数学高中北师大版选修2-2课后习题：3.2 导数在实际问题中的应用

§2 导数在实际问题中的应用
课后训练案巩固提升
A 组
1.若圆柱轴截面的周长l 为定值,则体积的最大值为( )
A.(l 6
)3
π B.(l 3)3π C.(l 4)3
π D.14(l 4
)3π 解析:设圆柱的底面半径为r ,高为h ,体积为V ,则4r+2h=l ,h=
l -4r 2,V=πr 2h=12πr 2l-2πr 3(0<r <l 4). ∵V'=l πr-6πr 2,令V'=0,得r=0或r=l 6,而r>0,∴r=l 6是其唯一的极值点.
∴当r=l 6时,V 取得最大值,最大值为(l 6)3π.
答案:A
2.函数y=x e x 在[0,2]上的最大值是( )
A.当x=1时,y=1e
B.当x=2时,y=2e 2
C.当x=0时,y=0
D.当x=12时,y=12√e 解析:∵y'=
e x -xe x (e x )2=e x (1-x )e 2x ,令y'=0,则x=1,当0≤x<1时,y'>0,当1<x ≤2时,y'<0,∴x=1时,y 取得极大值,也就是最大值1e .
答案:A
3.如图,设有定圆C 和定点O ,当l 从l 0开始在平面上绕O 匀速旋转(旋转角度不超过90°)时,它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数,它的图像大致是( )
解析:由于是匀速旋转,所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加,而中间时段相对增速较快.
A 项表示面积的增速是常数,与实际不符.
B 项表示最后时段面积的增速较快,也与实际不符.
C 项表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快,与实际不符.
D 项表示开始和最后时段面积的增速缓慢,中间时段较快,符合实际.
答案:D
4.已知函数f (x )=ax 3+C ,且f'(1)=6,函数在[1,2]上的最大值为20,则C 的值为( )
A.1
B.4
C.-1
D.0
解析:∵f'(x )=3ax 2,∴f'(1)=3a=6,即a=2.
当x ∈[1,2]时,f'(x )=6x 2>0,即f (x )在[1,2]上是增加的.
∴f (x )max =f (2)=2×23+C=20.∴C=4.
答案:B
5.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k (k>0).已知贷款的利率是0.048 6,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去,设存款利率x ∈(0,0.048 6),若使银行获得最大收益,则x 的取值为( )
A.0.016 2
B.0.032 4
C.0.024 3
D.0.048 6
解析:依题意,知存款量是kx 2,银行支付的利息是kx 3,获得的贷款利息是0.048 6kx 2,其中x ∈(0,0.048 6),所以银行的收益是y=0.048 6kx 2-kx 3(0<x<0.048 6),则y'=0.097 2kx-3kx 2.
令y'=0,得x=0.032 4或x=0(舍去).
当0<x<0.032 4时,y'>0;当0.032 4<x<0.048 6时,y'<0.
所以当x=0.032 4时,y 取得最大值,即当存款利率为0.032 4时,银行获得最大收益.
答案:B
6.函数f (x )=12e x (sin x+cos x )在区间[0,π2
]上的值域为 .
解析:∵x ∈[0,π2],∴f'(x )=e x cos x ≥0,即f (x )在[0,π2]上是增加的. ∴f (0)≤f (x )≤f (π2),
即12≤f (x )≤12e π2.
答案:[12,12e π2] 7.假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%,物价P (单位:元)与时间t (单位:年)有如下函数关
系,P (t )=P 0(1+5%)t ,其中P 0为t=0时的物价,假定某种商品的P 0=1,则在第10个年头,这种商品价格上涨的速度大约是 元/年.(精确到0.01)
解析:∵P 0=1,∴P (t )=(1+5%)t =1.05t ,在第10个年头,这种商品价格上涨的速度,即为函数的导数在t=10时的值.
∵P'(t )=(1.05t )'=1.05t ·ln 1.05,∴P'(10)=1.0510×ln 1.05≈0.08(元/年).
答案:0.08
8.在半径为r 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上的高为 时,它的面积最大.
解析:如图,设∠OBC=θ,则0<θ<π2
,OD=r sin θ,BD=r cos θ. ∴S △ABC =r cos θ(r+r sin θ)=r 2cos θ+r 2sin θcos θ.
令S △ABC '=-r 2sin θ+r 2(cos 2θ-sin 2θ)=0.
得cos 2θ=sin θ.
又0<θ<π2
, ∴θ=π6,即当θ=π6时,△ABC 的面积最大,即高为OA+OD=r+r 2=3r 2时面积最大.
答案:3r 2
9.已知函数f (x )=x 2-ln x-ax ,a ∈R .
(1)当a=1时,求f (x )的最小值;
(2)若f (x )>x ,求a 的取值范围.
解(1)当a=1时,f (x )=x 2-ln x-x ,
f'(x )=(2x+1)(x -1)x . 当x ∈(0,1)时,f'(x )<0;
当x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0.
所以f (x )的最小值为f (1)=0.
(2)由f (x )>x ,得f (x )-x=x 2-ln x-(a+1)x>0.
由于x>0,所以f (x )>x 等价于x-
lnx x >a+1. 令g (x )=x-lnx x ,则g'(x )=x 2-1+lnx x 2
. 当x ∈(0,1)时,g'(x )<0;
当x ∈(1,+∞)时,g'(x )>0.
故g (x )有最小值g (1)=1.
故a+1<1,即a 的取值范围是(-∞,0).
10.导学号88184039某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m 米.余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+√x )x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩在桥面距离计算中都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y 万元.
(1)试写出y 关于x 的函数关系式;
(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y 最小?
解(1)设需要新建n 个桥墩,则(n+1)x=m ,
即n=m x -1,
所以y=f (x )=256n+(n+1)(2+√x )x=256(m x -1)+
m x (2+√x )x=256m x +m √x +2m-256(0<x ≤m ). (2)对(1)中函数f (x )求导得,f'(x )=-
256m x 2+12mx -12=6402x 2(x 32-512)=320x 2(x 32-512)(0<x ≤640). 令f'(x )=0,解得x 32=512,即x=64.
当0<x<64时,f'(x )<0,f (x )在区间(0,64)上是减少的;
当64<x ≤640时,f'(x )>0,f (x )在区间(64,640]上是增加的.
所以f (x )在x=64处取得极小值,也是最小值,此时n=m x -1=
64064
-1=9. 故需新建9个桥墩才能使y 最小.
B 组
1.函数y=√x +√1-x 在(0,1)上的最大值为( )
A.√2
B.1
C.0
D.不存在 解析:y'=2√x 2√1-x ,y'=0,得x=12
; ∵0<x<12时,y'>0,12<x<1时,y'<0, ∴y max =√12+√1-12=√2.
答案:A
2.横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比,要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁,则横断面的高和宽分别为( ) A.√3d ,
√33d B.√33d ,√63d C.√63d ,√33d D.√63d ,√3d
解析:如图所示,设矩形横断面的宽为x ,高为y ,由题意知,当xy 2取最大值时,横梁的强度最大.
∵y 2=d 2-x 2,
∴xy 2=x (d 2-x 2)(0<x<d ).
令f (x )=x (d 2-x 2)(0<x<d ),求导数,得f'(x )=d 2-3x 2.
令f'(x )=0,解得x=
√33d 或x=-√33d (舍去). 当0<x<
√33d 时,f'(x )>0; 当√33d<x<d 时,f'(x )<0. 因此,当x=√33d 时,f (x )取得极大值,也是最大值.
综上,当矩形横断面的高为
√63d ,宽为√33d 时,横梁的强度最大.
答案:C 3.设常数0<a<ln 2,则函数y=e -x -e -2x 在区间[0,a ]上的最大值为 ,最小值为 .
解析:y'=(e -x )'-(e -2x )'=-e -x +2e -2x =-e -2x (e x -2),令y'=0,得e x =2,x=ln 2,∵x ∈[0,a ],∴只需研究x ≥0的情况,如下表所示:
∵y=e -x -e -2x =e -2x (e x -1),当x>0时,e x -1>0,∴y>0.由以上可知,在区间[0,a ]上,当x=a 时,有最大值e -a -e -2a ,当x=0时,有最小值0.
答案:e -a -e -2a 0
4.苏州市举办“广电狂欢购物节”促销活动,某厂商拟投入适当的广告费,对所售产品进行促销,经调查测算,该促销产品在狂欢购物节的销售量p 万件与广告费用x 万元满足p=3-2x+1
(其中0≤x ≤a ,a 为正常数).已知生产该批产品p 万件还需投入成本(10+2p )万元(不含广告费用),产品的销售价格定为(4+
20p )元/件,假定厂商生产的产品恰好能够售完.
(1)将该产品的利润y 万元表示为广告费用x 万元的函数;
(2)问广告费投入多少万元时,厂商的利润最大?
解(1)由题意知,y=(4+
20p )p-x-(10+2p ),将p=3-2x+1代入化简得y=16-4x+1-x (0≤x ≤a ). (2)y'=-1-
-4(x+1)2=-(x+1)2+4(x+1)2 =-x 2+2x -3(x+1)2=-(x+3)(x -1)(x+1)2. ①当a>1时,x ∈[0,1)时,y'>0,∴函数y=16-x-4x+1在[0,1)上是增加的;x ∈(1,a ]时,y'<0,∴函数y=16-x-4x+1在
(1,a ]上是减少的.∴广告费用投入1万元时,厂家的利润最大.
②当0<a ≤1时,∵函数y=16-x-4x+1在[0,1]上是增加的,∴y=16-x-4x+1在[0,a ]上是增加的,∴x=a 时,函数有最大值,即广告费用投入a 万元时,厂家的利润最大.
综上所述,当a>1时,广告费用投入1万元,厂家的利润最大;当0<a ≤1时,广告费用投入a 万元,厂家的利润最大.
5.导学号88184040设函数f (x )=1+(1+a )x-x 2-x 3,其中a>0.
(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性;
(2)当x ∈[0,1]时,求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值.
解(1)f (x )的定义域为(-∞,+∞),f'(x )=1+a-2x-3x 2.
令f'(x )=0,得x 1=-1-√4+3a 3,x 2=-1+√4+3a 3
,显然x 1<x 2. 所以f'(x )=-3(x-x 1)(x-x 2).
当x<x 1或x>x 2时,f'(x )<0;
当x 1<x<x 2时,f'(x )>0.
故f (x )在(-∞,x 1)和(x 2,+∞)上是减少的,在(x 1,x 2)上是增加的.
(2)因为a>0,所以x 1<0,x 2>0.
①当a ≥4时,x 2≥1,由(1)知,f (x )在[0,1]上是增加的,所以f (x )在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值. ②当0<a<4时,x 2<1.
由(1)知,f (x )在[0,x 2]上是增加的,在[x 2,1]上是减少的,因此f (x )在x=x 2=
-1+√4+3a 3
处取得最大值. 又f (0)=1,f (1)=a ,所以
当0<a<1时,f (x )在x=1处取得最小值;
当a=1时,f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值;
当1<a<4时,f(x)在x=0处取得最小值.
由Ruize收集整理。

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