昆山市第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

昆山市第一中学 2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题 班级__________ 一、选择题
1． 设集合 A={﹣1，0，1}，B={x∈R|x＞0}，则 A∩B=（ A．{﹣1，0} B．{﹣1} C．{0，1} D．{1} ） ）
座号_____
姓名__________
分数__________
3 sin x cos x( 0) ， y f ( x) 的图象与直线 y 2 的两个相邻交点的距离等于
） C． x
A． x
，则 f ( x) 的一条对称轴是（
12
） B． x

6
12
D． x

6
7． 如图，一个底面半径为 R 的圆柱被与其底面所成角是 30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心 率是（
=
【点评】本题考查了向量的共线的条件和三角函数的化简，属于基础题． 11．【答案】B 【解析】 试题分析：在棱长为的正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， BC1 AD1 解得 x
2 ，设 AF x ，则 2 x 1 x 2 ，
2 2 3 2 ，即菱形 BED1 F 的边长为 2 ，则 BED1 F 在底面 ABCD 上的投影四边形是底边 4 4 4 3 3 为 ，高为的平行四边形，其面积为 ，故选 B. 4 4
三、解答题
17．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f ( x) | x 2 | | x 1 | ， g ( x) x . （1）解不等式 f ( x) g ( x) ； （2）对任意的实数，不等式 f ( x) 2 x 2 g ( x) m( m R ) 恒成立，求实数 m 的最小值.111]
21．（本小题满分 12 分）如图，四棱柱 ABCD－A1 B1C1 D1 中，侧棱 A1 A ^ 底面 ABCD ， AB / / DC ，
AB ^ AD ， AD＝CD＝1 ， AA1＝AB＝2 ， E 为棱 AA1 的中点.
（Ⅰ）证明： B1C1 ^ 面 CEC1 ； （II）设点 M 在线段 C1 E 上，且直线 AM 与平面 ADD1 A1 所成角的正弦值为
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该旅游散团团员的平均年龄； （Ⅱ）该团导游首先在 C , D, E 三组中用分层抽样的方法抽取了 6 名团员负责全团协调，然后从这 6 名团员中 随机选出 2 名团员为主要协调负责人，求选出的 2 名团员均来自 C 组的概率．
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20．直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F 分别是 CC1、BC 的中点，AE⊥ A1B1，D 为棱 A1B1 上的点． （1）证明：DF⊥AE； （2） 是否存在一点 D， 使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 若不存在，说明理由． ？若存在， 说明点 D 的位置，
2
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昆山市第一中学 2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D 【解析】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x∈R|x＞0}， ∴A∩B={1}， 故选：D． 2． 【答案】D 【解析】因为 f ( x) 因为 x +
∴
=
，
解得 c=1 或 2． 故选 D． 【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数 f（x）的解析式，进而 求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键． 10．【答案】B 【解析】解：∵向量 =（1， ∴x= 故选：B．
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）， =（ =
，x）共线， = ，
▲
．
2 16．已知平面向量 a ， b 的夹角为 ， a b 6 ，向量 c a ， c b 的夹角为 ， c a 2 3 ，则 a 与 3 3 ． c 的夹角为__________， a c 的最大值为
【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.
2． 函数 f ( x) = ln x + A. (0,)
1 2 x + ax 存在与直线 3 x y 0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是（ 2 B. ( ,2) C. ( 2,) D. (,1]
）
【命题意图】 本题考查导数的几何意义、 基本不等式等基础知识， 意在考查转化与化归的思想和基本运算能力． 3． 在空间中，下列命题正确的是（ A．如果直线 m∥平面 α，直线 n⊂α 内，那么 m∥n B．如果平面 α 内的两条直线都平行于平面 β，那么平面 α∥平面 β C．如果平面 α 外的一条直线 m 垂直于平面 α 内的两条相交直线，那么 m⊥α D．如果平面 α⊥平面 β，任取直线 m⊂α，那么必有 m⊥β 4． 极坐标系中，点 P，Q 分别是曲线 C1：ρ=1 与曲线 C2：ρ=2 上任意两点，则|PQ|的最小值为（ A．1 B． C． D．2 ） 5． 已知函数 f（x）=log2（x2+1）的值域为{0，1，2}，则满足这样条件的函数的个数为（ A．8 B．5 C．9 D．27 6． 已知函数 f ( x) ）
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【点评】本题考查极坐标方程的应用，两点距离的求法，基本知识的考查． 5． 【答案】C 【解析】解：令 log2（x2+1）=0，得 x=0， 令 log2（x2+1）=1，得 x2+1=2，x=±1， 令 log2（x2+1）=2，得 x2+1=4，x= 则满足值域为{0，1，2}的定义域有： {0，﹣1，﹣ {0，1， {0，﹣1，﹣ 故选：C． 【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了学生对函数概念的理解，是中档题． 6． 【答案】D 【解析】 试题分析：由已知 f ( x) 2sin( x }，{0，﹣1， }，{0，﹣1，1，﹣ ， }，{0，1，﹣ }，{0，1，﹣ ， }， }， ， }． }，{0，﹣1，1， ．
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18．若数列{an}的前 n 项和为 Sn，点（an，Sn）在 y= （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若 c1=0，且对任意正整数 n 都有 ．
x 的图象上（n∈N*），
，求证：对任意正整数 n≥2，总有
19．（本小题满分 12 分）某旅行社组织了 100 人旅游散团，其年龄均在 [10, 60] 岁间，旅游途中导游发现该 旅游散团人人都会使用微信，所有团员的年龄结构按 [10, 20),[20,30),[30, 40),[40,50),[50, 60] 分成 5 组，分 别记为 A, B, C , D, E ，其频率分布直方图如下图所示．
2


2 ，则 f ( x) 2sin(2 x ) ，令 6

7． 【答案】A 【解析】解：因为底面半径为 R 的圆柱被与底面成 30°的平面所截，其截口是一个椭圆， 则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为： ∵a2=b2+c2，∴c= ， = ，
∴椭圆的离心率为：e= = ． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力． 8． 【答案】D 【解析】解：设等差数列{an}的公差为 d， 则 S4=4a1+ d=﹣2，S5=5a1+ d=0，
A．
B．
C．
D． ）
8． 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S4=﹣2，S5=0，则 S6=（
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A．0 ），
B．1
C．2
D．3
9． 定义在[1，+∞）上的函数 f（x）满足：①当 2≤x≤4 时，f（x）=1﹣|x﹣3|；②f（2x）=cf（x）（c 为正常数 若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数 c 的值是（ A．1 10．已知向量 =（1， A．1 B． ）， =（ C． ，x）共线，则实数 x 的值为（ tan35° ） D． ） D．tan35° ） B．±2 C． 或 3 D．1 或 2 ）
2 ，求线段 AM 的长. 6
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B
B1
C
A
E
C1 A1
D
D1
22．（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，直线 PA 与圆 O 相切于点 A ， PBC 是过点 O 的割线， APE CPE ，点 H 是线段 ED 的中 点. （1）证明： A、E、F、D 四点共圆； （2）证明： PF PB PC .
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联立解得 ∴S6=6a1+ 故选：D d=3
，
【点评】本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题． 9． 【答案】D 【解析】解：∵当 2≤x≤4 时，f（x）=1﹣|x﹣3|． 当 1≤x＜2 时，2≤2x＜4， 则 f（x）= f（2x）= （1﹣|2x﹣3|）， 此时当 x= 时，函数取极大值 ； 当 2≤x≤4 时， f（x）=1﹣|x﹣3|； 此时当 x=3 时，函数取极大值 1； 当 4＜x≤8 时，2＜ ≤4， 则 f（x）=cf（ ）=c（1﹣| ﹣3|）， 此时当 x=6 时，函数取极大值 c． ∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上， 即点（ ， ），（3，1），（6，c）共线，
1 2
B．
3 2 4
A．28
B．36
C．45
D．120
二、填空题
13．已知正整数 m 的 3 次幂有如下分解规律：
13 1 ； 23 3 5 ； 33 7 9 11 ； 43 13 15 17 19 ；…
若 m ( m N ) 的分解中最小的数为 91 ，则 m 的值为
3
.
【命题意图】本题考查了归纳、数列等知识，问题的给出比较新颖，对逻辑推理及化归能力有较高要求，难度 中等. 14．已知 a, b 为常数，若 f x x 4 x +3，f ax b x 10 x 24 ,则 5a b _________.
2 2
15．函数 f x log 2 x 在点 A 1, 2 处切线的斜率为
}，{0，﹣1，1，﹣
则满足这样条件的函数的个数为 9．

6 k 2 x k , k Z ，得 x , k Z ，可知 D 正确．故选 D． 6 2 2 6 考点：三角函数 f ( x) A sin( ，所以
1 1 x a ，直线的 3 x y 0 的斜率为 3 ，由题意知方程 x a 3 （ x > 0 ）有解， x x
1 ³ 2 ，所以 a £ 1 ，故选 D． x
3． 【答案】 C 【解析】解：对于 A，直线 m∥平面 α，直线 n⊂α 内，则 m 与 n 可能平行，可能异面，故不正确； 对于 B，如果平面 α 内的两条相交直线都平行于平面 β，那么平面 α∥平面 β，故不正确； 对于 C，根据线面垂直的判定定理可得正确； 对于 D，如果平面 α⊥平面 β，任取直线 m⊂α，那么可能 m⊥β，也可能 m 和 β 斜交，； 故选：C． 【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的 位置关系，同时考查了推理能力，属于中档题． 4． 【答案】A 【解析】解：极坐标系中，点 P，Q 分别是曲线 C1：ρ=1 与曲线 C2：ρ=2 上任意两点， 可知两条曲线是同心圆，如图，|PQ|的最小值为：1． 故选：A．
11．如图，棱长为的正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， E , F 是侧面对角线 BC1 , AD1 上一点，若 BED1 F 是菱形，则其在底面 ABCD 上投影的四边形面积（ A．
2 3 C. 2 4 12．阅读右图所示的程序框图，若 m 8, n 10 ，则输出的 S 的值等于（