高三数学月考试题及答案-广州市仲元中学2014届高三10月月考(理)3

广东省广州市仲元中学2014届高三10月月考（理）
本试卷共4页，21小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．己知集合[0,)M =+∞，集合{
2N x x =>或}1x <-，
U R =，则集合U M C N ⋂=（ ） A ．{}|02x x <≤ B ．{}|02x x ≤< C ．{}|02x x ≤≤ D ．{}|02x x <<
2．若复数12(2)a a i -++是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值为（ ）
A ．2-
B ．2
C ．
12
D ．12
-
3．已知命题:,cos 1p x R x ∀∈≤，则（ ）
A ．:,cos 1p x R ⌝∃∈>
B ．:,cos 1p x R ⌝∀∈≥
C ．:,cos 1p x R ⌝∃∈≥
D ．:,cos 1p x R ⌝∀∈>
4. 设,m n R ∈，函数log
n y m x =+的图象如下图所示，则有 ( ) A. 0,01m n <<< B. 0,1m n >> C. 0,01m n ><< D. 0,1m n <>
5. 一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ）则该几何体的体积（单位：3m ）为（ ）
A ．
27
B ．29
C ．3
7 D ．
4
9
6. 设函数n
a x x f )()(+=，其中⎰
=20
cos 6
π
xdx n ，
3)
0()
0(-='f f ，则)(x f 的展开式中4x 的系数为（ ） A ． 360-
B ．360
C ．60-
D ．60
7．已知b a <<0，且1=+b a ，则下列不等式正确的是（ ） A ．2log 0a >
B ．1
2
2
a b
-< C ．22log log 2a b +<-D ．24b a
a b +<
8．定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0
()(1)(2),0x x f x f x f x x -≤⎧=⎨
--->⎩
，则(2013)f 的值为（ ）
A ．0
B ．－1
C ．1
D ．2log 6
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分
30分． （一）必做题（9～13题） 9. 函数y =的定义域是 .
10．设()f x 是奇函数，当01x ≤≤时，()2(12)f x x x =-，则1()2
f -= .
11．从某学习小组10名同学中选出3人参加一项活动，其中甲、乙两人都被选中的概率是 ____.
12．等比数列{}n a 的首项为2，而且各项均为正。

若212048a =，则 公比q 为
13．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A 处出发去看望B 、C 、D 处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A 到B 则记为：(1,4)A B →++，从B 到A 则记为：
(1,4)B A →--，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
若图中另有两个格点M 、N ，且(3,4)M A a b →--，(5,2)M N a b →--，则从N 到
A 应记为 。

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，点
32,2A π⎛⎫
⎪⎝⎭
，到直线cos sin 0ρθθ=的
距离为 ． 15．（几何证明选讲选做题）
如图所示，在圆O 中，AB 是圆O 的直径
AB =8,E 为OB 的中点，CD 过点E 且垂直于AB,EF ⊥AC,则CF •CA=
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
己知角α的顶点在原点，始边与x
轴的正半轴重合，终边经过点12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.
（Ⅰ）sin 2tan αα-的值；
（Ⅱ）若函数()()cos cos sin()sin f x x x αααα=---，
求函数2(2)2[()]2
y x f x π
=--的最大值及对应的x 的值.
17．（本小题满分12分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。

生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。

设生产各种产品相互独立。

（1）记x （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求x 的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。

18．（本小题满分14分）
已知三棱锥P ABC -中，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，ABC ∆、PEF ∆都是正三角形，PF AB ⊥. （Ⅰ）证明PC ⊥平面PAB ；
（Ⅱ）求二面角P AB C --的平面角的余弦值；
（Ⅲ）若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上，求ABC ∆的边长. 19．（本小题满分14分）
对于数列}{n a ，定义数列}{1n n a a -+为}{n a 的“差数列”.
（I ）若2n a An B =+，A 、B 为非零常数，求证数列}{n a 的“差数列”是等差数列
A
并求出其公差；
（II ）若,21=a }{n a 的“差数列”的通项为n
2，求数列}{n a 的通项公式以及前n 项和n S ； （III ）对于（II ）中的数列}{n a ，若数列}{n b 满足*1214(,n 2),n n n n a b b n N -+=-⋅∈≥且
47b =-，求数列{}n b （n 为偶数）的通项公式 。

20．（本小题满分14分）
设m R ∈,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)a mx y =+，(,1)b x y =-，a b ⊥，动点
(,)M x y 的轨迹为曲线G 。

（Ⅰ）求动点(,)M x y 的轨迹方程，并说明该方程所表示曲线G 的形状。

（Ⅱ）设21
,,01
m R λλλ=
∈≠+，点(,0)F λ，动点(,)M x y 是曲线G 的点。

证明：
MF =。

21．（本小题满分14分） 已知函数2
1()(1)ln 2
f x x ax a x =
-+- ，其中 2.a > （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）若对于任意的1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，恒有1212
()()
1f x f x x x ->--，求实数a 的取值
范围；
（Ⅲ）设*1(3,4),,n n a x n N n +∈=∈，求证：111
()()n n
f x f x x +-<。

参考答案
本试卷共4页，21小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
CCBC ADCB
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9. ()0,1(1,2]⋃ 10．0 11．
1
15
12．2048 13．()2,2-- （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．11(1,
)6
π
15．12 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 3(22
f π
-
17．（本小题满分12分）
解：（1）由题设知，x 的可能取值为10，5，2，-3……2分 且由生产各种产品相互独立 ()100.80.9
0.
72P x ==⨯
=， ()50.20.90.18P x ==⨯=
()20.80.10.08P x ==⨯=， ()30.20.10.02P x =-=⨯=
由此得x 的分布列为：
……6分 （2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件。

由题设知4(4)10n n --≥，……7分
解得145
n ≥
， 又n N ∈，得3n =，或4n =。

……9分
所求概率为3
3440.80.20.80.8192P C =⨯⨯+=……11分
答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。

……12分 18．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明： 连结CF ，
11
,22
PE EF BC AC AP PC ==
=∴⊥……1分 ,,,CF AB PF AB CF PF F AB ⊥⊥=∴⊥
平面
P C F ，
又
PC ⊂平面PCF ，,PC AB ∴
⊥……3分
又,PC AP AP AB A ⊥=
PC ∴⊥平面PAB 。

……4分
（Ⅱ）,AB PF AB CF ⊥⊥，PFC ∴∠为二面角P AB C --的平面角， (6)
分
设AB a =，在直角PFC ∆中，可以求得,2a PF EF CF ==
=，……8分 cos PF PFC CF ∴∠=
=P AB C --10分 （Ⅲ）由已知可以得到
,PF AF BF AP PB ==∴⊥，再由第一问可以知道三棱锥
P ABC -三侧棱两两垂直，而且PA PB PC ==，可以将此三棱锥补成正方体，使
其一个顶点为P ，,,PA PB PC 为三条棱，则该球即为此正方体外接球……12分
A
设PA x =，球半径为R
22,124,2R R R x ππ==∴= 所以ABC ∆
边长为14分）
19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）()
221(1)2n n a a A n B An B An A +-=+---=+………………………………1分
令}{n a 的“差数列”为{}n x ，
则2n x An A =+，()12(n 1)A 2An A 2A n n x x A +-=++-+=……………2分
所以数列}{n a 的“差数列”是等差数列，其公差为2A ；………………………………3分 （Ⅱ）依题意 ,3,2,1,21==-+n a a n n n ………………………………4分 所以11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----
.22222321n n n n =++++=--- ………………………………6分
而
1
2n n
a a += 从而{}n a 是公比数为2的等比数列，………………………………7分 所以.222
1)
21(21-=--=
+n n n S ………………………………8分 （Ⅲ）由1214n n n n a b b -+=-⋅，得到
(1)11214n n n n a b b ----=-⋅………………………………10分
两式相除得
111
,2
n n b b +-= 所以数列{}2n b 是公比为
2
1
的等比数列………………………………11分 由47b =-，214.b =-………………………………12分
所以数列{}2n b 的通项为12
114()2
n n b -=-⋅，其中n 为偶数……………………14分
20．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）
a b ⊥，0a b ∴∙=，即2210mx y +-= ，整理得221mx y +=………1分
当0m =时，方程为1y =±，轨迹为两平行直线；………………………………2分
当1m =时，方程为221x y +=，轨迹为圆心在原点，半径为1的圆；……………3分
当0m <，方程为
22
111
y x m -=-，轨迹为焦点在y 轴上的双曲线；……………4分 当1m >时，方程为
22
111
y x m
+=，轨迹为焦点在y 轴上的椭圆； 当01m <<时，方程为22
111x y m +=，轨迹为焦点在x 轴上的椭圆。

……………6分 （Ⅱ）当2
1,,01m R λλλ=∈≠+时，轨迹方程为2
2211
x y λ+=+，轨迹为焦点在x 轴上的
椭圆。

MF ==7分
=
=8分
x =
……………………………………9分
21x λ-+≤≤
10分
如果0λ>，那么x λ
λ-≤
≤
，
则x λλ-
≤≤
λ>=，
0x <，那么
MF
=
x
-=……………………………………
12分 如果0λ<，那么x λ
λ≤
≤-
，
则x λλ
-
λ>=-，
x<，那么MF
=x-
=
综上有MF=……………………………………14分
21．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）函数()
f x的定义域为(0,)
x∈+∞……………………………………1分
2
11
()
a x ax a
f x x a
x x
--+-
'=-+=……………………………………2分
令()0
f x
'=，则210
x ax a
-+-=，即(1)[(1)]0
x x a
---=，1
x=或1
x a
=-
因为2
a>，所以11
a->
当(0,1),()0
x f x
'
∈>，函数()
f x为增函数
当(1,a1),()0
x f x
'
∈-<，函数()
f x为减函数
当(a1,),()0
x f x
'
∈-+∞>，函数()
f x为增函数………………………5分
（Ⅱ）设
12
x x
>，则不等式12
12
()()
1
f x f x
x x
-
>-
-
等价于
1221
()()
f x f x x x
->-
整理得到
1122
()()
f x x f x x
+>+
令2
1
()()(1)ln
2
g x f x x x ax a x x
=+=-+-+……………………………………7分
即函数()
g x在(0,)
x∈+∞上为增函数
1
()(1)
a
g x x a
x
-
'=--+，不等式
1
(1)0
a
x a
x
-
--+≥恒成立
而
1
a
x
x
-
+≥
，所以1
a
≥-，因为 2.
a>
225
a
≤⇒<≤……………………………………10分
（Ⅲ）因为(3,4)
a∈，由（Ⅰ）可以知道当(1,1)
x a
∈-时，函数()
f x为减函数，
而
1
21
1(1,1)
11
n
n
x a
n n
+
+
==+∈-
++
，
1
2(1,1)
x a
=∈-，
那么
11
n
x x
+
<……………………………………11分
所以
11
()()
n
f x f x
+
>……………………………………12分
所以1111()()()()n n f x f x f x f x ++-=- 由（Ⅱ）知道
1111
()()
1n n f x f x x x ++->--
所以1111111()()2(1)1111n n n
n f x f x x x n n n x ++-<-=-+=-==+++……………14分。