+⋅⋅=,故选D ． 9．A 【解析】 【分析】由正弦定理和题设条件，化简得3sin sin C B C =，进而得到sin 2B =，1cos 2B =，再由余弦定理和基本不等式，求得4ac ≤，利用三角形的的面积公式，即可求解. 【详解】因为cos cos A B a b +=3cos 3cos sin b A a B C +=，由正弦定理，可得3sin cos 3sin cos sin B A A B B C +=，又由3sin cos 3sin cos 3sin()3sin B A A B A B C +=+=，即3sin sin C B C =，又由0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0C >，所以sin B =， 又由0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2B =， 由余弦定理可得222222cos 4b a c ac B a c ac =+-=+-=， 又由2242a c ac ac ac ac =+-≥-=，当且a c =时等号成立， 所以4ac ≤，所以ABC的面积的最大值为11sin 422S ac B ==⨯=故选：A. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，以及基本不等式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，属于中档题． 10．C 【解析】 【分析】把每一个所写两数作为一个点的坐标，由题意可得与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成点的坐标在圆221x y +=内，进一步得到211411+m m nπ⨯=⨯，则答案可求。