(优辅资源)广东省高三数学3月适应性考试理试题(含解析)

2016年适应性考试理科数学
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合2
{430}A x x x =++≥，{21}x
B x =<，则A B =（ ）
A ．[3,1]--
B ．(,3][1,0)-∞--
C ．(,3)(1,0]-∞--
D ．(,0)-∞
【答案】B
【解析】(,3][1,)A =-∞--+∞，(,0)B =-∞， ∴(,3][1,0)A
B =-∞--．
2
．若(z a ai =-+为纯虚数，其中∈a R ，则
7
i 1i
a a +=+（ ） A ．i B ．1 C ．i - D ．1- 【答案】C
【解析】∵z
为纯虚数，∴a =
∴7i 3i i 1i 3
a a +-====-+． 3．设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，且*3
(1)()2
n n S a n =
-∈N ，则n a =（ ） A ．3(32)n
n
- B ．32n + C ．3n
D ．132n -⋅
【答案】C
【解析】1111223(1)2
3(1)2
a S a a a a ⎧
==-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，12
39a a =⎧⎨=⎩，
经代入选项检验，只有C 符合．
4．执行如图的程序框图，如果输入的100N =，
则输出的x =（ ）
A ．0.95
B ．0.98
C ．0.99
D ．1.00 【答案】C 【解析】1111
12233499100
x =
+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 1111111
(1)()()()2233499100100
=-+-+-+⋅⋅⋅+-=
．
5．三角函数()sin(
2)cos 26
f x x x π
=-+的振幅和最小正周期分别是（ ）
A
2
π
B
π
C
2
π
D
π
【答案】B 【解析】()sin
cos 2cos
sin 2cos 26
6
f x x x x π
π
=-+
31cos 222sin 2)22
x x x x =
=-
)6
x π
=+，故选B ．
6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．2 【答案】D
【解析】11
=2(2+1)2232
V ⨯⨯⨯⨯=正四棱锥．
7．设p 、q 是两个命题，若()p q ⌝∨是真命题， 那么（ ）
A ．p 是真命题且q 是假命题
B ．p 是真命题且q 是真命题
C ．p 是假命题且q 是真命题
D ．p 是假命题且q 是假命题
【答案】D
8．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ） A ．
71 B ．73 C ．74 D ．7
6 【答案】A
【解析】两点间的距离小于1共有3种情况， 分别为中心到三个中点的情况， 故两点间的距离小于1的概率27317
P C =
=． 9．已知平面向量a 、b 满足||||1==a b ，(2)⊥-a a b ，则||+=a b （ ）
A ．0
B ．2
C ．2
D ．3 【答案】D
【解析】∵(2)⊥-a a b ，∴(2)0⋅-=a a b ， ∴21122
⋅=
=a b a ，
∴||+==a b
==
10．62
)21(x
x -的展开式中，常数项是（ ）
A ．4
5
- B ．45 C ．1615- D ．1615
【答案】D
【解析】2612316611()()()22
r r r r r r r T C x C x x --+=-
=-，
令1230r -=，解得4r =．
∴常数项为4461
15()216
C -=
． 11．已知双曲线的顶点为椭圆12
2
2
=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是（ ）
A ．12
2
=-y x B ．12
2
=-x y C ．22
2
=-y x D ．22
2
=-x y 【答案】D
【解析】∵椭圆的端点为(0,，
依题意双曲线的实半轴a =2c =，b =，故选D ．
12．如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)()(2211x f x x f x +
)()(1221x f x x f x +>，则称)(x f 为“H 函数”．给出下列函数：①13++-=x x y ；
②)cos sin (23x x x y --=；③1+=x
e y ；④⎩
⎨⎧=≠=000
||ln x x x y ，其中“H 函数”的
个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 【答案】C
【解析】∵1122()()x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>， ∴1212()[()()]0x x f x f x -->，∴)(x f 在R 上单调递增．
①2
31y x '=-+， (x ∈-∞，0y '<，不符合条件；
②32(cos +sin )=3)04
y x x x π
'=--+
>，符合条件；
③0x
y e '=>，符合条件；
④()f x 在(,0)-∞单调递减，不符合条件； 综上所述，其中“H 函数”是②③．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，若目标函数ay x z +=2仅在点)4,3(取
得最小值，则a 的取值范围是 ．
【答案】(,2)-∞-
【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为(1,0),(0,1),(3,4)A B C , ∴2A z =，B z a =，64C z a =+． ∴642
64a a a +<⎧⎨
+<⎩
，解得2a <-．
14．已知双曲线116322
2=-p
y x 的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，则=p ．
【答案】4
【解析】223()162
p p
+=，∴4p =． 15．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意∈n N *，均有n a 、n S 、2
n a 成等差数列，则=n a ． 【答案】n
【解析】∵n a ，n S ，2n a 成等差数列，∴2
2n n n S a a =+ 当1n =时，2
111122a S a a ==+ 又10a > ∴11a =
当2n ≥时，22
11122()n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，
∴22
11()()0n n n n a a a a ----+=，
∴111()()()0n n n n n n a a a a a a ---+--+=， 又10n n a a -+>，∴11n n a a --=，
∴{}n a 是等差数列，其公差为1，
∵11a =，∴*
(N )n a n n =∈．
16．已知函数)(x f 的定义域R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且
1)0(=f ，则=+)10()4(f f ．
【答案】2
【解析】直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴， ∴(2)()f x f x -=，(4)()f x f x -=，
∴(2)(4)f x f x -=-，∴)(x f y =的周期2T =． ∴(4)(10)(0)(0)2f f f f +=+=．
三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）
已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 C b B c A a cos cos cos 2+=． （1）A cos 的值； （2）若42
2
=+c b ，求ABC ∆的面积． 【解析】（1）∵2cos cos cos a A c B b C =+，
∴2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+， ∴2sin cos sin()A A B C ⋅=+，
∵A B C π++=，∴sin()sin B C A +=， ∴2sin cos sin A A A ⋅=．
∵0A π<<，∴sin 0A ≠， ∴2cos 1A =，∴1cos 2
A =
．
（2）由1
cos 2
A =，得sin 2A =，
由
2sin a
A
=，得2sin a A ==． ∵2
2
2
2cos a b c bc A =+-， ∴2
2
2
431bc b c a =+-=-=，
∴11sin 22ABC S bc A ∆=
==
18．（本小题满分12分）
某单位共有
名员工，他们某年的收入如下表：
（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；
（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望； （3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、5.4万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？
附：线性回归方程a x b y
ˆˆˆ+=中系数计算公式分别为： 1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=
-∑∑，x b y a
ˆˆ-=，其中x 、y 为样本均值． 【解析】（1）平均值为10
万元，中位数为6万元． （2）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；
ξ取值为0，1，2．
152)0(2102
4===C C P ξ，158)1(2101614===C C C P ξ，3
1
)2(2
1026===C C P ξ， ∴ξ的分布列为
∴()012151535
E ξ=⨯
+⨯+⨯=． （3）设)4,3,2,1(,=i y x i i 分别表示工作年限及相应年薪，则5,5.2==y x ，
2
1
()
2.250.250.25 2.255n
i
i x x =-=+++=∑，
4
1
()() 1.5(2)(0.5)(0.8)0.50.6 1.5 2.27i
i
i x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，
1
2
1
()()
7 1.45
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=
=
=-∑∑，ˆˆ5 1.4 2.5 1.5a y b x =-=-⨯=， 由线性回归方程为 1.4 1.5y x =+．可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元． 19．（本小题满分12分）
如图，在直二面角C AB E --中，四边形ABEF 是矩形，2=AB ，32=AF ，ABC ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，3=PF ．
（1）证明：⊥FB 面PAC ；
（2
）求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值．
【解析】（1）证明：以A 为原点，建立空间直角坐标系，如图，
则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C
，(0,0,F ． ∵
4BF ==，3PF =，
∴
3
(,0,
22
P ，(2,0,FB =-， (0,2,0)AC =，3(2AP =．
∵0FB AC ⋅=，∴FB AC ⊥． ∵0FB AP ⋅=，∴FB AP ⊥．
∵FB AC ⊥，FB AP ⊥，AC AP A =，
∴FB ⊥平面APC ．
（2）∵(2,0,0)AB =
，3(,2,22
PC =-
-， P
C
A
B
E F
记AB 与PC 夹角为θ，则
3cos =2AB PC AB PC
θ⋅-=
=
【方法2】（1）4FB =
,cos cos PFA BFA ∠=∠=
， PA
==
∵2223912PA PF AF +=+==， ∴PA BF ⊥．
∵平面ABEF ⊥平面ABC ，
平面ABEF 平面ABC AB =，
AB AC ⊥，AC ⊂平面ABC ， ∴AC ⊥平面ABEF ．
∵BF ⊂平面ABEF ，∴AC BF ⊥． ∵PA AC A =I ，∴BF ⊥平面PAC ．
（2）过P 作//,//PM AB PN AF ，分别交,BE BA 于,M N
点，
MPC ∠的补角为PC 与AB 所成的角．连接MC ，NC ．
PN MB ==
，32
AN =，
5
2
NC
==
，BC =
PC ==
2
MC
==
，
135744cos 122
MPC +
-
∠===⋅
． ∴异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值为14
．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线C ：x y 42
=，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点1P 、2P 和点3P 、4P ，线段21P P 、43P P 的中点分别为1M 、2M ．
（1）求21M FM ∆面积的最小值； （2）求线段21M M 的中点P 满足的方程． 【解析】（1）由题设条件得焦点坐标为(1,0)F ，
设直线12P P 的方程为(1)y k x =-，0k ≠． 联立2
(1)
4y k x y x
=-⎧⎨
=⎩，得2222
2(2)0k x k x k -++=．（*）
22222[2(2)]416(1)0k k k k ∆=-+-=+>．
设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则2122
2(2)
k x x k ++=
． 设111(,)M M M x y ，则11
12122222(1)M M M x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=
⎪⎩．
类似地，设222(,)M M M x y ，则22
222
12211221M M k
x k k y k k ⎧
+⎪==+⎪⎪
⎨⎪==-⎪⎪-⎩
．
∴1||FM ==
2||2|FM k ==， 因此121211||||2(||)2||
FM M S FM FM k k ∆=⋅=+． ∵
1
||2||
k k ≥+，∴124FM M S ∆≥， 当且仅当1
||||
k k =，即1k =±时，12FM M S ∆取到最小值4． （2）设线段12M M 的中点(,)P x y ，由（1）得
1212
2222
1121()(22)1221121()(2)22M M M M x x x k k k k y y y k k k k ⎧=+=++=++⎪⎪⎨⎪=+=-=-+
⎪⎩
，
消去k 后得2
3y x =-．
∴线段12M M 的中点P 满足的方程为2
3y x =-． 21．（本小题满分12分）
设函数mx x x x f -+=
ln 2
1)(2
（0>m ）
． （1）求)(x f 的单调区间； （2）求)(x f 的零点个数；
（3）证明：曲线)(x f y =没有经过原点的切线．
【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，211
()x mx f x x m x x
-+'=+-=．
令()0f x '=，得2
10x mx -+=．
当2
40m ≤∆=-，即02m ≤<时，()0f x ≥'，∴()f x 在(0,)+∞内单调递增．
当2
40m ∆=->，即2m >时，由2
10x mx -+=解得
1x =
，2x =，且120x x <<，
在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内,()0f x '>，在12(,)x x 内，()0f x '<，
∴()f x 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减．
（2）由（1）可知，当02m ≤<时，()f x 在(0,)+∞内单调递增，∴()f x 最多只有一个零点．
又∵1
()(2)ln 2
f x x x m x =
-+，∴当02x m <<且1x <时，()0f x <； 当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 有且仅有一个零点．
当2m >时，∵()f x 在1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减，
且211(()()ln 2222
m m m m f x -=+-
ln
=+，
而
22222044
m m m -+-+-<<，
4014
<=<=（∵2m >），
∴1()0f x <，由此知21()()0f x f x <<， 又∵当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点． 综上所述，当0m >时，()f x 有且仅有一个零点．
（3）假设曲线()y f x =在点(,())x f x （0x >）处的切线经过原点，
则有()()f x f x x '=，即2
1ln 2x x mx
x +-1x m x =+-， 化简得：2
1ln 102
x x -+=（0x >）．（*）
记2
1()ln 12
g x x x =-+（0x >），则211()x g x x x x -'=-=，
令()0g x '=，解得1x =．
当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>， ∴3(1)2g =
是()g x 的最小值，即当0x >时，213ln 122
x x -+≥． 由此说明方程（*）无解，∴曲线()y f x =没有经过原点的切线．
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清楚题号． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，BC 是半圆O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，AB AF =，BF 与AD 、AO 分别交于点E 、G ．
（1）证明：DAO FBC ∠=∠； （2）证明：AE BE =．
【解析】（1）连接FC ，OF ， ∵AB AF =，OB OF =， ∴点G 是BF 的中点，OG BF ⊥． ∵BC 是
O 的直径，∴CF BF ⊥．
∴//OG CF ．∴AOB FCB ∠=∠，
∴90,90DAO AOB FBC FCB ∠=︒-∠∠=︒-∠， ∴DAO FBC ∠=∠．
（2）在Rt OAD ∆与Rt OBG ∆中， 由（1）知DAO GBO ∠=∠， 又OA OB =，
∴OAD ∆≅OBG ∆，于是OD OG =． ∴AG OA OG OB OD BD =-=-=． 在Rt AGE ∆与Rt BDE ∆中， 由于DAO FBC ∠=∠，AG BD =， ∴AGE ∆≅BDE ∆，∴AE BE =．
E
F
G C
O
A
B
B
D
A
O
C
G F
E
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P -的直线l 的倾斜角为45．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
sin 2cos ρθθ=,直线l 和曲线C 的交点为,A B ．
（1
（2
【解析】（1）∵直线过点(1,2)P -，且倾斜角为45．
∴直线l 的参数方程为1cos 45
2sin 45x t y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（
t 为参数），
即直线l
的参数方程为12x y ⎧=+
⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．
（2）∵2
sin 2cos ρθθ=，∴2
(sin )2cos ρθρθ=， ∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，
∴曲线C 的直角坐标方程为
2
2y x =，
∵1222
x t y ⎧=+⎪
⎪⎨⎪=-+⎪
⎩，∴2(2)2(1)22t
-+=+，
∴240t -+=
，∴124t t =
24．（本小题满分10分）选修4-5设函数()5f x x a x =-+．
（1）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集； （2）若1x ≥-时有()0f x ≥，求a 的取值范围． 【解析】（1）当1a =-时，不等式()53f x x ≤+， ∴5315x x x ≤+++， ∴13x +≤，∴24x -≤≤．
∴不等式()53f x x ≤+的解集为[4,2]-． （2）若1x ≥-时，有()0f x ≥，
∴50x a x -+≥，即5x a x -≥-，
∴5x a x -≥-，或5x a x -≤，∴6a x ≤，或4a x ≥-， ∵1x ≥-，∴66x ≥-，44x -≤，∴6a ≤-，或4a ≥． ∴a 的取值范围是(,6][4,)-∞-+∞．。