2021-2022年高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲圆与圆锥曲线的基本问题练习

2021年高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲圆与圆锥曲线的基
本问题练习
一、选择题
1.已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M 、N 分别是圆C 1、
C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )
A.53－4
B.52－4
C.53－3
D.52－3
解析 由条件可知，两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C 1′C 2|＝5 2.所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－4. 答案 B
2.(xx·全国Ⅰ卷)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2
2－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个
焦点，若MF 1→·MF 2→
<0，则y 0的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
33，33 B.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－
36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－223，
223 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－233，
233 解析 由题意知M 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上，又在x 2＋y 2＝3内部，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2
2－y 2＝1，x 2＋y 2＝3，
得
y ＝±
33，所以－33<y 0<3
3
.
答案 A
3.(xx·湖州市高三测试)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F
的直线交E 于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )
A.
x 2
45
＋y 2
36
＝1 B.
x 236＋y 2
27
＝1 C.
x 2
27
＋y 2
18
＝1 D.
x 218＋y 2
9
＝1
解析 因为直线AB 过点F (3，0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝1
2
(x －3)，
代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2
4＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2
＝0，所以AB 的中点的
横坐标为32
a 2
2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2
，所以b ＝c ＝3，选D. 答案 D
4.(xx·四川卷)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2
＝2px (p >0)上任意一点，
M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )
A.
33 B.23
C.22
D.1
解析 如图，由题可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
y 2
02p ，y 0，显然，当
y 0<0时，k OM <0；y 0>0时，k OM >0，要求k OM 最大值，不妨设y 0>0.则OM
→
＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
y 20
6p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 0
3y 206p ＋p 3＝
2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2
等号成立.故选C. 答案 C
5.如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ，b >0)的左、右
焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交
于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( )
A.
23
3
B.
62
C. 2
D.3
解析 不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，两渐近线为y ＝±b a
x ，
因此有交点P ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－
a a ＋1，
b a ＋1，Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 1－a ，b 1－a ，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2
1－a 2，b 1－a 2， 因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，
所以点M 的坐标为(3，0)，
因此有k MN ＝b
1－a
2
－0
a
2
1－a
2－3
＝－1b
，
所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2， 所以a 2＝23，所以e ＝6
2.
答案 B 二、填空题
6.(xx·浙江卷)已知实数x ，y 满足x 2
＋y 2
≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________.
解析 因为实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则2x ＋y －4＜0，6－x －3y ＞0，所以|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝－3x －4y ＋10.令z ＝－3x －4y ＋10，则3x ＋4y －10＋z ＝0.当直线3x ＋4y －10＋z ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切时，z 取最值，故|z －10|
5
＝1，∴z ＝5 或z ＝15， ∴|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值为15. 答案 15
7.(xx·浙江卷)设双曲线x 2
－y 2
3
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，
且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________. 解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上， 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2， 由于△PF 1F 2为锐角三角形，
结合实际意义需满足⎩⎨⎧（m ＋2）2＜m 2＋42
，
42＜（m ＋2）2＋m 2
，
解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2，
∴27＜2m ＋2＜8. 答案 (27，8)
8.(xx·深圳第二次调研)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，且倾斜角为π
4的直线与抛
物线交于A ，B 两点，若弦AB 的垂直平分线经过点(0，2)，则p 等于________.
解析 由题意知直线AB 的方程为y ＝x －p
2，
垂直线平分线方程为y ＝－x ＋2，
联立上面两直线方程得y ＝1－p 4，x ＝1＋p
4
，
即AB 的中点坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫
1＋p
4
，1－p 4， 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
y 2
22p ，y 2，则y 2－y 1y 222p －y 212p
＝2p y 1＋y 2，
∴1－p 4＝p ，∴p ＝45
.
答案 45
三、解答题
9.(xx·全国Ⅰ卷)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；
(2)若OM →·ON →
＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|
1＋k 2
<1. 解得4－73<k <4＋73
.
所以k 的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫
4－73
，
4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).
将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.
所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2
，x 1x 2＝7
1＋k 2. OM →·ON →
＝x 1x 2＋y 1y 2
＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）
1＋k 2
＋8.
由题设可得4k （1＋k ）
1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1.
故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.
10.(xx·全国Ⅱ卷)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C
上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为3
4
，求C 的离心率；
(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .
解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
c ，b 2a ，2b 2＝3ac .
将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去).故C 的离心率为1
2
.
(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是
线段MF 1的中点，故b 2
a
＝4，即b 2＝4a .①
由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则 ⎩⎨
⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1
＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝－32c .
y 1＝－1. 代入C 的方程，得9c 2
4a 2＋1
b
2＝1.②
将①及c ＝a 2
－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2
＋1
4a
＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝ 2 7.
11.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )
的直线的距离为1
2c .
(1)求椭圆E 的离心率；
(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝5
2
的一条直径，若椭圆
E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程.
解 (1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，
则原点O 到该直线的距离d ＝
bc b 2＋c
2
＝bc
a ， 由d ＝12c ，得a ＝2
b ＝2a 2－
c 2
，解得离心率c a ＝32.
(2)法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.
易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2
)x 2
＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2
－4b 2
＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，
x 1x 2＝4（2k ＋1）2
－4b 2
1＋4k 2
，
由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2
＝－4，解得k ＝1
2， 从而x 1x 2＝8－2b 2.
于是|AB |＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
|x 1－x 2|
＝
52
（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2
－2）， 由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3，
故椭圆E 的方程为x 212＋y 2
3
＝1.
法二 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2，②
依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB |＝10，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2
，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，
得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0， 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，
所以AB 的斜率k AB ＝
y 1－y 2x 1－x 2＝1
2
， 因此直线AB 的方程为y ＝1
2(x ＋2)＋1，
代入②得x 2
＋4x ＋8－2b 2
＝0， 所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2，
于是|AB |＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
|x 1－x 2|
＝
52
（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2
－2）. 由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3，
故椭圆E 的方程为x 212＋y 2
3
＝1.。